第七章 圖教學課件

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統(tǒng)“

?在線性表中，一個元素只能和其直接前驅或

接后繼相關；

?在樹中，一個結點可以和其下一層的多個孩子

結點相關，以及上一層的雙親結點相關，但不

能和其他的任何結點直接相關；

?圖(Graph)是一種較線性結枸和樹更為復雜的

數(shù)據(jù)結構。而對亍圖來說,中任意兩個結點

之間都可以直接相關，因此圖形結枸非常復雜

的結構定義:

圖是由一個頂點集V和一個弧集E構

的數(shù)據(jù)結構。

Graph=(V,E)

頂點：圖中電數(shù)據(jù)元素。設它的集合用

V(Vertex)表示。

的結構定義:

??。涸O兩個頂點之間的關系的集合用E(edge)

來表示，且“，V2EV,若<vl,v2>GE,如

<vl,v2)表示從vl到v2的一條弧(Arc)。

且稱vl為弧尾(Tail)(蛤點、尾頂點)，v2為

孤矣(Head)(終點、買頂點)，此時W圖稱

為有向圖(Digraph)。

?無向：若<vl,v2>EE必能推導的<v2,vl>

GE,即E是對稱的，死/用無序對CV1,V2J代

替有序對,表示vl和v2<間的一條①(Edge)。

此時的圖稱為元向圖(Undigraph)。

名旎1和*^誦^--當■向E

%

由亍“弧”是有方向的，因此稱由頂點集和弧VA

集枸成的圖為有向圖。

例如：

Gj=(V19E)

其中,

V1={A,B,C,D,E}

V[E={vA,B>,<A,E>|

vB,C>,vC,D>,<D,B

vD,A>,<E,C>}

名詞和術語--無向

由頂點集和2集構成的稱作元向

例如:G2=(V2,E)

v2={A,B,C,D,E,F}

V2E={(A,B),(A,E),

(B,E),(C,D),(D,F),

(B,F),(C,F)}

假設圖中有n個頂點，e條邊，貝陸

含有e=n(n-l)/2條邊的無向圖稱》

完全圖；

含有e=n(n-l)條弧的有向圖稱作

有向完全圖；

弧或邊帶權的解

分別稱作有向網(wǎng)或

無向網(wǎng)。

設圖G=(Y{VE})和@

圖G=(V\{VE[),

且V'uYVE'uVE,

班核57為G的子圖。

對無向圖來說，若頂點v和頂點w之

在一條邊，則稱頂點V和W互為鄰接

邊(v,w)和頂點V和W相關聯(lián)。.

和頂點V關聯(lián)的邊的數(shù)目定義為邊的度。/

例如：右側圖中

ID(B)=3

ID￡A)=2

對有向圖來說,由于弧有方向性，則

有入度和出度之分

頂點的出度：以頂點

V為弧尾的弧的數(shù)目:

頂點的入度：以頂點

例如：

v為弧頭的弧的數(shù)目。

OD(B)=1

ID(B)=2頂點的度(TD)=、

D(B)=3出度(OD)+入度(ID)

