10.3解二元一次方程組（解析版）

10.3解二元一次方程組消元思想講含有多個未知數(shù)的方程（組），通過某種方式轉(zhuǎn)化為只含有一個未知數(shù)的方程，這樣就可以先求出一個未知數(shù)，然后再求出另外的未知數(shù).這種將未知數(shù)由多化少、逐一解決的思想，叫做消元思想.代入消元法將方程組的一個方程中的某個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示，并代入另一個方程，消去這個未知數(shù)，從而把解二元一次方程組轉(zhuǎn)化為解一元一次方程。這種解方程組的方法成為代入消元法，簡稱代入法。加減消元法把方程組的兩個方程（或先做適當(dāng)變形）的左、右兩邊分別相加或相減，消去其中一個未知數(shù)，從而把解二元一次方程組轉(zhuǎn)化為解一元一次方程。這種解方程組的方法稱為加減消元法，簡稱加減法。題型1：代入消元法1．已知x=4-ty=2-3t，寫成用含x的代數(shù)式表示y的形式，得y＝3x﹣10【分析】根據(jù)題意，先用含有x的式子表示t，則t＝4﹣x，再把t＝4﹣x代入到y(tǒng)＝2﹣3t里即可得出答案．【解答】解：∵x＝4﹣t，∴t＝4﹣x，∴y＝2﹣3t＝2﹣3（4﹣x）＝3x﹣10；故答案為：y＝3x﹣10．【變式1-1】解方程組：x+y=75x+3y=31【分析】由①得出x＝7﹣y，代入②求出y，把y的值代入①求出x即可．【解答】解：x+y=7①由①得x＝7﹣y，③把③代入②，得5（7﹣y）+3y＝31，解得y＝2，把y＝2代入③，得x＝7﹣2＝5，所以，原方程組的解為x=5y=2【變式1-2】用代入消元法解方程組：（1）y=6-（2）5x-【分析】（1）利用代入消元法進(jìn)行求解即可；（2）利用代入消元法進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）y=6-將①代入②得：x+2（6﹣2x）＝6．解得x＝2．將x＝2代入①得：y＝6﹣2×2＝2．所以原方程組的解為：x=2y=2（2）5x-由②得：x＝5﹣y③，將③代入①得：5（5﹣y）﹣2y﹣4＝0．解得y＝3．將y＝3代入③得：x＝2．所以原方程組的解為x=2y=3題型2：加減消元法2.關(guān)于x、y的二元一次方程組6x-5y=3①3x+y=-15②，小華用加減消元法消去未知數(shù)x，按照他的思路，用②×2﹣①得到的方程是7y＝﹣【分析】利用加減消元法進(jìn)行計算即可．【解答】解：解二元一次方程組6x-5y=3①3x+y=-15②時，小華用加減消元法消去未知數(shù)x，按照他的思路，用②×2﹣①得到的方程是：7故答案為：7y＝﹣33．【變式2-1】解方程組：x-【分析】用加減消元法解二元一次方程組即可．【解答】解：x①+②得：4x＝4，解得：x＝1，把x＝1代入①得：1﹣2y＝1，解得：y＝0，∴原方程組的解為：x=1y=0【變式2-2】解方程組3x+4y=75x+6y=10【分析】利用加減消元法解二元一次方程組【解答】解：3x+4y=7②×2得：10x+12y＝20③，①×3得：9x+12y＝21④，③﹣④得：x＝﹣1，把x＝﹣1代入②得：﹣5+6y＝10，解得：y=5∴方程組的解為x=-題型3：整體思想解決問題3.已知x、y滿足方程組4x+y=-12x-y=3，則x+y的值為﹣2【分析】解二元一次方程組，可得出x=13y=-73【解答】解：4x+y=-①+②得：6x＝2，∴x=1將x=13代入①得：4×13∴y=-∴x+y=13故答案為：﹣2．【變式3-1】已知方程組5x-2y=3mx+5y=4與x-4y=【分析】兩個方程組的解相同，也就是有一組x、y的值是這四個方程的公共解，當(dāng)然也是其中任意兩個方程的公共解，所以可以把原來的方程組打亂，重新組合起來求解．