學(xué)習(xí)情境3-協(xié)方差傳播律及權(quán)

全章共分7節(jié)，是本課程的重點(diǎn)內(nèi)容之一。

重點(diǎn)：協(xié)方差傳播律，權(quán)與定權(quán)的常用方法，以及協(xié)因數(shù)傳播律。

難點(diǎn)：權(quán)，權(quán)陣，協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)陣等重要概念的定義，定權(quán)的常用方法公式應(yīng)用的條件，以及廣義傳播律（協(xié)方差傳播律和協(xié)因數(shù)傳播律）應(yīng)用于觀測(cè)值的非線性函數(shù)情況下的精度評(píng)定問(wèn)題。

要求：通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，弄清協(xié)因數(shù)陣，權(quán)陣中的對(duì)角元素與觀測(cè)值的權(quán)之間的關(guān)系；

能牢固地掌握廣義傳播律和定權(quán)的常用方法的全部公式，并能熟練地應(yīng)用到測(cè)量實(shí)踐中去，解決各類(lèi)精度評(píng)定問(wèn)題。第三章協(xié)方差傳播律及權(quán)

往往，我們需要的成果不是通過(guò)直接測(cè)量獲取的，而是由直接測(cè)量的數(shù)據(jù)計(jì)算出來(lái)的，即需要的數(shù)據(jù)是觀測(cè)值的函數(shù)。如：電磁波測(cè)距時(shí)，平距極坐標(biāo)法測(cè)待定點(diǎn)坐標(biāo)

角度（前方）交會(huì)法，求待定點(diǎn)坐標(biāo)

觀測(cè)值的函數(shù)的中誤差與觀測(cè)值的中誤差之間存在怎樣的關(guān)系？

第一節(jié)數(shù)學(xué)期望的傳播數(shù)學(xué)期望的定義：

1.2.3.

可以推廣至一般情況4.對(duì)于相互獨(dú)立的變量X,Y有因?yàn)樽兞縓,Y相互獨(dú)立，有

當(dāng)兩兩相互獨(dú)立，推為廣之第二節(jié)協(xié)方差傳播律一、觀測(cè)值線性函數(shù)的方差對(duì)于觀測(cè)值，其數(shù)學(xué)期望μx,協(xié)方差陣DXX有觀測(cè)值的線性函數(shù)

根據(jù)方差的定義，Z

的方差為展開(kāi)以后得當(dāng)各分量?jī)蓛瑟?dú)立時(shí)，

例題1

設(shè)有觀測(cè)向量，已知其協(xié)方差陣為試求下列函數(shù)的方差：

例題2

設(shè)有觀測(cè)向量，已知其協(xié)方差陣為試求下列函數(shù)的方差：也可以用課本中式3-2-5計(jì)算

例題3

設(shè)再測(cè)站A上，已知∠ABC=α,

設(shè)無(wú)誤差，觀測(cè)角β1和β2的中誤差σ1＝σ2＝1.4″，協(xié)方差σ12＝-1（秒2），求角x的中誤差σx。則二、多個(gè)觀測(cè)值線性函數(shù)的協(xié)方差陣水準(zhǔn)測(cè)量三角形的內(nèi)角值對(duì)于觀測(cè)值，其數(shù)學(xué)期望μx，若有X的t個(gè)線性函數(shù)用矩陣形式表示協(xié)方差傳播律是協(xié)方差陣傳播律的一種特殊情況（1）

對(duì)于觀測(cè)值，若還有X的r個(gè)線性函數(shù)同樣可得：Y關(guān)于Z的互協(xié)方差陣

當(dāng)Y=Z時(shí)，變成（1）式，習(xí)慣上將描述觀測(cè)值X的協(xié)方差陣DXX與觀測(cè)值函數(shù)Z的協(xié)方差陣Dzz以及兩組函數(shù)Z和Y的互協(xié)方差陣之間關(guān)系的公式都稱為協(xié)方差傳播律。

