廣東省肇慶市四會江谷中學(xué)高一數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析

廣東省肇慶市四會江谷中學(xué)高一數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.學(xué)習(xí)“三角”時，小明同學(xué)在參考書上看到求sin18°精確值的一種方法，具體如下：設(shè)等腰△ABC的頂角∠A=36°．底角∠B的平分線交腰AC于D，且BC=1（如圖），則AD=BD=1，于是，在△BCD中，可得CD=2sin18°．由△BAC∽△CBD得=，即=，整理得4sin218°+2sin18°﹣1=0，又sin18°（0，1），故解得sin18°=．現(xiàn)設(shè)α，β，α+β均屬于區(qū)間（0，），若cos（﹣2β）?sin（2α+β）=cos（+2α）?sin（α+2β），則下列命題正確的是（）A．關(guān)于x的方程α?4x+β?2x+α=0有實數(shù)解B．關(guān)于x的方程α?（log4x）2+β?log4x﹣α=0無實數(shù)解C．關(guān)于x的方程sinx=有實數(shù)解D．關(guān)于x的方程cosx=無實數(shù)解參考答案：C2.給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為120°，點C在以O(shè)為圓心的劣弧AB上變動，若其中、則的最大值是

（

）A.1

B．2

C．3

D．4參考答案：B3.已知冪函數(shù)的圖像過點，若，則實數(shù)的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略4.若函數(shù)f（x）=2ax2﹣x﹣1在區(qū)間（0，1）內(nèi)恰有一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣1） B．（1，+∞） C．（﹣1，1） D．[0，1）參考答案：B【考點】函數(shù)零點的判定定理．【分析】討論a的不同取值以確定方程是否是二次方程及二次方程的根的大致位置，再由方程的根與函數(shù)的零點的關(guān)系判斷即可．【解答】解：若函數(shù)f（x）=2ax2﹣x﹣1在區(qū)間（0，1）內(nèi)恰有一個零點，則方程2ax2﹣x﹣1=0在區(qū)間（0，1）內(nèi)恰有一個根，若a=0，則方程2ax2﹣x﹣1=0可化為：﹣x﹣1=0方程的解為﹣1，不成立；若a＜0，則方程2ax2﹣x﹣1=0不可能有正根，故不成立；若a＞0，則△=1+8a＞0，且c=﹣1＜0；故方程有一正一負兩個根，故方程2ax2﹣x﹣1=0在區(qū)間（0，1）內(nèi)恰有一個解可化為（2a?02﹣0﹣1）（2a?12﹣1﹣1）＜0；解得，a＞1；故實數(shù)a的取值范圍是（1，+∞），故選：B【點評】本題考查了方程的根的判斷及分類討論的數(shù)學(xué)思想應(yīng)用，屬于中檔題．5.已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱且在區(qū)間上單調(diào)，則可取數(shù)值的個數(shù)為（

）A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：B考點：正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)及綜合運用.【易錯點晴】三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容和工具,也高考和各級各類考試的重要內(nèi)容和考點.本題以三角函數(shù)的解析式和圖象性質(zhì)為背景,考查的是三角函數(shù)的最大值最小值等有關(guān)知識和綜合運用.解答本題時要充分利用題設(shè)中提供的有關(guān)信息,建立方程組,或然后解方程組求出或,從而使得問題獲解.6.已知冪函數(shù)f（x）=xα的圖象過點，則函數(shù)g（x）=（x﹣2）f（x）在區(qū)間上的最小值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4參考答案：C【考點】冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域．【分析】求出冪函數(shù)f（x）的解析式，從而求出g（x）的解析式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）在閉區(qū)間上的最小值即可．【解答】解：∵冪函數(shù)f（x）=xα的圖象過點，∴2α=，解得：α=﹣1，故g（x）==1﹣，而g（x）在[，1]遞增，故g（x）min=g（）=﹣3，故選：C．【點評】本題考查了冪函數(shù)的定義，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，是一道基礎(chǔ)題．7.集合，，給出下列四個圖形，其中能表示以M為定義域，N為值域的函數(shù)關(guān)系的是(

)

參考答案：B略8.在同一坐標系中，函數(shù)與函數(shù)g（x）=的圖像可能是參考答案：BA中，，對數(shù)函數(shù)的定義域不滿足；B，當a>1時，指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)都是增函數(shù)，滿足條件；C，D，指數(shù)函數(shù)的和對數(shù)函數(shù)在a取相同的值時，單調(diào)性相同，故都不滿足條件9.計算sin43°cos13°+sin47°cos103°的結(jié)果等于（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】GQ：兩角和與差的正弦函數(shù)．【分析】先將sin47°表示為sin（90°﹣43°），cos103°表示成cos（90°+13°），利用誘導(dǎo)公式化簡后，再由兩角差的正弦公式化簡求值．【解答】解：sin43°cos13°+sin47°cos103°=sin43°cos13°+sin（90°﹣43°）cos（90°+13°）=sin43°cos13°﹣cos43°sin13°=sin（43°﹣13°）=sin30°=．故選A．10.函數(shù)的零點所在的一個區(qū)間是（

）A. B.