【解答】解：由已知可得5x-解得x=1y=1把x=1y=1代入剩下的兩個方程組成的方程組mx+5y=4得m+5=45+n=1解得m＝﹣1，n＝﹣4．【變式3-2】我們知道方程組2x+3y=193x+4y=26的解是x=2y=5．現(xiàn)給出另一個方程組2(2x+4)+3(y+3)=193(2x+4)+4(y+3)=26，它的解是【分析】把2x+4，y+3看作整體，則2x+4=2y+3=5【解答】解：根據(jù)題意得：2x+4=2y+3=5解得：x=-故答案為：x=-一．選擇題（共8小題）1．方程組2x+y=4x-y=-1A．x=2y=0 B．x=1y=2 C．x=1y=-2 【分析】加減消元法解二元一次方程組即可．【解答】解：2x+y=4①①+②得：3x＝3，解得：x＝1，把x＝1代入②得：1﹣y＝﹣1，解得：y＝2，∴原方程組的解為x=1y=2，故B故選：B．2．用加減法解方程組x+y=-3①3x+y=6②由②﹣A．2x＝9 B．2x＝3 C．4x＝9 D．4x＝3【分析】觀察兩方程發(fā)現(xiàn)y的系數(shù)相等，故將兩方程相減消去y即可得到關(guān)于x的一元一次方程．【解答】解：解方程組x+y=-3①3x+y=6②，由②﹣所得到的一元一次方程是2x＝9．故選：A．3．小明在解關(guān)于x、y的二元一次方程組2x-3y=5，A．5和1 B．1和5 C．﹣1和3 D．3和﹣1【分析】把x＝4代入第一個方程中，從而可求得y，再代入相應(yīng)的式子即可求解．【解答】解：由題意得：2×4﹣3y＝5，解得y＝1，則？代表的數(shù)為1，4+1＝5，則△代表的數(shù)為5．故選：A．4．已知二元一次方程組x+2y=3x-y=5，則2x+yA．﹣2 B．0 C．6 D．8【分析】把兩個方程相加，則可直接求得2x+y的值．【解答】解：x+2y=3①①+②得：2x+y＝8．故選：D．5．若|x+y﹣3|與（2x+3y﹣8）2互為相反數(shù)，則3x+4y＝（）A．11 B．9 C．7 D．5【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義得|x+y﹣3|+（2x+3y﹣8）2＝0，由此得到x+y=32x+3y=8，解方程組求出x，y【解答】解：由題意得|x+y﹣3|+（2x+3y﹣8）2＝0，∴x+y=32x+3y=8，解得x=1∴3x+4y＝3×1+4×2＝11，故選：A．6．若方程組2x+4y=k+1010x+3y=1011的解滿足：x+y＝2021，則kA．2019 B．2020 C．2021 D．2022【分析】由①﹣②可得出x+y＝k﹣1，結(jié)合x+y＝2021，可得出關(guān)于k的一元一次方程，解之即可得出k的值．【解答】解：2x+4y=k+1010①①﹣②得：x+y＝k﹣1，又∵x+y＝2021，∴k﹣1＝2021，解得：k＝2022，∴k的值為2022．故選：D．7．已知方程組ax-by=4ax+by=6與方程組3x-y=5A．a(chǎn)=-52b=1 B．a(chǎn)=52b=-1 【分析】先求出第二個方程組的解，把x=2y=1代入方程組ax-by=4【解答】解：解方程組3x-y=54x-7y=1∵方程組ax-by=4ax+by=6∴把x=2y=1代入方程組ax-by=4解得：a=5故選：C．8．若關(guān)于x，y的方程組x+ay+1=0bx-2y+a=0A．a(chǎn)b＝﹣2 B．a(chǎn)b＝﹣2且a≠1 C．a(chǎn)b≠﹣2 D．a(chǎn)b＝﹣2且a≠2【分析】把①變形，用y表示出x的值，再代入②得到關(guān)于y的方程，令y的系數(shù)等于0即可求出ab的值．