第7章 銳角三角函數(shù)（基礎(chǔ)、典型、易錯(cuò)、壓軸）分類專項(xiàng)訓(xùn)練（解析版）

第7章銳角三角函數(shù)（基礎(chǔ)、典型、易錯(cuò)、壓軸）分類專項(xiàng)訓(xùn)練【基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022·江蘇·洪澤新區(qū)中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，則tanB等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)求解即可．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，所以tanB＝＝，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)，掌握正切的定義：正切是指在直角三角形中，某一銳角的對邊與另一相鄰直角邊的比，是正確解答的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇淮安·九年級期末）在Rt△ABC中，各邊都擴(kuò)大5倍，則銳角A的正切函數(shù)值（

）A．不變 B．?dāng)U大5倍 C．縮小5倍 D．不能確定【答案】A【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義解答即可．【詳解】因?yàn)槿呛瘮?shù)值與對應(yīng)邊的比值有關(guān)，所以各邊的長度都擴(kuò)大5倍后，銳有A的各三角函數(shù)值沒有變化，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，掌握三角函數(shù)值的大小只與角的大小是解題的關(guān)鍵．3．（2022·江蘇泰州·九年級期末）如圖，在4×4的正方形方格中，和的頂點(diǎn)都在邊長為1的小正方形的格點(diǎn)上，則的值為（

）A． B． C． D．3【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理求出和的各邊長，由三邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似可得，所以可得，求值即可.【詳解】解：由勾股定理，得，，，，，，，，，，.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及解直角三角形，靈活利用正方形方格的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.4．（2022·江蘇·靖江市濱江學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，在4×4正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C為網(wǎng)格交點(diǎn)，AD⊥BC，垂足為D，則sin∠BAD的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接AC后，利用勾股定理求出所需的線段長度即可．【詳解】解：如圖，連接AC在Rt△BEC中，BC=∵AD⊥BC，∴×BC×AD=8，即，解得，在Rt△ADB中，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)值的求解，能夠構(gòu)造直角三角形并用勾股定理求出線段長度是解題關(guān)鍵．5．（2022·江蘇·無錫市錢橋中學(xué)九年級階段練習(xí)）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，則BC的長為（

）A．6 B．7.5 C．8 D．12.5【答案】A【分析】根據(jù)題意畫出圖形，然后根據(jù)三角函數(shù)的知識進(jìn)行解答即可．【詳解】解：如圖∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，，解得：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，熟知正弦的定義：對邊比斜邊，是解本題的關(guān)鍵．6．（2022·江蘇·蘇州中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知一個(gè)不等臂蹺蹺板AB長3米，支撐柱OH垂直地面，當(dāng)AB的一端A著地時(shí)，AB與地面夾角的正弦值為，如圖1；當(dāng)AB的另一端B著地時(shí)，AB與地面夾角的正弦值為，如圖2，則支撐柱OH的高為（）米．A．0.4 B．0.5 C． D．0.6【答案】D【分析】根據(jù)正弦的定義得到OA＝2OH，OB＝3OH，根據(jù)題意列式計(jì)算即可．【詳解】解：在Rt△AOH中，sinA，∴OA＝2OH，在Rt△BOH中，sinB，∴OB＝3OH∵AB＝3米，∴2OH+3OH＝3，解得：OH＝0.6（米），故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是銳角三角函數(shù)，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．7．（2022·江蘇省錫山高級中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級期中）的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)特殊角的三角形函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值，是解題的關(guān)鍵．8．（2022·江蘇·蘇州中學(xué)九年級階段練習(xí)）點(diǎn)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】先利用特殊角的三角函數(shù)值得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再寫出其關(guān)于y軸對稱的坐標(biāo)即可．【詳解】解：∵sin60°＝，cos30°＝，∴點(diǎn)（，）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（，）．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值和關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點(diǎn)的特征，掌握特殊角的三角函數(shù)值是解決本題的關(guān)鍵．9．（2022·江蘇鹽城·九年級期末）在中，，，，則的（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】由，，可利用銳角三角函數(shù)求出AC邊的長，再利用勾股定理，即可求出BC的長．【詳解】解：如圖，在中，，，，在中，．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)解直角三角形以及勾股定理．10．（2022·江蘇泰州·九年級期末）在△ABC中，AB=4，BC=5，sinB=，則△ABC的面積等于（）A．15 B． C．6 D．【答案】D【分析】作BC邊上的高AD，由sinB=，即可求出AD的長，再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可．【詳解】如圖，作BC邊上的高AD，∵sinB=，即，∴，∴AD=3，∴．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形．正確畫出圖形，根據(jù)正弦值求出底邊BC上的高是解題關(guān)鍵．11．（2022·江蘇無錫·九年級期中）小明沿斜坡AB上行40m，其上升的垂直高度CB為20米，則斜坡AB的坡度為（

）A．30° B． C． D．【答案】C【分析】求斜坡的坡度，關(guān)鍵是斜坡的鉛垂直高度和水平長度，根據(jù)已知條件，由勾股定理可求出AC的長即可得出結(jié)果．【詳解】解:又∴斜坡AB的坡度故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了坡度的概念，涉及到構(gòu)造直角三角形，用勾股定理求出相應(yīng)的邊長．二、填空題12．（2022·江蘇省錫山高級中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級期中）在中，，是斜邊上的中線，，，則的值是______．【答案】【分析】根據(jù)斜邊上的中線等于斜邊的一半以及余弦的定義：鄰邊比斜邊，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵，是斜邊上的中線，∴，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查直線三角形斜邊上中線等于斜邊的一半以及余弦的定義．熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．13．（2022·江蘇·靖江市濱江學(xué)校九年級階段練習(xí)）如果是銳角，且，那么的值是_____．【答案】##【分析】在Rt，，，由，可設(shè)，則,勾股定理求出，即可得到答案．【詳解】解：如圖，在Rt，，，∵，∴設(shè)，則,由勾股定理得，∴，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．14．（2022·江蘇省錫山高級中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級期中）已知是銳角，，則=______°．【答案】【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：，∴，∴，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值．熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．15．（2022·江蘇淮安·九年級期末）比較大小：sin50°_____sin60°（填“＞”或“＜”）．