2024年寧德市高三數(shù)學(xué)5月模擬質(zhì)檢考試卷附答案解析

2024年寧德市高三數(shù)學(xué)5月模擬質(zhì)檢考試卷試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘2024.05一、選擇題:本題共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．樣本數(shù)據(jù)2，2，3，3，3，4，4，5，5，6的中位數(shù)和眾數(shù)分別為（

）A．3和3 B．和3 C．4和3 D．和2，3，4，52．已知集合.若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．設(shè)表示兩條不同的直線，表示平面，則以下結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則4．記為等比數(shù)列的前項(xiàng)積.設(shè)命題，命題，則是的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．2024海峓兩岸各民族歡度“三月三”暨福籽同心愛中華福建省第十一屆“三月三”畬族文化節(jié)活動(dòng)在寧德隆重開幕.海峽兩岸各民族同胞齊聚于此，與當(dāng)?shù)厝罕姽餐瑲g慶“三月三”，暢敘兩岸情.在活動(dòng)現(xiàn)場(chǎng)，為了解不同時(shí)段的入口游客人流量，從上午10點(diǎn)開始第一次向指揮中心反饋入口人流量，以后每過一個(gè)小時(shí)反饋一次.指揮中心統(tǒng)計(jì)了前5次的數(shù)據(jù)，其中為第次入口人流量數(shù)據(jù)（單位:百人），由此得到關(guān)于的回歸方程.已知，根據(jù)回歸方程（參考數(shù)據(jù):），可頂測(cè)下午4點(diǎn)時(shí)入口游客的人流量為（

）A．9.6 B．11.0 C．11.4 D．12.06．已知圓臺(tái)的上底半徑為3，下底半徑為6，母線長(zhǎng)為6，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．圓臺(tái)側(cè)面積為 B．圓臺(tái)外接球的半徑為6C．圓臺(tái)的體積為 D．圓臺(tái)側(cè)面上的點(diǎn)到下底圓心的最短距離為7．已知拋物線的焦點(diǎn)為是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).若，則的最大值為（

）A． B． C． D．8．函數(shù)，若關(guān)于的不等式有且僅有三個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍是（

）A．B．C． D．二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知是兩個(gè)復(fù)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則 B．若為實(shí)數(shù)，則C．若均為純虛數(shù)，則為實(shí)數(shù) D．若為實(shí)數(shù)，則均為純虛數(shù)10．函數(shù).若存在，使得為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值可以是（

）A． B． C． D．11．若定義在上的函數(shù)滿足，且值域?yàn)?，則以下結(jié)論正確的是（

）A． B．C．為偶函數(shù) D．的圖象關(guān)于中心對(duì)稱三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知是兩個(gè)單位向量，若在上的投影向量為，則與的夾角為.13．中國(guó)古代歷法是中國(guó)勞動(dòng)人民智慧的結(jié)晶，《尚書·堯典》記載“期三百有六旬有六日，以閏月定四時(shí)成歲”，指出閏年有366天.元代郭守敬創(chuàng)造了中國(guó)古代最精密的歷法——《授時(shí)歷》，規(guī)定一年為365.2425天，和現(xiàn)行公歷格里高利歷是一樣的，但比它早了300多年.現(xiàn)行公歷閏年是如下確定的:①能被4整除，但不能被100整除;②能被400整除，滿足以上兩個(gè)條件之一的年份均為閏年，則公元年，距上一個(gè)閏年的年數(shù)為.14．已知曲線和圓有2個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．在中，角的對(duì)邊分別為.已知，且.(1)若，垂足為，求BD的長(zhǎng);(2)若，求的長(zhǎng).16．在平行四邊形中，，，.將沿翻折到的位置，使得.

