第12講 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（解析版）

第12講一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系2.4【學(xué)習(xí)目標(biāo)】掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系以及在各類問題中的運用.【基礎(chǔ)知識】1.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程的兩個實數(shù)根是，那么，.注意它的使用條件為a≠0，Δ≥0.也就是說，對于任何一個有實數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商.2.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用(1)驗根．不解方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可以檢驗兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根；(2)已知方程的一個根，求方程的另一根及未知系數(shù)；(3)不解方程，可以利用根與系數(shù)的關(guān)系求關(guān)于x1、x2的對稱式的值．此時，常常涉及代數(shù)式的一些重要變形；如：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩．(4)已知方程的兩根，求作一個一元二次方程；以兩個數(shù)為根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程兩根滿足某種關(guān)系，確定方程中字母系數(shù)的值或取值范圍；（6）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可以進(jìn)一步討論根的符號.設(shè)一元二次方程的兩根為、，則①當(dāng)△≥0且時，兩根同號．當(dāng)△≥0且，時，兩根同為正數(shù)；當(dāng)△≥0且，時，兩根同為負(fù)數(shù)．②當(dāng)△＞0且時，兩根異號．當(dāng)△＞0且，時，兩根異號且正根的絕對值較大；當(dāng)△＞0且，時，兩根異號且負(fù)根的絕對值較大．要點：（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系求出一元二次方程中待定系數(shù)后，一定要驗證方程的．一些考試中，往往利用這一點設(shè)置陷阱；（2）若有理系數(shù)一元二次方程有一根，則必有一根（，為有理數(shù)）．【考點剖析】考點1：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求值例1．若、是一元二次方程的兩根，則的值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系計算求值即可．【解析】解：∵、是一元二次方程的兩根，∴，故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若、是一元二次方程的兩根，則，，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．例2．設(shè)方程的兩個根為，，則的值是（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．【解析】解：由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：．故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟記，．考點2：通過化簡、變形利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求值例3．已知關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，，若，則的值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系代入求解即可得到答案．【解析】解：由題意可得，，，∵，∴，解得，故選A．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系：，．例4．已知、是方程的兩個實數(shù)根，則的值是（

）A．2016 B．2018 C．2022 D．2024【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的解得出，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，代入代數(shù)式即可求解．【解析】解：∵、是方程的兩個實數(shù)根，∴，，即，∴，故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程根的定義，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．例5．若方程的兩個實數(shù)根為、，則的值為（

）A．7 B．3 C．－5 D．9【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可得出答案．【解析】解：∵方程的兩個實數(shù)根為、，∴，，∴，故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟知：若是一元二次方程的兩個根，則，；是解本題的關(guān)鍵．例6．已知，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則=（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到，，對分式進(jìn)行運算，代入求解即可．【解析】解：，是一元二次方程的兩個實數(shù)根則，，，故選B【點睛】此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及分式的運算，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則，．例7．設(shè)，是一元二次方程的兩個根，那么的值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程解的定義和根與系數(shù)的關(guān)系得到，，，進(jìn)而推出，再推出，代入即可得到答案．【解析】解：∵，是一元二次方程的兩個根，∴，，?！啵?，∴，故選D．【點睛】本題主要考查了一元二次方程解的定義和根與系數(shù)的關(guān)系，正確推出是解題的關(guān)鍵．考點3：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù)例8．若關(guān)于x的一元二次方程的兩個根互為相反數(shù)，則m的值為（

）A．3或 B． C．3 D．2或【答案】A【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系，則這兩個根的和為零，從而得，解方程即可．【解析】設(shè)一元二次方程的兩個根分別為、，由題意得：，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：，解方程得：，，此時，判別式的值，符合題意．故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、解一元二次方程，關(guān)鍵是由根與系數(shù)的關(guān)系得到關(guān)于m的一元二次方程．例9．若關(guān)于的一元二次方程的兩根互為倒數(shù)，則（

）A．3 B．1 C． D．【答案】B【分析】設(shè)、是的兩根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得出，再根據(jù)倒數(shù)的定義，得出，再利用等量代換，得出，求出的值，再根據(jù)原方程有兩個實數(shù)根，即可求出符合題意的的值．【解析】解：設(shè)、是的兩根，∴根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可得：，∵方程的兩根互為倒數(shù)，∴可得，∴，解得：，∵方程有兩個實數(shù)根，∴，當(dāng)時，，∴符合題意，當(dāng)時，，∴不符合題意．∴，故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．例10．是方程的兩個實根，若恰成立，則的值為（

