考研數(shù)學(xué)一(高等數(shù)學(xué))模擬試卷127(題后含答案及解析)

考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷127(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求。1．當(dāng)x→0時，下列無窮小量中階數(shù)最高的是()．A．B．C．D．正確答案：D解析：當(dāng)x→0時與u=1一cosx復(fù)合而成．當(dāng)x→0時，與x2同階，是x的2×2=4階無窮?。蔬xD．2．設(shè)則f(x)在x=0處()．A．不連續(xù)B．連續(xù)但不可導(dǎo)C．可導(dǎo)但f’(x)在x=0不連續(xù)D．可導(dǎo)且f’(x)在x=0連續(xù)正確答案：D解析：f(x)在x=0處連續(xù)，排除A．f(x)在x=0處可導(dǎo)，排除B．所以，f’(x)在x=0處連續(xù)．故選D．3．已知f(π)=2，∫0π[f(x)+f’’(x)]sinxdx=5，則f(0)等于()．A．2B．3C．5D．不確定正確答案：B解析：用分布積分法，得∫0π[f(x)+f’’(x)]sinxdx=一∫0πf(x)cosx+∫0πdf’(x)=一f(x)cosx｜0π+∫0πcosx．f’(x)dx+f’(x)sinx｜0π一∫0πf’(x)cosxdx=2+f(0)．所以，2+f(0)=5，即f(0)=3．故選B．利用分部積分法可升高或降低被積函數(shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)．4．設(shè)的值為()．A．(1一cos2)2B．(1+cos2)2C．(1+sin2)2D．(1一sin2)2正確答案：A解析：因為f(x)f(y—x)僅在區(qū)域D1：x≤y≤x+2，0≤x≤2內(nèi)非零，所以故選A．填空題5．設(shè)y=y(x)二階可導(dǎo)，且若y=y(x)的一個拐點是(x0，3)，則β=______．正確答案：應(yīng)填3．解析：由于y(x)二階可導(dǎo)，(x0，3)是拐點，則y(x0)=3，y’’(x0)=0．得[4－y(x0)]β－y(x0)=0，即β=3．6．函數(shù)u=ln(x2+y2+z2)在點M(1，2，一2)處的梯度gradu｜M=______．正確答案：應(yīng)填．解析：本題主要考查函數(shù)在某一點的梯度的計算方法．由若函數(shù)u=f(x，y，z)在空間區(qū)域Ω內(nèi)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則函數(shù)u=f(x，y，z)在區(qū)域Ω內(nèi)任意一點M(x，y，z)處的梯度為7．已知冪級數(shù)的收斂域為______．正確答案：應(yīng)填(1，5]．解析：由于在x0=0處收斂，所以對一切滿足｜x+2｜＜｜0+2｜=2的x也收斂；又它在x1=一4處發(fā)散，所以對一切滿足｜x+2｜＞｜4+2｜=2的x也發(fā)散．所以該級數(shù)的收斂區(qū)間為｜x+2｜＜2，即一2＜x+2＜2，從而其收斂區(qū)域為一2＜x+2≤2．又x一3=(x一5)+2，所以的收斂域為一2＜(x一5)+2≤2，即1＜x≤5，即(1，5]．8．y(4)一y=0的通解是______．正確答案：應(yīng)填y=c1et+c2e－t+c3cost+c44sint．解析：本題主要考查高階常系數(shù)齊次方程的解法．此方程的特征方程為λ4一1=0，它有四個單根λ1,2=±1，=λ3,4±i．于是該方程有四個線性無關(guān)的解et，e－t，cost，sint，方程的通解為y(t)=c1et+c2e－t+c3cost+c44sint．解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。9．求極限正確答案：方法一：原式方法二：由臺勞公式(麥克勞林公式)，當(dāng)x→0時，有于是，原式解析：直接用洛必塔法則將會導(dǎo)致復(fù)雜的計算，所以，該題用恒等變形或用臺勞公式進(jìn)行化簡．(1)極限中的函數(shù)若具有二階以上的導(dǎo)函數(shù)，可直接用臺勞公式進(jìn)行簡化．