【答案】＜【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的增減性進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵50°＜60°，而銳角正弦值隨著角度的增大而增大，∴sin50°＜sin60°，故答案為：＜．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的增減性，掌握一個(gè)銳角的正弦值隨著角度的增大而增大是正確判斷的前提．16．（2022·江蘇·洪澤新區(qū)中學(xué)九年級階段練習(xí)）若一斜坡的坡角為60°，則它的坡度________【答案】【分析】根據(jù)斜坡的坡度＝坡角的正切值，即可求解．【詳解】解：∵斜坡的坡角為60°，tan60°=，∴斜坡的坡度，故答案是：.【點(diǎn)睛】本題主要考查斜坡的坡度，掌握斜坡的坡度＝坡角的正切值，是解題的關(guān)鍵．三、解答題17．（2022·江蘇淮安·九年級階段練習(xí)）已知：如圖，在中，求的值．【答案】【分析】根據(jù)勾股定理求，再根據(jù)余弦的定義求得．【詳解】解：在中，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理、余弦的定義，熟練掌握勾股定理、三角函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．18．（2022·江蘇·鹽城市大豐區(qū)實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)益民路分校九年級階段練習(xí)）計(jì)算：．【答案】【分析】直接利用零指數(shù)冪和負(fù)指數(shù)冪運(yùn)算法則、絕對值的運(yùn)算、特殊三角函數(shù)值分別化簡得出答案．【詳解】解：==【點(diǎn)睛】此題主要考查了零指數(shù)冪，負(fù)指數(shù)冪，絕對值的運(yùn)算，三角函數(shù)值的運(yùn)算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．19．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）計(jì)算：4°．【答案】2【分析】先計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，二次根式的化簡，特殊角的三角函數(shù)值，再計(jì)算乘法，再合并即可．【詳解】解：【點(diǎn)睛】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值的運(yùn)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的含義，二次根式的化簡，掌握“運(yùn)算基礎(chǔ)運(yùn)算”是解本題的關(guān)鍵．20．（2022·江蘇·蘇州高新區(qū)第一初級中學(xué)校九年級階段練習(xí)）在中，，分別是，，的對邊．(1)已知，，求；(2)已知，，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）已知直角邊和斜邊的長，可以利用的余弦即可求解；（2）根據(jù)余弦是鄰邊與斜邊的比，已知斜邊的長，由比例的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，，，∴，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)可知，；（2）解：如圖所示，∵，，即，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用三角函數(shù)解直角三角形，熟練掌握三角形函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．21．（2022·江蘇·沛縣教師發(fā)展中心九年級階段練習(xí)）如圖要測量古塔的高度，在塔前平地上點(diǎn)、處觀測塔尖，仰角分別為和，、之間的距離為21m，求古塔的高度．（結(jié)果取整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】63米【分析】設(shè)，可得，，在中，由即可求解．【詳解】解：如圖，，，．在中，，．．設(shè)，則，在中，，，解得．答：古塔的高度約為米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義解題的關(guān)鍵．【典型】一、單選題1．（2021·江蘇·九年級專題練習(xí)）下列計(jì)算錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值,可得答案.【詳解】解：A.sin-sin=，故A符合題意;B.,故B不符合題意;C.,故C不符合題意;D.,故D不符合題意;故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的定義及運(yùn)算，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.二、填空題2．（2022·江蘇南通·九年級期末）如圖，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，_．【答案】．【分析】根據(jù)軸對稱，可以求得使得的周長最小時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出點(diǎn)到直線的距離和的長度，即可求得的面積，本題得以解決．【詳解】聯(lián)立得，解得，或，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接與軸的交于，則此時(shí)的周長最小，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線的函數(shù)解析式為，，得，∴直線的函數(shù)解析式為，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，將代入直線中，得，∵直線與軸的夾角是，∴點(diǎn)到直線的距離是：，∴的面積是：，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)、軸對稱﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．三、解答題3．（2022·江蘇·揚(yáng)州市江都區(qū)實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)一模）如圖是一座人行天橋的引橋部分的示意圖，上橋通道由兩段互相平行并且與地面成37°角的樓梯AD、BE和一段水平平臺DE構(gòu)成．已知天橋高度BC≈4.8米，引橋水平跨度AC=8米．（1）求水平平臺DE的長度；（2）若與地面垂直的平臺立枉MN的高度為3米，求兩段樓梯AD與BE的長度之比．（參考：sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75）【答案】（1）DE=1.6；（2）兩段樓梯AD與BE的長度之比為5：3．【分析】（1）延長BE交AC于F，則∠BFC=∠DAC=37°，可得FC===6.4米，再由四邊形ADEF為平行四邊形，可得DE=AF，即可求解；（2）過E作EG⊥AC，垂足為G，則EG=MN=3米，可得EF===5米，再求出BF===8米，可得BE=3米，即可求解．【詳解】解：（1）如圖，延長BE交AC于F，則∠BFC=∠DAC=37°，∴=tan37°，∴FC===6.4米，根據(jù)題意得：DE∥AC，EF∥AD，∴四邊形ADEF為平行四邊形，DE=AF=AC-FC=8-6.4=1.6米；（2）過E作EG⊥AC，垂足為G，則EG=MN=3米，∴=sin37°，∴EF===5米，∴AD=EF=5米，∵=sin37°，∴BF===8米，∴BE=BF-EF=8-5=3米∴AD：BE=5：3，即兩段樓梯AD與BE的長度之比為5：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．4．（2021·江蘇·九年級專題練習(xí)）美麗的黃河宛如一條玉帶穿城而過，沿河兩岸的濱河路風(fēng)情線是蘭州最美的景觀之一．?dāng)?shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中，小林在南濱河路上的A，B兩點(diǎn)處，利用測角儀分別對北岸的一觀景亭D進(jìn)行了測量．如圖，測得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若AB=132米，求觀景亭D到南濱河路AC的距離約為多少米？（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）【答案】觀景亭D到南濱河路AC的距離約為248米．【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，設(shè)BE=x，根據(jù)AE=DE，列出方程即可解決問題．【詳解】過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，設(shè)BE=x，在Rt△DEB中，tan∠DBE=，∵∠DBC=65°，∴DE=xtan65°．

又∵∠DAC=45°，∴AE=DE．∴132+x=xtan65°，∴解得x≈115.8，∴DE≈248（米）．