）A． B．或 C． D．或1【答案】A【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合判別式的取值范圍，進(jìn)行求解即可．【解析】解：是方程的兩個實根，則：，解得：，，∴整理得：，解得：或，∵，∴；故選A．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．解題時要注意判別式的符號．考點4：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系分析、判斷命題真假例11．關(guān)于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p為常數(shù)）根的情況下，下列結(jié)論中正確的是（）A．兩個正根B．一個正根，一個負(fù)根，正根的絕對值比負(fù)根的絕對值大C．兩個負(fù)根D．一個正根，一個負(fù)根，正根的絕對值比負(fù)根的絕對值小【答案】D【分析】方程整理為一般形式，設(shè)兩根分別為a，b，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出a+b與ab，判斷即可．【解析】解：設(shè)方程兩根設(shè)為a，b，方程整理得：x2+x﹣2﹣p2＝0，∴由根與系數(shù)的關(guān)系得：a+b＝﹣1＜0，ab＝﹣2﹣p2＜0，則一個正根，一個負(fù)根，正根的絕對值比負(fù)根的絕對值?。蔬x：D．【點睛】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，絕對值，以及根的判別式，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．例12．有兩個關(guān)于x的一元二次方程：，，其中a+c=0，以下列四個結(jié)論中，①如果，那么方程M和方程N(yùn)有一個公共根為1；②方程M和方程N(yùn)的兩根符號異號，而且它們的兩根之積必相等；③如果2是方程M的一個根，那么一定是方程N(yùn)的一個根；④如果方程M和方程N(yùn)有一個相同的根，那么這個根必定是．其中錯誤的結(jié)論的個數(shù)是（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【分析】當(dāng)時，得出，得出即可判斷①；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，由即可判斷②；將代入方程中可得出，方程兩邊同時除以4可得出，由此可得出是方程的一個根，即可判斷③；設(shè)相同的根為，將其代入兩方程中作差后可得出，解之可得出，進(jìn)而可得出兩方程有相同的根，即可判斷④．【解析】解：，方程的一個根為1，方程有一個根為1，如果，那么方程和方程有一個公共根為1，結(jié)論①正確；，，，，方程和方程的兩根之積必相等，結(jié)論②正確；是方程的一個根，，即，是方程的一個根，結(jié)論③正確；設(shè)相同的根為，則，①②得：，．，，，，，．即有相同的根，結(jié)論④錯誤．故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的解以及根與系數(shù)的關(guān)系，逐一分析四條選項的正誤是解題的關(guān)鍵．考點5：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系比較根的大小例13．設(shè)，是關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先將一元二次方程化成一般式，再根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得出x1+x2=-(1-m)=m-1，x1x2=n，，然后根據(jù)，得出m-1<0，n>0，即可求解．【解析】解：∵x2+x+n=mx，∴x2+（1-m）x+n=0，∵，是關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根．∴x1+x2=-(1-m)=m-1，x1x2=n，∵，∴x1+x2<0，x1x2>0，∴m-1<0，n>0，∴m<1，n>0，故選：C．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系“，是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），則x1+x2=-，x1x2=”是解題的關(guān)鍵．例14．關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，【答案】C【分析】將原式整理為一元二次方程的一般式，根據(jù)關(guān)于x的方程(x?2)(x?3)=m有兩個不相等的實數(shù)根，運用根的判別式可判斷A選項；運用根于系數(shù)的關(guān)系可判斷選項B；運用求根公式可判斷選項C、D．【解析】解：(x?2)(x?3)=m整理為x2?5x+6?m=0，A、∵關(guān)于x的方程(x?2)(x?3)=m有兩個不相等的實數(shù)根，∴b2?4ac＞0，即(?5)2?4×1×(6?m)＞0，解得：m＞，故此選項正確，不符合題意；B、根據(jù)根于系數(shù)的關(guān)系可得：x1+x2=，∴，故此選項正確，不符合題意；C、當(dāng)m>0時，，，∴當(dāng)m>0時，x1<2<3<x2，故此選項錯誤，符合題意；D、由C可知此選項正確，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟知根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系．