浙江省杭州市西湖中學(xué)高一數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

浙江省杭州市西湖中學(xué)高一數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋中任取兩個(gè)球，那么下列事件中是互斥事件的是（

）A.至少有一個(gè)白球，都是白球

B.

至少有一個(gè)白球，至多有一個(gè)紅球C.沒(méi)有白球，恰有一個(gè)紅球

D.至少有一個(gè)白球，都是紅球參考答案：.D略2.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|≤)，y=f(x-)為奇函數(shù)，x=為y=f（x）圖象的對(duì)稱(chēng)軸，且f（x）在（）單調(diào)，則ω的最大值為（）A．13 B．11 C．9 D．7參考答案：B【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的單調(diào)性；正弦函數(shù)的奇偶性．【分析】由為奇函數(shù)求得φ﹣=kπ，k∈Z

①；再根據(jù)x=為y=f（x）圖象的對(duì)稱(chēng)軸，可得+φ=nπ+，n∈Z②．由①②可得ω為奇數(shù)．再根據(jù)f（x）在單調(diào)，可得ω≤12，由此求得ω的最大值．【解答】解：∵函數(shù)，=sin[ω（x﹣）+φ]=sin（ωx+φ﹣）為奇函數(shù)，∴φ﹣=kπ，k∈Z

①．再根據(jù)x=為y=f（x）圖象的對(duì)稱(chēng)軸，可得+φ=nπ+，n∈Z②．由①②可得ω=2（n﹣k）+1，即ω為奇數(shù)．∵f（x）在單調(diào)，∴≥﹣③，由③可得ω≤12，故ω的最大值為11，故選：B．3.利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)a，則使關(guān)于x的一元二次方程x2-x+a=0無(wú)實(shí)根的概率為（）A．

B.

C.

D.參考答案：C4.已知集合，，則

(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C5.已知tanθ=2，則sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ等于（）A．﹣ B． C．﹣ D．參考答案：D【考點(diǎn)】GH：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用．【分析】已知式子可化為，同除以cos2θ可得，代值計(jì)算即可．【解答】解：∵由題意tanθ=2，∴sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ====．故選：D．6.函數(shù)的值域是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略7.化簡(jiǎn)sin15°cos15°的值是（

）A

B

-

C

D

參考答案：C8.設(shè)a=log32，b=ln2，c=，則（）A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a參考答案：C【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)值大小的比較；換底公式的應(yīng)用．【分析】根據(jù)a的真數(shù)與b的真數(shù)相等可取倒數(shù)，使底數(shù)相同，找中間量1與之比較大小，便值a、b、c的大小關(guān)系．【解答】解：a=log32=，b=ln2=，而log23＞log2e＞1，所以a＜b，c==，而，所以c＜a，綜上c＜a＜b，故選C．9.已知函數(shù)，那么的值為（

）A．

B．1

C．

D．參考答案：C略10.設(shè)是不共線的兩個(gè)非零向量，已知，，，若三點(diǎn)共線，則的值為(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.從集合{1，2，3，4，5}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)a，從集合{1，3}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)b，則時(shí)間“a≥b”發(fā)生的概率是_________．參考答案：12.如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量、、，其中與的夾角為，與的夾角為，且,。若（），則的值為

O

參考答案：613.已知，，則等于

.參考答案：14.設(shè)函數(shù)，且，則＝

.參考答案：2略15.如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，.、分別為、的中點(diǎn)，則二面角的正切值為

