線性代數(shù)與概率論（第五版） 課件 3.4 投入產(chǎn)出問題

第四節(jié)投入產(chǎn)出問題

1本節(jié)主要學(xué)習(xí)目標(biāo)：[知識(shí)目標(biāo)] 了解經(jīng)濟(jì)學(xué)中投入產(chǎn)出問題。 理解產(chǎn)品分配平衡的線性方程組及其定理。[能力目標(biāo)] 能用初等行變換法熟練求出產(chǎn)品分配平衡的線性方程組的解。2考慮一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng),它由n個(gè)部門組成,這n個(gè)部門之間在產(chǎn)品的生產(chǎn)與分配上有著復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)與技術(shù)聯(lián)系,這種聯(lián)系可以按實(shí)物表現(xiàn),也可以按價(jià)值表現(xiàn).下面的討論采用價(jià)值表現(xiàn),即所有數(shù)值都按價(jià)值單位計(jì)量.在復(fù)雜的聯(lián)系中,每一個(gè)部門都有雙重身份,一方面作為生產(chǎn)者將自己的產(chǎn)品分配給各部門,并提供最終產(chǎn)品,它們之和即為此部門的總產(chǎn)出;另一方面作為消費(fèi)者消耗各部門的產(chǎn)品,即接收各部門的投入,同時(shí)創(chuàng)造價(jià)值,它們之和即為對(duì)此部門的總投入.當(dāng)然,一個(gè)部門的總產(chǎn)出應(yīng)該等于對(duì)它的總投入3首先考察各部門作為生產(chǎn)者的情況:第1部門分配給第1部門的產(chǎn)品為x11,分配給第2部門的產(chǎn)品為x12,…,分配給第n部門的產(chǎn)品為x1n,最終產(chǎn)品為y1,總產(chǎn)出為x1;第2部門分配給第1部門的產(chǎn)品為x21,分配給第2部門的產(chǎn)品為x22,…,分配給第n部門的產(chǎn)品為x2n,最終產(chǎn)品為y2,總產(chǎn)出為x2;…

…第n部門分配給第1部門的產(chǎn)品為xn1,分配給第2部門的產(chǎn)品為xn2,…,分配給第n部門的產(chǎn)品為xnn,最終產(chǎn)品為yn,總產(chǎn)出為xn.4其次考察各部門作為消費(fèi)者的情況:第1部門消耗第1部門的產(chǎn)品為x11,消耗第2部門的產(chǎn)品為x21,…,消耗第n部門的產(chǎn)品為xn1,創(chuàng)造價(jià)值為z1,得到的總投入為它的總產(chǎn)出x1第2部門消耗第1部門的產(chǎn)品為x12,消耗第2部門的產(chǎn)品為x22,…,消耗第n部門的產(chǎn)品為xn2,創(chuàng)造價(jià)值為z2,得到的總投入為它的總產(chǎn)出x2…

…第n部門消耗第1部門的產(chǎn)品為x1n,消耗第2部門的產(chǎn)品為x2n,…,消耗第n部門的產(chǎn)品為xnn,創(chuàng)造價(jià)值為zn,得到的總投入為它的總產(chǎn)出xn5將上面的數(shù)據(jù)列成一張表,這張表稱為投入產(chǎn)出平衡表部門間流量投入產(chǎn)出消費(fèi)部門最終產(chǎn)品總產(chǎn)出12…n生產(chǎn)部門1x11x12…x1ny1x12x21x22…x2ny2x2???

???nxn1xn2…xnnynxn創(chuàng)造價(jià)值z(mì)1z2…zn

總投入x1x2…xn6在表中的前n行中,每一行都反映出該部門作為生產(chǎn)者將自己的產(chǎn)品分配給各部門,這些產(chǎn)品加上該部門的最終產(chǎn)品應(yīng)該等于它的總產(chǎn)出,即

這個(gè)方程組稱為產(chǎn)品分配平衡方程組.7在表中的前n列中,每一列都反映出該部門作為消費(fèi)者消耗各部門的產(chǎn)品,即接收各部門對(duì)它的投入,這些投入加上該部門的創(chuàng)造價(jià)值就是對(duì)它的總投入,應(yīng)該等于它的總產(chǎn)出,即

