高考試題函數(shù)與導數(shù)全解析

09年高考試題函數(shù)與導數(shù)全解析

一、選擇題

1.(2009年廣東卷文)若函數(shù)y=/(x)是函數(shù)丁=優(yōu)(?！?,月。W1)的反函數(shù)，且

/(2)=1，則/(x)=

X2

A.log2XB.eC.log,XD.2~

2,2

【答案】A

【解析】函數(shù)y=優(yōu)(?！?,月4w1)的反函數(shù)是/(x)=log”x,又/(2)=1，即log”2=1,

所以,a=2,故/(x)=log?x,選A.

2.(2009年廣東卷文)函數(shù)/(x)=(x-3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是

A.(-oo,2)B.(0,3)C.(l,4)D,(2,+oo)

【答案】D

I解析】f\x)=(x-3)'/+(x-3*')'=(x—2)/,令/“(X)>0,解得x>2，故選D

3.(2009浙江文)若函數(shù)/(x)=x2+3(aeR),則下列結(jié)論正確的是()

x

A.WaeR,/(x)在(0,+oo)上是增函數(shù)

B.VaeR,/(x)在(0,+o。)上是減函數(shù)

C.3a&R,/(x)是偶函數(shù)

D.BaeR,/(x)是奇函數(shù)

C【命題意圖】此題主要考查了全稱量詞與存在量詞的概念和基礎(chǔ)知識，通過對量詞的考

查結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)進行了交匯設(shè)問.

【解析】對于a=0時有/(x)=x2是一個偶函數(shù)

4.(2009北京文)為了得到函數(shù)y=1gY常4-3的圖像，只需把函數(shù)y=lgx的圖像上所有的

點()

A.向左平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度

B.向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度

C.向左平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度

D.向右平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度

【答案】C

A.y=lg(x+3)+l=lglO(x+3),

B.y=lg(x-3)+l=lglO(x-3),

C.y=lg(x+3)-l=lg-^~,

D.y=lg(x-3)-l=lg^^.

故應選C.

5.(2009山東卷文)函數(shù)y的圖像大致為().

eA—e'

【解析】：函數(shù)有意義，需使=0,其定義域為{x|x/0},排除C,D,又因為

ex+.e-xc2x+.1Ic

y==?」=1+=￡~,所以當x>0時函數(shù)為減函數(shù)，故選A.

e—Te2x-le2x-l

答案:A.

[log(4-x),x<0

6.(2009山東卷文)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=\2?，則f(3)

l/(x-l)-/(x-2),x>0

的值為()

A.-lB.-2C.lD.2

【解析1:由已知得/(-1)=log25,/(0)=log24=2,/(I)=/(0)-/(-I)=2-log25,

/(2)=/⑴—/(0)=-log25,/(3)=/(2)—/⑴=—log25-(2-log25)=-2，故選B.

答案:B.

7.(2009山東卷文)已知定義在R上的奇函數(shù)/(x),滿足/(X-4)=-/1),且在區(qū)間[0,2]

上是增函數(shù)，則（).

A./C-25)</(11)</(80)B./(80)</(11)</(-25)

C./(11)</(80)</(-25)D.〈(-25)<<(80)<<(11)

【解析】:因為f(x)滿足/(x—4)=—/(x),所以/(x-8)=/(x)，所以函數(shù)是以8為周期的

周期函數(shù)，則/(一25)=/(—1),/(80)=/(0),/(11)=/(3),又因為/(x)在R上是奇函

數(shù)，〃0)=0,得/(80)=/(0)=0,/(-25)=/(-I)=一/(1),而由/(x-4)=—/(x)得

/(11)=/(3)=-/(-3)=一川-4)=/(I)，又因為f(x)在區(qū)間［0,2］上是增函數(shù)，所以

/⑴〉/(0)=0,所以一/⑴<0，即/(-25)</(80)</(11)，故選D.

答案:D.