考點6：解答證明題例15．已知關(guān)于x的方程：．(1)求證：不論a取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根；(2)若方程的兩個實數(shù)根，，滿足，求a的值．【答案】(1)見解析(2)或3【分析】（1）利用一元二次方程根的判別式，即可求解；（2）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得，從而得到，再由，可得到關(guān)于a的方程，即可求解．【解析】（1）解：根據(jù)題意得：，∴不論a取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根；（2）解：根據(jù)題意得：，∴，即，∵，∴，解得：或3，即a的值為或3．【點睛】本題考查一元二次方程的根；熟練掌握判別式確定根的存在情況，靈活應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．例16．關(guān)于的一元二次方程：(1)若方程有兩個不等的實數(shù)根，求的取值范圍；(2)若、是方程的兩根，且．求的值．【答案】(1)(2)，【分析】（1）由根的判別式可得答案；（2）將，代入，計算可得答案．【解析】（1）解：關(guān)于的一元二次方程有兩個不等的實數(shù)根，，；（2）解：由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，，，，，．【點睛】本題考查了根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）熟練掌握“當(dāng)時，方程有兩個不等實數(shù)根”；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合，得出關(guān)于的一元二次方程．例17．已知關(guān)于的方程(1)求證：無論取什么實數(shù)，這個方程總有兩個相異的實數(shù)根；(2)若這個方程的兩個實數(shù)根滿足，求的值及相應(yīng)的．【答案】(1)詳見解析(2)，，；，，【分析】（1）證明方程有兩個相異的根，即求根的判別式，根據(jù)一元二次方程根的判別式即可求解；（2）根據(jù)韋達(dá)定理，兩根之和，兩根之積的關(guān)系即可求解．【解析】（1）證明：由題意得，在一元二次方程中，，，，∴∴，∵，即，∴無論取什么實數(shù)，方程總有兩個相異的實數(shù)根．故證明過程如上述所示．（2）解：據(jù)題意得，，，，，，∵方程總有兩個不相等的實數(shù)根，∴異號或有一個為，由，當(dāng)時，，即，解得，此時，方程為，解得，；當(dāng)，時，，解得，此時，方程為，解得，，故答案是：，，；，，．【點睛】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，理解和掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵．例18．閱讀下列材料并完成練習(xí)題：已知一元一次方程的兩個實數(shù)根分別為和∵∴對比系數(shù)可得：，類比上面的證明方法：(1)如果一元三次方程的兩個實數(shù)根分別為，，，______，______，______．(2)已知方程，求值：______．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）將一元三次方程按照一元二次方程的方式因式分解為，再將其按照多項式乘以多項式的方式展開，最后得到，，，由此即可求解；（2）由（1）的結(jié)論代入即可求得，，，再將變形為，由此即可求解．【解析】（1）解：根據(jù)材料提示得，，∴，，，∴，，，故答案為：，，．（2）解：根據(jù)（1）的結(jié)論得，一元三次方程中，，，，，∴，，，且，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查根據(jù)一元二次方程的韋達(dá)定理推理一元三次方程中根與系數(shù)的關(guān)系，掌握一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系，多項式乘以多項式的運算法則是解題的關(guān)鍵．例19．閱讀下列材料：韋達(dá)定理：若一元二次方程的兩根分別為．則，．閱讀下面應(yīng)用韋達(dá)定理的過程：若一元二次方程的兩根分別為．求的值．解：該一元二次方程的判別式，由韋達(dá)定理可得：，，解答下列問題：(1)設(shè)方程的兩根分別為，不解方程，利用韋達(dá)定理求代數(shù)式的值；(2)若關(guān)于x的一元二次方程的兩實數(shù)根分別為，且，利用韋達(dá)定理求k的值．【答案】(1)(2)1【分析】（1）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得，再代入，即可求解；（2）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式，可得，，從而得到，再由可得到關(guān)于k的方程，即可求解．【解析】（1）解：∵，∴設(shè)方程的兩根分別為，由韋達(dá)定理得：，∴；（2）解：∵關(guān)于x的一元二次方程的兩實數(shù)根分別為，∴，∴，由韋達(dá)定理得：，∵，∴，即，∴，解得：（舍去）或1，所以k的值為1．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【真題演練】一、單選題1．（2022·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于的方程的兩實數(shù)根為，，若，則的值為（