(1)證明：平面；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為?若存在，求出的值;若不存在，請(qǐng)說明理由.17．已知函數(shù)的圖象在處的切線過點(diǎn).(1)求在上的最小值;(2)判斷在內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由.18．桌上有除顏色外其他沒有任何區(qū)別的7個(gè)黑球和7個(gè)白球，現(xiàn)將3個(gè)黑球和4個(gè)白球裝入不透明的袋中.第一次從袋中任取一個(gè)球，若取出的是黑球則放入一個(gè)白球，若取出的是白球則放入一個(gè)黑球，本次操作完成.第二次起每次取球、放球的規(guī)則和第一次相同.(1)求第2次取出黑球的概率;(2)記操作完成次后袋中黑球的個(gè)數(shù)為變量.（i）求的概率分布列及數(shù)學(xué)期望;（ii）求的數(shù)學(xué)期望.19．坐標(biāo)平面上的點(diǎn)也可表示為，其中為軸非負(fù)半軸繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與OP重合的旋轉(zhuǎn)角.將點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到點(diǎn)，這個(gè)過程稱之為旋轉(zhuǎn)變換.(1)證明旋轉(zhuǎn)變換公式：并利用該公式，求點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)旋轉(zhuǎn)變換建立了平面上的每個(gè)點(diǎn)到的對(duì)應(yīng)關(guān)系.利用旋轉(zhuǎn)變換，可將曲線通過旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為我們熟悉的曲線進(jìn)行研究.（i）求將曲線繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的曲線方程，并求該曲線的離心率；（ii）已知曲線，點(diǎn)，直線AB交曲線于，兩點(diǎn)，作的外角平分線交直線AB于點(diǎn)，求|FM|的最小值.1．B【分析】根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)的定義判斷即可.【詳解】依題意該數(shù)據(jù)從小到大排列的第五個(gè)數(shù)為，第六個(gè)數(shù)為，所以中位數(shù)為，又眾數(shù)為.故選：B2．D【分析】由交集定義可得，解出絕對(duì)值不等式后可得，計(jì)算即可得解.【詳解】由，故，由，則，則有，解得，即.故選：D.3．D【分析】借助空間中線與面的位置關(guān)系及線面垂直的性質(zhì)定理逐項(xiàng)判斷即可得.【詳解】對(duì)A：若，則可能平行、相交或異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：若，則可能，也可能，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：若，則可能與相交，也可能，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：若，由線面垂直的性質(zhì)定理可得，故D正確.故選：D.4．B【分析】結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)與充分條件與必要條件定義計(jì)算即可得.【詳解】若，則，即，即或，故不是的充分條件，若，則有，故是的必要條件，即是的必要不充分條件.故選：B.5．B【分析】首先利用換元法將回歸方程轉(zhuǎn)化為線性回歸方程，再代入樣本點(diǎn)中心，求，再根據(jù)方程進(jìn)行預(yù)測(cè).【詳解】設(shè)，，則所以，，且則，得，所以，下午4點(diǎn)對(duì)應(yīng)的，此時(shí)預(yù)測(cè)游客的人流量.故選：B6．C【分析】由圓臺(tái)的上下底面半徑及母線長(zhǎng)，得圓臺(tái)的高及體積，作出圓臺(tái)的軸截面，由勾股定理可求得外接球的半徑及最短距離.【詳解】設(shè)圓臺(tái)的上底半徑為，下底半徑為，母線長(zhǎng)為，高為，依題意得，，.對(duì)于A，圓臺(tái)的側(cè)面積為，故A正確；對(duì)于B，圓臺(tái)的高，記球心為，設(shè)，球的半徑為，如圖所示，則，即，，所以，解得，所以球的半徑，故B正確；對(duì)于C，上底面積，下底面積，所以圓臺(tái)的體積為：，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由B知，下底圓心即為外接球球心，則圓臺(tái)側(cè)面上的點(diǎn)到下底圓心的最短距離為，故D正確；故選：C.7．C【分析】根據(jù)拋物線的定義推出，利用余弦定理與基本不等式即可求出所求角的最大值.【詳解】由題知，，，則，所以，在中，由余弦定理得，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即，所以的最大值為.