(2)該題也可以用如下方法求解：當(dāng)u→0時，于是盡管用這種方法得到了與前面相同的結(jié)果，但必須指出，在和、差中用等價無窮小量作代換時，一定要非常謹(jǐn)慎．若當(dāng)x→口時，α(x)～u(x)，β(x)～v(x)，則只有當(dāng)時，才能用這是因為將α(x)+β(x)用u(x)+v(x)替代后所產(chǎn)生誤差之大小，只有用臺勞公式才能說清楚．10．已知拋物線Y=px2(p>0)．(1)計算拋物線在直線Y=1下方的弧長l．(2)求極限正確答案：(1)拋物線y=px2與直線y=1的交點為弧微分ds=于是由弧長公式得(2)11．設(shè)f(x)在x=0處二階可導(dǎo)，且求f(0)，f’(0)，f’’(0)．正確答案：解析：由已知極限存在，可知．f(0)=0．于是可用定義求f’(0)，f’’(0)．12．設(shè)f(x)可導(dǎo)，且它的任何兩個零點的距離都大于某一個正數(shù)(稱零點是孤立的)，g(x)連續(xù)，且當(dāng)f(x)≠0時g(x)可導(dǎo)，令φ(x)=g(x)｜f(x)｜，討論φ(x)的可導(dǎo)性．正確答案：設(shè)x0為分段點．若f(x0)≠0，則由題設(shè)可知，存在δ>0，使得當(dāng)｜x－x0｜由φ(x0)=f(x0)=0，可得所以，φ(x)在x0處可導(dǎo)f’(x0)g(x0)=0．且當(dāng)f’(x0)g(x0)=0時，φ’(x0)=0．解析：這是分段函數(shù)的可導(dǎo)性問題．只需討論在分段點Xo處是否可導(dǎo)．分f(x0)≠0與f(x0)=0兩種情形討論．13．設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，∫01f(x)dx=0，g(x)在[0，1]上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且在(0，1)內(nèi)g’(x)≠0，∫01f(x)g(x)dx=0，試證：至少存在兩個不同的點ξ1,ξ2∈(0，1)，使得f(ξ1)=f(ξ2)=0．正確答案：令F(x)=∫0xf(t)dt，則F(0)=F(1)=0．又0=∫01f(x)g(x)dx=∫01g(x)dF(x)=g(x)F(x)｜01－∫01F(x)g’(x)dx=－∫01F(x)g’(x)dx即有∫01F(x)g’(x)dx=0，由積分中值定理，存在點ξ∈(0，1)，使得F(ξ)g’(ξ)=0，由g’(x)≠0知F(ξ)=0，0即f’(ξ)(b一a)=ηf’(η)(lnb—lna)．解析：15．計算正確答案：令x=π—t，則dx=一dt．于是，解析：(1)用本題的求解思路可證明∫0πxf(sinx)dx=∫0πf(sinx)dx．這里，被積函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(π—x)，x∈[0，π]．將它一般化可得到如下結(jié)果：設(shè)f(x)，g(x)在[0，a]上連續(xù)，且對x∈[0，a]，有f(x)=f(a—x)，g(x)+g(a－x)=k(k為常數(shù))，則有公式∫0af(x)g(x)dx=∫0af(x)dx成立．證：∫0ag(x)dx∫0af(a－t)g(a－t)dt=∫0af(t)[k一g(t)]dt=k∫0af(t)dt一∫0af(t)g(t)dt，所以，∫0af(x)g(x)dx=∫0af(x)dx．(2)將本題的解題思路一般化，可得∫abf(x)dx∫abf(a+b一t)dt=∫abf(a+b一x)dx＝＞∫abf(x)dx=∫ab[f(x)+f(a+b一x)]dx．特別地，有：16．設(shè)正確答案：解析：是一個瑕積分，用分部積分法．17．求曲線y=ex曲率的最大值．正確答案：由曲率公式于是，求k的最大值就轉(zhuǎn)化為求的最小值．因為所以，x0為φ(x)的極小值點．又駐點唯一，因此φ(x0)為最小值．故當(dāng)解析：先求曲線的曲率，再求最大值．求函數(shù)最大值和最小值的方法．一般方法：若f(x)在[a，b]上連續(xù)，則比較f(x)在駐點、f’(x)不存在的點和區(qū)間端點的函數(shù)值，其中最大者為最大值，最小者為最小值．