例題4

設(shè)在一個(gè)三角形中，同精度獨(dú)立觀測(cè)得到三個(gè)內(nèi)角L1、L2、L3，其中誤差為σ。試求將三角形閉合差平均分配后的各角，的協(xié)方差陣。三角形閉合差由下式計(jì)算：

分配閉合差后的內(nèi)角的精度高于觀測(cè)值。如果只是求某個(gè)元素的的中誤差和其關(guān)于另外某元素的協(xié)方差，不必全部求出來(lái)。

例題5設(shè)有函數(shù)，已知X與Y的協(xié)方差陣和，X關(guān)于Y的互協(xié)方差陣為，求和Z關(guān)于X及Y的互協(xié)方差陣和。以上結(jié)果可以作為公理進(jìn)行應(yīng)用。三、非線性函數(shù)的情況觀測(cè)向量有X

的近似值設(shè)前式可以寫(xiě)成

因?yàn)椋驞ZZ時(shí)只要求出K即可，所以，可以用求全微分的方法得到K，再用協(xié)方差傳播定律求出函數(shù)的方差。

如果有t個(gè)非線性函數(shù)可以用以上方法得到用協(xié)方差陣傳播定律得如果還有r個(gè)非線性函數(shù)可以同樣方法得到：Y關(guān)于Z互協(xié)方差陣為：

例題6

設(shè)有觀測(cè)向量，已知其協(xié)方差陣為試求下列函數(shù)的方差：求全微分后得求矩形ABGF面積Z的方差。例題7

已知例題7續(xù)方法21．按要求寫(xiě)出函數(shù)式2．對(duì)函數(shù)式求全微分3．將微分關(guān)系寫(xiě)成矩陣形式4.應(yīng)用協(xié)方差傳播律求方差或協(xié)方差陣

設(shè)水準(zhǔn)測(cè)量中每一測(cè)站觀測(cè)高差hi的精度相同,其方差均為,則具有N個(gè)測(cè)站的水準(zhǔn)路線的總高差為應(yīng)用協(xié)方差傳播公式可得

在平坦地區(qū)的水準(zhǔn)測(cè)量中,每公里的測(cè)站數(shù)大致相等,

因此,

每公里觀測(cè)高差的方差相等,

設(shè)其均為。如果每個(gè)測(cè)站的前后視距之和為s,則S公里水準(zhǔn)測(cè)量的測(cè)站數(shù)為：第三節(jié)協(xié)方差傳播率的應(yīng)用一、水準(zhǔn)測(cè)量的精度觀測(cè)高差的方差和中誤差分別為其估值公式為此時(shí)當(dāng)S為1公里時(shí)

例題8

水準(zhǔn)測(cè)量中若要求每公里觀測(cè)高差中誤差不超過(guò)10mm，水準(zhǔn)路線全長(zhǎng)高差中誤差不超過(guò)60mm,則該水準(zhǔn)路線長(zhǎng)度不應(yīng)超過(guò)多少公里。解：由公式

可得

該水準(zhǔn)路線長(zhǎng)度不應(yīng)超過(guò)36公里。

應(yīng)用協(xié)方差傳播公式得

二、同精度獨(dú)立觀測(cè)算數(shù)平均值的精度

設(shè)L1,L2,…,LN為一組等精度的獨(dú)立觀測(cè)值(方差均為),其算術(shù)平均值為

例題9

已知某臺(tái)經(jīng)緯儀一測(cè)回的測(cè)角中誤差為±6'',如果要使各測(cè)回的平均值的中誤差不超過(guò)±2'',則至少應(yīng)測(cè)多少測(cè)回？

