高考數(shù)學(xué)重點難點復(fù)習(xí)(14)：數(shù)列的綜合應(yīng)用問題

數(shù)列的綜合應(yīng)用問題

縱觀近幾年的高考，在解答題中，有關(guān)數(shù)列的試題出現(xiàn)的頻率較高，不僅可與函數(shù)、方

程、不等式、復(fù)數(shù)相聯(lián)系，而且還與三角、立體幾何密切相關(guān)；數(shù)列作為特殊的函數(shù)，在實

際問題中有著廣泛的應(yīng)用，如增長率，減薄率，銀行信貸，濃度匹配，養(yǎng)老保險，圓鋼堆壘

等問題.這就要求同學(xué)們除熟練運用有關(guān)概念式外，還要善于觀察題設(shè)的特征，聯(lián)想有關(guān)數(shù)

學(xué)知識和方法，迅速確定解題的方向，以提高解數(shù)列題的速度.

?難點磁場

/+212

（★★★★★）已知二次函數(shù)在—處取得最小值——（/>O）y（l）=O.

⑴求產(chǎn)式x）的表達式；

（2）若任意實數(shù)x都滿足等式大外?g（R）+a〃尤［g（x）］為多項式，〃￡N*）,試用，表

刁、,和；

（3）設(shè)圓c“的方程為a-%K+（），一小）2=%2,圓c〃與c“+］外切（〃=1,2,3「?）；｛%｝是各項都是

正數(shù)的等比數(shù)列，記5〃為前〃個圓的面積之和，求「“、5”.

?案例探究

［例1］從社會效益和經(jīng)濟效益出發(fā)，某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅

游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少g,本年度當(dāng)?shù)芈?/p>

游業(yè)收入估計為400萬元，由于該項建設(shè)對旅游業(yè)的促進作用，預(yù)計今后的旅游業(yè)收入每年

會比上年增加

4

（1）設(shè)"年內(nèi)（本年度為第一年）總投入為恁萬元，旅游業(yè)總收入為為萬元，寫出斯上的

表達式；

（2）至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？

命題意圖：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識；考查綜合運

用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，本題有很強的區(qū)分度，屬于應(yīng)用題型，正是近幾年高考的

熱點和重點題型，屬★★★★★級題目.

知識依托：本題以函數(shù)思想為指導(dǎo)，以數(shù)列知識為工具，涉及函數(shù)建模、數(shù)列求和、不

等式的解法等知識點.

錯解分析：（1）問斯、兒實際上是兩個數(shù)列的前"項和，易與“通項”混淆；（2）問是既

解一元二次不等式又解指數(shù)不等式，易出現(xiàn)偏差.

技巧與方法：正確審題、深刻挖掘數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)量模型是本題的靈魂，（2）問中指

數(shù)不等式采用了換元法，是解不等式常用的技巧.

解：（1）第1年投入為800萬元，第2年投入為800X（1-^）萬元，…第八年投入為800

義（1一萬元，所以，w年內(nèi)的總投入為

11n1

%=800+800X（1——）+???+800X（1一一尸二Z800X（1

55攵與5

4

=4000X［1一（《）〃］

第1年旅游業(yè)收入為400萬元，第2年旅游業(yè)收入為400X(1+!),…，第”年旅游業(yè)

收入400X(1+1)"1萬元.所以，n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為

九=400+400義(1+-)+…+400X(1+-廣?=Z400X(二廣?

44*=]4

=1600X

(2)設(shè)至少經(jīng)過〃年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，由此為一斯>0,即：

544

1600XE(-)n-l]-4000X[1-(-/']>0,令x=(一)",代入上式得：5x2-7x+2>

455

242

(X解此不等式，得或x>1(舍去).即(1)"<：,由此得〃》5.

.??至少經(jīng)過5年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入.

[例2]已知S"=l+,+'+…+’,(〃eN*)設(shè)/(〃)=S2"+i-&+卜試確定實數(shù)m的取值范圍，

23n

2

使得對于--切大于1的自然數(shù)n,不等式：加)>[logm(/7!-1)]——2恒成

命題意圖：本題主要考查應(yīng)用函數(shù)思想解決不等式、數(shù)列等問題，需較強的綜合分析問

題、解決問題的能力.屬★★★★★級題目.

