長郡中學備戰(zhàn)高考14講專題08-數列(老師版)

專題08數列一、單選題1.【2020屆湖南省長沙市長郡中學高三下學期第四次適應性考試】《九章算術》第三章“衰分”介紹比例分配問題，“衰分”是按比例遞減分配的意思，通常稱遞減的比例為“衰分比”.如：已知，，三人分配獎金的衰分比為，若分得獎金1000元，則，所分得獎金分別為800元和640元.某科研所四位技術人員甲、乙、丙、丁攻關成功，共獲得單位獎勵68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配獎金，且甲與丙共獲得獎金36200元，則“衰分比”與丁所獲得的獎金分別為A．，14580元 B．，14580元C．，10800元 D．，10800元【答案】B【解析】設“衰分比”為，甲獲得的獎金為，則.，解得，故.故選：.2.【湖南省長沙市長郡中學2019-2020學年高三上學期第二次月考】等差數列的前項和為，已知，則的值為（）A．63 B．21 C． D．21【答案】C【解析】∵，∴，∴，∴，故選：C．3.【湖南省長沙市長郡中學2019-2020學年高三下學期2月質量檢測】已知函數，在等差數列中，，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由等差中項性質可得，即，所以，則.故選：C.4.【湖南省長沙市長郡中學2020-2021學年高三上學期入學摸底】設數列的前項和為，當時，，，成等差數列，若，且，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，，成等差數列，可得，則，，，可得數列中，每隔兩項求和是首項為，公差為的等差數列.則，，則的最大值可能為.由，，可得.因為，，，即，所以，則，當且僅當時，，符合題意，故的最大值為.故選：A.5.【湖南省長沙市長郡中學2020-2021學年高三上學期月考（二）】設是數列的前n項和，滿足，且，則（）A．10 B． C． D．11【答案】A【解析】因此數列為等差數列，首項為1，公差為1，即故選：A6.【湖南省長沙市長郡中學2020屆高三下學期第一次高考模擬】已知數列的首項，且滿足，則的最小的一項是A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知得，，所以數列為首項為，公差為的等差數列，，則，其對稱軸.所以的最小的一項是第項.故選A.7.【湖南省長沙市長郡中學2020屆高三下學期高考模擬卷（二）】數列是等差數列，且，，那么（）A． B． C．5 D．-5【答案】B【解析】由于數列是等差數列，所以，又，，∴，解得，故選：B.8.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期二模】已知函數，數列是公差為1的等差數列，且，若，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，，所以，，所以數列是公比為的等比數列，所以，所以，所以，故選：D9.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期考前沖刺卷】已知數列，，其中為最接近的整數，若的前項和為20，則（）A．15 B．30 C．60 D．110【答案】D【解析】由題意知，函數為最接近的整數，又由，，，，由此可得在最接近的整數中，有2個1，4個2，6個3，8個4，，又由數列滿足，可得，則，因為的前項和為20，即，可得數列構成首項為，公差為的對稱數列的前10項和，所以.故選：D.10.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期考前沖刺卷】《九章算術》是我國古代的數學巨著，書中有這樣一道題：“今有垣厚五尺，兩鼠對穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.問何日相逢？”題意為：有一堵墻厚五尺，有兩只老鼠從墻的正對面打洞穿墻.大老鼠第一天打進一尺，以后每天打進的長度是前一天的倍；小老鼠第一天也打進一尺，以后每天打進的長度是前一天的一半.若這一堵墻厚尺，則幾日后兩鼠相逢()A． B． C． D．【答案】B【解析】大鼠從第一天起打進尺數依次為：1，2，4，8，…，小鼠從第一天起打進尺數依次為：1，，，，…，前3天兩鼠完成量的總和為，前4天兩鼠完成量的總和為，所以第4天兩鼠相逢.故選：B11.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期月考（七）】素數在密碼學、生物學等方面應用廣泛，下表為森德拉姆(Sundaram，1934)素數篩法矩陣：4710131619…71217222732…101724313845…132231404958…162738496071…193245587184……其特點是每行每列的數均成等差數列，如果正整數n出現在矩陣中，則一定是合數，反之如果正整數n不在矩陣中，則一定是素數，下面結論中不正確的是（）A．第4行第10列的數為94 B．第7行的數構成公差為15的等差數列C．