）A． B． C．或3 D．或3【答案】A【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系以及求解即可．【解析】解：由題意可知：，且∵，∴，解得：或，∵，即，∴，故選：A【點睛】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系以及根據(jù)方程根的情況確定參數(shù)范圍，解題的關(guān)鍵是求出，再利用根與系數(shù)的關(guān)系求出或（舍去）．2．（2021·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）若m、n是一元二次方程x2＋3x﹣9＝0的兩個根，則的值是（

）A．4 B．5 C．6 D．12【答案】C【分析】由于m、n是一元二次方程x2＋3x?9＝0的兩個根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得m＋n=?3，mn=?9，而m是方程的一個根，可得m2＋3m?9=0，即m2＋3m=9，那么m2＋4m＋n=m2＋3m＋m＋n，再把m2＋3m、m＋n的值整體代入計算即可．【解析】解：∵m、n是一元二次方程x2＋3x?9＝0的兩個根，∴m＋n＝?3，mn＝?9，∵m是x2＋3x?9＝0的一個根，∴m2＋3m?9＝0，∴m2＋3m＝9，∴m2＋4m＋n＝m2＋3m＋m＋n＝9＋（m＋n）＝9?3＝6．故選：C．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）兩根x1、x2之間的關(guān)系：x1＋x2=?，x1?x2=．3．（2021·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）已知一元二次方程的兩根為，，則的值為（

）A． B． C．2 D．5【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義，得，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，得+=3，進(jìn)而即可求解．【解析】解：∵一元二次方程的兩根為，，∴，即：，+=3，∴=-2(+)=-1-2×3=-7．故選A．【點睛】本題主要考查一元二次方程根的定義以及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握（a≠0）的兩根為，，則+=，=，是解題的關(guān)鍵．4．（2021·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）已知，是方程的兩根，則代數(shù)式的值是（