解：由公式

可得

至少應(yīng)測(cè)9測(cè)回

三、若干獨(dú)立誤差的聯(lián)合影響設(shè)若干獨(dú)立誤差的聯(lián)合影響下觀測(cè)結(jié)果的真誤差為

由協(xié)方差傳播律可得：

即,觀測(cè)結(jié)果的方差，等于各獨(dú)立誤差所對(duì)應(yīng)的方差之和。

四、GIS線元要素的方差圖中已知直線兩端點(diǎn)數(shù)字化坐標(biāo)為A(x1,y1)，A(x2,y2),其協(xié)方差陣為：根據(jù)協(xié)方差傳播定律同理得：P點(diǎn)坐標(biāo)（x,y）,其協(xié)方差陣為：五、面積的方差

多邊形邊數(shù)為n，每個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)為（xi,yi），則面積計(jì)算公式是:上式中

、等為各點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)觀測(cè)中誤差，求各偏導(dǎo)數(shù)如下：六、應(yīng)用協(xié)方差傳播律時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題（1）根據(jù)測(cè)量實(shí)際，正確地列出函數(shù)式；（2）全微分所列函數(shù)式，并用觀測(cè)值計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)值；（3）計(jì)算時(shí)注意各項(xiàng)的單位要統(tǒng)一；（4）將微分關(guān)系寫(xiě)成矩陣形式；（5）直接應(yīng)用協(xié)方差傳播律，得出所求問(wèn)題的方差-協(xié)方差矩陣。權(quán)的含義權(quán)是權(quán)衡輕重的意思，其應(yīng)用比較廣泛，應(yīng)用到測(cè)量上可作為衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)。如有一組觀測(cè)值時(shí)等精度的，那么，在平差時(shí)，應(yīng)該將它們同等對(duì)待，因此說(shuō)這組觀測(cè)值是等權(quán)的，而對(duì)于一組不等精度的觀測(cè)值，在平差時(shí)，就不能等同處理，容易理解，精度高的觀測(cè)值在平差結(jié)果中應(yīng)占較大的比重，或者說(shuō)，應(yīng)占較大的權(quán)，所以平差時(shí)，對(duì)于一組不等精度的觀測(cè)值應(yīng)給予不同的權(quán)。第四節(jié)權(quán)與定權(quán)的常用方法

對(duì)某一未知量，分別同精度觀測(cè)了兩組數(shù)據(jù)，分別為（l1、l2、l3、l4），（l5、

l6、l7、l8、l9、l10）。

假定兩組觀測(cè)值的算術(shù)平均值分別為

假定對(duì)于未知量的每次的觀測(cè)中誤差為，兩組觀測(cè)值的算術(shù)平均值的中誤差分別為十次觀測(cè)的算術(shù)平均值為。 可以得到L1，L2的中誤差為：令：得：代入前式得：

從上式可以看出p1、p2反映的是L1、L2不同精度兩組觀測(cè)值的算術(shù)平均值在計(jì)算十次觀測(cè)的算術(shù)平均值時(shí)所占的比重。

一、權(quán)的定義設(shè)有觀測(cè)值Li(i=1，2，…，n)，它們的方差為(i＝1，2，…，n)。如選定任一常數(shù)，同時(shí)定義可見(jiàn)，對(duì)于一組觀測(cè)值，其權(quán)之比等于相應(yīng)方差的倒數(shù)之比，這就表明，方差(或中誤差)愈小，其權(quán)愈大；或者說(shuō)精度愈高，其權(quán)愈大。因此權(quán)可以作為比較觀測(cè)值之間的精度高低的一種指標(biāo)。

就普遍情況而言，前式中的方差可以是同一個(gè)量的觀測(cè)值的方差，也可以是不同量的觀測(cè)值的方差。就是說(shuō)，用權(quán)來(lái)比較各觀測(cè)值之間的精度高低，不限于是對(duì)同一量的觀測(cè)值，同樣也適用于對(duì)不同量的觀測(cè)值。

例10：已知觀測(cè)值其中中誤差分別為則它們的權(quán)為：1.選定了一個(gè)即有一組對(duì)應(yīng)的權(quán)?；蛘哒f(shuō)，有一組權(quán)，必有一個(gè)對(duì)應(yīng)的值。

