吉林省長春市晨光中學(xué)2022年高一數(shù)學(xué)文測試題含解析

吉林省長春市晨光中學(xué)2022年高一數(shù)學(xué)文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)集合，，那么“”是“”的（

）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件

D．既不充分也條件

參考答案：B2.在△ABC中，，，O為△ABC的外心，則AO=（

）A．

B．2

C．3

D．參考答案：B連接、，因?yàn)镺為的外心，則，又，故，是等邊三角形，.

3.在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)如圖所示，它是由4個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若直角三角形中較小的銳角為，大正方形的面積是1，小正方形的面積是，則(

)A.1 B. C. D.參考答案：C【分析】根據(jù)題意即可算出每個(gè)直角三角形的面積，再根據(jù)勾股定理和面積關(guān)系即可算出三角形的兩條直角邊。從而算出【詳解】由題意得直角三角形的面積,設(shè)三角形的邊長分別為，則有，所以，所以，選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的面積公式以及直角三角形中，正弦、余弦的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題。4.下列關(guān)于集合的關(guān)系式正確的是（

）A．0∈{0}

B．?={0}

C．0=?

D．{2,3}≠{3,2}參考答案：A因?yàn)閧0}是含有一個(gè)元素的集合，所以{0}≠?，故B不正確；元素與集合間不能劃等號(hào)，故C不正確；{2,3}與{3,2}顯然相等，故D不正確.故選：A．

5.已知直線的斜率是2，在y軸上的截距是﹣3，則此直線方程是（） A．2x﹣y﹣3=0 B．2x﹣y+3=0 C．2x+y+3=0 D．2x+y﹣3=0參考答案：A【考點(diǎn)】直線的斜截式方程． 【專題】方程思想；綜合法；直線與圓． 【分析】由已知直接寫出直線方程的斜截式得答案． 【解答】解：∵直線的斜率為2，在y軸上的截距是﹣3， ∴由直線方程的斜截式得直線方程為y=2x﹣3， 即2x﹣y﹣3=0． 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線方程，考查了斜截式與一般式的互化，是基礎(chǔ)題． 6.若，則下列不等式一定成立的是（

）A.

B.

C.

D.。參考答案：C7.把一個(gè)位數(shù)從左到右的每個(gè)數(shù)字依次記為，如果都是完全平方數(shù)，則稱這個(gè)數(shù)為“方數(shù)”．現(xiàn)將1，2，3按照任意順序排成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這個(gè)數(shù)是“方數(shù)”的概率為（

）A．0

B．

C．

D．參考答案：B8.已知函數(shù)是偶函數(shù)，且，若，，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A.函數(shù)的最小正周期是10

B.對(duì)任意的，都有

C.函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱

D.函數(shù)的圖像關(guān)于(5,0)中心對(duì)稱參考答案：A9.如圖，正方形ABCD的邊長為2，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，沿AE，EF，F(xiàn)A將正方形折起，使B，C，D重合于點(diǎn)O，構(gòu)成四面體，則四面體的體積為（）A. B. C. D.參考答案：A【分析】由題意畫出圖形，可得三棱錐的底面三角形OEF是等腰直角三角形，直角邊長為1，三棱錐的高AO＝2，再由棱錐體積公式求解．【詳解】翻折前，AB⊥BE，AD⊥DF，故翻折后，OA⊥OE，OA⊥OF，又OE∩OF＝O，∴OA⊥平面EOF，底面三角形OEF是等腰直角三角形，直角邊長為1，三棱錐的高AO＝2，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查幾何體體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．10.數(shù)列{}是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{}是首項(xiàng)為-2，公差為4的等差數(shù)列。若=,則的值為 A.4

B.5

C.6

D.7.參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

.參考答案：12.那么x的取值范圍是

參考答案：13.log2sin（﹣）=．參考答案：﹣【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值．【分析】先求出，由此利用對(duì)數(shù)性質(zhì)、運(yùn)算法則能求出結(jié)果．【解答】解：log2sin（﹣）====﹣．故答案為：﹣．14.若三條直線，，不能圍成三角形，則實(shí)數(shù)m取值集合為