）A．-25 B．-24 C．35 D．36【答案】D【分析】先根據(jù)已知可得，，a+b=3，然后再對變形，最后代入求解即可．【解析】解：∵已知，是方程的兩根∴，，a+b=3∴=0+5+30+1=36．故選D．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解、根與系數(shù)的關(guān)系以及整式的變形，根據(jù)需要對整式靈活變形成為解答本題的關(guān)鍵．5．（2014·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）關(guān)于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2=0的兩個實數(shù)根分別為x1，x2，且x1+x2＞0，x1x2＞0，則m的取值范圍是（）A．m≤ B．m≤且m≠0 C．m＜1 D．m＜1且m≠0【答案】B【解析】試題分析：∵△=[2（m﹣1）]2﹣4m2=﹣8m+4≥0，∴m≤，∵x1+x2=﹣2（m﹣1）＞0，x1x2=m2＞0∴m＜1，m≠0∴m≤且m≠0．故選B．考點：1、根的判別式；2、根與系數(shù)的關(guān)系二、填空題6．（2022·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）已知實數(shù)是方程的兩根，則______．【答案】【分析】由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系直接可得答案．【解析】解：實數(shù)是方程的兩根，故答案為：【點睛】本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握“”是解本題的關(guān)鍵．7．（2022·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）若實數(shù)a、b分別滿足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，則的值為_____．【答案】【分析】先根據(jù)題意可以把a(bǔ)、b看做是一元二次方程的兩個實數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b=4，ab=3，再根據(jù)進(jìn)行求解即可．【解析】解：∵a、b分別滿足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，∴可以把a(bǔ)、b看做是一元二次方程的兩個實數(shù)根，∴a+b=4，ab=3，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了分式的求值，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟知一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8．（2022·四川眉山·中考真題）設(shè)，是方程的兩個實數(shù)根，則的值為________．【答案】10【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系，得到，，然后根據(jù)完全平方公式變形求值，即可得到答案．【解析】解：根據(jù)題意，∵，是方程的兩個實數(shù)根，∴，，∴；故答案為：10．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式變形求值，解題的關(guān)鍵是掌握得到，．9．（2021·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）若m，n是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值為___________．【答案】3【分析】先根據(jù)一元二次方程的解的定義得到m2+3m-1=0，則3m-1=-m2，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出m+n=-3，再將其代入整理后的代數(shù)式計算即可．【解析】解：∵m是一元二次方程x2+3x-1=0的根，∴m2+3m-1=0，∴3m-1=-m2，∵m、n是一元二次方程x2+3x-1=0的兩個根，∴m+n=-3，∴，故答案為：3．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程()的兩根時，，．也考查了一元二次方程的解．三、解答題10．（2022·四川南充·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根．(1)求實數(shù)k的取值范圍．(2)設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為，若，求k的值．【答案】(1)k；(2)k=3【分析】根據(jù)一元二次方程有實數(shù)根得到32-4（k-2）0，解不等式即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，將等式左側(cè)展開代入計算即可得到k值．【解析】（1）解：∵一元二次方程有實數(shù)根．∴?0，即32-4（k-2）0，解得k（2）∵方程的兩個實數(shù)根分別為，∴，∵，∴，∴，解得k=3．【點睛】此題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式，熟練掌握一元二次方程有關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．11．（2018·湖北孝感·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程.（1）試證明：無論取何值此方程總有兩個實數(shù)根；（2）若原方程的兩根，滿足，求的值.【答案】（1）證明見解析；（2）-2.【解析】分析：（1）將原方程變形為一般式，根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出△=（2p+1）2≥0，由此即可證出：無論p取何值此方程總有兩個實數(shù)根；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2=5、x1x2=6-p2-p，結(jié)合x12+x22-x1x2=3p2+1，即可求出p值．詳解：（1）證明：原方程可變形為x2-5x+6-p2-p=0．∵△=（-5）2-4（6-p2-p）=25-24+4p2+4p=4p2+4p+1=（2p+1）2≥0，∴無論p取何值此方程總有兩個實數(shù)根；（2）∵原方程的兩根為x1、x2，∴x1+x2=5，x1x2=6-p2-p．又∵x12+x22-x1x2=3p2+1，∴（x1+x2）2-3x1x2=3p2+1，∴52-3（6-p2-p）=3p2+1，∴25-18+3p2+3p=3p2+1，∴3p=-6，∴p=-2．點睛：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)△≥0時，方程有兩個實數(shù)根”；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合x12+x22-x1x2=3p2+1，求出p值．12．（2017·湖北鄂州·中考真題）已知關(guān)于x的方程x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0有兩個不相等的實數(shù)根．(1)求實數(shù)k的取值范圍．(2)設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為x1，x2，是否存在這樣的實數(shù)k，使得|x1|－|x2|＝成立？若存在，求出這樣的k值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）k＞；（2）4．【分析】（1）由方程有兩個不相等的實數(shù)根知＞0，列出關(guān)于k的不等式求解可得；（2）由韋達(dá)定理知x1+x2=2k－1，x1x2=k2－2k+2=（k－1）2+1＞0，可以判斷出x1＞0，x2＞0．將原式兩邊平方后把x1+x2、x1x2代入得到關(guān)于k的方程，求解可得．【解析】解：（1）由題意知＞0，∴[－（2k－1）]2－4×1×（k2－2k+2）＞0，整理得：4k－7＞0，解得：k；（2）由題意知x1+x2=2k－1，x1x2=k2－2k+2=（k+1）2+1＞0，∴x1，x2同號．∵x1+x2=2k－1＞=，∴x1＞0，x2＞0．∵|x1|－|x2|，∴x1－x2，∴x12－2x1x2+x22=5，即（x1+x2）2－4x1x2=5，代入得：（2k－1）2－4（k2－2k+2）=5，整理，得：4k－12=0，解得：k=3．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式，熟練掌握判別式的值與方程的根之間的關(guān)系及韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】一、單選題1．若是一元二次方程的兩個根，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系解答即可【解析】∵，，則故本題選B．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，熟記一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解答的關(guān)鍵．2．一元二次方程的兩個根為，則的值為（

）A．2 B．6 C．8 D．14【答案】D【分析】根據(jù)兩根之和是一次項系數(shù)與二次項系數(shù)商的相反數(shù)，兩根之積是常數(shù)項與二次項系數(shù)的商．【解析】根據(jù)題意得．，故選D．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解決的關(guān)鍵是完全平方公式的變形x12+x22=（x1+x2）2-2x1?x2，．3．下列一元二次方程中，兩根均為負(fù)數(shù)的是(

