新教材高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)練36函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解含解析新人教A版必修第一冊(cè)

函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解

>基礎(chǔ)練一水平一

(30分鐘60分)

一、選擇題(每小題5分，共30分)

1.函數(shù)/"(x)=log2X的零點(diǎn)是()

A.1B.2C.3D.4

【解析】選A.令A(yù)%)=0即10g2A=0得A=l.

2.以下函數(shù)在區(qū)間(0,2)上必有零點(diǎn)的是()

A.尸尸3B.y=2xC.y^xD.尸lgx

【解析】選D.畫出A,B,C,D四個(gè)選項(xiàng)的函數(shù)圖象可知，只有D選項(xiàng)中尸lgx在區(qū)間(0,2)±

有零點(diǎn).

4

3.函數(shù)f(x)=x■■一的零點(diǎn)有()

x

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.無數(shù)個(gè)

4

【解析】選C.令f(x)=0,即0,所以x=±2.故f(x)的零點(diǎn)有2個(gè).

x

4.已知函數(shù)f(x)=e、-尸2有一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間為(左代1)(MN*),則%可能等于()

A.0B.1C.2D.3

【解析】選B.因?yàn)锳l)=e-l-2<0,A2)=e-2-2>0,A3)=e-3-2>0,『(4)=產(chǎn)-4-2>0,所以

f(DH2)〈0,且函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，所以函數(shù)/?(x)=e'-『2有一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1,2),

故4可能等于L

5.函數(shù)&*)的圖象是連續(xù)不斷的曲線，求方程f(x)=0在(1,2)內(nèi)近似解的過程中得

A1X0,A1.5)>0,f(l.25)〈0,則方程的解所在區(qū)間為()

A.(1.25,1.5)B.(1,1.25)

C.(1.5,2)D.不能確定

【解析】選A.由于H1.25)?F(L5)<0,則方程的解所在區(qū)間為(1.25,1.5).

(x(x+4),%<0,

6.(多選題)已知函數(shù)/八則該函數(shù)零點(diǎn)為()

lx(x-4),x>0.

A.4B.3C.-4D.O

【解析】選A、C、D.當(dāng)x<0時(shí)，x(x+4)=0,所以x=0或x=~4,因?yàn)槊?lt;0,所以x=-4.當(dāng)x20

時(shí)，x(『4)=0,所以A=0或A=4,因?yàn)閤20,所以A=4或產(chǎn)0.故函數(shù)的零點(diǎn)為-4,0,4.

二、填空題(每小題5分，共10分)

7.己知方程必V-尸1=0在(0,1)內(nèi)恰有一解,則實(shí)數(shù)小的取值范圍是.

【解析】設(shè)￡(入)=加-六1,因?yàn)榉匠蘭，xT=Q在(0,1)內(nèi)恰有一解，當(dāng)"-0時(shí),方程-『1=0

在(0,1)內(nèi)無解；當(dāng)初W0時(shí)，由A0)=-l<0,得/>⑴=匹2>0,解得ni>2.

答案：(2,+8)

8.(1)將函數(shù)尸e'的圖象先向右平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，得到函數(shù)片/Xx)的圖象,

則函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)為.

，%+2%<0

(2)函數(shù)/"(分=；？“'八'的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè).

kx2-l,x>0

【解析】(1)將函數(shù)尸e,的圖象先向右平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，得到函數(shù)尸e1-3.

令尸ei-3=o,得到其零點(diǎn)為1+ln3.

(2)方程戶2=0(水0)的解為廣-2,方程Al=0(x>0)的解為戶1,所以函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn):-2

與1.

答案：(l)l+ln3(2)2

三、解答題(每小題10分,共20分)

9.判斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn),如果存在,求出零點(diǎn).

(X-1)(X2-4X+3)

(D/W--------------------

x-3

(2)f(x)=4*+5.

(3)f(x)=log3(x+l).

【解析】(1)令^(-x---'D-(-x-^--4--x-+-3-)-0,解得產(chǎn)1,所以函數(shù)存在零點(diǎn),且零點(diǎn)為1.

x-3

(2)令4,+5=0,顯然方程4'+5=0無實(shí)數(shù)根,所以函數(shù)/Xx)不存在零點(diǎn).

(3)令log3(x+l)=0,解得A=0,所以函數(shù)f(x)存在零點(diǎn),且零點(diǎn)為0.

10.確定函數(shù)/Xx)=log三廣尸4的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

2

【解析】設(shè)力=log^x,%=4-x,則F(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即乂與度的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出兩函數(shù)的圖象

2

如圖.

必=k)g;r

由圖知,與與先在區(qū)間(0,1)內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn),

當(dāng)2=4時(shí)，yp-2,72=0；

當(dāng)產(chǎn)8時(shí)，yi=-3,--4,

所以在(4,8)內(nèi)兩函數(shù)圖象又有一個(gè)交點(diǎn)，

所以兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

即函數(shù)/(>￥)=logl%+^-4有兩個(gè)零點(diǎn).

2

提升練——水平二

(35分鐘70分)

一、選擇題(每小題5分，共20分)

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

解析】選B.由已知數(shù)表可知

/(2)?/'(3)=10X(-7)<0,A3)?f(4)=(-7)X6<0,f⑷Xf⑸=6X(-4)<0,故函數(shù)f(x)在

(2,3),(3,4),(4,5)上分別存在零點(diǎn),故至少有3個(gè)零點(diǎn).