8.(2009全國卷H文)函數(shù)產(chǎn)U7(xW0)的反函數(shù)是

(A)y=_?(x>0)(B)y=-x2(x>0)

(B)y=x2(x<0)(D)y=-x2(x<0)

答案：B

解析：本題考查反函數(shù)概念及求法，由原函數(shù)x?0可知AC錯,原函數(shù)y20可知D錯，

選B.

9.(2009全國卷II文)函數(shù)y=y=log2^—的圖像

2+x

(A)關(guān)于原點對稱(B)關(guān)于主線〉=一》對稱

(C)關(guān)于y軸對稱(D)關(guān)于直線y=x對稱

答案：A

解析:本題考查對數(shù)函數(shù)及對稱知識，由于定義域為(-2,2)關(guān)于原點對稱，又f(-x)=-f(x),

故函數(shù)為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱，選A。

10.(2009全國卷H文)設(shè)a=lge,4=(lge>,c=lgj^則

(A)a>h>c(B)a>c>b(C)c>a>b(D)c>b>a

答案：B

解析：本題考查對數(shù)函數(shù)的增減性，由l>lge>0,知a>b及c=\ge,作商比較知c>b,選

2

11.（2009安徽卷文）設(shè)。〈0,函數(shù)尸=的圖像可能是

【解析】可得x=a,x=6為y=(x—a)2(x—6)=0的兩個零解.

當x<a時，則x<bf(x)<0

當a<x<。時，則/(x)<0,當x>b時,則/(x)>0.選C。

【答案】C

12.(2009江西卷文)函數(shù)~藝，的定義域為

x

A.[-4,1]B.[-4,0)C.(0,1]D.[-4,0)U(0,l]

答案：D

XH0

【解析】由《2得-44x<0或0<xKl,故選D.

-X2-3X+4>0

13.(2009江西卷文)已知函數(shù)/(x)是(-8,+8)上的偶函數(shù)，若對于X20,都有

/(x+2)=/(x),且當xe[0,2)時，/(x)=log2(x+l),則/(—2008)+/(2009)的值

為

A.-2B.-1C.1D.2

答案：C

【解析】/(-2008)+/(2009)=/(0)+/(l)=lg；+log：=l,故選C.

14.（2009江西卷文）如圖所示，一質(zhì)點P（x,y）在X。），平面上沿曲線運動，速度大小不變,

其在x軸上的投影點。（x,0）的運動速度V=V。）的圖象大致為

答案：B

【解析】由圖可知，當質(zhì)點P(x,y)在兩個封閉曲線上運動時，投影點。(x,0)的速度先由

正到0、到負數(shù)，再到0,到正，故A錯誤；質(zhì)點P(x,y)在終點的速度是由大到小接

近0,故。錯誤；質(zhì)點P(x,y)在開始時沿直線運動，故投影點。(x,0)的速度為常數(shù),

因此。是錯誤的，故選8.

*，15

15.(2009江西卷文)若存在過點(1,0)的直線與曲線y=x和y=。廠+—9都相切,

則。等于

…25…21725

A.-1或—-B.一1或一C.,或士D.---或7

6444644

答案：A

3

【解析】設(shè)過(1,0)的直線與y=》3相切于點(x0,x0),所以切線方程為

32

y-x0=3X0(X-X0)

_3

即y=3/2%—2/3,又(1,0)在切線上,則玉1=0或%=

2

1525

當玉)=0時，由丁=0與丁=0+1%-9相切可得〃=一

64

3?72715

當今=一二時，由y='x-一^與y=a/+jx—9相切可得&=一1,所以選A.

