專題24 線段最值問題（解析版）

線段最值問題1．（2023·遼寧丹東·中考真題）拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點C．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖，點D是拋物線上的一個動點，設(shè)點D的橫坐標(biāo)是，過點D作直線軸，垂足為點E，交直線于點F．當(dāng)D，E，F(xiàn)三點中一個點平分另外兩點組成的線段時，求線段的長；【分析】（1）將點，代入解析式即可求解；（2）可求直線的解析式為，可得，，，①當(dāng)時，可求，，即可求解；②當(dāng)時，，，即可求解；【詳解】（1）解：由題意得解得，故拋物線的表達(dá)式；（2）解：當(dāng)時，，，設(shè)直線的解析式為，則有，解得：，直線的解析式為，點D的橫坐標(biāo)是，過點D作直線軸，，，，①如圖，當(dāng)時，

，，，整理得：，解得：，，，不合題意，舍去，，；②如圖，當(dāng)時，

，，，整理得：，解得：，（舍去），；綜上所述：線段的長為或．2．（2023·青海西寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與x軸交于點，與y軸交于點，拋物線經(jīng)過點A，B，且對稱軸是直線．

(1)求直線l的解析式；(2)求拋物線的解析式；(3)點P是直線l下方拋物線上的一動點，過點P作軸，垂足為C，交直線l于點D，過點P作，垂足為M．求的最大值及此時P點的坐標(biāo)．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)題意可設(shè)拋物線的解析式為，再利用待定系數(shù)法求解即可；（3）由題意易證為等腰直角三角形，即得出．設(shè)點P的坐標(biāo)為，則，從而可求出．再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)時，有最大值是，此時最大，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)直線l的解析式為，把A，B兩點的坐標(biāo)代入解析式，得，解得：，∴直線l的解析式為；（2）解：設(shè)拋物線的解析式為，∵拋物線的對稱軸為直線，∴．把A，B兩點坐標(biāo)代入解析式，得，解得：，∴拋物線的解析式為；（3）解：∵

，

∴．∵在中，∴．∵軸，，∴．在中，，，∴，∴．在中，，，∴，∴．設(shè)點P的坐標(biāo)為，則，∴．∵，∴當(dāng)時，有最大值是，此時最大，∴，當(dāng)時，，

∴，∴的最大值是，此時的P點坐標(biāo)是．3．（2023·湖北襄陽·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過拋物線的頂點．

(1)如圖，當(dāng)拋物線經(jīng)過原點時，其頂點記為．①求拋物線的解析式并直接寫出點的坐標(biāo)；③當(dāng)時.動點在直線下方的拋物線上，過點作軸交直線于點，令，求的最大值．(2)當(dāng)拋物線不經(jīng)過原點時，其頂點記為.當(dāng)直線同時經(jīng)過點和（1）中拋物線的頂點時，設(shè)直線與拋物線的另一個交點為，與軸的交點為.若，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)①拋物線的解析式為，頂點的坐標(biāo)為；②的值為或1；③取得最大值(2)的取值范圍為或【分析】（1）由拋物線經(jīng)過原點，可得，即可求得，①利用配方法將拋物線解析式化為頂點式即可求得答案；③把代入，可得，設(shè)點，可得，進(jìn)而可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案；（2）利用配方法可得，運用待定系數(shù)法可得直線的解析式為，可得，，分兩種情況：當(dāng)時，點在第二象限，點在軸的負(fù)半軸上，作點關(guān)于點的對稱點，則，，再由，即，可得，解不等式即可求得答案；當(dāng)時，點在第一象限，點在、之間，作點關(guān)于點的對稱點，同理可求得答案．【詳解】（1）∵拋物線經(jīng)過原點，∴，解得：或，∵，∴，①拋物線的解析式為，∵，∴頂點的坐標(biāo)為；②當(dāng)，即時，隨增大而減小，由題意得：，解得：，（舍去），∴的值為，當(dāng)時，則若時，的最小值為，不符合題意，當(dāng)時，隨增大而增大，由題意得：，解得：（舍去），，∴的值為1，綜上所述，的值為或1；③由題意得：當(dāng)時，則，∵經(jīng)過點，∴，可得，∴，由，可得，，設(shè)點，且，∵軸，∴，可得：，則，∴，∵，，∴當(dāng)時，取得最大值；（2）∵，∴，∵直線：經(jīng)過點、，∴，解得：，∴直線的解析式為，令，得，∴，聯(lián)立方程得：，解得：，，當(dāng)時，，∴，當(dāng)時，點在第二象限，點在軸的負(fù)半軸上，作點關(guān)于點的對稱點，如圖，則，，

∵，∴，即，∴，化簡得：，令，解得：（舍去），，∴，∵，∴，∴；當(dāng)時，點在第一象限，點在、之間，作點關(guān)于點的對稱點，如圖，則，，

∵，∴，即，∴，化簡得：，令，解得：，（舍去），∴，∵，∴，∴；綜上所述，的取值范圍為或．4．（2023·湖北黃石·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于點．

(1)求此拋物線的解析式；(3)若點D，E分別是線段，上的動點，且，求的最小值．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的表達(dá)式為：，即，則，故拋物線的表達(dá)式為：①；（3）解：作，

設(shè)，，且相似比為，則，故當(dāng)、、共線時，為最小，在中，設(shè)邊上的高為，則，即，解得：，則，則，過點作軸于點，則，即點的縱坐標(biāo)為：，同理可得，點的橫坐標(biāo)為：，即點，由點、的坐標(biāo)得，，即的最小值為．5．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的交點分別為和（點在點的左側(cè)），與軸交于點，點是直線上方拋物線上一動點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，過點作軸平行線交于點，過點作軸平行線交軸于點，求的最大值及點的坐標(biāo)；【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點，與軸交于點解得拋物線的解析式為：；（2）解：當(dāng)時，，解得，，∴，設(shè)直線的解析式為：，把，代入得：，解得∴直線的解析式為，設(shè)，∵軸，∴點的縱坐標(biāo)為，又∵點在直線上，∴，，∴，∴，∵軸，∴，∴，∵，，∴當(dāng)時，有最大值，最大值為，當(dāng)時，，∴點的坐標(biāo)為；答：的最大值為，點的坐標(biāo)為；6．（2023·甘肅武威·中考真題）如圖1，拋物線與軸交于點，與直線交于點，點在軸上．點從點出發(fā)，沿線段方向勻速運動，運動到點時停止．(1)求拋物線的表達(dá)式；(3)如圖2，點從點開始運動時，點從點同時出發(fā)，以與點相同的速度沿軸正方向勻速運動，點停止運動時點也停止運動．連接，，求的最小值．【分析】（1）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；（3）由題意得，，連接．在上方作，使得，，證明，根據(jù)得出的最小值為，利用勾股定理求得，即可得解．【詳解】（1）解：∵拋物線過點，∴，∴，∴；（3）如圖2，由題意得，，連接．在上方作，使得，，∵，，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴（當(dāng)，，三點共線時最短），∴的最小值為，∵，∴，即的最小值為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法，平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023·四川眉山·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于點兩點，與y軸交于點，點P是拋物線上的一個動點．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)當(dāng)點P在直線上方的拋物線上時，連接交于點D．如圖1．當(dāng)?shù)闹底畲髸r，求點P的坐標(biāo)及的最大值；【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；（2）過點P作軸，交于點Q，求出直線的解析式為，設(shè)點P的坐標(biāo)為，則點，得出