高等數(shù)學(xué)復(fù)旦大學(xué)出版第三版課后答案習(xí)題全2

習(xí)題五

1.求下列各曲線所圍圖形的面積：

（1）），=!?與/+丁=8（兩部分都要計算）;

解:如圖。|=。2

2

解方程組p-2X得交點42,2）

/,2_o

⑴

4

?■O]+02=2兀+3~,

(4A4

。3+。4=8兀一(2兀+])=6兀一

(2)y=：與直線產(chǎn)x及x=2；

2z[、-]-23

/卜一jdx=謨2一巾]=5-ln2.

⑵

(3)y=e\y=e-"與直線x=l；

1v-t

解:D=f(e-e)dx=e+~-2.

Joe

(4)y=\nx,y軸與直線y=ln〃，y=[nh.(b>a>0)；

解：D=feydy=b—a.

'\na

(4)

(5)拋物線產(chǎn)/和y=-x'+2；

f_2

解：解方程組/1Y+2得交點(1，1)，(-1.1)

D=/(-x2+2-A：2)dx=4J*(-A2+1)dx=j.

(6)y=sinx,y=cosx及直線x=%兀；

z*5jt5ru

解：D=24(sinx-cosx)dx=2[-cosx—sinx]?=4近.

。ZE4

(6)

(7)拋物線>=-』+4*-3及其在(0,-3)和(3,0)處的切線;

解：y'=-2x+4."(0)=4,y，(3)=-2.

?拋物線在點(0,-3)處切線方程是y=4x-3

在(3,0)處的切線是y=-2x+6

兩切線交點是弓，3).故所求面積為

⑺

3

D=+4x-3)]dr+5[(-2尤+6)-(_犬+4x-3)Jdx

2

3

=j2x2d.￥+(x2-6x+9)dr

2

9

一了

(8)擺線x=4(3sinf),y=a(l-cos/)的一拱(00W2九)與二軸;

解：當(dāng)/=0時，x=0,當(dāng)/=2兀時，x=2na.

所以

f2it2m:,

S=J。處=J。"1-cosr)d?(z-sinr)

cosr)\2djr

(9)極坐標曲線p=〃sin3°；

2

_

解:D=3D1=3y3sin?3夕d°

Jo

3Q2p-1-cos6§,

—?32即

Jo

n

1.久下

夕一至sin6夕

o

兀/

(10)p=2acas(p；

解：D=2D\=212^-4n2cos2^d^

Jo

,7(工l+cos2。，

=4Q-22d(p

Jo

c=2。cos9

=41.1°+：sin2夕2■

2。

—4。"z，？—兀。*

(10)

2.求下列各曲線所圍成圖形的公共部分的面積：

(1)r=a(1+cos。)及r=2acos0;

解：由圖11知，兩曲線圍成圖形的公共部分為半徑為a的圓，故。=得2.

(11)

y

(2)7?二&cos。及/二小sin20.H=VJsin20

解：如圖⑵解方程組標票監(jiān)。

,jJ3

得cos0=0或tanO=T-,(Jr=yJ2cos0

即峙或喏

(12)

￡)=(^■?小sin20d0+『提(也cos8)~d。

6

n

n:一

'亞deri.A(S

=-4cos20+5+[sin4，

0-

6

_7￡

=6,

o

3.已知曲線/0)=尤-i與g*)=〃/圍成的圖形面積等于］,求常數(shù)

解：如圖13,解方程組秒:?：匚2得交點坐標為(0,0),(1-?,a(l-a))

-'<￡>=f1(x-x2-ax)dx

J0

巷

j)3

1Q

依題意得f(l-?)3=f

得a=-2.

(13)

4.設(shè)有一截錐體，其高為凡上、下底均為橢圓，橢圓的軸長分別為2“，2〃和2A,2B,

求這截錐體的體積。

解：如圖16建立直角坐標系,則圖中點E,。的坐標分別為：E(a,h),D(A,0),

h

于是得到EO所在的直線方程為：產(chǎn)六(xT)

(16)

對于任意的＞w[0,h],過點(0,y)且垂直于y軸的平面截該立體為一橢圓，且該橢圓

的半軸為：打=4-%)，，同理可得該橢圓的另一半軸為：尤2=8氣勺.

故該橢圓面積為

=^nh[bA+aB+2(ab+AB)]

5.計算底面是半徑為R的圓，而垂直于底面一固定直徑的所有截面都是等邊三角形的立體

體積.見圖17.