16(2009天津卷文)設(shè)〃=108I2力=10813,。=4嚴，則

352

Aa<b<cBa<c<bCb<c<aDb<a<c

【答案】B

【解析】由已知結(jié)合對數(shù)函數(shù)圖像和指數(shù)函數(shù)圖像得到。<0,0<c<1,而b=log23>1,

因此選Bo

17.(2009天津卷文)設(shè)函數(shù)/(x)=x-4x+6,尤“。則不等式/(x)〉/(i)的解集是()

x+6,x<0

A(-3,1)u(3,+oo)B(-3,1)u(2,+oo)

C(-1,1)U(3,+8)D(-a),-3)u(l,3)

【答案】A

【解析】由已知，函數(shù)先增后減再增

當xNO,/(x)N2/⑴=3令/(x)=3,

解得x=l,x=3。

當x<0,x+6=3,x=-3

故/(%)>/(1)=3,解得一3Vx<1或x>3

18.(2009天津卷文)設(shè)函數(shù)f(x)在R上的導函數(shù)為f，(x),且2f(x)+xf'(x)>x2,x下面的不等式

在R內(nèi)恒成立的是

Af(x)>0Bf(x)<0Cf(x)>xD/(x)<x

【答案】A

【解析】由已知，首先令x=0,排除B,D。然后結(jié)合已知條件排除C,得到A

19.(2009四川卷文)函數(shù)>=2向(X€/?)的反函數(shù)是

A.y=l+log2x(x>0)B.y=log2(x-l)(x>1)

C.y=-1+log2x(x>0)D.y=log2(x+l)(x>-1)

【答案】C

【解析】由y=2"inx+l=log2y=x=—l+log2V，又因原函數(shù)的值域是y>0，

其反函數(shù)是y=-l+log2x(x>0)

20.(2009四川卷文)已知函數(shù)/(x)是定義在實數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù)，且對任意

實數(shù)x都有

?(x+l)=(l+x)/(x),則/§)的值是

15

A.0B.-C.1D.-

22

【答案】A

【解析】若XKO,則有/(x+l)==/(x),MXx=--,則有：

x2

1-1

/(^)=/(-1+1)==-/(-1)=-/(1)(:/(X)是偶函數(shù)，則

~2

“合=嗎))

由此得/(；)=0

于是

22

21.(2009湖南卷文)log2血的值為【D】

A.B.>/2C.---D.—

22

廠11

解:由log2J2=log,22'log22=/,易知D正確.

22.(2009湖南卷文)若函數(shù)y=/(x)的號圖到在區(qū)間［a,b］上是增函數(shù)，

則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間口,3上的圖象可能是【A】

A.B.C.D.

解:因為函數(shù)y=/(x)的號圖藜y=/'(x)在區(qū)間［a,句上是增函數(shù),即在區(qū)間［a,句上

各點處的斜率上是遞增的，由圖易知選A.注意C中y'=k為常數(shù)噢.

23.(2009湖南卷文)設(shè)函數(shù)了=/*)在(-8,+8)內(nèi)有定義，對于給定的正數(shù)K,定義函

數(shù)

f(x)=<

K[K,f(x)>K.

取函數(shù)/(了)=2由。當K=；時，函數(shù)/Mx)的單調(diào)遞增區(qū)間為[C]

A.(-8,0)B.(0,+oo)C.(—8,—1)D.(1,+oo)

解：函數(shù)/(x)=2蟲=(；/，作圖易知/(x)KK=gnxe(—8,—l]U[l,+8)，

故在(-叫―1)上是單調(diào)遞增的，選C.

24.(2009遼寧卷文)已知函數(shù)/(幻滿足：x24,則/(x)=(；>；當x<4時/(x)=

f(x+l),則/(2+log23)=

(A)—(B)—(C)-(D)-

241288

(解析J???3<2+log23<4,所以f(2+log23)=f(3+log23)

且3+log23>4

/./(2+log23)=f(3+log23)

11

z\

=-X(-l

8\2z

25.(2009遼寧卷文)已知偶函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,+oo)單調(diào)增加，則滿足

的x取值范圍是

121212

(A)(一,一)(B)-)(C)(-,-)⑻□，上)

33332323

【解析】由于f(x)是偶函數(shù)，故f(x)=f(|x|)

...得f(|2x-l|)<f(1),再根據(jù)f(x)的單調(diào)性

得|2x-1|V:12

解得—Vx<—

33

【答案】A

26.(2009陜西卷文)函數(shù)/1)=，2*—4*24)的反函數(shù)為

,1,,1,

(A)/-1(X)=-X2+4(X>0)(B)f-l(x)=-x2+4(x>2)

,1,

(C)/-'(X)=-X2+2(X>0)(D)/-'(X)=1X2+2(X>2)

答案：D.解析:令原式y(tǒng)=/(%)=J2x-4(x22)貝ij丁=2%一4,即x==^=^+2

22

故/i(x)=gx2+2(xN2)故選D.