故選：C8．A【分析】求導(dǎo)，求得的單調(diào)區(qū)間，作出的圖象，分類討論求得的解集，結(jié)合圖象可得的取值范圍為.【詳解】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，令，解得，令，解得，又時(shí)，，所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為和，作出圖象如圖所示：當(dāng)時(shí)，由，可得，由圖象可知，不存在整數(shù)點(diǎn)滿足條件，當(dāng)時(shí)，由，可得，由圖象可知，不存在整數(shù)點(diǎn)滿足條件，當(dāng)時(shí)，由，可得，又，，，由的遞增區(qū)間為，所以，所以要使有三個(gè)整數(shù)解，則，所以關(guān)于的不等式有且僅有三個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍為.故選：A.9．AC【分析】根據(jù)題意，復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)的概念，結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，則，對(duì)于A中，由，且，可得，所以，所以，所以A正確；對(duì)于B中，由，可得，即，但與不一定相等，所以與不一定相等，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，由均為純虛數(shù)，可得，此時(shí)，所以C正確；對(duì)于D中，由為實(shí)數(shù)，即，可得，但不一定為，所以D錯(cuò)誤.故選：AC.10．AC【分析】計(jì)算，存在使得函數(shù)為奇函數(shù)，則，根據(jù)為奇函數(shù)，即可得解.【詳解】由題意可得，函數(shù)，且，存在，函數(shù)為奇函數(shù)，則，所以為奇函數(shù)，可得，所以,當(dāng)時(shí)，C滿足條件，當(dāng)時(shí)，A滿足條件，BD不滿足.故選：AC.11．ABC【分析】利用賦值法，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，令得：，解得或，令，得，由的值域?yàn)椋詴r(shí)，，不合題意，所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，令得：，所以或，令，得，即，由的值域?yàn)?，所以，令得：，所以或，由的值域?yàn)?，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，令，得，因?yàn)椋?，所以為偶函?shù)，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，若圖象關(guān)于中心對(duì)稱，則，由于定義域?yàn)镽，值域?yàn)?，若，則必有，與題設(shè)矛盾，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.12．【分析】借助投影向量定義可得，借助模長(zhǎng)公式可得，再利用夾角公式計(jì)算即可得解.【詳解】由題意可得，即，，則，故與的夾角為.故答案為：.13．5【分析】借助二項(xiàng)式的展開式計(jì)算可得能整除、，不能整除，故公元年不是閏年，而能整除，但不能整除，故公元年是閏年.【詳解】，則能整除，即能整除，，則能整除，又，故不能整除，故公元年不是閏年，則能整除，但不能整除，故公元年是閏年，則公元年，距上一個(gè)閏年的年數(shù)為.故答案為：.14．【分析】分，，，幾種情況，結(jié)合圖象的變換知識(shí)可求的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，由圖象的變換可得，與一定有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)，過點(diǎn)，求導(dǎo)可得，，所以在處的切線方程為，此時(shí)的圓心到直線的距離，所以直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)與只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)向左移動(dòng)時(shí)，即時(shí)，與一定沒有交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，與一定有兩個(gè)交點(diǎn)，故曲線與有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)的取值范圍為.故答案為：.15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由余弦定理可得，再由正弦定理結(jié)合三角形的面積公式即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由數(shù)量積的定義以及三角形面積公式可得，即可得到的值，從而得到結(jié)果.【詳解】（1）由及余弦定理，得由及正弦定理，得，因?yàn)榈拿娣e，所以.（2）由得①.因?yàn)椋寓?，由①②得，又，?從而.得，所以.16．(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)度和角度得到，，進(jìn)而可證.（2）設(shè)，利用向量法求出即得.【詳解】（1）證明：翻折前，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，，，，在三角形中，由正弦定理可得，，，又，故，所以，即，因?yàn)?，，，所以，則有，，平面，所以平面，.（2）由（1）平面，且平面，所以平面平面.平面平面，在平行四邊形中，，即，故平面.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，

