函數(shù)專題二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題（5大題型）

二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題一、二次函數(shù)的三種形式1、一般式：2、頂點(diǎn)式：若二次函數(shù)的頂點(diǎn)為，則其解析式為3、兩根式：若相應(yīng)一元二次方程的兩個(gè)根為，，則其解析式為二、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值二次函數(shù)在區(qū)間上的最值，核心是函數(shù)對(duì)稱軸與給定區(qū)間的相對(duì)位置討論，一般為：對(duì)稱軸在區(qū)間的左邊、中間、右邊三種情況.設(shè)，求在上的最大值與最小值。將配方，得頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸為（1）當(dāng)時(shí)，的最小值為，的最大值為與中的較大值；（2）時(shí)，若，由在上是增函數(shù)，則的最小值為，最大值為；若，由在上是減函數(shù)，則的最小值為，最大值為；三、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值類型1、定軸定區(qū)間型：即定二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值，其區(qū)間和對(duì)稱軸都是確定的，要將函數(shù)配方，再根據(jù)對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，求其最值（可結(jié)合圖象）；2、動(dòng)軸定區(qū)間型：即動(dòng)二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值，其區(qū)間是確定的，而對(duì)稱軸是變化的，應(yīng)根據(jù)對(duì)稱軸在區(qū)間的左、右兩側(cè)和穿過區(qū)間這三種情況分類討論，再利用二次函數(shù)的示意圖，結(jié)合其單調(diào)性求解；3、定軸動(dòng)區(qū)間型：即定二次函數(shù)在動(dòng)區(qū)間上的最值，其對(duì)稱軸確定而區(qū)間在變化，只需對(duì)動(dòng)區(qū)間能否包含拋物線的定點(diǎn)橫坐標(biāo)進(jìn)行分類討論；4、動(dòng)軸動(dòng)區(qū)間型：即動(dòng)二次函數(shù)在動(dòng)區(qū)間上的最值，其區(qū)間和對(duì)稱軸均在變化，根據(jù)對(duì)稱軸在區(qū)間的左、右兩側(cè)和穿過區(qū)間這三種情況討論，并結(jié)合圖形和單調(diào)性處理。題型一定軸定區(qū)間求二次函數(shù)最值【例1】（2023秋·河南鄭州·高一校考階段練習(xí)）函數(shù)的值域是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)處取得最大值，最大值為，又時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故值域?yàn)?故選：B【變式11】（2022秋·新疆烏魯木齊·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)，則在區(qū)間的值域?yàn)椋敬鸢浮俊窘馕觥康膶?duì)稱軸為，在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，，的值域?yàn)?【變式12】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)，則的值域?yàn)椋ǎ〢．B．C．D．【答案】B【解析】，，故，故函數(shù)值域?yàn)?故選：B【變式13】（2023秋·廣西玉林·高一?？奸_學(xué)考試）已知二次函數(shù).（1）寫出這個(gè)二次函數(shù)圖象的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)最大值、最小值.【答案】（1）函數(shù)圖象開口向下，對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是.（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值為.【解析】（1），因?yàn)?，函?shù)圖象開口向下，對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是.（2）因?yàn)閷?duì)稱軸是直線，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值為.題型二定軸動(dòng)區(qū)間求二次函數(shù)最值【例2】（2023秋·江西宜春·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，不等式的解集為，且.（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)函數(shù)在上的最小值為，求的表達(dá)式.【答案】（1）；（2）答案見解析【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)，不等式的解集為，所以且0和2為方程的兩個(gè)根，則有，解得，，又因?yàn)?，則，可得，，所以.（2）因?yàn)椋瑘D象開口向上，對(duì)稱軸為，①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以；②當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)，故；③當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以；綜上所述：.【變式21】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知二次函數(shù)，，的最大值為16；（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)在區(qū)間的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由已知函數(shù)是二次函數(shù)，且，∴函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，又的最大值為16，設(shè)，又，∴．∴；（2）由（1）知，圖象的對(duì)稱軸為，開口朝下，若，則在上是減函數(shù)，最大值；若，即，則在上是增函數(shù)，；若，即，則；綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．【變式22】（2023秋·貴州黔東南·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù).（1）求的解析式；（2）若為任意實(shí)數(shù)，試討論在上的單調(diào)性和最小值.【答案】（1）；（2）答案見解析【解析】（1），.（2）由（1）得：為開口方向向上，對(duì)稱軸為的拋物線；①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，；②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，；③當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，.【變式23】（2023秋·陜西渭南·高一考階段練習(xí)）已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的最小值和最大值；（2）當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)的最小值.【答案】（1），；（2）答案不唯一，詳見解析【解析】（1），，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，.（2）當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，；綜上所述：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；【變式24】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知二次函數(shù)滿足，且．