知識依托：本題把函數(shù)、不等式恒成立等問題組合在一起，構(gòu)思巧妙.

錯解分析：本題學(xué)生很容易求大〃)的和，但由于無法求和，故對不等式難以處理.

技巧與方法：解決本題的關(guān)鍵是把A〃)(”dN*)看作是〃的函數(shù)，此時不等式的恒成立

2

就轉(zhuǎn)化為：函數(shù)_/(")的最小值大于[log/m-1)]2—色[log(m-i/n].

解：V5?=l+-+-+-+-.(?eN*)

23n

Xf(n+!)-/(?)=

2n+22〃+3n+22n+22”+32n+4

—(--------------------)+(--------------------)>0

In+22"+42〃+32n+4

.?.加+1)>加)

.?小〃)是關(guān)于?”的增函數(shù)

...要使一切大于1的自然數(shù)〃，不等式

/(?)>[log,”(加-1)]2—募[log(m-i)/n]2恒成立

Q11

2—

只要[log,ZJ(/?2—1)]—[log(〃L]/n]2成立即可

L[m>0,/n1,口「

由《得m>\且加W2

[m-1>0,/〃一1。1

此時設(shè)[10g,“(m—1)]2n則f>0

911

-->t----

于是《2020解得0<f<l

f>0

由此得0<[log,“(機-1)]2<1

解得上正且,〃W2.

2

?錦囊妙計

1.解答數(shù)列綜合題和應(yīng)用性問題既要有堅實的基礎(chǔ)知識，又要有良好的思維能力和分析、

解決問題的能力；解答應(yīng)用性問題，應(yīng)充分運用觀察、歸納、猜想的手段，建立出有關(guān)等差

(比)數(shù)列、遞推數(shù)列模型，再綜合其他相關(guān)知識來解決問題.

2.縱觀近幾年高考應(yīng)用題看，解決一個應(yīng)用題，重點過三關(guān)：

(1)事理關(guān)：需要讀懂題意，明確問題的實際背景，即需要一定的閱讀能力.

(2)文理關(guān)：需將實際問題的文字語言轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)的符號語言，用數(shù)學(xué)式子表達數(shù)學(xué)關(guān)系.

(3)事理關(guān)：在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程中；要求考生對數(shù)學(xué)知識的檢索能力，認(rèn)定或構(gòu)建

相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，完成用實際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化.構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型后，要正確得到問題

的解，還需要比較扎實的基礎(chǔ)知識和較強的數(shù)理能力.

?殲滅難點訓(xùn)練

一、選擇題

1.(★★★★★)已知二次函數(shù)y=a(a+l)/一(2a+l)x+l,當(dāng)a=l,2,,,,,”，…時，其拋

物線在x軸上截得的線段長依次為4,刈，…，則lim(d|+“2+…+d”)的值是()

71~?00

A.lB.2C.3D.4

二、填空題

2.(*****)在直角坐標(biāo)系中，。是坐標(biāo)原點，Pi(x”力)、P2(x2,y2)是第一象限的兩

個點，若1,巴，必，4依次成等差數(shù)列，而1,力，竺，8依次成等比數(shù)列，則△。尸1尸2的面

積是.

3.(****)從盛滿a升酒精的容器里倒出。升，然后再用水加滿，再倒出b升，再用

水加滿；這樣倒了“次，則容器中有純酒精升.

4(★★★★★)據(jù)2000年3月5日九屆人大五次會議《政府工作報告》：“2001年國

內(nèi)生產(chǎn)總值達到95933億元，比上年增長7.3%,”如果“十?五”期間(2001年~2005年)

每年的國內(nèi)生產(chǎn)總值都按此年增長率增長，那么到“十?五”末我國國內(nèi)年生產(chǎn)總值約為

_________億元.

三、解答題

5.(★★★★★)已知數(shù)列｛斯｝滿足條件：句=1,02=?廠>0),且｛q,%+1｝是公比為虱4>0)的等

比數(shù)列，設(shè)",=。2"-1+。2“("=1,2,…).