解：以底面上的固定直徑所在直線為x軸，過該直徑的中點且垂直于x軸的直線為y

軸，建立平面直角坐標系，則底面圓周的方程為：x2+y2=R2.

過區(qū)間JR,R]上任意一點x,且垂直于x軸的平面截立體的截面為一等邊三角形，若

設(shè)與x對應(yīng)的圓周上的點為(x,y),則該等邊三角形的邊長為2y,故其面積等于

4(X)=^(2?=V^2=^(R2r2)(一群於汽)

從而該立體的體積為

V=/A(x)dx=「V3(/?2-x2)dx

J-RJ-R

孥3.

6.求下列旋轉(zhuǎn)體的體積：

(1)由y=Y與y'd圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn);

■2

解：求兩曲線交點宣丫3得(0,0),(1,1)

)-X

V=nf'(x3-x4)dx

J0

(2)由y=x3,x=2,y=0所圍圖形分別繞x軸及y軸旋轉(zhuǎn);

128

解:~Tn

(2)星形線爐/3+),2/3=1/3繞》軸旋轉(zhuǎn);

解:見圖15,該曲線的參數(shù)方程是：

3

fx=tzcosr八"

]ly=asLint0</<2K,

由曲線關(guān)于1軸及y軸的對稱性，所求體積可表示為

2

Vx=2nJ^ydx

=2nJ(asin3r)2d(acos3r)

2

=6兀/2sin7rcos2/dr

o

上3

一105兀"

(15)

7.求下列曲線段的弧長:

a)y2=2x，0<JC<2；

解：見圖18,2yyf=2.y'=%

/.l+y,2=l+p-.從而

(18)

1=2fyi+y'-dx=2

=2J刊1+)，吃=2八/1+)，dy

=)N1+yZ+ln(y+Y[+)，)J。=2小+ln(2+小)

b)y=lnx,y[3<x<\!s；

解:

3

n2'

c)

(Ir.——.

解:-yj]+)/2(jx=Yl+cosxdx

=4^/2siny2=4.

o

8.設(shè)星形線的參數(shù)方程為x=acos),y=asin3r,。>0求

d)星形線所圍面積；

e)繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積；

0星形線的全長.

角牟：(1)￡>=4ydx=4j^sin3rd(?cos3/)

2

1?2仔.42.

二12〃2Sin/COStQt

J0

12〃212(sin4/-sin6r)dr=^na2.

Jo

a323

(2)VA=2TT=2冗J(sinf)d(acosf)

2

31-72

二6?！?2sinrcostdt

Jo

323

二1057m

2

(3)x/=-3〃cosrsinr

y/=3Qsinrcosr

,2,2222

xt+yt=9asin/cos/,利用曲線的對稱性,

________n

=12aJ2,^^?sin22rdz=6afsin2fdf=[3a(-cos2/)]2=6a.

9.求對數(shù)螺線r=e”相應(yīng)9=0到。="的一段弧長.

解：/二

J0

av7

10.求半徑為R,高為人的球冠的表面積.

解：0=2冗fxyj[+x,2dy

,R-h

任

=2?！癛cos0yj(Rcos0y2+(Rsind),2d3

JR-h

arcsin---

R

=2TI2R2cosGd?

JR-h

arcsin---

R

兀

=2兀R2[sin。].R—h

arcsin-------

R

=2nRh.

11.求曲線段)，=X3(04X?1)繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面的面積.

國翠：D=2TCJ*yyj1+y,2dx

=2TCfx3yl1+9x4dx

Jo

1

o4-2i

=^-3(1+9X)|O

=敘io/io-1).

12.把長為10m,寬為6m,高為5m的儲水池內(nèi)盛滿的水全部抽出，需做多少功？

解：如圖19,區(qū)間［x,x+dx］上的一個薄層水，有微體積dV=10-6?dx

pO5r

-xy

/〃〃/777777/

x+dx

5

(19)

設(shè)水的比重為1,,則將這薄水層吸出池面所作的微功為

dvv=x-60gdx=60gxdx.

于是將水全部抽出所作功為

戶“1

w=I60gxdx

Jo

5

60&2

0

=750g(KJ).

13.有一等腰梯形閘門，它的兩條底邊各長10m和6m,高為20m,較長的底邊與水面相

齊，計算閘門的一側(cè)所受的水壓力.