27.(2009陜西卷文)定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足：對任意的陽w[0,+oo)(x產(chǎn)々)，

有)(々)一)(芭)<。則

/一%

(A)/(3)</(-2)</(I)(B)/(I)</(-2)</(3)

(C)/(-2)</(1)</(3)(D)/(3)</(1)</(-2)

答案:A.

解析：由(/一xJ(/(/)—/(%))>0等價，于/(切一/⑷〉。則在

x2一芭

西用蟲―8,0](X尸々)上單調(diào)遞增，又/(X)是偶函數(shù)，故/(X)在

%,々€(0,+00](工產(chǎn)々)單調(diào)遞減?且滿足〃€河時，/(—2)=/(2),3>2>1>0,得

/(3)</(-2)<〃1),故選A.

28.(2009陜西卷文)設(shè)曲線y=x"+i(neN*)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐

標為Xn，則X,-x2...xn的值為

11n

(A)-(B)--(C)--(D)1

n〃+l〃+l

答案:B

解析：對y=x"+i(〃eN*)求導得y'=(〃+l)x",令x=l得在點(1,1)處的切線的斜率

%=〃+1,在點

(1,1)處的切線方程為y—l=A(x,—l)=(〃+l)(x“一1),不妨設(shè)y=0,%”=7VT

?.123n-\n1

貝...x?=-x—x—x...x----x----=----,故選B.

12"234nn+1n+1

29.(2009四川卷文)函數(shù)>=22(》€(wěn)/?)的反函數(shù)是

A.y=1+log2x(x>0)B.y=log2(x-l)(x>1)

C.y=-14-log2x(x>0)D.y=log2(x4-l)(x>-1)

【答案】C

【解析】由y=2*=x+l=log2y=x=—l+log2V，又因原函數(shù)的值域是y>0，

其反函數(shù)是>'=-1+log,x(x>0)

30.(2009四川卷文)已知函數(shù)/(x)是定義在實數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù)，且對任意

實數(shù)x都有

0Xx+l)=(l+x)/(x),則/(；)的值是

15

A.0B.-C.1D.-

22

【答案】A

1+X1

【解析】若xwo,則有/。+1)=--/(X),取元=一一，則有：

x2

???f(x)是偶函數(shù)，則

1+-1+-

〃|)=“+D=T〃|)=?(|)寧臥)嗎=5g)=0

22

31.(2009全國卷I文)已知函數(shù)/(x)的反函數(shù)為g(x)=l+21gx(x>0),則/⑴+g⑴=

(A)0(B)1(C)2(D)4

【解析】本小題考查反函數(shù)，基礎(chǔ)題。

解：由題令l+21gx=l得x=l,即/'(1)=1,又g(l)=l,所以/(l)+g(l)=2,

故選擇C。

32.(2009湖北卷文)函數(shù))，=1^(xeR,且的反函數(shù)是

A.y=1+2*(xeR,且x*—)B.y=-~—(xe/?,Jlx*--)

1-2x21+2x2

C.y=1+%(xGR,_iLxMl)D.y=-------(xGR,JLx聲-1)

2(1-x)2(1+x)

【答案】D

【解析】可反解得」=1—,故/T(x)1—X且可得原函數(shù)中yGR、yW-1所以

2(1+j)2(1+x)

1-x

且XCR、el選D

2(1+x)