設圖G=（y{VE}）中的一個頂點序列

{U=Vi,O，Vi,l，…,”,m=w}中，（Vi,j"Vi,j）eVlEq

則稱從頂點U到頂點W之間存在一條路徑。

路徑上邊的數(shù)目稱作路徑長度。

及口：從A到F長度為3

簡單路徑:指序列中頂（

的路徑{A,B，C,F}點不重復出現(xiàn)的路徑。\

簡單回路:指序歹U中

第一個頂點和最后一

個頂點相同的路徑。

若圖G中任意兩個頂

點之間都有路徑相通,

則稱此圖為連通圖；

若無向圖為非連通圖

則圖中各個極大連通

子圖稱作此圖的連通

分量。

對有向圖，若任意兩個頂點之間都》

一條有向路徑，則稱此有向圖為強連通

否則，其各個強連通子圖稱作它的

強連通分量。

假設一個連通圖有n個頂點和e條g

其中n?l條邊和n個頂點構成一個極、

連通子圖，稱該極小連通子圖為此連通

的生成樹。

7.2圖的存儲表示V

一、圖的數(shù)組（鄰接矩陣）存儲表示

二、圖的鄰接表存儲表示

三、有向圖的十字鏈表存儲表示

，無向圖的鄰接多重表存儲表示

一、圖的數(shù)組(鄰接矩陣)存儲聲

定義:矩陣的元素為

_r0(i,j)^VE

A1(1(i,j)eVE

010010

100010

000101

001001

110000

011100

有向圖的鄰接矩陣

為非對稱矩陣

typedefintVertexType;〃是頂點關系類

VertexTypeVerList[MaxVertexNum];

intAdjMatrix[MaxVertexNum]

[MaxVertexNum];

〃對無權圖，用1或0表示相鄰否；

〃對帶權圖，則為權值類型。

二、圖的鄰接表

存儲表示

4/\

45

56

5F

1八

27人

有向圖的鄰接表

0

1

可見，在有向圖的2

鄰接表中不易找到3

頂點的弧4

有向圖的逆鄰接表

在有向圖的鄰接表

中，對每個頂點，

0

鏈接的是指向該頂

1

點的弧

2

3

4

弧的結點結構adjvexnextarcinfo

typedefstructArcNode{

intadjvex;//該弧所指向的頂點的位

structArcNode^nextarc;

〃指向下一條弧的指針

InfbType*info;//該弧相關信息的指針

頂點的結點結構datafirstarc

typedefstructVNode{

VertexTypedata;〃頂點信息

ArcNode^firstarc;

〃指向第一條依附該頂點的弧J

}VNode,AdjList[MAX_VERTEX_NUM];\

圖的結構定義（鄰接表）

typedefstruct{

AdjListvertices;

intvexnum,arcnum;

intkind;//圖的種類標志（

Graph;

三、有向圖的十字鏈表存儲表7

0

1

02AA

弧的結點結構

tailvexheadvexhlinktlinkinfo

弧尾頂點位置弧頭頂點位置弧的相關信息

指向下一個指向下一個

有相同弧頭有相同弧尾

的結點的結點

typedefstructArcBox{//弧的結構表示

inttailvex,headvex;InfbType*infb;

才永面說ArcBoxhlink,*tlink;

VexNode;

頂點的結點結構

datafirstinfirstout

頂點信息數(shù)據(jù)

指向該頂點的指向該頂點的

第一條入弧第一條出弧

typedefstructVexNode{〃頂點的結構表示

VertexTypedata;(

ArcBox^firstin,^firstout;,

ode;

有向圖的結構表示（十字鏈表）Z

typedefstruct{Q

VexNodexlist[MAX_VERTEX_NUM]i

〃頂點結點（表頭向量）,

intvexnum,arcnum;

〃有向圖的當前頂點數(shù)和弧數(shù)

Eaph;

7.3圖的遍歷

從圖中某個頂點出發(fā)游歷圖，訪w

圖中其余頂點，并且使圖中的每個頂點J

僅被訪問一次的過程。

深度優(yōu)先搜索

令廣度優(yōu)先搜索

令遍歷應用舉例

一、深度優(yōu)先搜索遍歷圖

連通圖的深度優(yōu)先搜索遍歷

從圖中某個頂點V。出發(fā)，訪問此頂\

點，然后依次從V。的各個未被訪問的鄰（

接點出發(fā)深度優(yōu)先搜索遍歷圖，直至圖中，

所西和V。有路徑相通的頂點都被訪問到。）

W「W2和W3均淘

鄰接點，SGi、SG、

SG3分別為含頂點W

W2和W3的子圖。

訪問頂點V;

for(Wj>W2、W3)

若該鄰接點W未被訪問，

則從它出發(fā)進行深度優(yōu)先搜索遍歷。

從上頁的圖解可見：q

1.從深度優(yōu)先搜索遍歷連通圖的過q

程類似于樹的先根遍歷；,

2.如何判別V的鄰接點是否被訪問？\

解決的辦法是:為每個頂點設立一個，

劣問標志visited[w]^^;\

voidDFS(GraphG,intv){、

〃從頂點v出發(fā)，深度優(yōu)先搜索遍歷連通圖

visited[v]=TRUE;VisitFunc(v);

for(w=FirstAdjVex(G,v);

w!=0;w=NextAdjVex(G,v,w))

if(!visited[w])DFS(G,w);