解：如圖20,建立坐標系，直線4B的方程為

>，=-10+5,

壓力元素為

dF=x-2ydx=2x

所求壓力為

F=J2x(-吉+5)dx(20)

孑5為_2占3]=1467(噸)=14388(KN)

14.半徑為R的球沉入水中，球的頂部與水面相切,球的密度與水相同，現(xiàn)將球從水中取

離水面，問做功多少？

解：如圖21,以切點為原點建立坐標系，則圓的方程為

(x—R尸+/=/?2將球從水中取出需作的功相應(yīng)于將［o,2R］區(qū)間上的

許多薄片都上提2R的高度時需作功的和的極限。取深度x為積分

變量，典型小薄片厚度為dr,將它由4上升到8時，在水中的行

程為無；在水上的行程為2A一院因為球的比重與水相同，所以此

薄片所受的浮力與其自身的重力之和x為零,因而該片在水中由A

上升到水面時，提升力為零，并不作功，由水面再上提到8時，

需作的功即功元素為

dw=428tk的[gy}[xx<gK+/J*.X-R22x

(21)

=戲2R-X2Rx-j^dx

所求的功為

w=f兀魴R—X2Rx-j^dx

*o

3

=?？?)Rix-RX2)4xx

2R

=同(27?2%2+；/)

4

=-兀&9).

15.設(shè)有一半徑為K,中心角為夕的圓弧形細棒，其線密度為常數(shù)p,在圓心處有一質(zhì)量

為，”的質(zhì)點，試求細棒對該質(zhì)點的引力。

解：如圖22,建立坐標系，圓弧形細棒上一小段ds對質(zhì)點N的引力的近似值即為引力元素

R2R2R

dF=dFcos0=KmPcos0d0.

R

則

工=K^cos6d6=2日皿cos8de="sin9

RJ。RR2

dF.=dFsin6=^^sin6d。

>R

則久=「y吆sin6d9=0.

R

故所求引力的大小為也吆sin”,方向自N點指向圓弧的中點。

R2

16.求下列函數(shù)在［―a,a］上的平均值：

⑴/(x)=力2_/；

解：7=Pyja2-x2dr=—［>Ja2-x2dx-——arcsin—+—xy/a2-x2

2aJ-。aJoa\_2a2

⑵f(x)=x2.

17.求正弦交流電i=/°si〃所經(jīng)過半波整流后得到電流

兀

/sina)t,0<t<—

0co

的平均值和有效值。

cof土：.,CDr一n.col。13210

ar十一/uar=------------coscot=--

7L啰-0

J?⑴山

')山=^|7,?)山=色jwz2(r)dr+i2(t)dt

，兀m_(t)

:五

=—「3/"sin2mtdt-

20.設(shè)某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為零，生產(chǎn)x(百臺)的邊際成本為C'(x)(萬元/

百臺)，邊際收入為R'(x)=7—2%(萬元/百臺).

(1)求生產(chǎn)量為多少時總利潤最大？

(2)在總利潤最大的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)100臺，總利潤減少多少？

解：(1)當(dāng)C'(x)=R'(x)時總利潤最大.

即2=7—2%,x=5/2(百臺)

Q)U(x)=R'(x)-C,(x)=5-2x.

在總利潤最大的基礎(chǔ)上再多生產(chǎn)100臺時，利潤的增量為

△L(x)=f；(5-2x)dx=5x-x2P=-l.

?42

即此時總利潤減少1萬元.

21.某企業(yè)投資800萬元，年利率5%,按連續(xù)復(fù)利計算，求投資后20年中企業(yè)均勻收入

率為200萬元/年的收入總現(xiàn)值及該投資的投資回收期.

解：投資20年中總收入的現(xiàn)值為

y=f20800e-5%,dr=—(l-e-5%20)

-J。5%

=400(1-0)=2528.4(萬元)

純收入現(xiàn)值為

/?=y-800=2528.4-800=1728.4(萬元)

收回投資，即為總收入的現(xiàn)值等于投資，故有

—(l-e-5%r)=800

5%

,1,200

T=---In--------------=201n-=4.46(年).

5%200-800x5%4

22.某父母打算連續(xù)存錢為孩子攢學(xué)費，設(shè)建行連續(xù)復(fù)利為5%(每年)，若打算10年后

攢夠5萬元，問每年應(yīng)以均勻流方式存入多少錢？

解：設(shè)每年以均勻流方式存入x萬元，則

5=1%皿。。5山

Jo

即5=20x(e05-l)

x=---------=0.385386萬元=3853.86元.

4(e°-5-l)

習(xí)題六

1.寫出下列級數(shù)的一般項:

,111

(1)1H-1---1---F…；

357

JxXXyJXX2

Q)——+——+-------++???