592不會出現在此矩陣中 D．第10列中前10行的數之和為1255【答案】C【解析】根據題意，第i行的等差數列的公差為．第j列的等差數列的公差等于．設表示第i行第j列的數，因為第4行的數構成了以13為首項，9為公差的等差數列．所以，A正確；因為第7行的第1個數為22．第2個數為37．所以公差為15，B正確；按照題意，如果592不會出現在此矩陣中，則是素數，而是合數，所以592會出現在此矩陣中，C錯誤；第10列中前10行的數構成以為首項，公差為21的等差數列，其和為，D正確．故選：C12.【湖南師范大學附屬中學2021屆高三下學期二?！俊度R茵德紙草書》是世界上最古老的數學著作之一．書中有一道這樣的題：把100個面包分給5個人，使每個人的所得成等差數列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小一份的量為A． B． C． D．【答案】C【解析】得中間的那份為20個面包，設最小的一份為，公差為d，根據題意，于是有解得．故選C．13.【湖南師范大學附屬中學2021屆高三下學期三?！慷x：在數列中，若滿足(，d為常數)，稱為“等差比數列”，已知在“等差比數列”中，，，則等于（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可得：，，，根據“等差比數列”的定義可知數列是首項為1，公差為2的等差數列，則，所以，，所以．故選：C14.【湖南師范大學附屬中學2021屆高三下學期月考（七）】在等差數列中，，．記，則數列（）．A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項【答案】B【解析】由題意可知，等差數列的公差，則其通項公式為：，注意到，且由可知，由可知數列不存在最小項，由于，故數列中的正項只有有限項：，.故數列中存在最大項，且最大項為.故選：B.二、多選題1.【湖南省長沙市長郡中學2020-2021學年高三上學期月考（五）】已知是公比q的正項等比數列的前n項和，若，，則下列說法正確的是（）A． B．數列是等比數列C． D．數列是公差為2的等差數列【答案】ABC【解析】公比q為正數，且，，，又，解得，.，，，∴數列是公比為2的等比數列.，故ABC正確，，數列是公差為的等差數列，故D錯誤.故選：ABC.2.【湖南省長沙市長郡中學2020-2021學年高三上學期月考（一）】已知數列的前項和為，且，（，為非零常數），則下列結論正確的是（）A．是等比數列 B．當時，C．當時， D．【答案】ABC【解析】由，得.時，，相減可得，又，數列為首項為，公比為的等比數列，故A正確；由A可得時，，故B正確；由A可得等價為，可得，故C正確；，，則，即D不正確；故選：ABC.3.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期保溫卷二】在數列中，若（為常數），則稱為“等方差數列”．下列對“等方差數列”的判斷正確的是A．若是等差數列，則是等方差數列B．是等方差數列C．若是等方差數列，則（為常數）也是等方差數列D．若是等方差數列，又是等差數列，則該數列為常數列【答案】BCD【解析】對于A，若是等差數列，如，則則不是常數，故不是等方差數列，故A錯誤；對于B，數列中，是常數，是等方差數列，故B正確；對于C，數列中的項列舉出來是，，，，，，，數列中的項列舉出來是，，，，，，將這k個式子累加得，，，k為常數是等方差數列，故C正確；對于D，是等差數列，，則設是等方差數列，是常數，故，故，所以，是常數，故D正確.故選：BCD.三、填空題1.【2020屆湖南省長沙市長郡中學高三下學期第四次適應性考試】正整數數列滿足，已知，的前6項和的最大值為，把的所有可能取值從小到大排成一個新數列，所有項和為，則________.【答案】62【解析】正整數數列滿足,且,所以或1,再依次分析,則可得的前6項分別為:128,64,32,16,8,4;或21,64,32,16,8,4;或20,10,5,16,8,4;或3,10,5,16,8,4;或16,8,4,2,1,4;或2,1,4,2,1,4;因此,,,故答案為:622.【湖南省長沙市長郡中學2019-2020學年高三上學期第二次月考】正項等比數列中，存在兩項使得，且，則的最小值為______.【答案】6【解析】因為正項等比數列中，，所以，即，又，所以，由可得出，于是，當且僅當等號成立，所以所求最小值為6，故答案為：6.3.【湖南省長沙市長郡中學2019-2020學年高三下學期2月質量檢測】記為等比數列的前項和，，且，則公比______.【答案】或【解析】若，則，，等式不成立，所以.由，得，結合整理，得.又，所以或.故答案為：或.4.【湖南省長沙市長郡中學2020-2021學年高三上學期入學摸底】在①數列{an}為等差數列，且a3＋a7＝18；②數列{an}為等比數列，且a2a6＝64，a2a3<0；③Sn－1＝an－1(n≥2)這三個條件中任選一個，補充到下面的問題中，并加以解答.已知數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，.