專題12 菱形的存在性問(wèn)題（解析版）

專題12菱形的存在性問(wèn)題一、知識(shí)導(dǎo)航作為一種特殊的平行四邊形，我們已經(jīng)知道可以從以下幾種方式得到菱形：（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形菱形；（2）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（3）四邊都相等的四邊形是菱形．坐標(biāo)系中的菱形存在性問(wèn)題也是依據(jù)以上去得到方法．和平行四邊形相比，菱形多一個(gè)“對(duì)角線互相垂直”或“鄰邊相等”，但這兩者其實(shí)是等價(jià)的，故若四邊形ABCD是菱形，則其4個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)需滿足：考慮到互相垂直的兩條直線斜率之積為1在初中并不適合直接用，故取兩鄰邊相等．即根據(jù)菱形的圖形性質(zhì)，我們可以列出關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)的3個(gè)等式，故菱形存在性問(wèn)題點(diǎn)坐標(biāo)最多可以有3個(gè)未知量，與矩形相同．因此就常規(guī)題型而言，菱形存在性至少有2個(gè)動(dòng)點(diǎn)，多則有3個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可細(xì)分如下兩大類題型：（1）2個(gè)定點(diǎn)+1個(gè)半動(dòng)點(diǎn)+1個(gè)全動(dòng)點(diǎn)（2）1個(gè)定點(diǎn)+3個(gè)半動(dòng)點(diǎn)解決問(wèn)題的方法也可有如下兩種：思路1：先平四，再菱形設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平四存在性要求列出“A+C=B+D”（AC、BD為對(duì)角線），再結(jié)合一組鄰邊相等，得到方程組．思路2：先等腰，再菱形在構(gòu)成菱形的4個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，必構(gòu)成等腰三角形，根據(jù)等腰存在性方法可先確定第3個(gè)點(diǎn)，再確定第4個(gè)點(diǎn)．

看個(gè)例子：如圖，在坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)（1,1），B點(diǎn)坐標(biāo)為（5,4），點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)D在平面中，求D點(diǎn)坐標(biāo)，使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．思路1：先平四，再菱形設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（p，q）．（1）當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，由題意得：（AB和CD互相平分及AC=BC），解得：（2）當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，由題意得：（AC和BD互相平分及BA=BC），解得：或（3）當(dāng)AD為對(duì)角線時(shí)，由題意得：，解得：或思路2：先等腰，再菱形先求點(diǎn)C，點(diǎn)C滿足由A、B、C構(gòu)成的三角形一定是等腰三角形，用等腰存在性問(wèn)題的方法先確定C，再確定D點(diǎn)．（1）當(dāng)AB=AC時(shí)，C點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)應(yīng)D點(diǎn)坐標(biāo)為；C點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)應(yīng)D點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）當(dāng)BA=BC時(shí)，C點(diǎn)坐標(biāo)為（8，0），對(duì)應(yīng)D點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-3）；C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），對(duì)應(yīng)D點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-3）．（3）AC=BC時(shí)，C點(diǎn)坐標(biāo)為，D點(diǎn)坐標(biāo)為．以上只是兩種簡(jiǎn)單的處理方法，對(duì)于一些較復(fù)雜的題目，還需具體問(wèn)題具體分析，或許有更為簡(jiǎn)便的方法．二、典例精析如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，OA=2，OC=6，連接AC和BC．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)M是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以點(diǎn)A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）拋物線：；（2）先考慮M點(diǎn)位置，即由A、C、M三點(diǎn)構(gòu)成的三角形是等腰三角形：①當(dāng)CA=CM時(shí)，即CM=CA=，M點(diǎn)坐標(biāo)為、，對(duì)應(yīng)N點(diǎn)坐標(biāo)為、．②當(dāng)AC=AM時(shí)，即AM=AC=，M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），對(duì)應(yīng)N點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）．③當(dāng)MA=MC時(shí)，勾股定理可求得M點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)應(yīng)N點(diǎn)坐標(biāo)為．綜上，N點(diǎn)坐標(biāo)為、、（2，0）、．如下圖依次從左到右．三、中考真題演練1．（2023·西藏·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的解析式；(3)如圖乙，點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，是否存在P、Q兩點(diǎn)使以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）將，代入，求出,即可得出答案；（3）拋物線的對(duì)稱軸為直線，設(shè)，，求出，，，分三種情況：以為對(duì)角線或以為對(duì)角線或以為對(duì)角線．【詳解】（1）解：（1）∵，兩點(diǎn)在拋物線上，∴解得，，∴拋物線的解析式為：；（3）存在，理由如下：拋物線的對(duì)稱軸為：直線，設(shè)，，∵，則，，，∵以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，∴分三種情況：以為對(duì)角線或以為對(duì)角線或以為對(duì)角線，當(dāng)以為對(duì)角線時(shí)，則，如圖1，

