浙江省杭州市高中附屬啟正中學(xué)高一數(shù)學(xué)文期末試題含解析

浙江省杭州市高中附屬啟正中學(xué)高一數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如果變量滿足條件上，則的最大值（▲）A．

B．

C．

D．參考答案：D略2.已知是第二象限角,,則A． B． C． D．參考答案：A略3.算法：此算法的功能是(

)A．輸出a，b，c中的最大值 B．輸出a，b，c中的最小值C．將a，b，c由小到大排序 D．將a，b，c由大到小排序參考答案：略4.函數(shù)f（x）=ax2+2（a﹣3）x+18在區(qū)間（﹣3，+∞）上遞減，則實(shí)數(shù)α的取值范圍是(

)A． B． C．（﹣∞，0] D．[0，+∞）參考答案：A【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】當(dāng)a=0時(shí)，確定出f（x）解析式，滿足題意；當(dāng)a≠0時(shí)，利用二次函數(shù)性質(zhì)求出a的范圍，綜上，得到實(shí)數(shù)a的取值范圍即可．【解答】解：當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=﹣6x+18，滿足在區(qū)間（﹣3，+∞）上遞減；當(dāng)a≠0時(shí)，函數(shù)f（x）=ax2+2（a﹣3）x+18的圖象的對(duì)稱軸方程為x=，且函數(shù)在區(qū)間（﹣3，+∞）上遞減，∴a＜0，且≤﹣3，解得：﹣≤a＜0．則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[﹣，0]，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．5.用更相減損術(shù)法，計(jì)算56和264的最大公約數(shù)時(shí)，需要做的減法次數(shù)是（）A．5、 B．6 C．7 D．8參考答案：D【考點(diǎn)】用輾轉(zhuǎn)相除計(jì)算最大公約數(shù)．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；算法和程序框圖．【分析】利用更相減損術(shù)法即可得出．【解答】解：用更相減損術(shù)法：264﹣56=208，208﹣56=152，152﹣56=96，96﹣56=40，56﹣40=16，40﹣16=24，24﹣16=8，16﹣8=8．因此用更相減損術(shù)法，計(jì)算56和264的最大公約數(shù)時(shí)，需要做的減法次數(shù)是8．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了更相減損術(shù)法的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6.函數(shù)的值域是（

）

A.

B.2

C.

D.4參考答案：C略7.某單位有老年人28人，中年人54人，青年人81人．為了調(diào)查他們的身體狀況，需從他們中抽取一個(gè)容量為36的樣本，最適合抽取樣本的方法是(