．參考答案：

16.如圖，點(diǎn)P是單位圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它從初始位置（單位圓與軸正半軸的交點(diǎn)）開(kāi)始沿單位圓按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)角到達(dá)點(diǎn)，然后繼續(xù)沿單位圓逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)到達(dá)點(diǎn)，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的值等于_________.參考答案：【分析】由三角函數(shù)的定義可以求出，判斷點(diǎn)的位置，由已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，利用同角的三角函數(shù)關(guān)系，可以求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，可以得到，，再利用二角差的余弦公式求出的值.【詳解】由三角函數(shù)的定義可知：點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)椋?，所以點(diǎn)在第二象限，已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，即，所以，因此有.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)定義、同角的三角函數(shù)關(guān)系、以及二角差的余弦公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.17.,設(shè)△ABC的內(nèi)角A滿(mǎn)足，且，則BC邊上的高AD長(zhǎng)的最大值是________.參考答案：【分析】通過(guò)已知條件可求出A角，bc乘積，于是可求得面積，利用余弦定理與基本不等式可得到a的最小值，于是再利用面積公式可求得答案.【詳解】根據(jù)題意，,故，求得，,故，根據(jù)余弦定理得，即，即而三角形面積為，所以邊上的高長(zhǎng)的最大值是，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形，基本不等式的實(shí)際應(yīng)用，意在考查學(xué)生的分析能力，邏輯推理能力，計(jì)算能力，難度較大.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知直線，點(diǎn).(1)求過(guò)點(diǎn)A且平行于的直線的方程；(2)求過(guò)點(diǎn)A且垂直于的直線的方程.參考答案：解：（1）由已知直線的斜率為，，故的斜率為，的方程為：，即；（5分）（2）由已知直線的斜率為，，故的斜率為2，的方程為：，即.（10分）

略19.（本小題滿(mǎn)分12分）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.（1）求的值；（2）若，求角C的大小.

參考答案：解：（1）由正弦定理得： ………………（2分）即即

…………（4分）即∴

即

…………（6分）（2）由（1）知

∴

…………（8分） …………（11分）∴

…………（12分）

20.如圖，四棱錐S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）證明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB與平面SBC所成的角的大小．參考答案：【考點(diǎn)】LW：直線與平面垂直的判定；MI：直線與平面所成的角．【分析】（1）利用線面垂直的判定定理，即證明SD垂直于面SAB中兩條相交的直線SA，SB；在證明SD與SA，SB的過(guò)程中運(yùn)用勾股定理即可（Ⅱ）求AB與平面SBC所成的角的大小即利用平面SBC的法向量，當(dāng)為銳角時(shí)，所求的角即為它的余角；當(dāng)為鈍角時(shí)，所求的角為【解答】（Ⅰ）證明：在直角梯形ABCD中，∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1∴AD==∵側(cè)面SAB為等邊三角形，AB=2∴SA=2∵SD=1∴AD2=SA2+SD2∴SD⊥SA同理：SD⊥SB∵SA∩SB=S，SA，SB?面SAB∴SD⊥平面SAB（Ⅱ）建立如圖所示的空間坐標(biāo)系則A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），作出S在底面上的投影M，則由四棱錐S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形知，M點(diǎn)一定在x軸上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得MD=，從而解得SM=，故可得S（，0，）則設(shè)平面SBC的一個(gè)法向量為則，即取x=0，y=，z=1即平面SBC的一個(gè)法向量為=（0，，1）又=（0，2，0）cos＜，＞===∴＜，＞=arccos即AB與平面SBC所成的角的大小為arcsin21.如圖，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BAD=60°.(1）證明：面PBD⊥面PAC；(2）求銳二面角A—PC—B的余弦值.參考答案：（1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AC

因?yàn)镻A平面ABCD，

所有PABD.

又因?yàn)镻AAC=A，所以BD面PAC.而B(niǎo)D面PBD，所以面PBD面PAC.(2）如圖，設(shè)ACBD=O.取PC的中點(diǎn)Q，連接OQ.

在△APC中，AO=OC，CQ=QP，OQ為△APC的中位線，所以O(shè)Q//PA.

因?yàn)镻A平面ABCD，

所以O(shè)Q平面ABCD，

以O(shè)A、OB、OQ所在直線分別為軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系O

則

因?yàn)锽O面PAC，

所以平面PAC的一個(gè)法向量為

設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為

而

由得

令則

所以為平面PBC的一個(gè)法向量.

＜＞22.（本小題滿(mǎn)分12分）已知函數(shù)在取得極值。

（Ⅰ）確定的值并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;（Ⅱ）若關(guān)于的方程至多有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。參考答案：解（Ⅰ）因?yàn)?，所以因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)有極值

，

所以，即

得