2.一組觀測(cè)值的權(quán)，其大小是隨的不同而異，但不論選用何值，權(quán)之間的比例關(guān)系始終不變。如果設(shè)觀測(cè)值Li(i=1，2，…，n)對(duì)于選定的和的權(quán)分別為pi和

(i=1，2，…，n),則有

3.為了使權(quán)能起到比較精度高低的作用，在同一問(wèn)題中只能選定一個(gè)值，不能間時(shí)選用幾個(gè)不問(wèn)的值，否則就破壞了權(quán)之間的比例關(guān)系。4．只要事先給定了一定的條件，例如，已知每公里觀測(cè)高差的精度相同和各水準(zhǔn)線路的公里數(shù)，則不一定要知道每公里觀測(cè)高差精度的具體數(shù)值就可以確定出權(quán)的數(shù)值。

權(quán)的意義，不在于它們本身數(shù)值的大小，而重要的是它們之間所存在的比例關(guān)系。

二、單位權(quán)中誤差單位權(quán)：權(quán)為1時(shí)的權(quán)單位權(quán)中誤差：與單位權(quán)對(duì)應(yīng)的觀測(cè)值的中誤差。常用來(lái)表示在確定一組同類(lèi)元素的觀測(cè)值的權(quán)時(shí)，所選取的單位權(quán)中誤差的單位，一般是與觀測(cè)值中誤差的單位相同的，由于權(quán)是單位權(quán)中誤差平方與觀測(cè)值中誤差平方之比，所以，權(quán)一般是一組無(wú)量綱的數(shù)值，也就是說(shuō)，在這種情況下權(quán)是沒(méi)有單位的，但如果需要確定權(quán)的觀測(cè)值包含有角度和長(zhǎng)度，是有量綱的數(shù)值。

三、測(cè)量中確定權(quán)的常用方法舉例

1.水準(zhǔn)測(cè)量的權(quán)設(shè)每一測(cè)站觀測(cè)高差的精度相同，其中誤差均為各路線觀測(cè)高差的中誤差為如以pi代表hi的權(quán)，并設(shè)單位權(quán)中誤差為每公里觀測(cè)高差的方差相等

2.同精度觀測(cè)值的算術(shù)平均值得權(quán)

設(shè)有次同精度觀測(cè)值的平均值，若每次觀測(cè)的中誤差為，Li的中誤差為：

例題11

甲、乙、丙三人在A、B兩水準(zhǔn)點(diǎn)間作水準(zhǔn)測(cè)量。甲路線觀測(cè)高差為a，2公里路線觀測(cè)高差中誤差為3mm。乙路線觀測(cè)高差為b，1公里路線觀測(cè)高差中誤差為2mm。丙路線觀測(cè)高差為c，4公里路線觀測(cè)高差中誤差為4mm?，F(xiàn)欲根據(jù)a、b、c三值求A、B之間三者高差的權(quán)之比。解：求甲、乙、丙人每公理觀測(cè)高差中誤差：按權(quán)的定義（C為一常數(shù)）

例題12x角為兩角L1、L2之和，L1

=32°18′14″，是由20次觀測(cè)結(jié)果平均而得，每次觀測(cè)中誤差為5″。L2=80°16′07″，是由16次觀測(cè)結(jié)果平均而得，每次觀測(cè)中誤差為8″，以5″作為單位權(quán)中誤差，求x角的權(quán)。由于L1、L2相互獨(dú)立，所以第五節(jié)協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播律

一、協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)陣設(shè)有觀測(cè)值Li、Lj，其方差和協(xié)方差分別為、

、。令或

稱Qii、Qjj分別為L(zhǎng)i，Lj的協(xié)因數(shù)或權(quán)倒數(shù)，

Qij

稱為L(zhǎng)i關(guān)于Lj的協(xié)因數(shù)或相關(guān)權(quán)倒數(shù)。協(xié)因數(shù)Qii、Qjj與方差成正比，協(xié)因數(shù)Qij與協(xié)方差成正比，所以他們是一種可以比較觀測(cè)值精度高低的一種指標(biāo)。