∴觀景亭D到南濱河路AC的距離約為248米．5．（2021·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸，y軸，交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是BO的中點(diǎn)且（1）求直線AC的解析式；（2）若點(diǎn)M是直線AC的一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).【答案】（1）（2）【分析】(1)令x=0得y=4，故B（0，4），由得|AO|=2，所以A（-2，0），再由C是BO的中點(diǎn)，得C（0，2），設(shè)AC的解析式為y=kx+b，把點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)代入即可；（2）分兩種情況分別討論即可求得．【詳解】（1）令x=0得y=4，故B（0，4），∴BO=4∵∴，即AO=2，∴A（-2，0），∵C是BO的中點(diǎn)，∴C（0，2），設(shè)AC的解析式為y=kx+b，則解得：∴直線AC的解析式為：；（2）∵B（0，4），點(diǎn)C為BO中點(diǎn)．∴BC=2，S△ABC=S△AOC，∵S△ABM=2S△AOC，當(dāng)M在第一象限時(shí)，∴S△BCM=S△AOC，∴BC?xM=×2×2，∴xM=2，代入y=x+2得y=4，∴M（2，4），當(dāng)M在第三象限時(shí)，S△BCM=3S△AOC，即BC?|xM|=3××2×2，∴|xM|=6，∴xM=-6，代入y=x+2得y=-4，∴M（-6，-4），綜上，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，4）或（-6，-4）．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，直線的交點(diǎn)以及三角形的面積等，分類討論思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．6．（2021·江蘇鹽城·一模）如圖，拋物線交軸于、兩點(diǎn)，其中點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖①，連接，點(diǎn)在拋物線上，且滿足．求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖②，點(diǎn)為軸下方拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線對稱軸與軸的交點(diǎn)，直線、分別交拋物線的對稱軸于點(diǎn)、．請問是否為定值？如果是，請求出這個(gè)定值；如果不是，請說明理由．【答案】（1）（2）或（3）為定值，定值為8．【分析】（1）把點(diǎn)、坐標(biāo)代入拋物線解析式即求得、的值．（2）點(diǎn)可以在軸上方或下方，需分類討論．①若點(diǎn)在軸下方，延長到，使構(gòu)造等腰，作中點(diǎn)，即有，利用的三角函數(shù)值，求、的長，進(jìn)而求得的坐標(biāo)，求得直線的解析式后與拋物線解析式聯(lián)立，即求出點(diǎn)坐標(biāo)．②若點(diǎn)在軸上方，根據(jù)對稱性，一定經(jīng)過點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，求得直線的解析式后與拋物線解析式聯(lián)立，即求出點(diǎn)坐標(biāo)．（3）設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，用表示直線、的解析式，把分別代入即求得點(diǎn)、的縱坐標(biāo)，再求、的長，即得到為定值．【詳解】（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，．∴，解得：．∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．（2）①若點(diǎn)在軸下方，如圖1，延長到，使，過點(diǎn)作軸，連接，作中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．∵當(dāng)，解得：，∴∵，，∴，，，，∴中，，，∵，為中點(diǎn)，∴，，∴，即，∵，∴，∴中，，，∴，∴.∵，∴，∴中，，，.∴，，∴，，即，設(shè)直線解析式為，∴，解得：，∴直線：.∵，解得：（即點(diǎn)），，∴.②若點(diǎn)在軸上方，如圖2，在上截取，則與關(guān)于軸對稱，∴，設(shè)直線解析式為，∴，解得：，∴直線：.∵，解得：（即點(diǎn)），，∴.綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．（3）為定值.∵拋物線的對稱軸為：直線，∴，，設(shè)，設(shè)直線解析式為，∴，解得：，∴直線：，當(dāng)時(shí)，，∴，設(shè)直線解析式為，∴，解得：，∴直線：，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，為定值．【點(diǎn)睛】本題考查了求二次函數(shù)解析式、求一次函數(shù)解析式，解一元二次方程、二元一次方程組，等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用．解題關(guān)鍵在于第（2）題由于不確定點(diǎn)位置需分類討論；（2）（3）計(jì)算量較大，應(yīng)認(rèn)真理清線段之間的關(guān)系再進(jìn)行計(jì)算．7．（2021·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，和，請按下列要求畫圖并填空．（1）平移線段，使點(diǎn)平移到點(diǎn)，畫出平移后所得的線段，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)為______；（2）將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后所得的線段，并直接寫出的值為______；（3）在軸上找出點(diǎn)，使的周長最小，并直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)為______．【答案】（1）（2，-4）

（2）

（3）（0,4）【分析】（1）平移線段AB，使A點(diǎn)平移到C點(diǎn)，可以知道A點(diǎn)是向右平移5個(gè)單位，向下平移5個(gè)單位，故可以確定D點(diǎn)坐標(biāo)．（2）根據(jù)B、C、E三點(diǎn)坐標(biāo)，連接BE，可以判斷出△BCE為直角三角形，故可求解的值．（3）過A點(diǎn)做y軸的對稱點(diǎn)A’，連接A’B，與y軸的交點(diǎn)即為F點(diǎn)．此時(shí)△ABF的周長最小，通過求解函數(shù)解析式確認(rèn)點(diǎn)Ｆ的坐標(biāo)．【詳解】解：(1)如圖所示：平移線段AB，使A點(diǎn)平移到C點(diǎn)，可以知道A點(diǎn)是向右平移5個(gè)單位，再向下平移5個(gè)單位，根據(jù)題意可知，B點(diǎn)(-3,1)平移到D點(diǎn)，故可以確定點(diǎn)D的坐標(biāo)．點(diǎn)D的坐標(biāo)為；(2)如圖所示：根據(jù)題意，AE是線段AB圍繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，故AB=AE，不難算出點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3,3)．連接BE，根據(jù)B、C、E三點(diǎn)坐標(biāo)算出BC=、EC=、BE=，故,可以判斷出△BEC為直角三角形．故(3)如圖所示：過A點(diǎn)做y軸的對稱點(diǎn)A’，連接A’B，與y軸的交點(diǎn)即為F點(diǎn)．故可知A’的坐標(biāo)為(1,5)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-3,1),設(shè)A’B的函數(shù)解析式為y=kx+b，將(1,5)，(-3,1)代入函數(shù)解析中解得k=1，b=4，則函數(shù)解析式為y=x+4,則F點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4),故點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,4)．【點(diǎn)睛】（1）本題主要考查平移，洞察點(diǎn)A是如何平移到點(diǎn)C，是求出D點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)鍵．（2）連接BE，根據(jù)B、C、E三點(diǎn)坐標(biāo)判斷出△BCE是直角三角形，就不難算出的值．（3）本題通過做A點(diǎn)的對稱點(diǎn)A’，連接A’B，找到A’B與y軸的交點(diǎn)F是解答本題的關(guān)鍵．8．（2022·江蘇徐州·一模）如圖，已知拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)若過點(diǎn)的直線交線段于點(diǎn)，且，求的正切值；(3)若點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在軸上，當(dāng)以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)6(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，或，或，【分析】（1）將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即可求解；（2）根據(jù)面積比求出AE的長度，進(jìn)而得到OE的長度，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用銳角三角函數(shù)的定義求解；（3）根據(jù)二次函數(shù)解析式求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，分兩種情況：當(dāng)四邊形DCQP為平行四邊形時(shí)；當(dāng)四邊形DCQP為平行四邊形時(shí)來求解．（1）解：將，，代入解析式中，則有：，解得：．拋物線的解析式為：．（2）解：，．．．．點(diǎn)的坐標(biāo)為，．又點(diǎn)的坐標(biāo)為．在中，，，.（3）解：點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，或，或，．理由：，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．①當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，四邊形為平行四邊形，，．，即．．令，則．，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，．