非線性回歸模型的線性化

關(guān)于非線性回歸模型的線性化在這樣一些非線性關(guān)系中，有些可以通過代數(shù)變換變?yōu)榫€性關(guān)系處理，另一些則不能。下面我們通過一些例子來討論這個(gè)問題。2024/5/202第2頁(yè),共24頁(yè)，星期六，2024年，5月3線性模型的含義線性模型的基本形式是:

線性模型的線性包含兩重含義：（1）變量的線性變量以其原型出現(xiàn)在模型之中，而不是以或之類的函數(shù)形式出現(xiàn)在模型中。（2）參數(shù)的線性因變量Y是各參數(shù)βi的線性函數(shù)。這種模型稱為標(biāo)準(zhǔn)的線性回歸模型．第3頁(yè),共24頁(yè)，星期六，2024年，5月非線性回歸模型的分類：1雖然被解釋變量Y與解釋變量之間不存在線性關(guān)系，但與未知參數(shù)之間存在著線性關(guān)系，這種類型的非線性回歸模型被稱為非標(biāo)準(zhǔn)線性回歸模型。其一般形式為：其中是關(guān)于的p個(gè)已知的非線性函數(shù)，是（p+1）個(gè)未知參數(shù)．4第4頁(yè),共24頁(yè)，星期六，2024年，5月2雖然被解釋變量Y與解釋變量和未知參數(shù)之間不存在線性關(guān)系，但是可以通過適當(dāng)?shù)淖儞Q將其化為標(biāo)準(zhǔn)的線性回歸模型，這種類型的非線性回歸模型稱為可線性化的非線性回歸模型．如柯布－道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)模型：

3如果被解釋變量Y與解釋變量和未知參數(shù)之間都不存在線性關(guān)系，而且也不能通過適當(dāng)?shù)淖儞Q將其化為標(biāo)準(zhǔn)的線性回歸模型，這種類型的非線性回歸模型稱為不可線性化的非線性回歸模型．5第5頁(yè),共24頁(yè)，星期六，2024年，5月4.2線性化方法1、非標(biāo)準(zhǔn)線性回歸模型的線性化方法非標(biāo)準(zhǔn)線性回歸模型的線性化方法是變量替換法。非標(biāo)準(zhǔn)線性回歸模型的一般形式為：2024/5/206第6頁(yè),共24頁(yè)，星期六，2024年，5月1、非標(biāo)準(zhǔn)線性回歸模型的線性化方法非標(biāo)準(zhǔn)線性回歸模型的線性化方法是變量替換法。非標(biāo)準(zhǔn)線性回歸模型的一般形式為：

＋u令則可以把原模型轉(zhuǎn)化為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的多元線性回歸模型74.2線性化方法第7頁(yè),共24頁(yè)，星期六，2024年，5月下面介紹在經(jīng)濟(jì)問題時(shí)經(jīng)常遇到的幾種非標(biāo)準(zhǔn)線性回歸模型（1）多項(xiàng)式函數(shù)模型多項(xiàng)式函數(shù)模型的一般形式為：令則可將原模型化為標(biāo)準(zhǔn)的線性回歸模型

8第8頁(yè),共24頁(yè)，星期六，2024年，5月例：

yt=b0+b1xt+b2xt2+b3xt3+ut

令x1t=xt，x2t=xt2，x3t=xt3，上式變?yōu)?/p>

yt=b0+b1x1t+b2x2t+b3x3t+ut

這是一個(gè)三元線性回歸模型。如經(jīng)濟(jì)學(xué)中的總成本與產(chǎn)品產(chǎn)量曲線與左圖相似。(b1>0,b2>0,b3>0)

(b1<0,b2>0,b3<0)第9頁(yè),共24頁(yè)，星期六，2024年，5月例4.1：總成本與產(chǎn)品產(chǎn)量的關(guān)系（課本91頁(yè)）Ｃ＾t=2434.7+85.7

xt-0.028xt2+0.00004xt3

(1.8)(12.0)(-2.8)(9.6)R2=0.9998,N=15第10頁(yè),共24頁(yè)，星期六，2024年，5月(b1>0,b2>0)