（1）求數列{an}的通項公式；（2）是否存在正整數k∈{8，9，10}，使Sk>512，若存在，求出相應的正整數k的值；若不存在，請說明理由.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.【解析】選擇條件①，（1）因為數列{an}為等差數列，則又因為a3＋a7＝18，∴，所以數列{an}的公差所以（2）由（1）可得當時，當時，當時，所以不存在正整數k∈{8，9，10}，使Sk>512；選擇條件②，因為數列{an}為等比數列，則，又a2a6＝64，所以，因為，又a1＝1，則，設數列{an}的公比為q，則所以（2）由（1）可得當n=8時，當n=9時，當n=10時，所以不存在正整數k∈{8，9，10}，使Sk>512，選擇條件③，當n=2時，，即，當時，，兩式相減可得，即，則，即，又，所以數列{an}是首項為1，公比為2的等比數列，則；（2）由（1）可得，當n=8時，，當n=9時，，當n=10時，，則存在正整數k∈{8，9，10}，使Sk>512．5.【湖南省長沙市長郡中學2020-2021學年高三上學期月考（二）】已知數列的通項公式為，將這個數列中的項擺放成如圖所示的數陣，記為數陣從左至右的列，從上到下的行共個數的和，則數列的前2020項和為______．【答案】【解析】由題意，設數列的前項和為．∵數列的通項公式為，∴數列是以4為首項，2為公差的等差數列．∴第1行的所有項的和即為：．則第2行的所有項的和為：；第3行的所有項的和為：；…第行的所有項的和為：；∴．．∴數列的前2020項和為．故答案為：．6.【湖南省長沙市長郡中學2020-2021學年高三上學期月考（三）】已知數列的前項和，且，則數列的通項公式為________.【答案】【解析】當時，，整理可得，即，所以為常數列，故，所以，故答案為：.7.【湖南省長沙市長郡中學2020-2021學年高三上學期月考（一）】已知數列滿足，則前48項之和為___________.【答案】1176【解析】由，則，，，，，，，…可知相鄰奇數項的和為2，偶數項中，每隔一項構成公差為8的等差數列，由等差數列的求和公式計算即可得到所求值.因，，而，，所以數列前48項之和為.故答案為：1176.8.【湖南省長沙市長郡中學2020屆高三下學期高考模擬卷（二）】十三世紀意大利數學家列昂納多·斐波那契從兔子繁殖規(guī)律中發(fā)現了“斐波那契數列”，斐波那契數列滿足以下關系：，，，記其前n項和為，（1）___________．（2）設，（，y為常數），___________．【答案】1【解析】因為斐波那契數列滿足，，，∴；；；…；故．所以，因為．．故答案為：1，．9.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期保溫卷一】請寫出一個符含下列要求的數列的通項公式：①為無窮數列；②為單調遞增數列；③.這個數列的通項公式可以是______.【答案】.【解析】因為函數的定義域為，且在上單調遞增，，所以滿足3個條件的數列的通項公式可以是，故答案為：.10.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期二?！咳艏现辽俸袃蓚€元素（實數），且中任意兩個元素之差的絕對值都大于2，則稱為“成功集合”，已知集合，則的子集中共有__________個“成功集合”．【答案】49【解析】設集合的子集中有個成功集合，則，．對于時，可將滿足要求的子集分為兩類：一類是含有的子集，去掉后剩下小于的單元素子集或滿足要求的子集，前者有個，后者有個；另一類是不含的子集，即滿足要求的子集，有個．于是，．從而根據遞推關系得：，，，，，．故答案為：11.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期考前沖刺卷】如果數列滿足，且，則這個數列的第項等于___________.【答案】【解析】由，化簡得，且，，得，所以是以為首項，以為公差的等差數列，所以，即故答案為：12.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期一?！慷x函數，其中表示不超過的最大整數，例如：，，.當時，的值域為.記集合中元素的個數為，則的值為________.【答案】【解析】表示不超過的最大整數，當時，，，在各區(qū)間內的元素個數為，，，，，，，，.故答案為：.13.【湖南師范大學附屬中學2021屆高三下學期二?！恳阎獢盗兄校?，且，數列滿足，則的通項公式是_____.【答案】【解析】∵，∴，又，則，∴.故答案為：.四、解答題1.【2020屆湖南省長沙市長郡中學高三下學期第四次適應性考試】已知數列是各項均為正數的等比數列，，，數列滿足，且與的等差中項是.（1）求數列的通項公式；（2）若，的前項和為，求.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)數列是各項均為正數的等比數列,設其公比為,因為,,所以,因此,又數列滿足,且與的等差中項是,所以,即,所以:,,……,,上述累加可得,所以;(2),若為奇數,則,所以即.2.