C.

D.參考答案：B滿足,f(0)=1＞0.由零點存在性定理知，零點所在的一個區(qū)間為(,0).

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（5分）已知函數(shù)y=f（x）可用列表法表示如下，則f(f(1))=

．x ﹣1

0

1y 0

1 ﹣1參考答案：0考點： 函數(shù)的值．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 根據(jù)函數(shù)y=f（x）的列表先求出f（1）的值，從而可化簡f，再根據(jù)f（1）的值查找表格，可求出所求．解答： 根據(jù)表格可知f（1）=﹣1，f（﹣1）=0，∴f(f(1))=f（﹣1）=0．故答案為：0．點評： 本題主要考查了函數(shù)求值，解題的關(guān)鍵從內(nèi)向外去括號，注意對應(yīng)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，送分題．12.已知函數(shù)的定義域為，則它的反函數(shù)定義域為

.參考答案：[-2，1)13.已知冪函數(shù)的圖像過點，則_______________.參考答案：略14.若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是_

。

參考答案：略15.從甲、乙、丙三名同學(xué)中選2人參加普法知識競賽，則甲被選中的概率為________.參考答案：16.某年級120名學(xué)生在一次百米測試中，成績?nèi)拷橛?3秒與18秒之間．將測試結(jié)果分成5組：，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．如果從左到右的5個小矩形的面積之比為，那么成績在的學(xué)生人數(shù)是_

____．參考答案：5417.已知集合，（），若集合是一個單元素集（其中Z是整數(shù)集），則a的取值范圍是_________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）某租賃公司擁有汽車輛．當每輛車的月租金為元時，可全部租出．當每輛車的月租金每增加元時，未出租的車將會增加一輛．租出的車每輛每月需要維護費元，未租出的車每輛每月需要維護費元．（1）當每輛車的月租金定為時，能租出多少輛車？（2）當每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？（月收益每輛車的租金租出車輛數(shù)車輛維護費．）參考答案：（1）、當每輛車的租金定為3600時，未租出去的車輛數(shù)為：所以能租出去的車輛數(shù)為當每輛車的租金定為3600時，租出去的車輛數(shù)為88輛。.......(4)（2）設(shè)每輛車的月租金定為元，則租賃公司的月收益為：整理得：

