異面直線所成角與距離小題專練

異面直線所成角與距離小題專練一、單選題1．在正四面體中，點(diǎn)在線段上，，點(diǎn)在線段上，，是的中點(diǎn)，則直線與直線所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．2．如圖，在正三棱錐中，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小為（

）A．30° B．45° C．60° D．90°3．在正四棱錐中，分別為的中點(diǎn)，直線與所成角的余弦值為，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．4．已知正四面體中，分別為的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角為（

）A． B． C． D．5．如圖，在正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是棱，，的中點(diǎn)，過E，F(xiàn)，G三點(diǎn)作該正方體的截面，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．在平面內(nèi)存在直線與平面平行B．在平面內(nèi)存在直線與平面垂直C．平面平面D．直線與所成角為6．如圖，三棱錐中，，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則異面直線，所成的角的余弦值是（

）A． B． C． D．7．如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，則在正方體中，異面直線與所成的角為（

）A． B． C． D．8．若直線，直線，則直線a與b的位置關(guān)系是A．相交 B．異面 C．異面或平行 D．平行二、多選題9．如圖，在邊長為1的正方體中，M為BC邊的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（

）

A．AM與所成角的余弦值為B．四而體的內(nèi)切球的表面積為C．正方體中，點(diǎn)P在底面（所在的平面）上運(yùn)動(dòng)并且使，那么點(diǎn)P的軌跡是雙曲線D．每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為10．如圖，正方體的棱長為，點(diǎn)分別是平面?平面?平面的中心，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．與所成角為B．點(diǎn)到平面的距離為C．三棱錐的體積為定值D．直線與平面所成角的正切值的最大值為11．已知正方體的棱長為1，是棱的中點(diǎn)，是棱上一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），則下述結(jié)論正確的是（

）．A．存在點(diǎn)，使得直線與直線相交B．點(diǎn)到平面的距離為C．當(dāng)是棱的中點(diǎn)時(shí)，直線與所成的角為D．平面截正方體所得截面是五邊形12．在空間四邊形中，，且異面直線與所成的角為，?分別為和的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角可能為（

）A． B． C． D．三、填空題13．下列命題中，正確的是．（填序號）①如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等；②如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等；③如果兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行．14．在立方體中，把兩兩都為異面直線的三條直線稱為一組，在立方體的12條棱所在直線中，滿足條件的直線有組.15．如圖，已知空間四邊形ABCD中，AD=BC，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，且直線BC與MN所成的角為30°，則BC與AD所成的角為.正方體的棱長為1，異面直線與的距離是參考答案：1．D【解析】取中點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接；設(shè)正四面體的棱長為，，，；，，即，；分別為中點(diǎn)，，；即為直線與直線所成角或其補(bǔ)角；為等邊三角形，為中點(diǎn)，，又，，；，直線與直線所成角的余弦值為.故選：D.2．C【解析】如圖取BC的中點(diǎn)E，連接EF，DE，則EF∥AB，∠DFE即為所求，設(shè)，在正三棱錐中，，故，∴，∴，即異面直線與所成角的大小為.故選：C.3．B【解析】連接，，如圖，

設(shè)，由，得即為與所成的角，在中，易知，，解得.設(shè)，在中，①，因?yàn)?，故，則在中，，即②，①②兩式相加求得，因?yàn)椋獾?因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故，因?yàn)椋?，所以三角形為等腰直角三角形，則在等腰直角三角形中，易求得到的距離即到底面的距離為，故到平面的距離為，，故所求三棱錐的體積為.故選：B4．B【解析】如圖所示，在正四面體中，取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，∴為異面直線所成的角，設(shè)，則在中，，，∵，∴為等腰直角三角形，∴.故選：B5．D【解析】由線面平行判定定理可得，當(dāng)O為的中點(diǎn)時(shí)，平面，由線面垂直判定定理可得，平面，選項(xiàng)A，B都對.因?yàn)椋?，所以平面平面，選項(xiàng)C正確，易得：,為等邊三角形，故直線與所成角為,即直線與所成角為，故D不正確，故選：D.6．D【解析】連接，取的中點(diǎn)，連接，則，所以或其補(bǔ)角是異面直線所成的角，因?yàn)椋?，又，所以，所以，故選：D.7．C【解析】把展開圖還原成正方體如圖所示，由于且相等，故異面直線與所成的角就是和所成的角，故(或其補(bǔ)角)為所求，再由是等邊三角形，可得.故選：C.8．C【解析】由題意直線a∥α，直線b?α，可得直線a，b一定沒有公共點(diǎn)，故兩直線的位置關(guān)系可以是異面或平行故選C.9．ABC【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，對于A中，由，所以，所以與所成角的余弦值為，所以A正確；對于B中，由四面體的體積為，由四面體的所有棱長均為，可得四面體的表面積為，設(shè)四面體的內(nèi)切球的半徑為，則，解得，所以四面體的內(nèi)切球的表面積為，所以B正確；