▲

．參考答案：{4，1，﹣1}15.若直線x﹣y=2被圓（x﹣a）2+y2=4所截得的弦長為2，則實(shí)數(shù)a的值為．參考答案：0或4【考點(diǎn)】J8：直線與圓相交的性質(zhì)．【分析】由已知得圓心（a，0）到直線x﹣y=2的距離d==，由此利用點(diǎn)到直線的距離公式能求出實(shí)數(shù)a的值．【解答】解：∵直線x﹣y=2被圓（x﹣a）2+y2=4所截得的弦長為2，∴圓心（a，0）到直線x﹣y=2的距離d==，∴，解得a=0或a=4，故答案為：0或4．16.已知Rt△ABC的周長為定值l，則它的面積最大值為．參考答案：【考點(diǎn)】基本不等式．【分析】設(shè)三邊法不為a，b，c，c為斜邊，則c2=a2+b2．由a+b+c=1，可得a2+b2=（1﹣a﹣b）2，化為：1﹣2a﹣2b+2ab=0，變形1+2ab=2（a+b），再利用基本不等式的性質(zhì)與三角形面積計(jì)算公式即可得出．【解答】解：設(shè)三邊為a，b，c，c為斜邊，則c2=a2+b2．∵a+b+c=1，∴a2+b2=（1﹣a﹣b）2，化為：1﹣2a﹣2b+2ab=0，∴1+2ab=2（a+b）≥4，化為：﹣4+1≥0，解得≥，（舍去），或≤，即ab≤=．當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)取等號(hào)．∴它的面積最大值=ab=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式的性質(zhì)與三角形面積計(jì)算公式、勾股定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．17.若，則=

.