∴，解得：，∴或∵四邊形是菱形，∴與互相垂直平分，即與的中點(diǎn)重合，當(dāng)時(shí)，∴，解得：，∴當(dāng)時(shí)，∴，解得：，∴以為對(duì)角線時(shí)，則，如圖2，

∴，解得：，∴，∵四邊形是菱形，∴與互相垂直平分，即與中點(diǎn)重合，∴，解得：，∴；當(dāng)以為對(duì)角線時(shí)，則，如圖3，

∴，解得：，∴，∵四邊形是菱形，∴與互相垂直平分，即與的中點(diǎn)重合，∴，解得：∴，綜上所述，符合條件的點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)為：，或，或，或或2．（2023·遼寧錦州·中考真題）如圖，拋物線交軸于點(diǎn)和，交軸于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(3)在（2）的條件下，若點(diǎn)是對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)，使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，且，如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，∴，解得．∴拋物線的表達(dá)式為：．（3）解：存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．如下圖，連接，，

∵四邊形是菱形，，∴，∵，∴是等邊三角形．∴，∵，，，∴，，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴，，∴是等邊三角形，，∴，∴即，，∴．∴．∴直線的表達(dá)式為：．與拋物線表達(dá)式聯(lián)立得．∴點(diǎn)坐標(biāo)為．如下圖，連接，，，

同理可證：是等邊三角形，是等邊三角形，．∴，∵，，∴．∴．∴．∴直線的表達(dá)式為：．與拋物線表達(dá)式聯(lián)立得．∴點(diǎn)坐標(biāo)為．3．（2023·四川雅安·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線．

(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)已知點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，是否存在點(diǎn)F，使以點(diǎn)A，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【詳解】（1）解：由題意可得：，解得：，所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；當(dāng)時(shí)，，則頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為．（3）解：存在點(diǎn)F，使以點(diǎn)A，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形①如圖：線段作為菱形的邊，當(dāng)為菱形的對(duì)角線時(shí)，作關(guān)于直線的對(duì)稱線段交于E，連接,作點(diǎn)E關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)F，即為菱形，由對(duì)稱性可得F的坐標(biāo)為，故存在點(diǎn)F，使以點(diǎn)A，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，此時(shí)．當(dāng)為菱形對(duì)角線時(shí)，，設(shè)，，則，解得：或，∴或②線段作為菱形的對(duì)角線時(shí)，如圖：設(shè)∵菱形,∴,的中點(diǎn)G的坐標(biāo)為，點(diǎn)G是的中點(diǎn)，∴，解得，∴，設(shè)，則有：，解得：，∴．

綜上，當(dāng)或或或時(shí)，以點(diǎn)A，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．4．（2023·湖南·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，且與直線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），點(diǎn)為直線上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

(1)求拋物線的解析式．(3)拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系上一點(diǎn)，若以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（3）根據(jù)題意，分別求得，①當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，，②當(dāng)為邊時(shí)，分，，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，∴，解得：，∴拋物線解析式為：；（3）∵拋物線與軸交于點(diǎn)，∴，當(dāng)時(shí)，，即，∵，∴,，，①當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，，