)．A．簡單隨機(jī)抽樣

B．系統(tǒng)抽樣C．分層抽樣

D．先從老年人中剔除一人，然后分層抽樣參考答案：D略8.若右面的程序框圖輸出的是，則①應(yīng)為

參考答案：9.．已知m，n是兩條不同直線，α、β是兩個(gè)不同平面，下列命題中不正確的是（

）A．若

B．若C．若

D．若參考答案：A10.在等差數(shù)列{an}中，已知，，那么A．15

B．16

C．17

D．18參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)y＝sinωx(ω＞0)的部分圖象如圖所示，點(diǎn)A，B是最高點(diǎn)，點(diǎn)C是最低點(diǎn)，若△ABC是直角三角形，則ω的值為____.參考答案：【分析】可得△ABC為等腰直角三角形，進(jìn)而可得AB＝2CD＝4，還可得AB，解方程可得ω的值．【詳解】解：由題意結(jié)合三角函數(shù)的對(duì)稱性可知△ABC為等腰直角三角形，且∠ACB為直角，取AB的中點(diǎn)為D，由三角函數(shù)的最大值和最小值為1和﹣1，可得CD＝1﹣（﹣1）＝2故AB的長度為2CD＝4，又AB為函數(shù)的一個(gè)周期的長度，故可得2，解之可得ω故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的參數(shù)的意義，得出AB的兩種表示方法是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．12.如圖，已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，，給出下列結(jié)論：①；②直線平面；③平面平面；④異面直線PD與BC所成角為45°；⑤直線PD與平面PAB所成角的余弦值為.其中正確的有_______（把所有正確的序號(hào)都填上）參考答案：①③④⑤【分析】設(shè)出幾何體的邊長，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，線面垂直的判定定理，線面平行的判定定理，面面垂直的判定定理，異面直線所成角，線面角有關(guān)知識(shí)，對(duì)五個(gè)結(jié)論逐一分析，由此得出正確結(jié)論的序號(hào).【詳解】設(shè)正六邊形長為1，則.根據(jù)正六邊形的幾何性質(zhì)可知，由平面得，所以平面，所以，故①正確.由于，而，所以直線平面不正確，故②錯(cuò)誤.易證得,所以平面，所以平面平面，故③正確.由于,所以是異面直線與所成角，在中，，故，也即異面直線與所成角為，故④正確.連接，則，由①證明過程可知平面，所以平面，所以是所求線面角，在三角形中，，由余弦定理得，故⑤正確.綜上所述，正確的序號(hào)為①③④⑤.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面垂直的判定，面面垂直的判定，考查線線角、線面角的求法，屬于中檔題.13.關(guān)于的不等式（）的解集為

．

參考答案：略14.已知函數(shù)f（x）=滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)x1，x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，總有f（x1）﹣f（x2）＞0，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：[，）【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】由已知可得函數(shù)是（﹣∞，+∞）上的減函數(shù)，則分段函數(shù)在每一段上的圖象都是下降的，且在分界點(diǎn)即x=1時(shí)，第一段函數(shù)的函數(shù)值應(yīng)大于等于第二段函數(shù)的函數(shù)值．由此不難判斷a的取值范圍．【解答】解：∵對(duì)任意實(shí)數(shù)x1，x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，總有f（x1）﹣f（x2）＞0，∴函數(shù)f（x）=是（﹣∞，+∞）上的減函數(shù)，當(dāng)x≥1時(shí)，y=logax單調(diào)遞減，∴0＜a＜1；而當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=（3a﹣1）x+4a單調(diào)遞減，∴a＜；又函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減，故當(dāng)x=1時(shí)，（3a﹣1）x+4a≥logax，得a≥，綜上可知，a的取值范圍為[，）故答案為：[，）15.下列幾個(gè)命題①方程的有一個(gè)正實(shí)根，一個(gè)負(fù)實(shí)根，則；②函數(shù)是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)；③函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域?yàn)?；④設(shè)函數(shù)定義域?yàn)镽，則函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；⑤一條曲線和直線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是，則的值不可能是1.其中正確的有__________________參考答案：略16.已知是奇函數(shù)，且，若，則________.參考答案：－3【分析】由已知可知，，然后結(jié)合（1），可求，然后代入即可求解．【詳解】是奇函數(shù)，，，，，，則.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用函數(shù)的奇偶性求解函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是奇函數(shù)定義的靈活應(yīng)用，屬于容易題．17..如圖，為了測量樹木AB的高度，在C處測得樹頂A的仰角為60°，在D處測得樹頂A的仰角為30°，若米，則樹高為______米.參考答案：【分析】先計(jì)算，再計(jì)算【詳解】在處測得樹頂?shù)难鼋菫椋谔帨y得樹頂?shù)难鼋菫閯t在中，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，也可以用正余弦定理解答.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分10分）設(shè)，求的值。參考答案：解：原式=---------------------------4分