33.(2009福建卷文)定義在R上的偶函數(shù)/(x)的部分圖像如右圖所示，則在(-2,0)上,

卜列函數(shù)中與/(x)的單調(diào)性不同的是

A.y=x2+1

B.y=|x|+1

2x+l,x>0

c.y=(3

x+1,x<0

[ex,x>o

D.y=〈

e-*,x<0

解析解析根據(jù)偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反，故可知求在(-2,0)上單調(diào)遞

減，注意到要與/(x)的單調(diào)性不同，故所求的函數(shù)在(-2,0)上應單調(diào)遞增。而函數(shù)

y=x2+1在(-oo,l］上遞減；函數(shù)y=|x|+l在(-oo,0］時單調(diào)遞減；函數(shù)

y：在(-oo,0］上單調(diào)遞減，理由如下y'=3x2>0(x<0),故函數(shù)單調(diào)遞增，顯

x+l,x-<0

e"xN0

然符合題意；而函數(shù)y=4'—，有y，=-eT<0(x<0),故其在(一8,0］上單調(diào)遞減，不

e-*,xY0

符合題意，綜上選C。

34.(2009福建卷文)若函數(shù)“X)的零點與g(x)=4、+2x-2的零點之差的絕對值不超

過0.25,則/(x)可以是

A./(x)-4x-lB.f(x)-(x-1)2

C./(x)="—lD.=

解析〃力=48一1的零點為*=；,〃力=?！?)2的零點為*=1,/(x)="-l的零

點為x=0,=x-g)的零點為x=g.現(xiàn)在我們來估算g(x)=4V+2x-2的零點，

因為g(0)=-l，g(；)=L所以g(x)的零點X6(O,g)，又函數(shù)/(x)的零點與g(X)=4'+2x-2

的零點之差的絕對值不超過0.25,只有/(x)=4x-l的零點適合，故選A。

64.19.(2009重慶卷文)把函數(shù)/(x)=d—3x的圖像G向右平移“個單位長度，再向下平

移丫個單位長度后得到圖像若對任意的“〉0,曲線G與G至多只有一個交點，則n

的最小值為()

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

解析根據(jù)題意曲線C的解析式為y=(x-u)i-3(x-u)-v,則方程

(x—up—3(x—w)—v—9—3x,即3ux~—3w+v)<0?即uN—〃'+3w對任意

4

u>0恒,成立,于是丫N—1/3+3w的最大值，令g(〃)=—“3+3u(u>0),則

44

g(?=——〃2+3=一巳?—2)(〃+2)由此知函數(shù)g(〃)在(0,2)上為增函數(shù),在

44

(2,+8)上為減函數(shù)，所以當“=2時，函數(shù)g(〃)取最大值，即為4,于是丫24。

二、填空題

1.(2009遼寧卷文)若函數(shù)/(x)=^^^在x=l處取極值，則。=___________

x+1

［解析］f'(x)=2Mx+D-(?+")

(x+l)2

f'⑴二土工二。na=3

4

【答案】3

2.(不知道哪里的)若曲線/(x)=ax2+/〃x存在垂直于y軸的切線，則實數(shù)a的取值范圍

是_____,

解析解析：由題意該函數(shù)的定義域x〉0,由/'(x)=2ax+：。因為存在垂直于y軸的

切線，故此時斜率為0,問題轉(zhuǎn)化為x>0范圍內(nèi)導函數(shù)f(x)=2ax+：存在零點。

解法1(圖像法)再將之轉(zhuǎn)化為g(x)=-2ax與力")=’存在交點。當a=0不符合題意,

當〃>0時，如圖1,數(shù)形結(jié)合可得顯然沒有交點，當a<0如圖2,此時正好有一個交點，

故有a<0應填(—8,0)

或是｛a|a<0｝。

解法2(分離變量法)上述也可等價于方程2公+工=0在(0,+8)內(nèi)有解，顯然可得

a=-Je(-oo,0)

3.(2009上海卷文)函數(shù)f(x)=x、i的反函數(shù)p(x)=.