∴，解得：，∴，∵的中點(diǎn)重合，∴，解得：，∴，②當(dāng)為邊時(shí)，當(dāng)四邊形為菱形，

∴，解得：或，∴或，∴或，由的中點(diǎn)重合，∴或，解得：或，∴或，當(dāng)時(shí)；如圖所示，即四邊形是菱形，

點(diǎn)的坐標(biāo)即為四邊形為菱形時(shí)，的坐標(biāo)，∴點(diǎn)為或，綜上所述，點(diǎn)為或或或或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，面積問(wèn)題，菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，細(xì)心的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．5．（2023·四川廣安·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，對(duì)稱軸是直線，點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，軸，交直線于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．(3)若點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，則在軸上是否存在點(diǎn)，使以、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）先根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸公式求出，再把代入二次函數(shù)解析式中進(jìn)行求解即可；（3）分如圖3-1，圖3-2，圖3-3，圖3-4，圖3-5，圖3-6所示，為對(duì)角線和邊，利用菱形的性質(zhì)進(jìn)行列式求解即可．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，∴，∴，∵二次函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，即，∴，∴二次函數(shù)解析式為；（2）解：∵二次函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且對(duì)稱軸為直線，∴，∴，∵二次函數(shù)與y軸交于點(diǎn)C，∴，∴；設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，設(shè)，則，，∴；∵，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，最大，最大值為，∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（3）解：設(shè)，則，，∵軸，∴軸，即，∴是以、為頂點(diǎn)的菱形的邊；如圖3-1所示，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，

∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴軸，∴軸，即軸，∴點(diǎn)C與點(diǎn)N關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為，∴，∴；如圖3-2所示，當(dāng)為邊時(shí)，則，

∵，，∴，∴，解得或（舍去），∴，∴；如圖3-3所示，當(dāng)為邊時(shí)，則，

同理可得，∴，解得或（舍去），∴，∴；如圖3-4所示，當(dāng)為邊時(shí)，則，

同理可得，解得（舍去）或（舍去）；如圖3-5所示，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，

∴，∵，∴，∴，∴軸，∴軸，這與題意相矛盾，∴此種情形不存在如圖3-6所示，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，設(shè)交于S，

∵軸，∴，∵，∴，這與三角形內(nèi)角和為180度矛盾，∴此種情況不存在；綜上所述，或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，菱形的性質(zhì)，勾股定理，求二次函數(shù)解析式等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．6．（2023·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過(guò)點(diǎn)，且交x軸于點(diǎn)，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是直線上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交直線于點(diǎn)E，求周長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在（2）中周長(zhǎng)取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)M為平移后的拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)．在平面內(nèi)確定一點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，并寫出求解點(diǎn)N的坐標(biāo)的其中一種情況的過(guò)程．【答案】(1)(2)周長(zhǎng)的最大值，此時(shí)點(diǎn)(3)以點(diǎn)A，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)或或【分析】（1）把、代入計(jì)算即可；（2）延長(zhǎng)交軸于，可得，進(jìn)而得到，，求出的最大值即可；（3）先求出平移后的解析式，再設(shè)出M，N的坐標(biāo)，最后根據(jù)菱形的性質(zhì)和判定計(jì)算即可．【詳解】（1）把、代入得，，解得，∴拋物線的表達(dá)式為；（2）延長(zhǎng)交軸于，

∵過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交直線于點(diǎn)E，∴，，∴，∴，∴，∴當(dāng)最大時(shí)周長(zhǎng)的最大∵拋物線的表達(dá)式為，∴，∴直線解析式為，設(shè)，則∴，∴當(dāng)時(shí)最大，此時(shí)∵周長(zhǎng)為，∴周長(zhǎng)的最大值為，此時(shí)，即周長(zhǎng)的最大值，此時(shí)點(diǎn)；（3）∵將該拋物線沿射線方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可以看成是向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度再向下平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，∴平移后的解析式為，此拋物線對(duì)稱軸為直線，∴設(shè)，∵，∴，，，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，此時(shí)以點(diǎn)A，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形∴與互相平分，且∴，解得∵中點(diǎn)坐標(biāo)為，中點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，解得，此時(shí)；當(dāng)為邊長(zhǎng)且和是對(duì)角線時(shí)，此時(shí)以點(diǎn)A，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形∴與互相平分，且∴，解得∵中點(diǎn)坐標(biāo)為，中點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，解得，此時(shí)或；同理，當(dāng)為邊長(zhǎng)且和是對(duì)角線時(shí)，此時(shí)以點(diǎn)A，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形∴和互相平分，且，此方程無(wú)解；綜上所述，以點(diǎn)A，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)或或；【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法，相似三角形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)及應(yīng)用，中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)及相關(guān)線段的長(zhǎng)度．7．（2023·四川達(dá)州·中考真題）如圖，拋物線過(guò)點(diǎn)．