因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，原式==---------------6分當(dāng)時(shí)，原式=--------8分所以原式----------------------------------------------------10分19.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽.（1）求a的取值范圍.（2）若該函數(shù)的最小值為，解關(guān)于x的不等式.參考答案：(1)[0,1]；(2).試題分析：(1)原問題等價(jià)于ax2+2ax+1≥0恒成立,分類討論：當(dāng)a=0和a≠0兩種情況可得a的取值范圍是[0,1].(2)由題意結(jié)合(1)的結(jié)論可得當(dāng)x=-1時(shí),f(x)min=,則=,a=,據(jù)此可得不等式x2-x-a2-a<0的解集為(-,).試題解析：(1)∵函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)镽,∴ax2+2ax+1≥0恒成立,分類討論：當(dāng)a=0時(shí),1≥0恒成立.當(dāng)a≠0時(shí),要滿足題意,則有，解得0<a≤1.綜上可知,a的取值范圍是[0,1].(2)f(x)==,由題意及(1)可知0<a≤1,∴當(dāng)x=-1時(shí),f(x)min=,由題意得,=,∴a=,∴不等式x2-x-a2-a<0可化為x2-x-<0.解得-<x<,∴不等式的解集為(-,).點(diǎn)睛：解含參數(shù)的一元二次不等式分類討論的依據(jù)(1)二次項(xiàng)中若含有參數(shù)應(yīng)討論是小于0，等于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式．(2)當(dāng)不等式對(duì)應(yīng)方程的根的個(gè)數(shù)不確定時(shí)，討論判別式Δ與0的關(guān)系．(3)確定無根時(shí)可直接寫出解集，確定方程有兩個(gè)根時(shí)，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式．20.某地隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，居民收入逐年增長，如表是該地一建設(shè)銀行連續(xù)五年的儲(chǔ)蓄存款（年底余額），如表1年份x20112012201320142015儲(chǔ)蓄存款y（千億元）567810

為了研究計(jì)算的方便，工作人員將上表的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，得到表2：時(shí)間代號(hào)t12345z01235

（1）求z關(guān)于t的線性回歸方程；（2）通過（1）中的方程，求出y關(guān)于x的回歸方程；（3）用所求回歸方程預(yù)測到2010年年底，該地儲(chǔ)蓄存款額可達(dá)多少？附：對(duì)于線性回歸方程，其中,.參考答案：（1）；（2）；（3）3.6千億．【分析】（1）利用最小二乘法求出z關(guān)于t的線性回歸方程；（2）通過，把z關(guān)于t的線性回歸方程化成y關(guān)于x的回歸方程；（3）利用回歸方程代入求值?！驹斀狻拷猓海?）由表中數(shù)據(jù)，計(jì)算（1+2+3+4+5）＝3，（0+1+2+3+5）＝2.2，tizi＝1×0+2×1+3×2+4×3+5×5＝45，12+22+32+42+52＝55，所以1.2，b2.2﹣1.2×3＝﹣1.4，所以z關(guān)于t的線性回歸方程為z＝1.2t﹣1.4；（2）把t＝x﹣2010，z＝y(tǒng)﹣5代入z＝1.2t﹣1.4中，得到：y﹣5＝1.2（x﹣2010）﹣1.4，即y關(guān)于x的回歸方程是y＝1.2x﹣2408.4；（3）由（2）知，計(jì)算x＝2010時(shí)，y＝1.2×2010﹣2408.4＝3.6，即預(yù)測到2010年年底，該地儲(chǔ)蓄存款額可達(dá)3.6千億．【點(diǎn)睛】本題主要考查了非線性回歸模型問題，采用適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q，把問題轉(zhuǎn)化成線性回歸問題，是求解非線性回歸問題的主要手段。21.已知二次函數(shù)f（x）滿足f（﹣1）=0，且x≤f（x）≤（x2+1）對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立．（1）求f（1）；（2）求f（x）的解析表達(dá)式；（3）證明：+…+＞2．參考答案：考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：（1）利用不等式的求f（1）的值．（2）利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．（3）利用放縮法證明不等式．解答：解：（1）因?yàn)閤≤f（x）≤（x2+1）對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立．所以當(dāng)x=1時(shí)，有1≤f（1）≤（1+1）=1，所以f（1）=1．（2）設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，a≠0，因?yàn)閒（1）=1，f（﹣1）=0，所以a+c=b=．因?yàn)閒（x）≥x對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，即ax2+（b﹣1）