（1）求的解析式；（2）求函數(shù)在區(qū)間，上的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）設(shè)，則，因?yàn)椋?，故，解得：又，所以，所以；?）由（1）得，圖象開口向上，對(duì)稱軸為．當(dāng)時(shí)，，所以此時(shí)函數(shù)的最大值為；當(dāng)時(shí)，，所以此時(shí)函數(shù)的最大值為；綜上：．題型三動(dòng)軸定區(qū)間求二次函數(shù)最值【例3】（2023秋·陜西咸陽(yáng)·高三?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)．（1）若，求在上的最值；（2）求函數(shù)在上的最小值．【答案】（1）最小值為，最大值為；（2）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，.∵的對(duì)稱軸為，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，，，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，當(dāng)時(shí)，取得最大值為．（2）二次函數(shù)的對(duì)稱軸為.當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，∴；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，∴．綜上，.【變式31】（2022秋·江蘇連云港·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，．（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求的最小值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題知，解得.（2），，對(duì)稱軸.當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)增，則.當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，則.當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)減，則.綜上，【變式32】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知二次函數(shù)滿足，且.（1）求的解析式；（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）設(shè)，因?yàn)椋?，即，所以，解得，所?（2）由題意知，可得二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得；②當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，，綜上可得，.【變式33】（2022秋·山東淄博·高一?？计谥校┮阎猘，若函數(shù)在區(qū)間[1，2]上的最小值為（1）求的函數(shù)表達(dá)式；（2）若求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）∵，，∴當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，即，當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，即，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，即，綜上，；（2）∵，當(dāng)時(shí)，，故在上的最大值為.題型四動(dòng)軸動(dòng)區(qū)間求二次函數(shù)最值【例4】（2023·全國(guó)·高一課堂例題）設(shè)是正數(shù)，且函數(shù)在上的最大值為，求的表達(dá)式．【答案】【解析】，，，對(duì)稱軸為直線，將區(qū)間看作是不動(dòng)的，對(duì)稱軸變化，進(jìn)行如下討論．（1）當(dāng)，即時(shí)，解得或．此時(shí)．（2）當(dāng)，即時(shí)，解得．此時(shí)．（3）當(dāng)，即時(shí)，．綜上所述，.【變式41】函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，求的表達(dá)式.【答案】【解析】由題意可知，二次函數(shù)的開口向下，對(duì)稱軸方程為∵，∴，即【變式42】已知二次函數(shù)，設(shè)對(duì)任意的，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】【解析】若對(duì)任意的，恒成立，即當(dāng)時(shí)，∵二次函數(shù)，∴函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為直線，且開口向上，分以下三種情況討論：=1\*GB3①當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以，即，解得或，因?yàn)椋裕?2\*GB3②當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即，因?yàn)椋圆坏仁綗o(wú)解；=3\*GB3③當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，所以，即，解得或，因?yàn)椋?；綜上可知，的取值范圍為【變式43】設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為，最小值為，求與的表達(dá)式.【答案】，【解析】函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，開口向上，對(duì)稱軸為分以下四種情況求最值：=1\*GB3①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，；=2\*GB3②當(dāng)，且，即時(shí)，在單調(diào)遞增，所以，；=3\*GB3③當(dāng)，且，即時(shí)，在單調(diào)遞減，所以，=4\*GB3④當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，；綜上知，在的最大值與最小值分別為：，題型五逆向型二次函數(shù)最值問題【例5】（2023秋·山東淄博·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若該函數(shù)的最大值為m，最小值為，則m等于（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】因?yàn)槎魏瘮?shù)的對(duì)稱軸為，開口向下，所以或時(shí)取得函數(shù)的最小值，由，可得或，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)顯然不合題意，當(dāng)時(shí)顯然不合題意，當(dāng)時(shí)，時(shí)，；所以m等于3.故選：C.【變式51】（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·高一校考開學(xué)考試）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值3，最小值2，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為,并且函數(shù)的開口向上，∵.所以若函數(shù)在上的最大值為3，最小值為2，則，故選：B【變式52】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由可得，即二次函數(shù)的開口向下，對(duì)稱軸為，畫出其函數(shù)圖象如下圖所示：易知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，；根據(jù)題意當(dāng)時(shí)，并結(jié)合圖象可知.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C【變式53】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）（多選）已知函數(shù)在上的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的值可以是（）A．1B．2C．3D．4【答案】BCD【解析】，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，