②當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，四邊形為平行四邊形，，．，即．，令，則．．點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，．綜上所述，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，或，或，．【點(diǎn)睛】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，平行四邊形的性質(zhì)，理解相關(guān)知識是解答關(guān)鍵．9．（2022·江蘇·江陰市周莊中學(xué)一模）如圖，在Rt中，，是的平分線，以為直徑的交邊于點(diǎn)E，連接，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)F．（1）求證：是的切線；（2）若，，求線段的長．【答案】（1）證明見詳解；（2）．【分析】（1）先根據(jù)圓周角定理、角平分線定義、平行線性質(zhì)證明∠EAD=∠FDE，再根據(jù)AD為直徑，得到∠ADE+∠DAE=90°，進(jìn)而得到AD⊥FD，問題得證；（2）先求出DE=3，證明△AED≌△ACD，得到DE=DC=3，BC=BD+CD=8，解Rt中求出AC=6，進(jìn)而得到AE=6，求出,證明△ADE∽△AFD，得到，即可求出．【詳解】解：（1）證明：連接DE，∵∴∠CAD=∠CED，∵是的平分線，∴∠CAD=∠EAD，∴∠CED=∠EAD，∵，∴∠CED=∠FDE，∴∠EAD=∠FDE，∵AD為直徑，∴∠AED=∠ACD=90°，∴∠ADE+∠DAE=90°，∴∠ADE+∠FDE=90°，即AD⊥FD，又∵為直徑，∴是的切線；（2）∵∠AED=90°，∴∠BED=90°，∴,∵∠AED=∠ACD，∠DAE=∠DAC，AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴DE=DC=3，∴BC=BD+CD=8，在Rt中，∵，∴設(shè)AC=3x，AB=5x，∴，∵x＞0，∴x=2，∴AB=5x=10，AC=3x=6，∵△AED≌△ACD，∴AE=AC=6，∴在Rt△ADE中，,∵∠EAD=∠DAF，∠AED=∠ADF=90°，∴△ADE∽△AFD，∴，即,∴．【點(diǎn)睛】本題為圓的綜合題，考查了切線的判定，圓的性質(zhì)，三角函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)題意添加輔助線，熟知圓的性質(zhì)，利用三角函數(shù)解直角三角形是解題關(guān)鍵．【易錯(cuò)】一．選擇題（共1小題）1．（2022秋?惠山區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是角平分線AD、BE的交點(diǎn)，若AB＝AC＝10，BC＝12，則tan∠OBD的值是（）A． B．2 C． D．【分析】∠OBD放在Rt△OBD中利用三角函數(shù)定義即可求．【解答】解：如圖：作OF⊥AB于F，∵AB＝AC，AD平分∠BAC．∴∠ODB＝90°．BD＝CD＝6．∴根據(jù)勾股定理得：AD＝＝8．∵BE平分∠ABC．∴OF＝OD，BF＝BD＝6，AF＝10﹣6＝4．設(shè)OD＝OF＝x，則AO＝8﹣x，在Rt△AOF中，根據(jù)勾股定理得：（8﹣x）2＝x2+42．∴x＝3．∴OD＝3．在Rt△OBD中，tan∠OBD＝＝＝．法二：在求出AF＝4后∵tan∠BAD＝＝．∴＝．∴OF＝3．∴OD＝OF＝3．∴tan∠OBD＝＝．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查勾股定理，角平分線性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義，構(gòu)造直角三角形求線段的長是求解本題的關(guān)鍵．二．填空題（共4小題）2．（2022春?泰興市校級月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C對邊，若3a＝4b，則sinB的值是．【分析】令b＝3x，則a＝4x，由勾股定理可得c＝5x，依據(jù)正弦的定義即可得到sinB的值．【解答】解：因?yàn)樵赗t△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C對邊，令b＝3x，則a＝4x，由勾股定理可得c＝5x，所以sinB＝＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，解答本題的關(guān)鍵是掌握：銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦．3．（2022?鐘樓區(qū)校級模擬）已知sinθ＝，則銳角θ＝60°．【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵sinθ＝，∴銳角θ＝60°，故答案為：60°．【點(diǎn)評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．4．（2022?寶應(yīng)縣一模）如圖，某超市在一樓至二樓之間安裝有電梯，天花板與地面平行．請你根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計(jì)算回答，電梯最大通行高度BC為2.04m．（參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）【分析】根據(jù)題意可得∠CAB＝27°，然后在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BC的長，即可解答．【解答】解：由題意得：∠CAB＝27°，在Rt△ABC中，AC＝4m，∴BC＝AC?tan27°≈4×0.51＝2.04（m），∴電梯最大通行高度BC為2.04m，故答案為：2.04．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．5．（2022?泗陽縣一模）在銳角△ABC中，AB＝8，∠B＝60°，AC＝7，∠C＝α．則cosα＝．【分析】過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，在Rt△ABD中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出BD，AD的長，再在Rt△ADC中，利用勾股定理求出CD的長，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，在Rt△ABD中，∠B＝60°，AB＝8，∴AD＝AB?sin60°＝8×＝4，BD＝AB?cos60°＝8×＝4，在Rt△ADC中，AC＝7，∴CD＝＝＝1，∴cosC＝＝，∴cosα＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形，勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共13小題）6．（2022?宜興市校級二模）計(jì)算：（1）（）﹣1+sin30°﹣（1﹣π）0．（2）a（2﹣a）+（a+1）（a﹣1）．【分析】（1）先化簡各式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）先去括號，再合并同類項(xiàng)，即可解答．【解答】解：（1）（）﹣1+sin30°﹣（1﹣π）0＝2+﹣1＝；（2）a（2﹣a）+（a+1）（a﹣1）＝2a﹣a2+a2﹣1＝2a﹣1．【點(diǎn)評】本題考查了零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，整式的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．7．（1）計(jì)算：﹣|﹣|+（﹣2）﹣1﹣3tan45°；（2）化簡：（a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）．【分析】（1）先化簡各式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）先去括號，再合并同類項(xiàng)，即可解答．【解答】解：（1）﹣|﹣|+（﹣2）﹣1﹣3tan45°＝﹣+（﹣）﹣3×1＝﹣1﹣3＝﹣4；（2）（a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）＝a2+2ab+b2﹣4a2+b2＝﹣3a2+2ab+2b2．【點(diǎn)評】本題考查了絕對值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，整式的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．8．（2022?洪澤區(qū)一模）如圖，一條河的兩岸平行，小剛在A點(diǎn)處觀測河對岸C點(diǎn)的一棵樹，測得∠CAE＝60°；他沿河岸走了30米到達(dá)B點(diǎn)，此時(shí)觀測河對岸D點(diǎn)的另一棵樹，測得∠DBE＝45°，已知河寬50米，求兩棵樹之間的距離．（結(jié)果保留根號）【分析】過點(diǎn)C作CM⊥AE，垂足為E，過點(diǎn)D作DN⊥AE，垂足為E，根據(jù)題意可得CM＝DN＝50米，CD＝MN，然后在Rt△ACM中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AM的長，再在Rt△BND中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BN的長，從而求出AN的長，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：過點(diǎn)C作CM⊥AE，垂足為E，過點(diǎn)D作DN⊥AE，垂足為E，則CM＝DN＝50米，CD＝MN，在Rt△ACM中，∠CAE＝60°，∴AM＝＝＝（米），在Rt△BND中，∠DBE＝45°，∴BN＝＝50（米），∵AB＝30米，∴AN＝AB+BN＝30+50＝80（米），∴CD＝MN＝AN﹣AM＝（80﹣）米，∴兩棵樹之間的距離為（80﹣）米．