所以當每輛車的月租定為4050元時，租賃公司的月收益最大，最大收益為307050元。......(12)19.設(shè)集合A={x|2≤x≤4}，B={x|x＞3，或x＜1}，C={x|t+1＜x＜2t}，t∈R．（Ⅰ）求A∪?UB；（Ⅱ）若A∩C=C，求t的取值范圍．參考答案：【考點】1E：交集及其運算；1H：交、并、補集的混合運算．【分析】（Ⅰ）由B與全集U，求出B的補集，找出A與B補集的并集即可；（Ⅱ）由A與C的交集為C，得到C為A的子集，確定出t的范圍即可．【解答】解：（Ⅰ）∵B={x|x＞3，或x＜1}，∴?UB={x|1≤x≤3}，∵A={x|2≤x≤4}，∴A∪?UB={x|1≤x≤4}；（Ⅱ）∵A∩C=C，∴C?A，當C=?時，則有2t≤t+1，即t≤1；當C≠?時，則，即1＜t≤2，綜上所述，t的范圍是t≤2．20.如圖，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面邊長為，側(cè)棱長為4．E，F(xiàn)分別為棱AB，BC的中點，EF∩BD=G．（Ⅰ）求證：平面B1EF⊥平面BDD1B1；（Ⅱ）求點D1到平面B1EF的距離d；（Ⅲ）求三棱錐B1﹣EFD1的體積V．參考答案：【考點】平面與平面垂直的判定；棱柱、棱錐、棱臺的體積；點、線、面間的距離計算．【分析】（1）方法一：欲證明平面B1EF⊥平面BDD1B1，先證直線與平面垂直，觀察平面BDD1B1為正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的對角面，所以AC⊥平面BDD1B1，故連接AC，由EF∥AC，可得EF⊥平面BDD1B1方法二：欲證明平面B1EF⊥平面BDD1B1，先證直線與平面垂直，由題意易得EF⊥BD，又EF⊥D1D，所以EF⊥平面BDD1B1（2）本題的設(shè)問是遞進式的，第（1）問是為第（2）問作鋪墊的．由第（1）問可知，點D1到平面B1EF的距離d即為點D1到平面B1EF與平面BDD1B1的交線B1G的距離，故作D1H⊥B1G，垂足為H，所以點D1到平面B1EF的距離d=D1H．下面求D1H的長度．解法一：在矩形BDD1B1及Rt△D1HB1中，利用三角函數(shù)可解．解法二：在矩形BDD1B1及Rt△D1HB1中，利用三角形相似可解．解法三：在矩形BDD1B1及△D1GB1中，觀察面積大小關(guān)系可解．（3）本題的設(shè)問是遞進式的，第（2）問是為第（3）問作鋪墊的．解決三棱錐求體積的問題，關(guān)鍵在于找到合適的高與對應(yīng)的底面，由第（2）問可知，D1H即為三棱錐B1﹣EFD1的高，所以B1EF為對應(yīng)的底面．【解答】解：（Ⅰ）證法一：連接AC．∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是正方形，∴AC⊥BD，又AC⊥D1D，故AC⊥平面BDD1B1．∵E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，故EF∥AC，∴EF⊥平面BDD1B1，∴平面B1EF⊥平面BDD1B1．證法二：∵BE=BF，∠EBD=∠FBD=45°，∴EF⊥BD．又EF⊥D1D∴EF⊥平面BDD1B1，∴平面B1EF⊥平面BDD1B1．（Ⅱ）在對角面BDD1B1中，作D1H⊥B1G，垂足為H．∵平面B1EF⊥平面BDD1B1，且平面B1EF∩平面BDD1B1=B1G，∴D1H⊥平面B1EF，且垂足為H，∴點D1到平面B1EF的距離d=D1H．解法一：在Rt△D1HB1中，D1H=D1B1?sin∠D1B1H．∵，，∴．解法二：∵△D1HB1～△B1BG，∴，∴．解法三：連接D1G，則三角形D1GB1的面積等于正方形DBB1D1面積的一半，即，∴．（Ⅲ）=．21.某車間將10名技工平均分成甲、乙兩組加工某種零件，在單位時間內(nèi)每個技工加工的合格零件數(shù)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示．已知兩組技工在單位時間內(nèi)加工的合格零件平均數(shù)都為9．（1）分別求出m，n的值；（2）分別求出甲、乙兩組技工在單位時間內(nèi)加工的合格零件的方差s和s，并由此分析兩組技工的加工水平；（3）質(zhì)檢部門從該車間甲、乙兩組技工中各隨機抽取一名技工，對其加工的零件進行檢測，若兩人加工的合格零件個數(shù)之和大于17，則稱該車間“質(zhì)量合格”，求該車間“質(zhì)量合格”的概率．參考答案：【考點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；莖葉圖．【分析】（1）由兩組技工在單位時間內(nèi)加工的合格零件平均數(shù)都為9．利用莖葉圖能求出m，n．（2）先分別求出，，由兩組技工在單位時間內(nèi)加工的合格零件平均數(shù)都為9，，得到乙組技工加工水平高．（3）質(zhì)監(jiān)部門從該車間甲、乙兩組技工中各隨機抽取一名技工，對其加工的零件進行檢測，設(shè)兩人加工的合格零件數(shù)分別為（a，b），利用列舉法能求出該車間“質(zhì)量合格”的概率．【解答】解：（1）∵兩組技工在單位時間內(nèi)加工的合格零件平均數(shù)都為9．∴由莖葉圖得：，解得m=6，n=8．（2）=[（6﹣9）2+（7﹣9）2+（9﹣9）2+（11﹣9）2+（12﹣9）2]=．=[（7﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（11﹣9）2]=2．∵兩組技工在單位時間內(nèi)加工的合格零件平均數(shù)都為9，，∴兩組技工平均數(shù)相等，但乙組技工較穩(wěn)定，故乙組技工加工水平高．（3）質(zhì)監(jiān)部門從該車間甲、乙兩組技工中各隨機抽取一名技工，對其加工的零件進行檢測，設(shè)兩人加工的合格零件數(shù)分別為（a，b），則所有的（a，b）有：（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（6，11），（7，7），（7，8），（7，9），（7，10），（7，11），（9，7），（9，8）