//對v的尚未訪問的鄰接頂點w

4一〃遞歸調用DFS

FS

,非連通圖的深度優(yōu)先搜索遍歷個

首先將圖中每個頂點的訪問標志設

為FALSE,之后搜索圖中每個頂點，如

果未被訪問，則以該頂點為起始點，進

行深度優(yōu)先搜索遍歷，否則繼續(xù)檢查下

voidDFSTraverse(GraphG,

Status(*Visit)(intv)){

〃對圖G作深度優(yōu)先遍歷。

VisitFunc=Visit;

for(v=0;v<G.vexnum;++v)

visited[v]=FALSE;〃訪問標志數(shù)組初始化

for(v=0;v<G.vexnum;++v)

if(!visited[v])DFS(G,v);

〃對尚未訪問的頂點調用DFS

二、廣度優(yōu)先搜索遍歷圖戈

對連通圖，從起始點V到真

各頂點必定存在路徑。

其中

V->w19V->w2?V->w8\

的路徑長度為1;(

V->w7,V->w3,V->w5)

的路徑長度為2;(

V->w6?V->w4C

的路徑長度為3。)

從圖中的某個頂點V。出發(fā)，并在訪雕

頂點之后依次訪問V。的所有未被訪問遹

鄰接點，之后按這些頂點被訪問的先后想

序依次訪問它們的鄰接點，直至圖中所有（

和V。有路徑相通的頂點都被訪問到。

若此時圖中尚有頂點未被訪問，則另選圖

中一個未曾被訪問的頂點作起始點，重虱

上述過程，直至圖中所有頂點都被訪問到《

O

voidBFSTraverse(GraphG,

Status(*Visit)(intW

for(v=0;v<G.vexnum;++v)、

visited[v]=FALSE;〃初始化訪問標志

InitQueue(Q);//置空的輔助隊列Q

for(v=0;v<G.vexnum;++v)

if(!visited[v]){〃v尚未訪問

FSTraverse

visited[v]=TRUE;Visit(v);//訪問u

EnQueue(Q5v);〃v入隊列

while(!QueueEmpty(Q)){

DeQueue(Q,u);

〃隊頭元素出隊并置為u

for(w=FirstAdjVex(G,u);w!=0;

w=NextAdjVex(G必w))

if(!visited[w]){

visited[w]=TRUE;Visit(w);

EnQueue(Q5w);//訪問的頂點w入隊列

f

hile◎

7.4最小生成樹

問題:

假設要在n個城市之間建立通訊

聯(lián)絡網(wǎng)，則連通〃個城市只需要修建

條線路，如何在最節(jié)省經(jīng)費的前

寂E建立這個通訊網(wǎng)？

■

該問題等價于：

構造網(wǎng)的一棵最小生成樹）即:

在e條帶權的邊中選取n-1條邊（不構成N

回路），使“權值之和”為最小。/

笆|3法一：（普里姆算法）

二：（克魯斯卡爾算法）

普里姆算法的基本思想:

取圖中任意一個頂點v作為生成樹的

之后往生成樹上添加新的頂點W。在添加）

的頂點W和已經(jīng)在生成樹上的頂點V之間\

必定存在一條邊，并且該邊的權值在所有

連通頂點V和W之間的邊中取值最小。之/

后繼續(xù)往生成樹上添加頂點，直至生成樹

n-1個頂點為止。

例如:

7

3

1

14+8+3+5+16+21=6

一般情況下所添加的頂點應滿足飛則

條件:在生成樹的構造過程中，圖中

頂點分屬兩個集合：已落在生成樹上的

頂點集U和尚未落在生成樹上的頂點煤

V-U,則應在所有連通U中頂點和v-uq

頂點的邊中選取權值最小的邊。

V-U

設置一個輔助數(shù)組，對當前v-2

中的每個頂點，記錄和頂點集U中頂

相連接的代價最小的邊：

struct{

VertexTypeadjvex;〃11集中的頂點序號

VRTypelowcost;//邊的權值(

}j^dge[MAXVERTEXNUM];?