)A． B．C． D．【答案】C【分析】因為兩根均為負(fù)數(shù)，所以兩實數(shù)根的和小于零，兩根之積大于零．解題時檢驗兩根之和?是否小于零及兩根之積是否大于零，同時△必須大于等于0．【解析】檢查方程是否正確，不要只看兩實數(shù)根的和是否小于零，兩根之積是否大于零，還要檢驗△是否大于等于0．A選項中，兩根之和大于零，兩根之積大于零，所以此選項不正確；B選項中，兩根之和大于零，兩根之積小于零，所以此選項不正確；C選項中，兩根之和小于零，兩根之積大于零，所以此選項正確；D選項中，兩根之和小于零，兩根之積小于零，所以此選項不正確；故選C．【點睛】考查了根與系數(shù)之間的關(guān)系，解題關(guān)鍵是抓?。簝筛e為正，說明兩根同號，反之為異號；兩根之和為正，說明兩根為正或兩根中絕對值大的為正，兩根之和為負(fù)說明兩根為負(fù)或兩根中絕對值大的為負(fù)．4．若、是一元二次方程的兩個根，且，那么這個一元二次方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)這個一元二次方程為，則由題意可得，，由此即可得到答案．【解析】解：設(shè)這個一元二次方程為，∵、是一元二次方程的兩個根，且，，∴，，∴，，∴這個一元二次方程為，故選D．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握一元二次方程根于系數(shù)的關(guān)系．5．若、是關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根，，則必有（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系計算x1+x2，x1?x2的值，再根據(jù)，得出x1+x2＜0，從而得出m和n的范圍；【解析】解：∵∵∵x1，x2是一元二次方程的兩個實數(shù)根，∴x1+x2=m-1，x1?x2=n-2，∵，∴，，∴x1+x2=m-1＜0，x2＜0，∴m＜1，x1?x2＞0，∴n-2＞0，∴n＞2，故選：C【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時，．6．已知一元二次方程的兩根為，則（

）A．0 B．1 C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及一元二次方程的解，可得出，，將其代入中即可求出結(jié)論．【解析】解：∵方程的兩根是、，∴，即，∴原式．故選A.【點睛】本題考查了一元二次方程的解及根與系數(shù)的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系及一元二次方程的解，得出，是解題的關(guān)鍵．7．若關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根互為倒數(shù)，則k=（

）A．1 B．-1C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)一元二次方程根的判別式求出的取值范圍，再利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系即可得．【解析】解：關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，此方程根的判別式，且，解得且，又關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根互為倒數(shù)，，解得或（舍去），經(jīng)檢驗，是所列分式方程的解，故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．8．若關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，，且，則（

）A．2或6 B．2或8 C．2 D．6【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程有實數(shù)根先確定m的取值范圍，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，把變形為，再代入得方程，求出m的值即可．【解析】解:∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根,∴,∴∵是方程的兩個實數(shù)根,∵，又∴把代入整理得,解得,故選A【點睛】本題考查了根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)△≥0時，方程有兩個實數(shù)根”；（2）由根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合，找出關(guān)于m的一元二次方程．9．關(guān)于的一元二次方程有兩個整數(shù)根且乘積為正，關(guān)于的一元二次方程同樣也有兩個整數(shù)根且乘積為正，給出三個結(jié)論：①這兩個方程的根都負(fù)根；②；③，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】D【分析】設(shè)方程的兩根為x1、x2，方程同的兩根為y1、y2．①根據(jù)方程解的情況可得出x1?x2=2n＞0、y1?y2=2m＞0，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2=-2m、y1+y2=-2n，進(jìn)而得出這兩個方程的根都是負(fù)根，①正確；②由方程有兩個實數(shù)根結(jié)合根的判別式即可得出m2-2n≥0、n2-2m≥0，將（m-1）2+（n-1）2展開代入即可得出②正確；③根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出2m-2n=（y1+1）（y2+1）-1、2n-2m=（x1+1）（x2+1）-1，結(jié)合x1、x2、y1、y2均為負(fù)整數(shù)即可得出-1≤2m-2n≤1，③成立．綜上即可得出結(jié)論．【解析】設(shè)方程的兩根為x1、x2，方程同的兩根為y1、y2．①∵關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有兩個整數(shù)根且乘積為正，關(guān)于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同樣也有兩個整數(shù)根且乘積為正，∴x1?x2=2n＞0，y1?y2=2m＞0，∵x1+x2=-2m，y1+y2=-2n，∴這兩個方程的根都是負(fù)根，①正確；②∵關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有兩個整數(shù)根且乘積為正，關(guān)于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同樣也有兩個整數(shù)根且乘積為正，∴4m2-8n≥0，4n2-8m≥0，∴m2-2n≥0，n2-2m≥0，∴（m-1）2+（n-1）2=m2-2n+1+n2-2m+1≥2，②正確；③∵y1?y2=2m，y1+y2=-2n，∴2m-2n=y1?y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）-1，∵y1、y2均為負(fù)整數(shù)，∴（y1+1）（y2+1）≥0，∴2m-2n≥-1．∵x1?x2=2n，x1+x2=-2m，∴2n-2m=x1?x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）-1，∵x1、x2均為負(fù)整數(shù)，∴（x1+1）（x2+1）≥0，∴2n-2m≥-1，即2m-2n≤1．∴-1≤2m-2n≤1，③成立．綜上所述：成立的結(jié)論有①②③．故選D．【點睛】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系及一元二次方程的根的判別式，根據(jù)不同結(jié)論靈活運用根與系數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵,也是解決問題的難點．10．若四個互不相等的正實數(shù)a，b，c，d滿足，，則的值為（