(1)求出使不等式斯”“+|+%+|。"+2>卬+2知+3(”右河)成立的q的取值范圍;

⑵求b”和lim』-，其中5"="+歷+…+?！?

n->8Sn

(3)設(shè)廠202—1,q=L求數(shù)列｛12^1組L｝的最大項和最小項的值.

2log2bli

6.(*****)某公司全年的利潤為。元，其中一部分作為獎金發(fā)給“位職工，獎金分

配方案如下：首先將職工按工作業(yè)績(工作業(yè)績均不相同)從大到小，由1至排序，第1位

職工得獎金2元，然后再將余額除以n發(fā)給第2位職工，按此方法將獎金逐一發(fā)給每位職

n

工，并將最后剩余部分作為公司發(fā)展基金.

(1)設(shè)四為第々位職工所得獎金金額，試求。2,〃3,并用我、”和6表示您(不必

證明)；

(2)證明以〉以+#=1,2,1),并解釋此不等式關(guān)于分配原則的實際意義；

(3)發(fā)展基金與〃和b有關(guān)，記為P“S),對常數(shù)6,當(dāng)"變化時，求limPM).

”一>8

7.(****)據(jù)有關(guān)資料，1995年我國工業(yè)廢棄垃圾達到7.4XIO'噸，占地562.4平方

公里，若環(huán)保部門每年回收或處理1噸舊物資，則相當(dāng)于處理和減少4噸工業(yè)廢棄垃圾，并

可節(jié)約開采各種礦石20噸，設(shè)環(huán)保部門1996年回收10萬噸廢舊物資，計劃以后每年遞增

20%的回收量，試問：

⑴2001年回收廢舊物資多少噸？

(2)從1996年至2001年可節(jié)約開采礦石多少噸(精確到萬噸)？

(3)從1996年至2001年可節(jié)約多少平方公里土地？

8.(****乃已知點的序列4(為”0),〃右？其中X|=0/2=a(a>0)A是線段432的中點，

4是線段A2A3的中點，…，A”是線段4〃-24-1的中點，….

(1)寫出X”與X“-1、X“-2之間關(guān)系式("N3)；

(2)設(shè)a“=x“+i—斯，計算田,。2例，由此推測數(shù)列｛斯｝的通項公式，并加以證明；

(3)求limx?.

n->oo

參考答案

難點磁場

r+2t2

解：⑴設(shè)/(x)=a(x———產(chǎn)一一，由-1)=0得a=l.

24

?\f(x)=x2—(/+2)x+/+1.

(2)將/(x)=(x—1)[x—(f+1)]代入已知得：

(x—1)[x—(f+1)]g(x)+a?x+b?=x"+i,上式對任意的xCR都成立，取x=l和x=f+l分別

代入上式得：

On+b”=111.f+1-

v且解得斯=一[?+1)"+—1],b=----[1—(r+1]n)

[”+l)a“+0=(f+l嚴(yán)ttlt

(3)由于圓的方程為(x—a“尸+(y—為尸=/?,又由(2)知斯+瓦=1,故圓C“的圓心0,,在直線

x+y=l上，又圓C“與圓C”+i相切,故有％+r“+i=VIIan+~anI=VI(f+l嚴(yán)

設(shè)｛r“｝的公比為q,則

苫+皿=啦(，+1嚴(yán)②

工M+小闖=/。+1)-2

②+①得行%L=什1,代入①得r"=+

%t+2

:4="而+我…+外嗎軍0=嗎4[?+1產(chǎn)—1]

q2-1r(z+2)3

殲滅難點訓(xùn)練

一\1.解析：當(dāng)a=n時)=〃(〃+l)x2—(2〃+1)x+1

由|為一切1=^^，得d”=------,；?di+d2+…+d〃

an｛n+1)

111i11I111

-++,,?+=]—++??,+f

1?22-3n[n+1)223〃〃+1n+1

lim(4+4+…+d〃)=lim(1---^―)-1

M-^OCZJ—>00〃+1

答案：A

二、2.觴？：由1,X|M2,4依次成等差數(shù)列得：2XI=X2+1,XI+X2=5解得X|=2j2=3.又由15必8

依次成等比數(shù)列，得y『=)，2,yiy2=8,解得力=2,竺=4,

.仍(2,2),尸2(3,4).二函=(2,2)麗=(3,4)

Z.OPiOP2=6+8=14,函=242,\麗1=5,

V2

OP}OP2_147A/2

/.cosP{OP2sinPOP

I麗麗I5x2也{210

1--*'?