2.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，設(shè)x6R,用以]

表示不超過x的最大整數(shù)，產(chǎn)[幻也被稱為“高斯函數(shù)”，例如[2.1]=2,[3]=3,11.5]=-2,設(shè)

3

施為函數(shù)f(x)=log2Ji---1的零點(diǎn)，則［劉］=()

x

A.2B.3C.4D.5

3

【解析】選B.f(x)=log2尸-1,函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞

x

乂31_

增，/(3)=log23-2<0,A4)=log24---1=->0,若f(xo)=0,則照￡(3,4),所以［照］=3.

44

3.已知曲線片(卷)與片x的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是揚(yáng)，則施的取值范圍是()

I).(1,2)

解析選A.設(shè)/,(*)=-X、則

1

Ao)=i>o,/(期—屈<0,/■⑴磊-1<0,/'(2)=

-2<0,顯然有

f(0)?

4.(多選題)若函數(shù)產(chǎn)『(*)在區(qū)間［a"］上的圖象為一條連續(xù)不斷的曲線，則下列說法不正確

的是()

A.若fka)f(6)>0,不存在實(shí)數(shù)cW(a,6)使得f(c)=0

B.若Aa)A6)<0,存在且只存在一個(gè)實(shí)數(shù)cG(a,6)使得f(c)=0

C.若Aa)A6)>0,有可能存在實(shí)數(shù)cC(a,6)使得f(c)=0

D.若<0,有可能不存在實(shí)數(shù)cQ(a,⑸使得f(c)=0

【解析】選ABD.對(duì)于選項(xiàng)A,可能存在根;對(duì)于選項(xiàng)B,必存在但不一定唯一;選項(xiàng)D顯然不成

立.

二、填空題(每小題5分，共20分)

5.函數(shù)f(x)=%=(：)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是-

1/1、%―—

【解析】函數(shù)〃力=%3-的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即方程％3-=0的根的個(gè)數(shù)，即函數(shù)六工3

的圖象與函數(shù)片(3)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù);畫出兩者的圖象(如圖)，可得交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1.

答案：1

1

6.已知函數(shù)f{x)=2'+x,g(x)=log：ivr<-x,/i(x)=x一二的零點(diǎn)依次為a,b,c則a,b,c的大小關(guān)系

為

一1

【解析】在同一坐標(biāo)系下分別I網(wǎng)出函數(shù)片2*,尸log3X,尸-『的圖象，如圖，觀察它們與y=~x

的交點(diǎn)可知a<b<c.

答案：水伙c

QX,X40,

7.(2018?全國(guó)卷/改編)已知函數(shù)f(x)1'、八g(x)=F(x)+x+a,若g(x)存在2個(gè)

(In%,%>0,

零點(diǎn)，則a的取值范圍是.

【解析】因?yàn)間(x)=f(x)+Aa存在2個(gè)零點(diǎn)，即產(chǎn)/'(")與尸-六a有兩個(gè)交點(diǎn)，圖象如圖所示:

要使得產(chǎn)-七a與f(x)有兩個(gè)交點(diǎn)，則有-aWl,即a2T.

答案：［-1,+oo)

8.若關(guān)于x的方程3/-5a戶k0的一個(gè)根大于1,另一個(gè)根小于1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍

為.

【解析】令f(^)=3/-5c?A+a,根據(jù)條件,結(jié)合函數(shù)圖象得Al)=3-5a+c?<0,

3/300).

解得a〉一.所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍為一，+

4\4

答案G+8)

三、解答題(共30分)

9.(10分)判斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn),如果存在，請(qǐng)求出.

2

⑴片----.(2)y=x-2ji+4.

x+1

(3)尸2*-3.(4)片ITogs*

2

【解析】(D令尸0,得一=0,無解.故函數(shù)不存在零點(diǎn).

x+1

(2)令片0,得f-2廣4=0,zl=4-4X4=-12<0.故函數(shù)不存在零點(diǎn).

(3)令尸0,得2'-3=0,2*=3,解得方1。&3.故函數(shù)的零點(diǎn)為log23.

(4)令產(chǎn)0,得1Tog5A=0,logs產(chǎn)1,解得x=5.故函數(shù)的零點(diǎn)為5.

10.(10分)求實(shí)數(shù)m的取值范圍，使關(guān)于x的方程f+2(//ri)盧2加6=0,

(1)有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根.

(2)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且一個(gè)比2大,一個(gè)比2小.

Z>0,

笫1+%2=-2(m-l)>0,

【解析】⑴％也二26+6〉0,所以—?

<

(2)設(shè)f(x)=f+2Url)產(chǎn)2加^6,則f⑵<0,所以成T.

117

11.(10分)已知函數(shù)f(x)=log三產(chǎn)-----

22x2

(1)用單調(diào)性的定義證明f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù).

(2)證明f(x)有零點(diǎn).

(3)設(shè)f(x)的零點(diǎn)崩落在區(qū)間，工)內(nèi)，求正整數(shù)n.

\n+lnJ

【解析】(1)顯然/Xx)的定義域?yàn)?0,+8),

設(shè)0<Xl<X2,則%2-%1>0,

小/2>0='-->0,

2xr