22-42462?468

a3a5a7a9

(3)----------1------------------------F

3579

解：⑴

⑵u.

(W!

2/1+1

⑶s=J產(chǎn)五7T

2.求下列級數(shù)的和:

⑴￡---------------

〃=1(x+〃-l)(x+〃)(x+〃+l)

(2)>“n+2-2」n+1+?)；

?=1

111

⑶丁宇+亨+…;

”(x+〃一l)(x+〃)(x+〃+1)

當(dāng)___1________1___)

2((工+〃一1)(冗+〃)(%+〃)(%+〃+1)J

從而s“=U^__________11____________1

2(x(x+l)(x+l)(x+2)(x+l)(x+2)(x+2)(x+3)

111

+…d---------------------------------------------

(x+〃-l)(x+〃)(x+〃)(x+〃+l)J

21x(x+l)(x+〃)(x+〃+l)J

1

因此limS“=-1—，故級數(shù)的和為一—

…2X(J+1)2x(x+l)

(2)因為U“+++

從而s”=(8-&)-(后-/)+(〃-6)-(6-四)

+(逐_4)一(VJ-6)+…+(1〃+2五)

J”+2-Jn+1+1-\p2,

1+1-V2

J〃+2+J/+l

所以limS,=1—JL即級數(shù)的和為1—J5.

“T8

(3)因為S"="+(?+???+，■

5

從而limS“=,，即級數(shù)的和為

〃.s44

3.判定下列級數(shù)的斂散性：

00

⑴，(Jn+l-G)；

M=1

1111

(2)-----1---------1----------1-----1----------------------1—;

1-66111116(5〃-4)(5〃+1)

22223,、“_12"

⑶--y+y—?"+(-1)三+…;

1111

(4)---FH---產(chǎn)+…4---r=+…；

5^5V5

+

解：⑴Sn=(V2-VD(V3-V2)+---+(Vn+T-V?)

=Vn+T-l

從而limS“=+8,故級數(shù)發(fā)散.

00

11111111

⑵S.

5661111165n-45n+1

]_1一￡

5

從而limS〃=,，故原級數(shù)收斂，其和為！.

…〃55

2

⑶此級數(shù)為4=的等比級數(shù)，且Iglvl,故級數(shù)收斂.

（4）...U“=3,而limU“=lwO,故級數(shù)發(fā)散.

y/528

4.利用柯西審斂原理判別下列級數(shù)的斂散性：

00/\"+1

18cosnx

⑵E

⑴居h

〃=【2"

1-------

⑶

：)\3n4-13〃+23n+37

解：（1）當(dāng)P為偶數(shù)時,

|u“+i+U“+2+…+〃,+/

(-1F2(_l)"+3(_])"+4(_1)-/-

H------------------1------------------h,??H-------------------

n+1〃+2〃+3〃+p

11J1

n+1〃+2〃+3〃+p

1

J--p-一-O-.-O____L_

n+l(〃+2n+3j[〃+p-2n+p-\〃+p

1

<----

n+l

當(dāng)尸為奇數(shù)時,

|u“+i+U“+2+…+U“+J

(-1)，，+21(-l)n+31(-1)，，+4

n+\n+2n+3n+p

n+\n+2n+3n+p

1(11A(11)

n+\(〃+2n+3J\n+p-ln+py

1

<----

n+l

因而，對于任何自然數(shù)P,都有

|U-…+4,小—,

%>0,取N=［：|+l,則當(dāng)”>N時，對任何自然數(shù)尸恒有|U“M+U,“2+…+4,+/<￡成

立，由柯西審斂原理知，級數(shù)一收斂.

?=iri

(2)對于任意自然數(shù)P,都有

|U“+1+U“+2+…+U,+J

_COS(〃+1)XC0S(〃+2)Xcos(/i+p)x

------------------------------1-----------------------------F???H----------------------------

2〃+i2"+22”+P

,111

<------d--------+…-I--------

<---

2"

于是，V￡>0(0<￡<1),3N=log2—,當(dāng)n>N時，對任意的自然數(shù)P都有

|U“M+U“+2+…+U“+J<￡成立，由柯西審斂原理知，該級數(shù)收斂.

⑶取P=〃，則

|鞏+1+U.+2+…+U,+J

(111)111

(3(〃+1)+13(〃+1)+23(n+l)+3j3-2n+l3-2n+23-2n+3

11

>------------------1------1--------------

3(n+l)+l3-2n+l

>-------

6(n+l)

1

>一

12

從而取￡()=在，則對任意的"CM都存在尸="所得|u"+]+U“+2H--------由柯

西審斂原理知，原級數(shù)發(fā)散.