-x2V2x5x—=1

：.S^P1=-\OP}\\OP2\^PXOP2

210

答案：1

3.解析：第一次容器中有純酒精a-h即。(1一2)升，第二次有純酒精a(l--)-

aa

——^-b,即。(1一二卜)2升，故第"次有純酒精。(1一2h)"升.

aaa

b

答案：a(l--)n

a

4.解析：從2001年到2005年每年的國內(nèi)生產(chǎn)總值構(gòu)成以95933為首項，以7.3%為公

比的等比數(shù)列，，。5=95933(1+7.3%)4七120000(億元).

答案：120000

三、

5.解：(1)由題意得？"一+處”>?2.由題設(shè)r>0q>0,故從上式可得：q2-q-\<0,解

得與叵VgVW，因g>。，故0<q<匕獸；

(2)4田"'?廿2=吐=q,：.組L=%.你I+="如目+%g=qH0.,=1+r/0,所以

aaahaaaa

nn+\nn2n-\+2?2n-\+2n

｛兒｝是首項為1+r，公比為q的等比數(shù)列，從而兒=(l+r)g"T.

當(dāng)q=\時，S產(chǎn)〃(1+r),

11八.切/(l+r)(l-q〃)

rlim—=rlim-=0,當(dāng)0<夕<1時,S〃=-------------

3〃〃—>8n(l+r)1-q

.1.I-ql-q

lim~~=lim:--------=----；

〃+cSn〃f8(1+r)(l—q)1+r

當(dāng)g>l時,S.=虹W,

i-q

[-q

(0<4<l)

lim——=lim----------廠=0,所以lim：=<1+r

S〃->8(1+r)(l—q)S0

nn(<7>1)

(3)由(2)，有"=(l+r)q"T

log22+1=+=Iog2(l+r)+"log24=]+]

，,_|

log2^?log2[(l+r)<7]log2(l+r)(n-l)log2^n-20.2

記C,=1g2*i,從上式可知,當(dāng)〃-20.2>0,即〃N21(〃eN*)時，C,隨〃的增大而減

bg22

小，故

1VC〃WQi=l+——?——=1+—=2.25

①

21-20.20.8

當(dāng)n-20.2<0,即〃W20（〃￡N*）時，C〃也隨n的增大而減小，故1>C“2

C2o=l+---------=1——=—4②

20-20.20.2

綜合①②兩式知，對任意的自然數(shù)n有C2oWC.WC2i,故｛C.）的最大項C2]=2.25,最小項

。20=14.

6.解：（1）第1位職工的獎金。尸2,第2位職工的獎金。2=’（1一,地，第3位職工的

nnn

獎金的=’（1-'尸。，…，第5位職工的獎金四=,（1——/

nnnn

（2）以一圖+尸」7（1—'）八％>0,此獎金分配方案體現(xiàn)了“按勞分配”或“不吃大鍋飯”

nn

的原則.

⑶設(shè)人⑹表示獎金發(fā)給第k位職工后所剩余數(shù)，則力（3二（1一」地上出片。一

n

L%,…排S)=(l——)%.得——)%,

nnn

故limPn(b)=—.

M-X?

7.解設(shè)小表示第〃年的廢舊物資回收量，，表示前〃年廢I日物資回收總量，則數(shù)列｛〃“｝

是以10為首項，1+20%為公比的等比數(shù)列.

（l）a6=10（1+20%）5=10X1.2224.8832g25（萬噸）

il]1.66-1

p[(lt2Q<-=10x=99.2992弋99.3(萬噸)

(1+2O%)-10.2

,從1996年到2000年共節(jié)約開采礦石20X99.3七1986（萬噸）

（3）由于從1996年到2001年共減少工業(yè)廢棄垃圾4X99.3=397.2（萬噸）,

,從1996年到2001年共節(jié)