特殊方法：當(dāng)f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且駐點x0唯一時，若f(x0)為極小值，則f(x0)即為f(x)在[a，b]上的最小值；若f(x0)為極大值，則f(x0)即為f(x)在[a，b]上的最大值．若實際問題存在最大值(或最小值)，而由實際問題建立的函數(shù)f(x)可導(dǎo)，且駐點x0唯一，則f(x0)就是所求的最大值(或最小值)．18．設(shè)f(x)在區(qū)間[0，+∞)內(nèi)二階可導(dǎo)，且在x=1處與曲線y=x3一3相切，f(x)在(0，+∞)內(nèi)與曲線y=x3一3有相同的凹向，求方程f(x)=0在(1，+∞)內(nèi)實根的個數(shù)．正確答案：由y’=3x2，y’(1)=3，及曲線y=f(x)與y=x3一3相切可知，f’(1)=3，f(1)=y(1)=一2．由曲線y=f(x)與y=x3一3在(0，+∞)內(nèi)有相同的凹向，以及y’’=6x>0，可知，f’’(x)>0，x∈(0，+∞)．由臺勞公式即存在M＞0，當(dāng)x0＞M時，使得f(x0)＞0．于是，f(x)在[1，x0]上連續(xù)，且f(1)=－20．由零值定理，在(1，x0)內(nèi)至少存在一點ξ，使f(ξ)=0．由f’’(x)>0,x∈(0，+∞)，可知在(0，+∞)內(nèi)f’(x)單調(diào)增加．再由f’(x)＞f’(0)=0，知f(x)在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)增加，故f(x)=0在(0，+∞)內(nèi)僅有一個根．解析：由f(x)二階可導(dǎo)及臺勞公式可得f(x)的解析式，然后用零值定理．若f(n)(x)>0，x∈(a，b)，則f(n－1)(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)增加．19．設(shè)D是由曲線圍成的平面區(qū)域．求D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積和表面積．正確答案：注意第一象限的兩條曲線，一條是圓，一條是星形線，且后者位于前者的下方．于是旋轉(zhuǎn)體的體積為20．已知單位向量的三個方向角相等，點B與點M(1，一3，2)關(guān)于點N(一1，2，1)對稱，求．正確答案：設(shè)因為cos2α+cos2β+cos2γ=1，且α=β=γ，再設(shè)點B為B(x,y,z)，根據(jù)題意可知，點N(－1,2,1)為線段BM的中點，所以解析：本題主要考查方向角的概念、關(guān)于點對稱的概念、對稱點的求法、向量積的概念與計算．21．設(shè)函數(shù)y=f(r)，而試求函數(shù)u．正確答案：利用分離變量解微分方程．解析：本題得到的是一個二階的微分方程，但不是線性的常系數(shù)的二階微分方程．因此，不能用常系數(shù)的線性微分方程的特征值的方法去求解．22．求當(dāng)x>0，y>0，z>0時，函數(shù)f(x，y，z)=lnx+21ny+3lnz在球面x2+y2+z2=6λ2上的最大值．并證明：對任何正實數(shù)a、b、c，不等式ab2c3≤成立．正確答案：為求在條件x2+y2+z2=6r2下函數(shù)f(x，y，z)=lnx+2lny+3lnz的最大值，不妨設(shè)L(x，y，z，λ)=lnx+2lny+3lnz+λ(x2+y2+z2一6r2)(x>0，y>0，z>0)．由方程組因為駐點(x，y，z)在球面x2+y2+z2=6r2的第一卦限部分上，則點是唯一的駐點．另一方面，當(dāng)點趨于球面(第一卦限部分)與坐標(biāo)平面的交線時，函數(shù)f(x，y，z)便趨于一∞，所以函數(shù)f(x，y，z)在指定的區(qū)域內(nèi)部取得最大值，從而此唯一的駐點便是最大值點，即解析：本題第一部分是求條件極值，利用拉格朗日乘子法解答．本題第二部分是利用第一部分得到的結(jié)果來證明不等式．(1)本題的目標(biāo)函數(shù)亦可取為f(x，y，z)=xy2z3，同樣有效．