【湖南省長沙市長郡中學2019-2020學年高三上學期第二次月考】已知數列{an}的首項，，．(1)求證：數列為等比數列；(2)記，若Sn<100，求最大正整數n；(3)是否存在互不相等的正整數m，s，n，使m，s，n成等差數列，且am－1，as－1，an－1成等比數列？如果存在，請給以證明；如果不存在，請說明理由．【答案】（1）見解析；（2）99；（3）不存在【解析】(1)因為＝＋，所以－1＝－.又因為－1≠0，所以－1≠0(n∈N*)．所以數列為等比數列．(2)由(1)可得－1＝·n－1，所以＝2·n＋1.Sn＝＋＋…＋＝n＋2＝n＋2·＝n＋1－，若Sn<100，則n＋1－<100，因為函數y=n＋1－單調增，所以最大正整數n的值為99.(3)假設存在，則m＋n＝2s，(am－1)(an－1)＝(as－1)2，因為an＝，所以＝2，化簡得3m＋3n＝2·3s，因為3m＋3n≥2·＝2·3s，當且僅當m＝n時等號，又m，s，n互不相等，所以不存在．3.【湖南省長沙市長郡中學2020-2021學年高三上學期月考（二）】在遞增的等比數列中，，，其中.（1）求數列的通項公式；（2）記，求數列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設數列的公比為，則，又，∴，或，（舍）.∴，即.故（）.（2）由（1）得，.∴.4.【湖南省長沙市長郡中學2020-2021學年高三上學期月考（三）】已知正項數列的前項和為，且滿足：，.(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)由又有，，兩式相減得因為，所以又，，解得，滿足因此數列是等差數列，首項為，公差為所以(2)所以.5.【湖南省長沙市長郡中學2020-2021學年高三上學期月考（五）】已知等差數列的前n項和為，p，，，且.數列滿足.（1）求p?q的值；（2）設數列的前2n項和為，證明：.【答案】（1），；（2）證明見解析.【解析】解：（1），，，，解得.由得，解得.，.（2）等差數列的公差，.，，解得..∴數列的前項和，又，關于n遞增，.6.【湖南省長沙市長郡中學2020-2021學年高三上學期月考（一）】已知正項等差數列中，，且，成等比數列，數列的前n項和為，.（1）求數列和的通項公式；（2）設，求數列的前n項和.【答案】（1）；；（2）.【解析】（1）設等差數列的公差為d，由，且，成等比數列，∴，即，由已知，∴，∴，∴；由得：，∴數列是首項為，公比為的等比數列，則；（2），∴.7.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期保溫卷二】在公比大于0的等比數列中，已知依次組成公差為4的等差數列（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前項和【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設的公比為，因為成等差數列，所以，則，又，所以又因為，所以，所以；（2）由題可知，則，①，②①②得.故8.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期保溫卷一】已知數列滿足，且，其中，．（1）求證：是等比數列，并求的前項和；（2）設，數列的前項和為，求證：．【答案】（1）證明見解析，；（2）證明見解析.【解析】（1）因為，所以，，所以，，得到，．又因為，由，得到，故，且，所以為定值，所以數列是以2為首項，以2為公比的等比數列，所以，．（2）因為，所以，所以．因為，所以，所以．9.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期二?！恳阎f增等差數列滿足，，數列滿足.（1）求的前n項和；（2）若，求數列的通項公式.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設數列公差為，由，解得或（舍去），所以，則，即，所以，所以數列的前n項和.（2）由（1）知，又由，.10.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期考前沖刺卷】已知數列中，，且，設數列.（1）求證：數列是等比數列，并求數列的通項公式；（2）若數列的前項和為，數列的前項和為，求證：.【答案】（1）證明見解析，；（2）證明見解析.【解析】（1）由題意得：，即，且，是以為首項為公比的等比數列；（2）由（1）得，；11.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期一?！恳阎炔顢盗械那皀項和為，且滿足.（1）求數列的通項公式;（2）若數列滿足，求數列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】:設公差為，依題意得解得所以.，.12.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期月考（六）】已知等比數列的