(b1<0,b2<0另一種多項(xiàng)式方程的表達(dá)形式是yt=b0+b1xt+b2xt2+ut

令x1t=xt，x2t=xt2，上式線性化為，yt=b0+b1x1t+b2x2t+ut

如經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際成本曲線、平均成本曲線與左圖相似。第11頁(yè),共24頁(yè)，星期六，2024年，5月（2）雙曲函數(shù)模型雙曲函數(shù)模型的一般形式為：令則可將原模型化為標(biāo)準(zhǔn)的線性回歸模型12雙曲線函數(shù)還有另一種表達(dá)方式，yt=a+b/xt+ut

令xt*=1/xt，得

yt=a+bxt*+ut

上式已變換成線性回歸模型。第12頁(yè),共24頁(yè)，星期六，2024年，5月1/yt=a+b/xt

+ut

yt=a+b/xt+ut

（2）雙曲函數(shù)模型第13頁(yè),共24頁(yè)，星期六，2024年，5月（3）對(duì)數(shù)函數(shù)模型對(duì)數(shù)函數(shù)模型的一般形式為：令則可將原模型化為標(biāo)準(zhǔn)的線性回歸模型14(β>0)

(β<0)

第14頁(yè),共24頁(yè)，星期六，2024年，5月（4）、S-型曲線模型S-性曲線模型的一般形式為：首先對(duì)上式做倒數(shù)變換得：令則可將原模型化為標(biāo)準(zhǔn)的線性回歸模型15第15頁(yè),共24頁(yè)，星期六，2024年，5月2可線性化的非線性回歸模型的線性化方法

下面幾種在研究經(jīng)濟(jì)問題時(shí)經(jīng)常遇到的可線性化的非線性回歸模型（1）指數(shù)函數(shù)模型

第16頁(yè),共24頁(yè)，星期六，2024年，5月指數(shù)函數(shù)模型的一般形式為對(duì)上式兩邊取對(duì)數(shù)得到令則可將原模型化為標(biāo)準(zhǔn)的線性回歸模型；2024/5/2017（1）指數(shù)函數(shù)模型第17頁(yè),共24頁(yè)，星期六，2024年，5月（2）冪函數(shù)模型（全對(duì)數(shù)模型）冪函數(shù)模型的一般形式為：對(duì)上式兩邊取對(duì)數(shù)得到：令則可將原模型化為標(biāo)準(zhǔn)的線性回歸模型：2024/5/2018第18頁(yè),共24頁(yè)，星期六，2024年，5月對(duì)于柯布-道格拉斯（C-D）生產(chǎn)函數(shù)模型其中，Y表示產(chǎn)出量，K表示資金投入量，L表示勞動(dòng)投入量，u是隨機(jī)誤差項(xiàng)，A、和為未知參數(shù)。試?yán)锰旖蚴?980年~1996年的有關(guān)統(tǒng)計(jì)資料，估計(jì)天津市全社會(huì)的C-D生產(chǎn)函數(shù)模型。19例４.２：天津市GDP函數(shù)(教材第95頁(yè))第19頁(yè),共24頁(yè)，星期六，2024年，5月首先建立天津市的C-D生產(chǎn)函數(shù)模型i=1，2……，17兩邊取對(duì)數(shù)得到：令則可將C-D生產(chǎn)函數(shù)模型轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)的二元線性回歸模型20例４.２第20頁(yè),共24頁(yè)，星期六，2024年，5月第21頁(yè),共24頁(yè)，星期六，2024年，5月例4.2：天津市GDP函數(shù)

=-10.46+1.02X1t+1.47

X2t(-8.1)(34.7)(6.2)R2=0.9986,DW=1.7,N=17