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．9．（2022?如皋市一模）人字折疊梯完全打開后如圖1所示，B，C是折疊梯的兩個(gè)著地點(diǎn)，D是折疊梯最高級踏板的固定點(diǎn)．圖2是它的示意圖，已知AB＝AC，BD＝140cm，∠BAC＝42°，求點(diǎn)D離地面的高DE．（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin69°≈0.93，cos69°≈0.36，tan69°≈2.61）【分析】先利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠B的度數(shù)，再在Rt△DEB中，利用銳角三角函數(shù)的定義，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝42°，∴∠B＝∠C＝69°，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，在Rt△DEB中，DB＝140cm，∴DE＝DB?sin69°≈140×0.93≈130（cm），∴點(diǎn)D離地面的高DE約為130cm．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．10．（2022?淮安）如圖，湖邊A、B兩點(diǎn)由兩段筆直的觀景棧道AC和CB相連．為了計(jì)算A、B兩點(diǎn)之間的距離，經(jīng)測量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝58°，AC＝80米，求A、B兩點(diǎn)之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）【分析】通過作高，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系，列方程求解即可．【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，在Rt△ACD中，∵∠DAC＝37°，AC＝80米，∴sin∠DAC＝，cos∠DAC＝，∴CD＝AC?sin37°≈80×0.60＝48（米），AD＝AC?cos37°≈80×0.80＝64（米），在Rt△BCD中，∵∠CBD＝58°，CD＝48米，∴tan∠CBD＝，∴BD＝≈＝30（米），∴AB＝AD+BD＝64+30＝94（米）．答：A、B兩點(diǎn)之間的距離約為94米．【點(diǎn)評】本題考查直角三角形的邊角關(guān)系，掌握直角三角形的邊角關(guān)系，即銳角三角函數(shù)，是正確解答的前提，通過作輔助線構(gòu)造直角三角形是常用的方法．11．（2022?泰州）小強(qiáng)在物理課上學(xué)過平面鏡成像知識后，在老師的帶領(lǐng)下到某廠房做驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)．如圖，老師在該廠房頂部安裝一平面鏡MN，MN與墻面AB所成的角∠MNB＝118°，廠房高AB＝8m，房頂AM與水平地面平行，小強(qiáng)在點(diǎn)M的正下方C處從平面鏡觀察，能看到的水平地面上最遠(yuǎn)處D到他的距離CD是多少？（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）【分析】連接MC，過點(diǎn)M作HM⊥NM，根據(jù)題意可得∠DMC＝2∠CMH，∠MCD＝∠HMN＝90°，AB＝MC＝8m，AB∥MC，從而利用平行線的性質(zhì)求出∠CMN＝62°，進(jìn)而求出∠CMH＝28°，然后在Rt△CMD中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：連接MC，過點(diǎn)M作HM⊥NM，由題意得：∠DMC＝2∠CMH，∠MCD＝∠HMN＝90°，AB＝MC＝8m，AB∥MC，∴∠CMN＝180°﹣∠MNB＝180°﹣118°＝62°，∴∠CMH＝∠HMN﹣∠CMN＝28°，∴∠DMC＝2∠CMH＝56°，在Rt△CMD中，CD＝CM?tan56°≈8×1.48≈11.8（米），∴能看到的水平地面上最遠(yuǎn)處D到他的距離CD約為11.8米．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．12．（2022?高新區(qū)二模）圖①是某車站的一組智能通道閘機(jī)，當(dāng)行人通過時(shí)智能閘機(jī)會自動(dòng)識別行人身份，識別成功后，兩側(cè)的圓弧翼閘會收回到兩側(cè)閘機(jī)箱內(nèi)，這時(shí)行人即可通過．圖②是兩圓弧翼展開時(shí)的截面圖，扇形BAC和EDF是閘機(jī)的“圓弧翼”，兩圓弧翼成軸對稱，BC和EF均垂直于地面，閘機(jī)通道的寬度（即BC與EF之間的距離）是66.4cm，半徑BA＝ED＝60cm，點(diǎn)A與點(diǎn)D在同一水平線上，且它們之間的距離為10cm．（1）求閘機(jī)的“兩圓弧翼扇形”展開最大時(shí)的圓心角的度數(shù)（即∠ABC或∠DEF的度數(shù)）；參考數(shù)據(jù)：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53，sin33°≈0.55，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65（2）經(jīng)實(shí)踐調(diào)查，一個(gè)智能閘機(jī)的平均檢票速度是一個(gè)人工檢票口平均檢票速度的2倍，300人的團(tuán)隊(duì)通過一個(gè)智能閘機(jī)口比通過一個(gè)人工檢票口可節(jié)約5分鐘，求一個(gè)智能閘機(jī)平均每分鐘檢票通過的人數(shù)和一個(gè)人工撿票口平均每分鐘檢票人數(shù)．【分析】（1）連接AD，并向兩方延長分別交BC，EF于點(diǎn)M，N，根據(jù)題意可得MN⊥BC，MN⊥EF，MN＝66.4cm，AD＝10cm，AM＝DN＝28.2cm，然后在Rt△ABM中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）設(shè)一個(gè)人工檢票口平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為x人，則一個(gè)智能閘機(jī)平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為2x人，根據(jù)題意可得﹣5＝，然后按照解分式方程的步驟進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）連接AD，并向兩方延長分別交BC，EF于點(diǎn)M，N，由題意得：MN⊥BC，MN⊥EF，AM＝DN，∵M(jìn)N＝66.4cm，AD＝10cm，∴AM＝DN＝（MN﹣AD）＝28.2（cm），在Rt△ABM中，AB＝60cm，∴sin∠ABM＝＝＝0.47，∴∠ABM＝28°，∴閘機(jī)的“兩圓弧翼扇形”展開最大時(shí)的圓心角的度數(shù)為28°；（2）設(shè)一個(gè)人工檢票口平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為x人，則一個(gè)智能閘機(jī)平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為2x人，由題意得：﹣5＝，解得：x＝30，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝30是原方程的根，當(dāng)x＝30時(shí)，2x＝60，答：一個(gè)智能閘機(jī)平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為60人，一個(gè)人工檢票口平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為30人．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．13．（2022?玄武區(qū)一模）如圖①，某款線上教學(xué)設(shè)備由底座，支撐臂AB，連桿BC，懸臂CD和安裝在D處的攝像頭組成．如圖②是該款設(shè)備放置在水平桌面l上的示意圖．已知支撐臂AB⊥l，AB＝15cm，BC＝30cm，測量得∠ABC＝148°，∠BCD＝28°，AE＝9cm．求攝像頭到桌面l的距離DE的長（結(jié)果精確到0.1cm）．（參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73）【分析】過點(diǎn)C作CF⊥l，垂足為F，過點(diǎn)B作BN⊥CF，垂足為N，過點(diǎn)D作DM⊥CF，垂足為M，設(shè)DM與BC交于點(diǎn)G，根據(jù)題意可得FN＝AB＝15cm，BN＝AF，DM＝EF，DE＝MF，∠ABN＝90°，DM∥BN，從而求出∠CBN＝58°，進(jìn)而求出∠CDM＝∠CGM﹣∠DCB＝30°，然后先在Rt△CBN中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BN，CN的長，從而求出EF，DM的長，再在Rt△CDM中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CM的長，從而求出MN的長，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：過點(diǎn)C作CF⊥l，垂足為F，過點(diǎn)B作BN⊥CF，垂足為N，過點(diǎn)D作DM⊥CF，垂足為M，設(shè)DM與BC交于點(diǎn)G，則FN＝AB＝15cm，BN＝AF，DM＝EF，DE＝MF，∠ABN＝90°，DM∥BN，∵∠ABC＝148°，∴∠CBN＝∠ABC﹣∠ABN＝148°﹣90°＝58°，在Rt△CBN中，BC＝30cm，∴CN＝30?sin58°≈30×0.85＝25.5（cm），BN＝30?cos58°≈30×0.53＝15.9（cm），∴AF＝BN＝15.9cm，∴DM＝EF＝AE+AF＝9+15.9＝24.9（cm），∵DM∥BN，∴∠CGM＝∠CBN＝58°，∴∠CDM＝∠CGM﹣∠DCB＝58°﹣28°＝30°，在Rt△CDM中，CM＝DM?tan30°＝×24.9≈14.36（cm），∴MN＝CN﹣CM＝25.5﹣14.36＝11.14（cm），∴MF＝MN+NF＝11.14+15≈26.1（cm），∴DE＝MF＝26.1cm，∴攝像頭到桌面l的距離DE的長約為26.1cm．