設(shè)，其中，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，所以，，易知平面的一個(gè)法向量為，則，整理可得，因?yàn)?，解得，因此，線段PC上存在點(diǎn)，使二面角的余弦值為，且.17．(1)最小值(2)有且只有2個(gè)零點(diǎn)，理由見解析【分析】（1）法一：利用在處的切線過點(diǎn)，可求，進(jìn)而可求最小值；法二：利用導(dǎo)數(shù)求得切線方程為，進(jìn)而可得切點(diǎn)，可求，進(jìn)而可求最小值；（2）法一：?jiǎn)栴}等價(jià)于判斷方程根的個(gè)數(shù)，令求導(dǎo)可判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用零點(diǎn)的存在性定理可得結(jié)論.法二：求導(dǎo)可得，令，進(jìn)而求導(dǎo)可得上必有一個(gè)零點(diǎn)，使得，進(jìn)而可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，進(jìn)而利用零點(diǎn)的存在性判斷在上有一個(gè)零點(diǎn)，在上有一個(gè)零點(diǎn).【詳解】（1）法一：，..又，所以切線方程為，..又切線過點(diǎn)，得，所以..所以，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以的最小值為.法二:，所以切線方程為，因此切點(diǎn)為，得，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以的最小值為；（2）法一：判斷在零點(diǎn)個(gè)數(shù)，等價(jià)于判斷方程根的個(gè)數(shù)，等價(jià)于判斷方程根的個(gè)數(shù).令，令，則，得..當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減.，（或）所以時(shí)，方程有2根，所以在有2個(gè)零點(diǎn).法二：由（1）得，令，則在上為減函數(shù)，所以在上必有一個(gè)零點(diǎn)，使得，從而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減..又，所以在上必有一個(gè)零點(diǎn)，使得.當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)單調(diào)遞減..又因?yàn)椋栽谏嫌幸粋€(gè)零點(diǎn)，在上有一個(gè)零點(diǎn)，綜上，在有且只有2個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是利用隱零點(diǎn)法并結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可判斷其零點(diǎn)個(gè)數(shù).18．(1)(2)（i）分布列見解析，；（ii）【分析】（1）根據(jù)全概率公式求解即可；（2）（i）求出隨機(jī)變量的取值，求出對(duì)應(yīng)概率得出分布列，求出期望；（ii）設(shè)第次完成操作后袋中黑球數(shù)為，得出的遞推關(guān)系，構(gòu)造等比數(shù)列求解.【詳解】（1）記第次取出的球是黑球?yàn)槭录?，則，根據(jù)全概率公式得.所以第2次取出黑球的概率為.（2）（i）由題知得的可能取值為：1，3，5，則;故的分布列為:135所以.（ii）設(shè)第次完成操作后袋中黑球數(shù)為則也可以按如下方法得出遞推關(guān)系:即，由此得，又因?yàn)?，所以?gòu)成以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，即【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)之一是找到與的關(guān)系，其次需要類比數(shù)列中構(gòu)造等比數(shù)列的方法求通項(xiàng)公式，屬于較難題目，對(duì)推理能力要求較高.19．(1)證明見解析，(2)（i），2；（ii）【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)變換公式化簡(jiǎn)計(jì)算可得點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后坐標(biāo)為；（2）（i）設(shè)曲線上的任一點(diǎn)繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的點(diǎn)為，可視為繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的點(diǎn)，代入旋轉(zhuǎn)公式可得曲線方程，進(jìn)而可求離心率；(ii)利用旋轉(zhuǎn)變換公式可得旋轉(zhuǎn)后得到的曲線方程為橢圓：，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，由題可得，進(jìn)而得得，，設(shè)，進(jìn)而可得，整理可得點(diǎn)的軌跡為直線，進(jìn)而可求到的最短距離.【詳解】（1）設(shè)，由題意可知所以，故當(dāng)，且時(shí)，，所以，（2）（i）設(shè)曲線上的任一點(diǎn)繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的點(diǎn)為，可視為繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的點(diǎn)，所以..由點(diǎn)在曲線上，所以整理得，.即曲線繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的曲線方程為，該曲線為雙曲線，離心率為2，（ii）由曲線，可知當(dāng)點(diǎn)滿足曲線方程時(shí)，點(diǎn)也