【答案】6萬

【解析】由y=x'+l,得*=#,_],將y改成x,x改成y可得答案。

3\X<]

4.(2009北京文)已知函數(shù)/(x)=<"'若〃x)=2,貝ijx=

r.x>1,

【答案】log32

x<1X>1

由4=>x=log32,<無解，故應填log?2.

3V=2-x=2=>x=-2

5.(2009江蘇卷文)函數(shù)/(x)=x3—15f—33x+6的單調(diào)減區(qū)間為.

f'(x)=3x2-30x-33=3(x-11)(%+1),

由(九一1l)(x+1)<0得單調(diào)減區(qū)間為(-1,11)?亦可填寫閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間。

6.(2009江蘇卷文)在平面直角坐標系xoy中，點P在曲線C:y=V-10x+3上，且在第

二象限內(nèi)，已知曲線C在點P處的切線的斜率為2,則點P的坐標為.

/=3X2-10=2=^X=±2,又點P在第二象限內(nèi)，.?.x=-2點P的坐標為(-2,15)

V5-1

7.(2009江蘇卷文)已知a=函數(shù)〃幻=優(yōu),若實數(shù)“、“滿足/(〃?)>/(〃),

2

則機、n的大小關(guān)系為.

。=與匚6(0,1),函數(shù)/(x)=優(yōu)在R上遞減。由/(團)>/(〃)得：m<n

8.(2009江蘇卷文)已知集合4=卜|1082工42｝,3=(-8,。)，若A=8則實數(shù)。的取值

范圍是(C,+8),其中C=.

由log?1<2得0<九<4,A=(0,4］；由A=B知a>4,所以c=4。

9.(2009山東卷文)若函數(shù)f(x)=a'-x-a(a>0且aH1)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍

是:

【解析】：設(shè)函數(shù)〉=優(yōu)僅>0,且awl｝和函數(shù)y=x+a,則函數(shù)f(x尸a、x-a(a>0且aw1)

有兩個零點，就是函數(shù)y^ax(a>0,且aH1｝與函數(shù)y=x+a有兩個交點,由圖象可知當

0<。<1時兩函數(shù)只有一個交點,不符合，當時，因為函數(shù)y=a*(a>l)的圖象過點

(0』),而直線>=X+<7所過的點(0,a)一定在點(0,1)的上方，所以一定有兩個交點.所以實數(shù)

a的取值范圍是

答案：｛a\a>i｝

10.(2009四川卷文)設(shè)丫是已知平面M上所有向量的集合，對于映射

記。的象為f(a)o若映射f：V->V滿足：對所有a、bEV及任意實數(shù)都有

f(幾a+〃b)=2f(a)+〃f(b),則/稱為平面〃上的線性變換?，F(xiàn)有下列命題：

①設(shè)/是平面〃上的線性變換，a、b&V,則/(a+b)=/(“)+/(b)

②若e是平面M上的單位向量，對aeV,設(shè)7(a)=a+e,則/是平面M上的線性變換；

③對awV,即伍)=-。，則/是平面M上的線性變換；

④設(shè)/是平面”上的線性變換，aeV,則對任意實數(shù)人均有/(N)=4(幻。

其中的真命題是(寫出所有真命題的編號)

【答案】①③④

【解析】①：令幾=〃=1,則/(a+b)=/(a)+/3)故①是真命題

同理，④：令4=k〃=0,則/(匿0=故④是真命題

③：Vf(a)=-a,則有/0)=—8

f(Aa+或)=-(Aa+址>)=2-(-a)+〃-(-b)=-)+川(。)是線性變

換，故③是真命題

②：由/(a)=a+e,則有/(/?)=b+e

f(Aa+曲)-(Aa+/jb)+e=4?(a+e)+〃?(/?+e)-e=歹(a)+-e

?；e是單位向量，eWO,故②是假命題

11.(2009寧夏海南卷文)曲線y=xe'+2x+l在點(0,1)處的切線方程為。

【答案】y=3x+l

【解析】y'=ex+xex+2,斜率k=e°+0+2=3,所以，y—l=3x,即y=3x+l

12.(2009重慶卷文)記/(公=1083。+1)的反函數(shù)為〉=/7(外，則方程/T(X)=8的解

X=?