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．14．（2022?天寧區(qū)模擬）常州市某校數(shù)學(xué)興趣小組借助無人機(jī)測量一條河流的寬度CD．如圖所示，一架水平飛行的無人機(jī)在A處測得正前方河流的左岸C處的俯角為α，無人機(jī)沿水平線AF方向繼續(xù)飛行25米至B處，測得正前方河流右岸D處的俯角為30°．線段AM的長為無人機(jī)距地面的垂直高度，點(diǎn)M、C、D在同一條直線上．其中tanα＝2，MC＝米．（1）求無人機(jī)的飛行高度AM；（結(jié)果保留根號）（2）求河流的寬度CD．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）【分析】（1）根據(jù)題意可得AF∥DM，從而可得∠ACM＝α，然后在Rt△AMC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AM的長，即可解答；（2）過點(diǎn)B作BN⊥DM，垂足為N，根據(jù)題意可得AB＝MN＝25米，AM＝BN＝50米，∠BDC＝30°，然后在Rt△BDN中，利用銳角三角函數(shù)定義求出DN的長，從而求出DM的長，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）由題意得：AF∥DM，∴∠ACM＝∠FAC＝α，在Rt△AMC中，MC＝米，tanα＝2，∴AM＝MC?tan∠ACM＝25×2＝50（米），∴無人機(jī)的飛行高度AM為50米；（2）過點(diǎn)B作BN⊥DM，垂足為N，則AB＝MN＝25米，AM＝BN＝50米，∵AF∥DM，∴∠FBD＝∠BDC＝30°，在Rt△BDN中，DN＝＝＝150（米），∴DM＝MN+DN＝150+25＝175（米），∴CD＝DM﹣MC＝175﹣25≈132（米），∴河流的寬度CD約為132米．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．15．（2022?邳州市一模）如圖1是一臺手機(jī)支架，圖2是其側(cè)面示意圖，AB，BC可分別繞點(diǎn)A，B轉(zhuǎn)動(dòng)，測量知BC＝10cm，AB＝20cm．當(dāng)AB，BC轉(zhuǎn)動(dòng)到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°時(shí)，求點(diǎn)C到AE的距離．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，）【分析】過點(diǎn)B作BM⊥AE，垂足為M，過點(diǎn)C作CN⊥AE，垂足為N，過點(diǎn)C作CD⊥BM，垂足為D，從而可得四邊形MNCD是矩形，進(jìn)而可得DM＝CN，先在RtABM中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BM的長，并且可以求出∠ABM＝30°，從而求出∠CBD＝20°，進(jìn)而求出∠BCD＝70°，然后在Rt△BCD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BD的長，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：過點(diǎn)B作BM⊥AE，垂足為M，過點(diǎn)C作CN⊥AE，垂足為N，過點(diǎn)C作CD⊥BM，垂足為D，∴∠AMB＝∠BME＝∠CNM＝∠CDM＝∠CDB＝90°，∴四邊形MNCD是矩形，∴DM＝CN，在RtABM中，∠BAE＝60°，AB＝20cm，∴∠ABM＝90°﹣∠BAE＝30°，BM＝AB?sin60°＝20×＝10（cm），∵∠ABC＝50°，∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABM＝20°，∴∠BCD＝90°﹣∠CBD＝70°，在Rt△BCD中，BC＝10cm，∴BD＝BC?sin70°≈10×0.94＝9.4（cm），∴DM＝BM﹣BD＝10﹣9.4≈7.9（cm），∴DM＝CN＝7.9cm，∴點(diǎn)C到AE的距離為7.9cm．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．16．（2022?高郵市模擬）如圖1，某商場門口放置一臺可伸縮的測溫儀，底座AB與地面垂直，底座高AB＝30cm，連桿BC＝CD＝80cm，BC、CD與AB始終在同一平面內(nèi)．（1）如圖2，轉(zhuǎn)動(dòng)連桿CD使∠BCD成平角，轉(zhuǎn)動(dòng)連桿BC使∠ABC＝145°，求連桿CD的端點(diǎn)D離地面的高度DE．（2）如圖3，將圖2中的連桿BC固定，把連桿CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)20°，此時(shí)連桿端點(diǎn)D離地面l的高度減小了多少？（參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）【分析】（1）過點(diǎn)B作BF⊥DE，垂足為F，根據(jù)題意可得AB＝EF＝30cm，∠DFB＝∠ABF＝90°，從而求出∠DBF＝55°，進(jìn)而求出∠D＝35°，然后在Rt△BDF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DF的長，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）如圖2：過點(diǎn)C作CM⊥DE，垂足為M，在Rt△DMC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DM的長，如圖3：過點(diǎn)D作DG⊥l，垂足為G，過點(diǎn)C作CN⊥DG，垂足為N，根據(jù)題意可得∠DCN＝35°，然后在Rt△DNC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DN的長，最后計(jì)算DM﹣DN的值，即可解答．【解答】解：（1）過點(diǎn)B作BF⊥DE，垂足為F，則AB＝EF＝30cm，∠DFB＝∠ABF＝90°，∵∠ABC＝145°，∴∠DBF＝∠ABC﹣∠ABF＝55°，∴∠D＝90°﹣∠DBF＝35°，∵BC＝CD＝80cm，∴BD＝DC+CB＝160（cm），在Rt△BDF中，DF＝DB?cos35°≈160×0.8＝128（cm），∴DE＝DF+EF＝128+30＝158（cm），∴連桿CD的端點(diǎn)D離地面的高度DE為158cm；（2）如圖2：過點(diǎn)C作CM⊥DE，垂足為M，在Rt△DMC中，DC＝80cm，∠D＝35°，∴∠DCM＝90°﹣∠D＝55°，DM＝CD?cos35°≈80×0.8＝64（cm），如圖3：過點(diǎn)D作DG⊥l，垂足為G，過點(diǎn)C作CN⊥DG，垂足為N，由題意得：∠DCN＝55°﹣20°＝35°，∴在Rt△DNC中，DC＝80cm，∴DN＝DC?sin35°＝80×0.6＝48（cm），∴DM﹣DN＝64﹣48＝16（cm），∴連桿端點(diǎn)D離地面l的高度減小了16cm．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．17．（2022?宿豫區(qū)二模）圖1是疫情期間測溫員用“額溫槍”對學(xué)生測溫時(shí)的實(shí)景圖，圖2是其側(cè)面示意圖，其中槍柄BC與手臂MC始終在同一直線上，槍身BA與額頭保持垂直，量得胳膊MN＝30cm，MB＝44cm，肘關(guān)節(jié)M與槍身端點(diǎn)A之間的水平寬度為26.1cm（即MP的長度），∠ABM＝113.6°．（1）求槍身BA的長度；（2）測溫時(shí)規(guī)定槍身端點(diǎn)A與額頭距離范圍為3cm～5cm．在圖2中，若測得∠BMN＝68.6°，學(xué)生與測溫員之間距離為50cm．問此時(shí)槍身端點(diǎn)A與學(xué)生額頭的距離是否在規(guī)定范圍內(nèi)？并說明理由．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）（參考數(shù)據(jù)sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.4，tan66.4°≈2.29，）【分析】（1）過點(diǎn)B作BH⊥MQ，垂足為H，則BA＝HP，AB∥MQ，利用平行線的性質(zhì)可得∠BMH＝66.4°，然后在Rt△BMH中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出MH的長，從而求出HP的長，即可解答；（2）延長QM交FG于點(diǎn)K，則KQ＝50cm，∠NKM＝90°，利用平角定義先求出∠NMK的度數(shù)，再在Rt△NMK中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出KM的長，從而求出PQ的長，進(jìn)行比較即可解答．【解答】解：（1）過點(diǎn)B作BH⊥MQ，垂足為H，則BA＝HP，AB∥MQ，∵∠ABM＝113.6°，∴∠BMH＝180°﹣∠ABM＝66.4°，在Rt△BMH中，∠BMH＝66.4°，BM＝44cm，∴MH＝BM?cos66.4°≈44×0.4＝17.6（cm），∵M(jìn)P＝26.1cm，∴BA＝HP＝MP﹣MH＝26.1﹣17.6＝8.5（cm），∴槍身BA的長度約為8.5cm；（2）此時(shí)槍身端點(diǎn)A與學(xué)生額頭的距離不在規(guī)定范圍內(nèi)，理由：延長QM交FG于點(diǎn)K，則KQ＝50cm，∠NKM＝90°，∵∠BMN＝68.6°，∠BMH＝66.4°，∴∠NMK＝180°﹣∠BMN﹣∠BMH＝45°，在Rt△MNK中，MN＝30cm，∴KM＝MN?cos45°＝30×＝15（cm），∵KQ＝50cm，∴PQ＝KQ﹣KM﹣MP＝50﹣15﹣26.1≈2.7（cm），∵測溫時(shí)規(guī)定槍身端點(diǎn)A與額頭距離范圍為3cm～5cm，∴此時(shí)槍身端點(diǎn)A與學(xué)生額頭的距離不在規(guī)定范圍內(nèi)．