有觀測(cè)向量、它們的方差分別為、，X關(guān)于Y的協(xié)方差為。

令或稱QXX、QYY分別為X，Y的協(xié)因數(shù)陣，QXY為X關(guān)于Y的互協(xié)因數(shù)陣。協(xié)因數(shù)陣QXX中各個(gè)對(duì)角元素是Xi的權(quán)倒數(shù)，非對(duì)角線元素為Xi關(guān)于Xj的相關(guān)權(quán)倒數(shù)。QXY中的元素是Xi關(guān)于Yj的相關(guān)權(quán)倒數(shù)。QXX、QYY分別為X，Y的權(quán)逆陣，

QXY為X關(guān)于Y的相關(guān)權(quán)逆陣。

對(duì)于有：對(duì)于獨(dú)立觀測(cè)值有PLL稱為L(zhǎng)的權(quán)陣根據(jù)協(xié)因數(shù)陣的定義，的協(xié)因數(shù)陣為有此時(shí)，權(quán)陣與協(xié)因數(shù)數(shù)陣互為逆矩陣。

注意：對(duì)于相關(guān)的觀測(cè)向量，QLL是非對(duì)角陣，權(quán)陣PLL的對(duì)角元素不再是L的權(quán)了。權(quán)陣PLL的各個(gè)元素也不再有權(quán)的意義了。但是，相關(guān)觀測(cè)向量的權(quán)陣在平差計(jì)算的公式中，也能起到同獨(dú)立觀測(cè)向量的權(quán)陣一樣的作用。對(duì)于相關(guān)的觀測(cè)向量上式同樣成立。對(duì)于相關(guān)的觀測(cè)向量L，令同樣稱PLL為L(zhǎng)的權(quán)陣將協(xié)方差傳播律與協(xié)因數(shù)傳播律合稱為廣義傳播律。二、協(xié)因數(shù)傳播律設(shè)有觀測(cè)值X，及其函數(shù)根據(jù)協(xié)方差傳播律有如果單位權(quán)方差為，協(xié)因數(shù)陣為得

對(duì)于非線性函數(shù)全微分后得：用協(xié)因數(shù)陣傳播律可以得QYY、QZZ、QYZ。

對(duì)于獨(dú)立觀測(cè)值L，非線性函數(shù)求全微分后得：

由協(xié)因數(shù)傳播律得：展開(kāi)后有上式反映的是獨(dú)立觀測(cè)值的權(quán)倒數(shù)與其函數(shù)的權(quán)倒數(shù)之間的關(guān)系，稱為權(quán)倒數(shù)傳播律。

例題13

已知獨(dú)立觀測(cè)值Li（i=1,2,…,n）的權(quán)為p，試求算術(shù)平均值的權(quán)pX。

對(duì)

由權(quán)倒數(shù)傳播律得：以上是同精度獨(dú)立觀測(cè)值的算術(shù)平均值的權(quán)。

例題14

已知獨(dú)立觀測(cè)值Li（i=1,2,…,n）的權(quán)為pi，試求加權(quán)平均值的權(quán)pX。

由權(quán)倒數(shù)傳播律得：以上是不同精度獨(dú)立觀測(cè)值的加權(quán)平均值的權(quán)。例題15對(duì)某量進(jìn)行三次同精度觀測(cè)，得獨(dú)立觀測(cè)值Ll、L2、L3，由此求得平差值和改正數(shù)向量試求協(xié)因數(shù)和。

現(xiàn)將V和都表示成L的函數(shù)設(shè)QLL=E，由協(xié)因數(shù)傳播律得：

例題16已知隨機(jī)變量y、z都是觀測(cè)值L=[L1,L2,L3]的函數(shù)，且有函數(shù)關(guān)系若L1,L2,L3均服從正態(tài)分布，且有試證明隨機(jī)變量y，z是相互獨(dú)立的。由協(xié)因數(shù)傳播律得：故y，x是相互獨(dú)立的由協(xié)因數(shù)傳播律得：試求Y關(guān)于Z的協(xié)因數(shù)陣QYZ。設(shè)有函數(shù)例題17已知觀測(cè)向量X1和X2的協(xié)因數(shù)陣