【答案】2

解法1由y=/(x)=log3(x+l),得X=3>T,即/T(X)=3X—1,于是由3x—1=8,解

得x=2

解法2因為/-l(x)=8,所以x=y(8)=log3(8+l)=2

三、解答題

1.(2009年廣東卷文)(本小題滿分14分)

已知二次函數(shù)y=g(x)的導函數(shù)的圖像與直線y=2x平行，且y=g(x)在x=-1處取得最

小值01—1(111/0).設(shè)函數(shù)/(》)=綱

X

(1)若曲線y=/(x)上的點P到點Q(0,2)的距離的最小值為J5,求m的值

(2)MkeR)如何取值時，函數(shù)y=/(x)-丘存在零點，并求出零點.

【解析】(1)設(shè)g(x)=ax2+6x+c,則，(x)=2ax+b：

又g'(x)的圖像與直線y=2x平行.1.2a=2a=1

b

又g(x)在％=-1取極小值，一萬二一1，b=2

g(-l)=a-h+c=\-2-^c=tn-lfc=機；

/(X)=21_H=X+%+2'設(shè)P(X0,J

XX

(、22____

貝"PQ『=x；+(yo-2)2=x；+x0+—=2片+與+2227^7+2

kX0J10

?，.2J2m2+2=4m=±—；

2

?2?

(2)山y(tǒng)=/(x)-履二(1-Z)x+—+2=0,

得(1一%)尤?+2x+小=0(*)

7/77??

當k=l時，方程(*)有一解x=—函數(shù)y=/(x)—乙有一零點x=—三；

當上*1時，方程(*)有二解04=4一4機(1一攵)>0,若機>0,k>l-—,

m

函數(shù)y=/(x)-質(zhì)有兩個零點x=-2±yt；4：(I)=l±若“<0,

k<一,函數(shù)y=〃x)—履有兩個零點X=-2±--4加(1-《)=”正”(14)；

m2(i)k-\

當人*1時1方程(*)有一解=A=4—4〃z(l—k)=0,々=1—1?，函數(shù)

m

y=/(x)一點有一零點x=鼠彳

2.(2009浙江文)(本題滿分15分)已知函數(shù)/(x)=x3+(]-4)/-a(a+2)x+/?

(a,beR).

(I)若函數(shù)/(x)的圖象過原點，且在原點處的切線斜率是-3,求。力的值;

(II)若函數(shù)”X)在區(qū)間(—1,1)上不單摒求a的取值范圍.

解析:(I)由題意得/(%)=31+2(1-a)x-a(a+2)

乂!f(0)=b=0

解得b=0，a=—3或a=l

[尸(0)=-a(a+2)=-3

(H)函數(shù)/(x)在區(qū)間(-1,1)不單調(diào)，等價于

導函數(shù)/'(x)在(-1,1)既能取到大于0的實數(shù)，又能取到小于0的實數(shù)

即函數(shù)/'(X)在(-1,1)上存在零點，根據(jù)零點存在定理，有

/(一1)/'(1)<0,即：[3+2(1-a)-a(a+2)][3-2(1-a)-a(a+2)]<0

整理得：(a+5)(a+l)(a—<0,解得一5<“<—1

3.(2009北京文)(本小題共14分)

設(shè)函數(shù)/(x)=%3—3ax+b(aw0).

(I)若曲線y=/(x)在點(2J(x))處與直線y=8相切，求a,b的值；

(II)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間與極值點.

【解析】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查

綜合分析和解決問題的能力.

(I)/'(x)=3x2-3a,

???曲線y=f(x)在點(2,/(x))處與直線y=8相切，

/⑵=03(4-a)=0[a=4,

〈=><=>>

"2)=8〔8—6a+8=8m=24.

(IDV/'(x)=3(x2-a)(G^0),

當a<0時，/(x)>0,函數(shù)/(x)在(一8,+8)上單調(diào)遞增,

此時函數(shù)/(x)沒有極值點.