對于C中，正方體中，點(diǎn)在底面上運(yùn)動(dòng)，且，即點(diǎn)的軌跡為面截以為母線，為軸的圓柱體側(cè)面所得曲線，如圖所示的曲線，由，可得，設(shè)與平面的夾角為，則，所以，所以點(diǎn)在平面上的軌跡為雙曲線，所以C正確；

對于D中，如圖所示，分別取的中點(diǎn)，分別連接，根據(jù)正方體的性質(zhì)，可得六邊形為正六邊形，且邊長為，連接，可平面平面，又由直線與平面所成的角都相等，所以直線與平面所成的角都相等，此時(shí)截面的面積取得最大值，最大值為，所以D不正確.故選：ABC.

10．ABC【解析】如圖所示，聯(lián)結(jié)，N點(diǎn)是的中點(diǎn)，P點(diǎn)是的中點(diǎn)，則，故與所成角即與所成角，即，又，則，故A正確；，同理知，又，則三棱錐為棱長為的正四面體，則易知點(diǎn)到平面的距離為，故B正確；易知，則，平面MNP，即平面MNP，又點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到平面MNP的距離為定值，且與點(diǎn)到平面MNP的距離相等，而M為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面MNP的距離與點(diǎn)到平面MNP的距離相等，為，故三棱錐的體積，故C正確；在正方體中，易知平面，則直線與平面所成角即為，，又，則取最大值時(shí)，取最小值為a，此時(shí)，故D錯(cuò)誤；故選：ABC11．BCD【解析】A選項(xiàng)，若存在點(diǎn)使得直線與直線相交，則，，，四點(diǎn)共面，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，平面，所以，顯然與已知相矛盾，所以A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以平面，則點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在正方體中，平面，而平面，所以；又，平面，平面，所以平面，則點(diǎn)到平面的距離等于的長，因?yàn)?，所以，則，又，所以，所以B正確；C選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，連接，則，所以或其補(bǔ)角為直線與所成的角，連接，，易知，則，，記中點(diǎn)為，連接，則，，則，所以直線與所成的角為，C正確；D選項(xiàng)，過點(diǎn)作的平行線，分別交直線，于點(diǎn)，，連接交于點(diǎn)，連接，，則五邊形就是平面截正方體所得截面，D正確．故選：BCD.12．CD【解析】如圖：取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?分別為和的中點(diǎn)，所以，，所以或其補(bǔ)角即為異面直線與所成的角，因?yàn)楫惷嬷本€與所成的角為，所以或，因?yàn)椋曰蚱溲a(bǔ)角即為異面直線與所成的角，因?yàn)?，所以，在中，，所以或，所以異面直線與所成的角可能為或，故選：CD.13．②③【解析】對于①，如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，故①不正確；對于②，如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等是正確的；對于③，根據(jù)平行公理可知③正確.故答案為：②③.14．8【解析】如圖，取其中一條直線AB,與其一組的直線為或,共兩組，取直線，與其一組的直線為或,共2組，其次類推，過的也各有2組，所以共有組.故答案為：815．60°【解析】如圖，連接BD，并取中點(diǎn)E，連接EN，EM，則EN//BC，ME