5.用比較審斂法判別下列級數(shù)的斂散性.

111

(1)-------1---------1------1------------------------h

4-65-7(〃+3)(〃+5)

1+21+31+”

(2)1+----------1-----------1------1-----------

1+221+321+n2

00_1

TC(4)S

sm懣；

E(2+/

rt=iJ〃=1

0C1

吟中（“血

11

解：（1）丁u--------------<7

n(〃+3)(〃+5)〃-

001oo

而收斂，由比較審斂法知￡u〃收斂.

?=1獷?=1

1+〃、1+〃

⑵”rrEF

n

“1

而發(fā)散，由比較審斂法知，原級數(shù)發(fā)散.

，0〃

sin——

lim....-二

〃T8

而收斂，故￡sin二也收斂.

〃=13W=13

6151

而收斂，故Z收斂.

J2+/3

〃=17〃=1

〃2

118]8]

⑸當(dāng)心1時，｛/,,=」：<《，而z下收斂，故z一7也收斂.

1+〃[1+

cin=[an=。

當(dāng)”=1時，limt/=lim-=1^0,級數(shù)發(fā)散.

"T8〃->0022

當(dāng)Ovavl時，limU〃=lim---=1。0,級數(shù)發(fā)散.

“T8〃->8]+

綜上所述，當(dāng)。>1時，原級數(shù)收斂，當(dāng)0<aWl時，原級數(shù)發(fā)散.

（6）由lim^—^=1112知11111一」=1112<1而￡一發(fā)散，由比較審斂法知?發(fā)

2。xI-1念〃念修一”

n

散.

6.用比值判別法判別下列級數(shù)的斂散性：

co26n!

⑴Z前;(2)y—

n=l)占3"+1

332333"

(3)------1-------7-------T+…--------F,?,;

1-22-223"n-2"

2”?加

(4)S

”=1n"

〃2

解：⑴S虧，

“TOOU"TOO3"+l

由比值審斂法知，級數(shù)收斂.

c、「U“M(〃+1)!3"+1

(2)lim—=lrim--；-------

"T0°U“〃T°°3"+1n\

3"+1

=lim(l).——

-w+3+1

=4-oo

所以原級數(shù)發(fā)散.

n-2"

(3)limlim

n->ooU.n->oo(?+l)-2n+,3"

3n

lim

M->oO2(〃+1)

=?>1

2

所以原級數(shù)發(fā)散.

2n+l-(?+!)!nn

(4)lima川lim

“TOOU“00(〃+1嚴2”?加

n

=lim2

n—>oo71+1

12<i

2lim

n-xn1e

1+

n

故原級數(shù)收斂.

7.用根值判別法判別下列級數(shù)的斂散性:

夕1

⑴⑵E

/:=1

⑶

(4)E一其中a”一a("-8),%,b,“均為正數(shù).

解：⑴lim=lim—^―=°〉1,

n-xcV”T83〃+13

故原級數(shù)發(fā)散.

(2)lim^/t/7=lim-------=0<1,

“TOOV〃T81r1(〃+1)

故原級數(shù)收斂.

1

-<

⑶lim或k=hm9-

"TOOY"TOO

故原級數(shù)收斂.

當(dāng)6<a時，-<1,原級數(shù)收斂；當(dāng)6>a時，~>\,原級數(shù)發(fā)散；當(dāng)氏a時，~=\,無法判

aaa

定其斂散性.

8.判定下列級數(shù)是否收斂？若收斂，是絕對收斂還是條件收斂？

11131

(1)1—'r+~r—尸+…；(2)^2(-1)°'—------；

0GV?占In(〃+1)

11111111

(3)----H----------r+…；

53532533534

2

OC0,「CC1

(4)^(-1)"1--；⑸(aeR)；

?=1幾,//=1幾

⑹zl1+J+;+…+竹

M=1nJn

]8111

解：(l)U“=(_l)"T—1,級數(shù)Zu“是交錯級數(shù)，且滿足<=>一=,lim—，=0,

yjnn=\<n+1I*1n

5513

由萊布尼茨判別法級數(shù)收斂，又Z|u1=Z」r是尸<1的尸級數(shù)，所以Z|u“|發(fā)散，故原

n=l〃=1n)2n=l

級數(shù)條件收斂.