(2)由本題的目標(biāo)函數(shù)與約束條件在形式上的對稱性，還可以將上面的條件極大值問題改為如下的條件極小值問題：求目標(biāo)函數(shù)f(x，y，z)=x2+y2+z2在條件xy2z3=6r2約束下的最小值．只是具體求解起來不如上述方法簡單．23．設(shè)積分區(qū)域D=((x，y)｜0≤x≤π，0≤y≤π)，計算二重積分I=正確答案：因為故設(shè)積分區(qū)域D1={(x，y)｜y≥x，0≤y≤π}，D2={(x，y)｜x>y，0≤x≤π}．于是，解析：首先應(yīng)設(shè)法去掉最大值符號max，為此將積分區(qū)域分為兩部分即可．對于二重積分(或三重積分)的計算問題，當(dāng)被積函數(shù)為分段函數(shù)時，應(yīng)利用積分的可加性分區(qū)域進(jìn)行積分．而在實際考題中，被積函數(shù)經(jīng)常為隱含的分段函數(shù)，例如：取絕對值函數(shù)｜(x，y)｜、取極值函數(shù)max{f(x，y)，g(x，y)}，min{f(x，y)，g(x，y)}，符號函數(shù)sgn{f(x，y)一g(x，y)}以及取整函數(shù)[f(x，y)]等等．24．計算三重積分繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面與兩平面z=2，z=8所圍成的空間閉區(qū)域．正確答案：利用“先二后一”的柱坐標(biāo)公式．由于垂直于坐標(biāo)x軸的平面(2≤x≤4)與空間區(qū)域Ω的截面為圓，則積分區(qū)域Ω可以表示為Ω={(x，y，z)｜x2+y2≤2x，2≤x≤8}，即固定2≤x≤8，垂直于坐標(biāo)z軸的平面Z=z與Ω的截面為圓域D(x)：x2+y2≤2z．于是，解析：本題主要考查三重積分在直角坐標(biāo)系下的計算方法．當(dāng)積分區(qū)域Ω的邊界曲面方程容易用極坐標(biāo)表示，且積分區(qū)域Ω為柱體，或被積函數(shù)為f(x2+y2)時，三重積分應(yīng)采用柱坐標(biāo)變換的換元公式此時，應(yīng)注意確定變量r、φ、θ的取值范圍．已知曲線積(A為常數(shù))，其中φ(y)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且φ(1)=1．L是圍繞原點O(0，0)的任意分段光滑簡單正向閉曲線．25．證明：對右半平面x>0內(nèi)的任意分段光滑簡單閉曲線C，有正確答案：如圖1—9—4所示，將曲線C分解為C=L1+L2．再作另一條曲線L2圍繞原點且與C相接，則26．求函數(shù)φ(y)的表達(dá)式，及常數(shù)A的值．正確答案：設(shè)且P、Q在單連通區(qū)域x＞0內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，由上一題知，曲線積分在該區(qū)域內(nèi)與路徑無關(guān)，故當(dāng)x＞0時，總有于是，xφ(x)=2φ(x)．這是可分離變量的微分方程．解微分方程，得φ(x)=cx2．由條件φ(1)=1，得c=1，從而φ(x)=x2．由于曲線積分與路徑無關(guān)，故可取閉曲線L：x2+y2=1．根據(jù)格林公式，得解析：證明第一題的關(guān)鍵是如何將封閉曲線C與圍繞原點的任意分段光滑簡單閉曲線相聯(lián)系，這可利用曲線積分的可加性將C進(jìn)行分解討論；而第二題中求φ(y)的表達(dá)式，顯然應(yīng)用曲線積分與路徑無關(guān)即可．本題難度較大，關(guān)鍵是如何將待求解的問題轉(zhuǎn)化為可利用已知條件的情形．27．計算曲線積分其中г是依參數(shù)t增大的方向通過的橢圓：x=asin2t，y=2asintcost，z=acos2t，0≤t≤π．正確答案：利用斯托克斯公式．解析：本題主要考查第一類型曲線積分的求解方法．28．已知{an)是單調(diào)增加且有界的正數(shù)列，證明：級數(shù)收斂．正確答案：由于{an}是單調(diào)增加且有界的正數(shù)列，則由于{an}有界，所以{Sn}有界，故是正項級數(shù)，且其部分和數(shù)列有界，因此它收斂．29．將函數(shù)展開成x的冪級數(shù)．正確答案：30．求解微分方程正確答案：將原微分方程化為兩邊積分得sinu=—ln｜x｜+c．再