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．18．（2022?秦淮區(qū)二模）如圖，一條寬為0.5km的河的兩岸PQ，MN互相平行，河上有兩座垂直于河岸的橋CD，EF．測得公路AC的長為6km，公路AC，AE與河岸PQ的夾角分別為45°，71.6°，公路BD，BF與河岸MN的夾角分別為60°，30°．（1）求兩座橋CD，EF之間的距離（精確到0.1km）；（2）比較路徑①：A﹣C﹣D﹣B和路徑②：A﹣E﹣F﹣B的長短，則較短路徑為①（填序號），兩路徑相差0.5km（精確到0.1km）．（參考數(shù)據(jù)：tan71.6°≈3.0，≈1.41，≈1.73，≈2.24．）【分析】（1）過點(diǎn)A作AG⊥PQ，垂足為G，在Rt△ACG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AG，CG的長，再在Rt△AEG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出EG的長，進(jìn)行計(jì)算可求出CE的長，即可解答；（2）過點(diǎn)B作BH⊥PQ，垂足為Q，根據(jù)題意得：CE＝DF＝2km，根據(jù)三角形的外角可得∠FBD＝30°，從而可得BD＝DF＝2km，然后在Rt△BHD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BH的長，從而在Rt△BHF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BF的長，然后再在Rt△AEG中，利用勾股定理求出AE的長，最后分別計(jì)算出路徑①和路徑②的長，即可解答．【解答】解：（1）過點(diǎn)A作AG⊥PQ，垂足為G，在Rt△ACG中，AC＝6km，∠ACG＝45°，∴AG＝AC?sin45°＝6×＝3（km），CG＝AC?cos45°＝6×＝3（km），在Rt△AEG中，∠AEG＝71.6°，∴EG＝≈＝（cm），∴CE＝CG﹣EG＝3﹣＝2≈2.8（km），∴兩座橋CD，EF之間的距離約為2.8km；（2）過點(diǎn)B作BH⊥PQ，垂足為Q，由題意得：CE＝DF＝2km，∵∠BDH是△BDF的一個(gè)外角，∴∠FBD＝∠BDH﹣∠BFD＝30°，∴∠BFD＝∠DBF＝30°，∴DB＝DF＝2km，在Rt△BHD中，∠BDH＝60°，∴BH＝BD?sin60°＝2×＝，∴BF＝2BH＝2（km），在Rt△AEG中，AE＝＝＝2，∴路徑①的長＝AC+CD+BD＝6+0.5+2≈9.32（km），路徑②的長＝AE+EF+BF＝2+0.5+2≈9.86（km），9.86﹣9.32≈0.5（km），∴較短路徑為：①，兩路徑相差0.5km，故答案為：①，0.5．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【壓軸】一、填空題1．（2022·江蘇·南京鐘英中學(xué)九年級階段練習(xí)）是邊長為5的等邊三角形，是邊長為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點(diǎn)F．如圖，將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)1周，在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF長度的最小值是___________．【答案】##【分析】先證明，如圖，設(shè)交于點(diǎn)T．證明，推出點(diǎn)F在的外接圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)最小時(shí)，的值最小，此時(shí)，求出可得結(jié)論．【詳解】解：∵都是等邊三角形，∴，∴，在和中，，∴，如圖，設(shè)交于點(diǎn)T．∵，∴，∵，∴，∴點(diǎn)F在的外接圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)最小時(shí)，的值最小，此時(shí)，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴的最小值，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，同弧所對的圓周角相等，解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．2．（2022·江蘇·鹽城市大豐區(qū)實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)益民路分校九年級階段練習(xí)）如圖1，它是一個(gè)幾何探究工具，其中△ABC內(nèi)接于⊙G，AB是⊙G的直徑，AB=4，AC=2，現(xiàn)將制作的幾何探究工具放在平面直角坐標(biāo)系中（如圖2），然后點(diǎn)A在x軸上由點(diǎn)O開始向右滑動(dòng)，點(diǎn)B在y軸上也隨之向點(diǎn)O滑動(dòng)（如圖3），并且保持點(diǎn)O在⊙G上，當(dāng)點(diǎn)B滑動(dòng)至與點(diǎn)O重合時(shí)運(yùn)動(dòng)結(jié)束、在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路程是_____．【答案】【分析】由于在運(yùn)動(dòng)過程中，原點(diǎn)O始終在⊙G上，則弧AC的長保持不變，弧AC所對應(yīng)的圓周角∠AOC保持不變，等于∠XOC，故點(diǎn)C在與x軸夾角為∠ABC的射線上運(yùn)動(dòng)．頂點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)是一條線段，且點(diǎn)C移動(dòng)到圖中C2位置最遠(yuǎn)，然后又慢慢移動(dòng)到C3結(jié)束，點(diǎn)C經(jīng)過的路程應(yīng)是線段C1C2+C2C3．【詳解】解：如圖3，連接OG．∵∠AOB是直角，G為AB中點(diǎn)，∴GO=AB=半徑，∴原點(diǎn)O始終在⊙G上．∵∠ACB=90°，AB=4，AC=2，∴BC=，連接OC，則∠AOC=∠ABC，∴tan∠AOC=，∴點(diǎn)C在與x軸夾角為∠AOC的射線上運(yùn)動(dòng)．如圖4，C1C2=OC2-OC1=4-2=2；如圖5，C2C3=OC2-OC3=；∴總路徑為：C1C2+C2C3==，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是會靈活的運(yùn)用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點(diǎn)的意義求出相應(yīng)的線段的長度或表示線段的長度，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．二、解答題3．（2022·江蘇·建湖縣匯杰初級中學(xué)三模）小華同學(xué)利用折紙?zhí)骄繄D形折疊過程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理，點(diǎn)為矩形紙片邊上一點(diǎn)，小華將沿著折疊至，已知，請你幫助小華解決下列問題：操作與實(shí)踐：如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，與交于點(diǎn)，求的面積．探究與發(fā)現(xiàn)：如圖2，當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，與交于點(diǎn)，求的長；拓展與延伸：線段、射線分別與線段交于點(diǎn)，小華在折疊的過程中發(fā)現(xiàn)的形狀隨著長度的變化而變化，當(dāng)為直角三角形時(shí)，求的長．【答案】操作與實(shí)踐：；探究與發(fā)現(xiàn)：；拓展與延伸：或【分析】操作與實(shí)踐：根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，則，則，設(shè)，則，勾股定理即可求解，求得，根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可；探究與發(fā)現(xiàn)：由折疊可知，，延長交于點(diǎn)，則，設(shè)，則，中，，得出，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，計(jì)算即可得出；拓展與延伸：分兩種情況討論，①當(dāng)，在上時(shí)，由，得出，求得，②當(dāng)時(shí)，得出，勾股定理求得，然后根據(jù)，即可求解．【詳解】操作與實(shí)踐解：∵四邊形是矩形，，∴，，∴，由折疊可知，∴∴設(shè)，則∵∴解得：即∴探究與發(fā)現(xiàn)：∵四邊形是矩形，∴，∴∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴由折疊可知，如圖，延長交于點(diǎn)，則∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，在中，，即，解得，即，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，即，解得；拓展與延伸：①當(dāng)，在上時(shí)，如圖，∵四邊形是矩形，，∴，∵，∴，∴即，∴；②當(dāng)時(shí)，如圖，∵，∴，∴，∴，∵沿著折疊至，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，綜上所述的長為或．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的折疊問題，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，正切，掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022·江蘇省錫山高級中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級期中）如圖，已知⊙M與坐標(biāo)軸分別交于，，，D，經(jīng)過點(diǎn)A的直線l與y軸交于點(diǎn)．