例如:19mm148

195712m

m53mm

18m73821

?271412m8m16J

mmm21m2

18mmm1627

^losedg^\0123456

Adjvexc1d1ea1de

5,

514211￡

voidMiniSpanTree_P(MGraphG,VertexType

〃用普里姆算法從頂點u出發(fā)構造網(wǎng)G的最小樹

k=LocateVex(G,u);&

for(j=0;j<G.vexnum;++j)//輔助數(shù)組初始夕

if(j!=k)\

closedge[j]={u,G.arcs[k][j].adj};C

closedge[k].lowcost=0;//初始，U={u}J

for(i=0;i<G.vexnum;++i){

向生成樹上添加頂點；

k=minimum(closedge);

//求出加入生成樹的下一個頂點(k)

printf(closedge[k].adjvex5G.vexs[k]);

〃輸出生成樹上一條邊

closedge[k].lowcost=0;//第k頂點并入U集

for(j=0;j<G.vexnum;+±j)

〃修改其它頂點的最小邊

if(G.arcsfk][j].adj<closedge[j].lowcost)

ge[j]={G.vexs[kl,G.arcs[k][j].adjV

向

克魯斯卡爾算法的基本思想:

考慮問題的出發(fā)點：為使生成樹上邊的陽

值之和達到最小，則應使生成樹中每一索

邊的權值盡可能地小。

具體做法：先構造一個只含11個頂點的子區(qū)

SG,然后從權值最小的邊開始，若它的添?

力梵練SG中產生回路，則在SG上加上這

如此重復）直至加上n-1條邊為止。

例如:

1

算法描述:

構造非連通圖ST=(V,{});

k=i=0;〃k計選中的邊數(shù)

while(k<n-l){

卜+i;

檢查邊集E中第i條權值最小的邊(u,v);

若(u,v)加入ST后不使ST中產生回路,

刨瀚出邊(u,v)；且k++;

比較兩種算法

算法名普里姆算法克魯斯卡爾算;

時間復雜度O(n2)O(eloge)

適應范圍稠密圖稀疏圖

7.5兩點之間的

最短路徑問題

?求從某個源點到其余各點的最

短路徑

?每一對頂點之間的最短路徑

求從源點到其余各點的最短路

的算法的基本思想:

依最短路徑的長度遞增的次序求得

各條路徑

其中，從源點到I

頂點V的最短路專

源點是所有最短路徑，

中長度最短者。（

?路徑長度最短的最短路徑的特點：?

在這條路徑上，必定只含一條弧，W塌

這條弧的權值最小。

■下一條路徑長度次短的最短路徑的特點:

它只可能有兩種情況:或者是直接從源點

到該點（只含一條?。?；或者是，從源點經(jīng)（

再到達該頂點（由兩條弧組成）1

.再下一條路徑長度次短的最短路徑瞰點

它可能有三種情況：或者是，直接從期、

到該點（只含一條?。换蛘呤?，從源點a

頂點V1，再到達該頂點（由兩條弧組成）；4

者是，從源點經(jīng)過頂點V2，再到達該頂點）

?其余最短路徑的特點：）

它或者是直接從源點到該點（只哈一條（

布渾D或者是，從源點經(jīng)過已求得最短路（

頂點，再到達該頂點。）

求最短路徑的迪杰斯特拉算法：R

設置輔助數(shù)組Dist,其中每個分量

表示當前所求得的從源點到其余各頂點篇

的最短路徑。，

一般情況下，)

Dist[k]=＜源點到頂點k的弧上的權值》)

或者=＜源點到其它頂點的路徑長度〉，

其它頂點到頂點k的弧上的權值＞＞

1）在所有從源點出發(fā)的弧中選取一條

值最小的弧，即為第一條最短路徑。

G.arcs[vO][^]VO和k之間存在濯

Di