【解答】解：x+ay+1=0①由①得，x＝﹣1﹣ay，代入②得，b（﹣1﹣ay）﹣2y+a＝0，即（﹣ab﹣2）y＝b﹣a，因?yàn)榇朔匠探M沒有實(shí)數(shù)根，所以﹣ab﹣2＝0，ab＝﹣2．故選：A．二．填空題（共8小題）9．方程組x+y=12x-y=2的解為x=7y=5【分析】①+②消去y，①﹣②消去x，即可求解．【解答】解：x+y=12①①+②得，2x＝14，解得x＝7，①﹣②得，2y＝10，解得y＝5，∴方程組的解為x=7y=5故答案為：x=7y=510．已知x=4-ty=2-3t，寫成用含x的代數(shù)式表示y的形式，得y＝3x﹣【分析】根據(jù)題意，先用含有x的式子表示t，則t＝4﹣x，再把t＝4﹣x代入到y(tǒng)＝2﹣3t里即可得出答案．【解答】解：∵x＝4﹣t，∴t＝4﹣x，∴y＝2﹣3t＝2﹣3（4﹣x）＝3x﹣10；故答案為：y＝3x﹣10．11．已知x+2y=-32x+y=7，則代數(shù)式x﹣y的值為【分析】觀察方程組中方程的特點(diǎn)，用第二個方程減去第一個方程直接得到x﹣y的值即可．【解答】解：x+2y=-由②﹣①得，x﹣y＝7﹣（﹣3），解得x﹣y＝10．故答案為：10．12．已知實(shí)數(shù)a，b滿足方程組3a+2b=72a+3b=8，則a2﹣b2的值是﹣3【分析】方程組兩方程相加減求出a+b與a﹣b的值，原式分解后代入計算即可求出值．【解答】解：3a+2b=7①①﹣②得：a﹣b＝﹣1，①+②得：5a+5b＝15，即a+b＝3，則原式＝（a+b）（a﹣b）＝﹣3，故答案為：﹣3．13．已知x，y滿足|x﹣y|+（x+y+2）2＝0，則（π﹣2021）x﹣y＝1；（﹣3）x+y＝19【分析】由非負(fù)數(shù)性質(zhì)可得：x﹣y＝0，x+y+2＝0，再進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵|x﹣y|+（x+y+2）2＝0，∴x﹣y＝0，x+y+2＝0，即x﹣y＝0，x+y＝﹣2，∴（π﹣2021）x﹣y＝1；（﹣3）x+y=1故答案為：1，1914．解關(guān)于x，y方程組(m+1)x-(3n+2)y=8①(5-n)x+my=11②可以用①×2+②，消去未知數(shù)x；也可以用①+②×5消去未知數(shù)y．則m＝﹣23，n＝【分析】根據(jù)已知得出關(guān)于m、n的方程組，求出方程組的解即可．【解答】解：∵解關(guān)于x，y方程組可以用①×2+②，消去未知數(shù)x；也可以用①+②×5消去未知數(shù)y，∴2(m+1)+(5-即2m-解得m＝﹣23，n＝﹣39．故答案為：﹣23，﹣39．15．已知m是整數(shù)且﹣60＜m＜﹣30，關(guān)于x、y的二元一次方程組2x-3y=5-3x-7y=m有整數(shù)解，則m＝﹣42，x2+y＝【分析】先運(yùn)用加減消元法解關(guān)于x、y的二元一次方程組2x-3y=5-3x-7y=m，將x、y的值用含m的代數(shù)式表示，再根據(jù)﹣60＜m＜﹣30，由不等式的性質(zhì)得出y的取值范圍，然后根據(jù)方程組有整數(shù)解，且m為整數(shù)，得出y的具體值，從而求出m、x的值，最后代入代數(shù)式x2【解答】解：解方程組2x-得x=70-6m∵﹣60＜m＜﹣30，∴﹣120＜2m＜﹣60，∴﹣105＜15+2m＜﹣45，∴12223＜-即12223＜y＜4∵方程組有整數(shù)解，∴y的值可能是2或3或4，又∵m為整數(shù)且m=-∴y只能取奇數(shù)3，此時m=-15+23y2=-42，∴x2+y＝72+3＝49+3＝52．16．如圖，在大長方形ABCD中，放入十個相同的小長方形，則圖中陰影部分面積為75cm2．【分析】設(shè)小長方形的長為xcm，寬為ycm，根據(jù)題意列出方程組，求出方程組的解確定出x與y的值，即可求出陰影部分面積．