、

和互協(xié)因數(shù)陣

或?qū)憺?/p>

一、用不同精度的真誤差計(jì)算單位權(quán)中誤差的基本公式設(shè)有一組同精度獨(dú)立觀測(cè)值,它們的數(shù)學(xué)期望為，真誤差，有由以前的知識(shí)可知，觀測(cè)值Li的中誤差為

當(dāng)n為有限值時(shí)以上是由一組同精度獨(dú)立的真誤差計(jì)算中誤差的基本公式如果為一組不同精度觀測(cè)值，其對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)期望、中誤差、和權(quán)分別為、、。由權(quán)的定義可得：第六節(jié)由真誤差計(jì)算中誤差及其實(shí)際應(yīng)用

由單位權(quán)中誤差可以求出σi

，如何求單位權(quán)中誤差？設(shè)是一組同精度獨(dú)立的真誤差，并設(shè)有：由權(quán)倒數(shù)傳播律得：即

。

由以上可以看出，只要將乘以相應(yīng)權(quán)的平方根，得到一組就可以轉(zhuǎn)換成一組權(quán)為1的等精度觀測(cè)值。對(duì)于獨(dú)立的同精度權(quán)為1的觀測(cè)值，其權(quán)即為單位權(quán)中誤差估值二、由真誤差計(jì)算中誤差的實(shí)際應(yīng)用1.由三角形閉合差求測(cè)角中誤差三角形內(nèi)角和的中誤差每個(gè)內(nèi)角的測(cè)角的中誤差：（菲羅列公式）

例題觀測(cè)了某一等三角鎖43個(gè)三角形的內(nèi)角，得三角形內(nèi)角和的真誤差見(jiàn)表，試計(jì)算三角形內(nèi)角和的中誤差和平均誤差，極限誤差以及測(cè)角中誤差。根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算得由權(quán)倒數(shù)傳播律得：同一觀測(cè)值的兩個(gè)觀測(cè)值精度相同，如果各觀測(cè)值的權(quán)為：雙觀測(cè)值之差的真誤差：雙觀測(cè)值真值之差：其較差為：對(duì)某一量進(jìn)行雙次觀測(cè)，得獨(dú)立觀測(cè)值為

2.由雙觀測(cè)值之差求中誤差

由公式得

單位權(quán)中誤差當(dāng)n有限時(shí)，其估值為：各雙觀測(cè)值的中誤差為：第i對(duì)觀測(cè)值的平均值的中誤差為：

當(dāng)所有的觀測(cè)值是同精度時(shí)，它們的權(quán)均等于1，則各觀測(cè)值的中誤差為：而每對(duì)觀測(cè)值的平均值得中誤差為：

例題水準(zhǔn)測(cè)量在水準(zhǔn)點(diǎn)1~6各點(diǎn)之間往返各測(cè)了一次，各水準(zhǔn)點(diǎn)間的距離均為1km,各段往返測(cè)所得的高差見(jiàn)下表。求每公里單程水準(zhǔn)測(cè)量高差的中誤差和每公里往返測(cè)平均高差的中誤差。測(cè)段高差觀測(cè)值(m)dididi1~2-0.185+0.188+392~3+1.626-1.629-393~4+1.435-1.430+5254~5+0.505-0.509-4165~6-0.007+0.005-24

例題某一距離分三段各往返丈量一次，其結(jié)果如表所示。今1km量距的權(quán)為單位權(quán)，試求：(1)單位權(quán)中誤差；(2)全長(zhǎng)一次測(cè)量中誤差；(3)全長(zhǎng)平均值的中誤差；(4)第二段一次測(cè)量中誤差。（1）（2）（3）（4）

一、觀測(cè)值的系統(tǒng)誤差與綜合方差就是觀