）A． B． C．2012 D．2011【答案】A【分析】根據(jù)題意可將a2012與b2012看做方程（x-c2012）（x-d2012）=2012的兩個解，把所求的式子被減數(shù)利用積的乘方逆運算變形后換為x1x2，把方程整理后，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出x1x2，代入整理后的式子中，即可求出所求式子的值．【解析】解：設(shè)a2012與b2012看做方程（x-c2012）（x-d2012）=2012的兩個解，方程整理得：x2-（c2012+d2012）x+（cd）2012-2012=0，則（ab）2012-（cd）2012=x1x2?(cd)2012，又x1x2=（cd）2012-2012，則（ab）2012-（cd）2012=x1x2?(cd)2012=（cd）2012-2012-（cd）2012=-2012．故選：A．【點睛】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系的運用，利用了方程的思想，其中當(dāng)一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有解，即b2-4ac≥0時，設(shè)方程的兩個根分別為x1，x2，則有x1+x2=，x1x2=．二、填空題11．設(shè)，是關(guān)于x的方程的兩個根，且，則______．【答案】8【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出、，再根據(jù)求得x2＝2，代入k的表達(dá)式，求解即可．【解析】解：，是關(guān)于x的方程的兩個根，，，，，即，則，故答案為：．【點睛】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．12．若、是一元二次方程的兩根，則的值是_______．【答案】【分析】先把通分后化為，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得+=-，代入進(jìn)行計算即可．【解析】解：∵、是一元二次方程的兩根，∴+=-，，∴==故答案為：【點睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根時，x1+x2=，x1x2=．13．在解一元二次方程x2＋px＋q＝0時，小明看錯了系數(shù)p，解得方程的根為1和﹣3；小紅看錯了系數(shù)q，解得方程的根為4和﹣2，則p＝________，q＝________．【答案】