當a〉0時，由/,(x)=0=>x=+4a，

當時，/1(x)>0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，

當x4時，/1(x)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，

當xe(6,+8)時，/'(x)>0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，

.,.此時》=-是/a)的極大值點，x=&是/(X)的極小值點.

4.(2009江蘇卷文科)(本小題滿分16分)

設(shè)。為實數(shù)，函數(shù)/(%)=2一+(九一

⑴若/(0)21,求a的取值范圍；

⑵求/(%)的最小值;

⑶設(shè)函數(shù)/?(x)=/a),%G(a,+x)),宜談號中(不需給出演算步驟)不等式〃(％)>1的解集.

【解析】本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及解一元二次不等式等基礎(chǔ)知識，考查靈

活運用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力。滿分16分

。<0

(1)若/(O)21,則一〃⑷21=><.=>a<-l

a2>i

/(?),?>02a2,a>0

(2)當時，/(%)=3x2-lax+a1?f(\=

J3x?min2a2

嗚),”0---,a<0

.3

—2〃~,a20

2/(-?),?>o

當時,f(x)=x+2ax-a\/(x)min=

f(a),a<02a2,a<0

-2a2,a>0

綜上〃X)min=2a2

---,a<0

3

(3)X￡(a,+oo)時，h(x)>1^3x2-2ax+a2-1>0,A=4a2-12(a2-l)=12-8tz2

當〃〈——^―或〃N—^―時，△<0,X￡(〃,+8);

V6y/6,ci-J3-2〃~a4-43-2a~.

當----<tz<時i△>(),得：J(zx-)(x~)-A0

2233

x>a

討論得：當a￡(=,：-)時，解集為(a,+8)；

業(yè)V6■'/^、H住斗，，a—yl3—2a~/+,3-2。~、

當aw(---,---)時,解集為(a,-----------]u[-----------,+8);

也rV2-,A,J/fawr+^3—la'

當ae[---]Ht,解集為[-----------,-H?).

5.(2009山東卷文)(本小題滿分12分)

1,,

已知函數(shù)f(x)=-ax+bx~+x+3,其中a*0

(1)當a,6滿足什么條件時,/(x)取得極值?

(2)已知。〉0,且〃x)在區(qū)間(0,1］上單調(diào)遞增，試用。表示出。的取值范圍.

解：⑴由已知得了'(X)=ax2+2bx+\，令/'(%)=0，得ax2+2bx+\=0,

/(x)要取得極值，方程ax2+2"+1=0必須有解,

所以△=4/—4a〉0,即6>a,此時方程ax?+2bx+l=0的根為

-2b-d4b2-4a-b-\lb2-a-2b+N4b2-4〃-b+yjb2-a

須,X]~~

2aa2aa

所以/'(x)=a(x-xJ(x-X2)

當a>0時，

X(Xl,x)

(-°°,X|)X12X2(x2,+°°)

f'(x)+0—0+

f(x)增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)

所以/(x)在X1,X2處分別取得極大值和極小值.

當a<0時，

X(-8的)X2(X2,X1)X1(Xl,+8)

f'(x)—0+0一

f(x)減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值減函數(shù)

所以/(X)在XI,X2處分別取得極大值和極小值.

綜上，當a,b滿足〃>a時:/(x)取得極值.

(2)要使/(x)在區(qū)間(0,1］上單調(diào)遞增，需使尸(x)=a?+2bx+120在(0,1］上恒成立.

即bN—?—J,xe(0J恒成立，所以

22x22x

iiQ12---)

、八/、ax1,/xa1a

設(shè)g(x)=-萬-三，g叱―5+彳=-^-'

令g，(x)=0得x=或x=--(舍去),

yjayja

當a>1時,0<工<1,當xe(0,時g\x)>0,g(x)=—竺單調(diào)增函數(shù);

ayja22x

當xe(3，l］時8口)<0遙(幻=-竺--1-單調(diào)減函數(shù),

da22x

1