這個(gè)方程組稱為產(chǎn)品消耗平衡方程組.8比較兩個(gè)方程組,容易看出:在一般情況下,一個(gè)部門的最終產(chǎn)品并不恒等于它的創(chuàng)造價(jià)值,即等式y(tǒng)i=zi(i=1,2,…,n)非恒成立.但是,所有部門的最終產(chǎn)品之和一定等于它們的創(chuàng)造價(jià)值之和,即y1+y2+…+yn=z1+z2+…+zn為了揭示部門間流量與總投入的內(nèi)在聯(lián)系,還要考慮一個(gè)部門消耗各部門的產(chǎn)品在對(duì)該部門的總投入中占有多大比重,于是引進(jìn)下面的概念.9定義3.3第j部門消耗第i部門的產(chǎn)品xij在對(duì)第j部門的總投入xj中占有的比重,稱為第j部門對(duì)第i部門的直接消耗系數(shù),記作

10在表中每個(gè)部門間流量除以所在列的總投入,就得到部門間的直接消耗系數(shù),共有n2個(gè),它們構(gòu)成一個(gè)n階方陣,稱為直接消耗系數(shù)矩陣,記作A=(aij)n×n,即

11直接消耗系數(shù)具有下列性質(zhì):性質(zhì)10≤aij<1

(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n)性質(zhì)2a1j+a2j+…+anj<1

(j=1,2,…,n)12例1已知一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)包括三個(gè)部門,報(bào)告期的投入產(chǎn)出平衡表如表所示，求報(bào)告期的直接消耗系數(shù)矩陣A部門間流量投入產(chǎn)出消費(fèi)部門最終產(chǎn)品總產(chǎn)出123生產(chǎn)部門13040152153002302030120200330203070150創(chuàng)造價(jià)值21012075

總投入30020015013例1解:根據(jù)直接消耗系數(shù)的定義,得到報(bào)告期的直接消耗系數(shù)矩陣

直接消耗系數(shù)基本上是技術(shù)性的,因而是相對(duì)穩(wěn)定的,在短期內(nèi)變化很小.根據(jù)直接消耗系數(shù)的定義,有xij=aijxj

(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n)14例1代入到產(chǎn)品分配平衡方程組,得到

它可以表示為矩陣形式X=AX+Y即有(I-A)X=Y15例1其中矩陣A為直接消耗系數(shù)矩陣,即矩陣

矩陣X為總產(chǎn)出矩陣,矩陣Y為最終產(chǎn)品矩陣,即矩陣

16應(yīng)用投入產(chǎn)出方法所要解決的一個(gè)重要問題是:已知經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)在報(bào)告期內(nèi)的直接消耗系數(shù)矩陣A,各部門在計(jì)劃期內(nèi)的最終產(chǎn)品Y,預(yù)測(cè)各部門在計(jì)劃期內(nèi)的總產(chǎn)出X.由于直接消耗系數(shù)在短期內(nèi)變化很小,因而可以認(rèn)為計(jì)劃期內(nèi)的直接消耗系數(shù)矩陣與報(bào)告期內(nèi)的直接消耗系數(shù)矩陣是一樣的.所以這個(gè)問題就化為解計(jì)劃期內(nèi)產(chǎn)品分配平衡的線性方程組(I-A)X=Y17定理3.3產(chǎn)品分配平衡的線性方程組(I-A)X=Y有唯一解且為非負(fù)解.當(dāng)然,解這個(gè)線性方程組的方法仍然是:對(duì)增廣矩陣作初等行變換,直至化為簡(jiǎn)化階梯形矩陣.18例2已知一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)包括三個(gè)部門,在報(bào)告期內(nèi)的直接消耗系數(shù)矩陣

19例2解:寫出總產(chǎn)出矩陣X與最終產(chǎn)品矩陣Y,有

容易得到矩陣

20例2解線性方程組(I-A)X=Y對(duì)增廣矩陣作初等行變換,直至化為簡(jiǎn)化階梯形矩陣,有

21例2第1行至第3行各行分別乘以-10

交換第1行與第3行

22例2第1行的-1倍加到第2行上去第1行的8倍加