]81

⑵U“=(—1)"T7(-1)"-'—!一為交錯級數(shù),

ln(〃+l)?-iln(〃+l)ln(〃+l)ln(〃+2)

lim―1—=0,由萊布尼茨判別法知原級數(shù)收斂，但由于|U“|=-1—>-I-

-81n(”+1)ln(n+l)n+1

所以，￡|U"|發(fā)散，所以原級數(shù)條件收斂?

M=1

11

民，顯然ff為-8I

⑶u“=(-1產(chǎn)5--而zt是收斂的等比級數(shù)，

W

n=]"=1°°3n=l3

故￡|u“|收斂，所以原級數(shù)絕對收斂.

n=l

u?2n+l

(4)因為lim—=lim----=4-oo.

00

UHH+l

故可得得則|u,卜o,

原級數(shù)發(fā)散.

01

(5)當(dāng)。>1時，由級數(shù)收斂得原級數(shù)絕對收斂.

〃=1""

“I111

當(dāng)0<aWl時，交錯級數(shù)—滿足條件：—>-------；lim—=0,由萊布尼

念〃〃(n+1)-°〃

但這時￡(一1丫1々=￡斗發(fā)散，所以原級數(shù)條件收斂.

茨判別法知級數(shù)收斂

M=1〃/:=1〃

當(dāng)aWO時，limU.wO,所以原級數(shù)發(fā)散.

”->8

11011

(6)由于1H---1---F…-I——〉一

I23nJnn

“1

而￡—發(fā)散，由此較審斂法知級數(shù)

a〃

vf11h(一1)"妗崎

〉/1fH11-…H------發(fā)散?

n=\\23nJn

記U=|14---1F?,?H|,貝！I

I23nJn

1

(〃+1>

If1+i2+i3+...+MiJpM(n+——1)(n+u1)

1'_1

+2

?(n+l)<?(n+l)(n+l)J

>0

即U"〉U"M

又limU“=lim-|1+-+-++3

〃T8〃->8〃I23nJ

1

1t1；

由lim-\C—dx=lim—=0

T+OOfJoX1T+30]

知limU“=0,由萊布尼茨判別法，原級數(shù)之。+[+!+…收斂，而且是條

“T8八—

件收斂.

9.解：

1(|r'[i+11]

-------4--1

(n+1)!〃+22(〃+2)(〃+3)

------(一)〃[1H---------1-------Z-(—)"*+…]

5+1)!2〃+12(〃+If2

1

(n+1)!

2(〃+1)

加(2”+1)(5)

從而R同<n!(2w+l)

8

10.若lim〃2(/“存在，證明：級數(shù)收斂.

"TOO

n=l

證：：lim/q存在，A3M>0,使

M—>00

,M

即/⑷WM,lt/nl^—

n~

6Ms

而Z-T收斂，故〃絕對收斂.

/i=l〃M=1

sIJ

11.證明，若收斂，則絕對收斂.

n=ln=1n

21

^rr/+-

證：：%_____n1^2,11

n2產(chǎn)+57

而由Zs：收斂，?收斂，知

/?=1rt=l〃

(111\*〃

Z收斂，故Z—M攵斂,

n=l\22Jn=\"

EU

因而X—絕對收斂.

〃口幾

001

12.(1)解：:——7相當(dāng)于尸級數(shù)中P=x

2n

”=1

co1co1

當(dāng)P>1時一一收斂，尸<1時，一一發(fā)散.

2np2np

w=ln=l

001001

從而當(dāng)x>l時，----收斂，xWl時，-----7發(fā)散，

2n2n

n=ln=l

001

從而-----的收斂域為(1,+8)

2n

〃=i

從而—(-1)，，+1—的收斂域為(0,1)u(1,+00).

2n'

"=1

(2)解：當(dāng)x>1時，----收斂，則—(―l)〃+i—收斂

2n2n

n=\n=l

OD1

當(dāng)x40時，一(一1)川一發(fā)散，(U“—0)

2nx

n=i

001

當(dāng)0〈尤<1時，一(―1)"+1—收斂.(萊布尼茲型級數(shù))

2nx

n=\

13.求下列某級數(shù)的收斂半徑及收斂域：

⑵*1J

(1)x+2x2+3x3+???+nxn+???；

/l=lI〃/

oo丫2〃-1

⑶ZJ

￡2〃-1“=in-2〃

解：(1)因為°=lim&包=lim3=l,所以收斂半徑R='=l收斂區(qū)間為(-1,1),而當(dāng)