三棱錐小專題（原卷）

三棱錐小專題一、幾類特殊的三棱錐表面積、體積【例1】如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則三棱錐D1-ACD的體積是()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D．1【變式一】如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為BCA.2 B.1 C.12 D.【變式二】如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，過頂點B，D，A1截下一個三棱錐．（1）求剩余部分的體積；（2）求三棱錐A-A1BD的體積及高．【變式三】.某廣場設(shè)置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個一樣的四面體得到的.如果被截正方體的棱長是50cm，那么①石凳的體積是m3②則石凳的表面積為________.【變式四】如圖，將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截出一個棱錐，求棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比.【變式五】如圖所示，三棱錐的頂點為P，PA，PB，PC為三條側(cè)棱，且PA，PB，PC兩兩互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，求三棱錐P-ABC的體積V.【例2】(多選)已知正三棱錐底面邊長為3，側(cè)棱長為2eq\r(3)，則下列敘述正確的是()A．正三棱錐的高為3B．正三棱錐的斜高為eq\f(\r(39),2)C．正三棱錐的體積為eq\f(27\r(3),4)D．正三棱錐的側(cè)面積為eq\f(9\r(39),4)【例3】四面體的棱長均為，（1）求它的表面積．（2）求它的體積【變式一】已知正方體的個頂點中，有個為側(cè)面是等邊三角形的三棱錐的頂點，則這個三棱錐的表面積與正方體的表面積之比為（）A. B. C. D.【變式二】如圖，四面體各個面都是邊長為1的正三角形，其三個頂點在一個圓柱的下底面圓周上，另一個頂點是上底面圓心，圓柱的側(cè)面積是.

二、三棱錐與球【例1】已知三棱錐P－ABC四個頂點都在球O上，PA=PB=PC=23，BC=3，∠BAC=60°．則球OA．36π B．16π C．12π D．16【變式一】已知三棱錐A－BCD的側(cè)棱長為2eq\r(5)，底面是邊長為2eq\r(3)的等邊三角形，則該三棱錐外接球的體積為________．【變式二】已知正三棱錐S－ABC的四個頂點都在球O的球面上，且球心O在三棱錐的內(nèi)部，若該三棱錐的側(cè)面積為73，BC=2，則球O的表面積為【例2】已知一個正三棱錐的四個頂點都在一個球的球面上，且這個正三棱錐的所有棱長都為，求這個球的表面積（） B． C． D．【變式一】棱長為a的正四面體的內(nèi)切球的表面積為.【變式二】將半徑都為1的四個鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個四面體的高的最小值為.【例3】若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且三條側(cè)棱長分別為1，eq\r(2)，eq\r(3)，則其外接球的表面積是________．【變式一】如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，沿AE，EF，AF把這個正方形折成一個四面體，使B，C，D三點重合，重合后的點記為G.若四面體A－EFG外接球的表面積為eq\f(π,4)，則正方形ABCD的邊長為________．【變式二】已知矩形，，，為的中點，現(xiàn)分別沿將，翻折，使點重合，記為點，則幾何體的外接球表面積為______．【變式三】在三棱錐中，三條棱兩兩垂直，且.若點為三棱錐的外接球球面上任意一點，則到面距離的最大值為______.【例4】三棱錐A－BCD的四個面都是直角三角形，且側(cè)棱AB垂直于底面BCD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，且VA－BCD＝eq\f(4,3)，則該三棱錐A－BCD外接球的體積為________．【變式一】如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝2，AC＝2eq\r(3)，則該三棱錐的外接球的表面積為________．【變式二】《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中對幾何學(xué)的研究比西方早一千多年.在該書中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵；將底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬；將四個面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如圖，在塹堵中，，，鱉臑的體積為2，則陽馬外接球表面積的最小值為__________．【例5】在三棱錐S－ABC中，SA=BC=5，SB=AC=17，SC=AB=A．20π B．25π C．26π D．34π

反饋練習(xí)1、正三棱錐的高為3，側(cè)棱長為2eq\r(3)，則這個正三棱錐的體積為（）A.eq\f(27,4) B.eq\f(9,4)C.eq\f(27\r(3),4) D.eq\f(9\r(3),4)2、（2015?新課標(biāo)Ⅱ，理）一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的如圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為A． B． C． D．3、魯班鎖（也稱孔明鎖、難人木、六子聯(lián)方）起源于古代中國建筑的榫卯結(jié)構(gòu).這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分（即榫卯結(jié)構(gòu)）嚙合，十分巧妙.魯班鎖類玩具比較多，形狀和內(nèi)部的構(gòu)造各不相同，一般都是易拆難裝.如圖1，這是一種常見的魯班鎖玩具，圖2是該魯班鎖玩具的直觀圖，每條棱的長均為2，則該魯班鎖的表面積為（）A． B． C． D．4、在三棱錐中，面，，，，，則三棱錐的外接球表面積是（）A． B． C． D．5、（2015?新課標(biāo)Ⅱ）已知，是球的球面上兩點，，為該球面上的動點，若三棱錐體積的最大值為36，則球的表面積為A． B． C． D．6、已知四面體的外接球球心O恰好在棱AD上，且，，DC=，則這個四面體的體積為（）A． B． C． D．7、（2019?新課標(biāo)Ⅱ）中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1．則該半正多面體共有個面，其棱長為．8、如圖，在三棱錐A－BCD中，BD⊥AD,BD⊥DC，BD=1，AB=2，BC=3，AC=11，則三棱錐A－BCD9、三棱錐A?BCD，其中AB=CD=5，AD=BC=7，10、等腰三角形ABC腰長為3，底邊BC長為4，將它沿高AD翻折，使點B與點C間的距離為2，此時四面體ABCD外接球表面積為____.11．已知三棱錐S-ABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形，且SA=SB=SC=AB=2.則三棱錐S-ABC外接球表面積為__________。12、【多選】（2023?新高考Ⅰ）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單