(1)①；②點(diǎn)M的坐標(biāo)為；(2)當(dāng)直線l與⊙M相切時(shí)，求m的值；(3)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)Q為直線l（除點(diǎn)A外）上的動(dòng)點(diǎn)，且，請直接寫出滿足條件的Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【答案】(1)①1；②(2)(3)3或【分析】（1）①連接，根據(jù)題意可得，可得，再根據(jù)圓周角定理，即可求解；②連接，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)E，軸于點(diǎn)F，根據(jù)題意可得，，再由垂徑定理可得，，即可求解；（2）證明，可得，即可求解；（3）連接，延長交直線l于點(diǎn)G，根據(jù)勾股定理逆定理可得，再由圓周角定理可得，從而得到當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)Q滿足條件，再證得，可得滿足條件的點(diǎn)Q和點(diǎn)A關(guān)于直線對稱，分別求出直線和直線l的解析式，可得到點(diǎn)G的橫坐標(biāo)，即可求解．【詳解】（1）解：①如圖，連接，∵，，∴，∴，∵，∴；故答案為：1②如圖，連接，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)E，軸于點(diǎn)F，由①得：，∴，∵，，，∴，∴，，∵軸，∴，∴，同理，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為；故答案為：（2）解：如圖，∵直線l與⊙M相切，∴，∴，即，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，即；（3）解：如圖，連接，延長交直線l于點(diǎn)G，∵，∴，∴，∴，∴，∵，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)Q滿足條件，此時(shí)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為3，；當(dāng)點(diǎn)Q在直線的下方時(shí)，∵點(diǎn)，即，∴，∵，∴，∵，∴，即，∵，此時(shí)滿足條件的點(diǎn)Q和點(diǎn)A關(guān)于直線對稱，即點(diǎn)G為的中點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，把點(diǎn)代入得：，解得：，∴直線的解析式為，同理直線l的解析式為，聯(lián)立得：，解得：，即點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為，∴此時(shí)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為；綜上所述，滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為3或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解直角三角形，垂徑定理，勾股定理及其逆定理的應(yīng)用等知識，熟練掌握切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理及其逆定理的應(yīng)用等知識，并利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．5．（2022·江蘇淮安·中考真題）在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，同學(xué)們對菱形的折疊問題進(jìn)行了探究．如圖（1），在菱形中，為銳角，為中點(diǎn)，連接，將菱形沿折疊，得到四邊形，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．(1)【觀察發(fā)現(xiàn)】與的位置關(guān)系是______；(2)【思考表達(dá)】連接，判斷與是否相等，并說明理由；(3)如圖（2），延長交于點(diǎn)，連接，請?zhí)骄康亩葦?shù)，并說明理由；(4)【綜合運(yùn)用】如圖（3），當(dāng)時(shí)，連接，延長交于點(diǎn)，連接，請寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)；(2)，理由見解析；(3)，理由見解析；(4)，理由見解析．【分析】（1）利用菱形的性質(zhì)和翻折變換的性質(zhì)判斷即可；（2）連接，，由可知點(diǎn)B、、C在以為直徑,E為圓心的圓上，則，由翻折變換的性質(zhì)可得，證明，可得結(jié)論；（3）連接，，，延長至點(diǎn)H，求出，，可得，然后證明，可得，進(jìn)而得到即可解決問題．（4）延長交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，設(shè)，，解直角三角形求出，，利用勾股定理求出，然后根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)及平行線分線段成比例求出，，再根據(jù)勾股定理列式即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵在菱形中，，∴由翻折的性質(zhì)可知，，故答案為：；（2）解：，理由：如圖，連接，，∵為中點(diǎn)，∴，∴點(diǎn)B、、C在以為直徑,E為圓心的圓上，∴，∴，由翻折變換的性質(zhì)可知，∴，∴；（3）解：結(jié)論：；理由：如圖，連接，，，延長至點(diǎn)H，由翻折的性質(zhì)可知，設(shè)，，∵四邊形是菱形，

∴，，∴，∴，∴，∵，點(diǎn)B、、C在以為直徑,E為圓心的圓上，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（4）解：結(jié)論：，理由：如圖，延長交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，設(shè)，，∵，∴，∴，∴，，在中，則有，∴，∴，，∵，∴，∴，∴∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了菱形的性質(zhì)，翻折變換，圓周角定理，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考壓軸題．6．（2022·江蘇·蘇州市吳江區(qū)銅羅中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OC在x軸上，OA在y軸上，，，兩動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從O、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒個(gè)單位長度的速度沿線段OC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位長度的速度沿著線段BO向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，P、Q同時(shí)停止，設(shè)這兩個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），(1)直接寫出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；(2)當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求t的值；(3)在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在P、Q兩點(diǎn)，使得沿它的一邊翻折，翻折前后兩個(gè)三角形組成的四邊形為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，，(2)，或，(3)或或【分析】（1）由矩形的性質(zhì)和已知條件求出、即可得出、的坐標(biāo)；（2）作于，則，證出，得出對應(yīng)邊成比例，得出，由的面積，求出的值，再求出，即可得出的坐標(biāo)；（3）分三種情況：①當(dāng)時(shí)；②當(dāng)時(shí)；③時(shí)；分別得出的方程，解方程即可．【詳解】（1）解：四邊形是矩形，，，，，，，，，，；（2）作于，如圖1所示：則，，，即，，的面積，解得：或，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；點(diǎn)的坐標(biāo)為，，或，；（3）存在；分三種情況：如圖2所示：①當(dāng)時(shí)，，，由（2）得：，，，，解得：，或；②當(dāng)時(shí)，，，解得：（負(fù)值舍去），；③時(shí)，，，解得：．綜上所述：的值為或或．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算、三角函數(shù)以及坐標(biāo)與圖形特征；本題難度較大，綜合性強(qiáng)，特別是（3）中，需要通過分類討論列出方程，解方程才能得出結(jié)果．7．（2022·江蘇·鹽城市鹿鳴路初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知，如圖：正方形ABCD，，動(dòng)點(diǎn)E以個(gè)單位每秒的速度從點(diǎn)A出發(fā)向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F以2個(gè)單位每秒的速度從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BC向右運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)E、點(diǎn)F同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．連接EF，以EF為直徑作⊙O，該圓與直線AC的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)