參考答案：3略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）（Ⅰ）已知2x+2﹣x=5，求4x+4﹣x的值；（Ⅱ）化簡．參考答案：考點(diǎn)： 有理數(shù)指數(shù)冪的化簡求值．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： （Ⅰ）由2x+2﹣x=5兩邊平方展開即可得出；（II）利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．解答： （Ⅰ）∵2x+2﹣x=5，∴25=（2x+2﹣x）2=4x+4﹣x+2，∴4x+4﹣x=23．（Ⅱ）原式==2×22×33+2﹣7﹣2+1=210．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)、乘法公式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．19.（1）已知，，其中，，求cos（α+β）；（2）已知，，且，求β的值．參考答案：【考點(diǎn)】GP：兩角和與差的余弦函數(shù)．【分析】（1）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，，利用兩角和的余弦函數(shù)公式即可計(jì)算得解．（2）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinα，sin（α﹣β）的值，進(jìn)而利用兩角差的正弦函數(shù)公式即可計(jì)算得解sinβ的值，結(jié)合范圍可求β的值．【解答】解：（1）∵，，，，∴，，∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=．（2）∵，，∴，∵，，∴，∴，∴sinβ=sin（α﹣（α﹣β））=sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）=，∴．20.（15分）已知函數(shù)f(x)=．（Ⅰ）當(dāng)m=8時(shí)，求f（﹣4）的值；（Ⅱ）當(dāng)m=8且x∈[﹣8，8]時(shí)，求|f（x）|的最大值；（Ⅲ）對(duì)任意的實(shí)數(shù)m∈[0，2]，都存在一個(gè)最大的正數(shù)K（m），使得當(dāng)x∈[0，K（m）]時(shí)，不等式|f（x）|≤2恒成立，求K（m）的最大值以及此時(shí)相應(yīng)的m的值．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用；函數(shù)的最值及其幾何意義；函數(shù)的圖象．【分析】（Ⅰ）通過m=8時(shí)，直接利用分段函數(shù)求f（﹣4）的值；（Ⅱ）當(dāng)m=8且x∈[﹣8，8]時(shí)，畫出函數(shù)的圖象，利用二次函數(shù)以及周期函數(shù)，轉(zhuǎn)化求解函數(shù)|f（x）|的最大值；（Ⅲ）①當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=x2﹣1（x≥0），轉(zhuǎn)化求解即可，②當(dāng)0＜m≤2時(shí)，求出對(duì)稱軸，要使得|f（x）|≤2，判斷f（x）=x2﹣mx+m﹣1（x≥0）與y=﹣2的位置關(guān)系，通過比較根的大小，利用函數(shù)的單調(diào)性求解即可．【解答】（本小題滿分15分）解：（Ⅰ）當(dāng)m=8時(shí)，f（﹣4）=f（﹣2）=f（0）=7﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）（Ⅱ）函數(shù)．0≤x≤8時(shí)，函數(shù)f（x）=．f（x）=x2﹣8x+7，當(dāng)x=4時(shí)，函數(shù)取得最小值﹣9，x=0或x=8時(shí)函數(shù)取得最大值：7，f（x）∈[﹣9，7]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8≤x＜0時(shí)，f（x）=f（x+2），如圖函數(shù)圖象，f（x）∈（﹣5，7]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以x∈[﹣8，8]時(shí)，|f（x）|max=9﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（能清晰的畫出圖象說明|f（x）|的最大值為9，也給3分）（Ⅲ）①當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=x2﹣1（x≥0），要使得|f（x）|≤2，只需x2﹣1≤2，得，即，此時(shí)m=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）②當(dāng)0＜m≤2時(shí)，對(duì)稱軸，要使得|f（x）|≤2，首先觀察f（x）=x2﹣mx+m﹣1（x≥0）與y=﹣2的位置關(guān)系，由x2﹣mx+m﹣1≥﹣2對(duì)于0＜m≤2恒成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）故K（m）的值為x2﹣mx+m﹣1=2的較大根x2，解得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）又==﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）故，則顯然K（m）在m∈（0，2]上為增函數(shù)，所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分）由①②可知，K（m）的最大值為，此時(shí)m=2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的圖形的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)以及周期函數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．21.（9分）已知半徑為的圓的圓心在軸上，圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù)，且與直線相切．（Ⅰ）求圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與圓相交于兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；參考答案：（Ⅰ）設(shè)圓心為（）．由于圓與直線相切，且半徑為，所以，即．因?yàn)闉檎麛?shù)，故．故所求圓的方程為．…………………4分（Ⅱ）把直線即．代入圓的方程，消去整理，得．由于直線交圓于兩點(diǎn)，故．即，由于，解得．所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．…………9分22.為緩解交通運(yùn)行壓力，某市公交系統(tǒng)實(shí)施疏堵工程．現(xiàn)調(diào)取某路公交車早高峰時(shí)段全程運(yùn)輸時(shí)間（單位：分鐘）的數(shù)據(jù)，從疏堵工程完成前的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取5個(gè)數(shù)據(jù)，記為A組；從疏堵工程完成后的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取5個(gè)數(shù)據(jù)，記為B組．A組：128100151125120B組：10010297101100（Ⅰ）該路公交車全程運(yùn)輸時(shí)間不超過100分鐘，稱為“正點(diǎn)運(yùn)行”．從A，B兩組數(shù)據(jù)中各隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)據(jù)，求這兩個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的兩次運(yùn)行中至少有一次“正點(diǎn)運(yùn)行”的概率；（Ⅱ）試比較A，B兩組數(shù)據(jù)方差的大?。ú灰笥?jì)算），并說明其實(shí)際意義．參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）B組數(shù)據(jù)的方差小于A組數(shù)據(jù)的方差．說明疏堵工程完成后，該路公交車全程運(yùn)輸時(shí)間更加穩(wěn)定，而且“正點(diǎn)運(yùn)行”率高，運(yùn)行更加有保障．.【分析】（Ⅰ）先求出從，兩組數(shù)據(jù)中各隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)據(jù)，不同的取法的種數(shù)，在求出兩個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的兩次運(yùn)行中至少有一次“正點(diǎn)運(yùn)行”的種數(shù)，最后利用古典概型計(jì)算公式，求出