﹣2

﹣3【分析】由小明看錯了系數(shù)p知常數(shù)項q無誤，根據(jù)所得兩根之積可得q的值；由小紅看錯了系數(shù)q知一次項系數(shù)p無誤，根據(jù)所得兩根之和可得p和q的值．【解析】解：∵小明看錯了系數(shù)p，解得方程的根為和，∴，∵小紅看錯了系數(shù)q，解得方程的根為和，∴，∴，故答案為：；．【點睛】本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩根時，x1＋x2＝﹣，x1?x2＝，解題關(guān)鍵熟記根與系數(shù)的關(guān)系．14．已知、是方程的兩個實數(shù)根，則的值為__．【答案】【分析】先根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系表示出+和的值，然后根據(jù)完全平方公式把變形后代入計算即可.【解析】由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，+=-2，-5，∴==4+5=9.故答案為9.【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與完全平方公式的變形相結(jié)合解題是經(jīng)常使用的一種解題方法.對于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），若x1，x2為方程的兩個根，則x1，x2與系數(shù)的關(guān)系式：，.15．設(shè)一元二次方程x2－3x－1＝0的兩根分別為x1，x2，則x1＋x2(x22－3x2)＝____．【答案】3【解析】試題解析：有題意可知，由韋達(dá)定理可得，故答案為點睛：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系滿足：16．已知關(guān)于x的一元二次方程的實數(shù)根，滿足，則m的取值范圍是_________．【答案】【分析】根據(jù)根的判別式Δ≥0、根與系數(shù)的關(guān)系列出關(guān)于m的不等式組，通過解該不等式組，求得m的取值范圍．【解析】解：由題意得：，所以，依題意得：，解得4＜m≤5．故答案是：4＜m≤5．【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是得出關(guān)于m的不等式，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，a≠0）①當(dāng)b2-4ac＞0時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，②當(dāng)b2-4ac=0時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，③當(dāng)b2-4ac＜0時，一元二次方程沒有實數(shù)根．17．已知是方程x2+2021x+1＝0的兩個根，則_____．【答案】1【分析】利用一元二次方程解的定義得到α2+2021α+1=0，β2+2021β+1=0；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到：αβ=1，然后將其代入（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）進(jìn)行求值即可．【解析】解：∵α，β是方程x2+2021x+1＝0的兩個根，∴α2+2021α+1＝0，β2+2021β+1＝0，αβ＝1，∴（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）＝（α2+2021α+1+α）（β2+2021β+1+β）＝（0+α）（0+β）＝αβ＝1．故答案是：1．【點睛】本題主要考查了一元二次方程解和根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．18．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列結(jié)論：①若方程兩根為-1和2，則2a+c=0；②若b＞a+c，則方程有兩個不相等的實數(shù)根；③若b=2a+3c，則方程有兩個不相等的實數(shù)根；④若m是方程的一個根，則一定有b2-4ac=（2am+b）2成立．其中結(jié)論正確的序號是__________．【答案】①③④【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系判斷①；由Δ=b2-4ac判斷②；由判別式可判斷③；將x=m代入方程得am2=-（bm+c），再代入=（2am+b）2變形可判斷④．【解析】解：若方程兩根為-1和2，則=-1×2=-2，即c=-2a，2a+c=2a-2a=0，故①正確；由b＞a+c不能判斷Δ=b2-4ac值的大小情況，故②錯誤；若b=2a+3c，則Δ=b2-4ac=4（a+c）2+5c2＞0，一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根，故③正確．若m是方程ax2+bx+c=0的一個根，所以有am2+bm+c=0，即am2=-（bm+c），而（2am+b）2=4a2m2+4abm+b2=4a[-（bm+c）]+4abm+b2=4abm-4abm-4ac+b2=b2-4ac．故④正確；故答案為：①③④．【點睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式Δ=b2-4ac：當(dāng)Δ＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＜0，方程沒有實數(shù)根．三、解答題19．已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．(1)求k的取值范圍；(2)若m，n是方程的兩根，且，求k的值；【答案】(1)且(2)【分析】（1）根據(jù)題意可知b2-4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，且k≠0，求出k的取值范圍即可；（2）先用含k的代數(shù)式表示mn和m+n，再將整理得，代入計算即可．【解析】（1）∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，且，解得：且．（2）根據(jù)題意，.由，得，∴代入得：，整理得：，解得：．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握，是解題的關(guān)鍵．20．已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，．(1)求m的取值范圍；(2)當(dāng)時，求m的值．【答案】(1)m＞-1，且m≠0(2)m的值為4【分析】（1）由條件可知該方程的判別式大于0，可得到關(guān)于m的不等式，解不等式即可求解；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系可用m表示出已知等式，可求得m的值．（1）∵原一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，且m≠0，整理，得：，解得：，且m≠0，即m的取值范圍為，且m≠0；（2）∵，，∴，∵，即，即，設(shè)，則有：，利用因式分解法，解得：，，根據(jù)，得，可得m為4或者-1，又∵，且m≠0，∴m的值為4．【點睛】本題考查了根據(jù)一元二次方程的根與判別式的關(guān)系來確定未知系數(shù)的取值范圍，以及根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系來確定未知系數(shù)的值．21．已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：不論m取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)若方程有兩個實數(shù)根為，，且，求m的值．【答案】(1)見解析(2)或1【分析】（1）直接根據(jù)根的判別式計算即可；（2）先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，再根據(jù)完全平方公式變形得到關(guān)于m的二元一次方程，最后求解即可．【解析】（1），∵，∴，故不論m取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）∵方程有兩個實數(shù)根為，，∴，，∴，，，，，，故m的值或1．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，解一元二次方程，熟練掌握各知識點是解題的關(guān)鍵．22．已知，是關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根．(1)求k的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)k，使得等式成立？如果存在，請求出k的值，如果不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）利用一元二次方程根的判別式，即可求解；（2）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得，再由，得到關(guān)于k的方程，即可求解．【解析】（1）解：∵一元二次方程有兩個實數(shù)根，∴，解得；（2）解：由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，，∵，∴，即，解得，或0，由（1）知：，∴．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．23．已知關(guān)于x的一元二次方程①有兩個實數(shù)根，．(1)求實數(shù)k的取值范圍；(2)從因式分解法可知，方程①也可轉(zhuǎn)化為②．把方程②的左邊展開化成一般形式后，可以得到方程①兩個根的和、積與系數(shù)分別有如下關(guān)系：______，______；（用含k的式子表示）(3)是否存在實數(shù)k，使得成立？若存在，請求出k