【解答】解：設(shè)小長方形的長為xcm，寬為ycm，根據(jù)圖形得：x+y=11①②﹣①得：3y＝6，解得：y＝2，把y＝2代入①得：x+2＝11，解得：x＝9，則圖中陰影部分面積為17×（11+2×2）﹣10×2×9＝255﹣180＝75（cm2）．故答案為：75．三．解答題（共6小題）17．解下列方程組：（1）y=3x7x-2y=2（2）x2【分析】（1）直接運(yùn)用代入消元法求解二元一次方程組即可；（2）先將方程組化簡，再用加減消元法求解二元一次方程組即可．【解答】解：（1）y=3x①將①代入②中得：7x﹣2?（3x）＝2，x＝2，將x＝2代入①中得：y＝6，故方程組的解集為：x=2y=6（2）將方程組化簡得3x-由①+②得：6x＝48，解得：x＝8，將x＝8代入①中得：24﹣2y＝8，解得：y＝8，∴方程組的解集為：x=8y=818．解下列方程組（1）x+2y=（2）m+n【分析】（1）利用加減消元法解答，即可求解；（2）利用加減消元法解答，即可求解；【解答】解：x+2y=-①×2得：2x+4y＝﹣4③，②+③得：9x＝﹣45，解得：x＝﹣5，把x＝﹣5代入①中，得：﹣5+2y＝﹣2，解得：y=3∴該二元一次方程組的解為：x=-（2）化簡得：m+7n=-①×2得：2m+14n＝﹣6③，③﹣②得：19n＝﹣19，解得：n＝﹣1，把n＝﹣1代入①中，得：m﹣7＝﹣3，解得：m＝4∴該二元一次方程組的解為：m=4n=-119．解下列方程組：（1）x-（2）3(x+y)+2(x-【分析】（1）用加減消元法解二元一次方程組即可；（2）方程組整理后，用加減消元法解二元一次方程組即可．【解答】解：（1）x-①+②得，3x﹣y＝0，即y＝3x，將y＝3x代入②得，2x+3x＝﹣5，解得x＝﹣1，將x＝﹣1代入y＝3x，得y＝﹣3，∴原方程組的解為x=-（2）方程組整理得5x+y=10①①+②得，8x＝24，解得x＝3，將x＝3代入②得，9﹣y＝14，解得y＝﹣5，∴原方程組的解為x=3y=-520．解方程組：（1）2x+y=33x-5y=11（2）x-y2【分析】（1）根據(jù)代入消元法解答即可；（2）先將原方程組化簡，再根據(jù)加減消元法解答．【解答】解：（1）2x+y=3①由①，得y＝3﹣2x③，把③代入②，得3x﹣5（3﹣2x）＝11，解得：x＝2，把x＝2代入③，得y＝3﹣2×2＝﹣1，所以方程組的解是x=2y=-1（2）原方程組可化為x-②+①，得2y＝4，解得：y＝2，把y＝2代入①，x＝2，所以原方程組的解是x=2y=221．解方程組：（1）x+y=25x-3(x+y)=4（2）x+13（3）2x+y2（4）0.2x+0.5y=0.20.4x+0.1y=0.4（5）3x+2y4【分析】（1）先將原方程組進(jìn)行化簡整理，再利用加減消元法進(jìn)行計算即可解答；（2）先將原方程組進(jìn)行化簡整理，再利用加減消元法進(jìn)行計算即可解答；（3）先將原方程組進(jìn)行化簡整理，再利用加減消元法進(jìn)行計算即可解答；（4）先將原方程組進(jìn)行化簡整理，再利用加減消元法進(jìn)行計算即可解答；（5）由題意得：3x+2y4【解答】解：（1）將原方程組化簡整理得：x+y=2①①×2得：2x+2y＝4③，③﹣②得：5y＝0，解得：y＝0，把y＝0代入①中，x+0＝2，解得：x＝2，∴原方程組的解為：x=2y=0（2）將原方程組化簡整理得：4x-①×3得：12x﹣9y＝6③，②×4得：12x﹣16y＝﹣8④，③﹣④得：7y＝14，解得：y＝2，把y＝2代入①得：4x﹣6＝2，解得：x＝2，∴原方程組的解為：x=2y=2（3）將原方程組化簡整理得：x-①+②得：4x＝160，解得：x＝40，把x＝40代入①中，40﹣