高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題九 解析幾何 第2講 圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程專題強(qiáng)化訓(xùn)練 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

（通用版）2016年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題九解析幾何第2講圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程專題強(qiáng)化訓(xùn)練理(時(shí)間：45分鐘滿分：60分)一、選擇題1．已知方程eq\f(x2,2－k)＋eq\f(y2,2k－1)＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A．(eq\f(1,2)，2) B．(2，＋∞)C．(1，2) D．(eq\f(1,2)，1)解析：選C.由題意可得，2k－1>2－k>0，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2k－1>2－k，,2－k>0，))解得1<k<2，故選C.2．一個(gè)橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，P(2，eq\r(3))是橢圓上一點(diǎn)，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1 B．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,6)＝1C.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1 D．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1解析：選A.設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．由點(diǎn)(2，eq\r(3))在橢圓上知eq\f(4,a2)＋eq\f(3,b2)＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，故|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2·2c，eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，又c2＝a2－b2，聯(lián)立解得a2＝8，b2＝6，故選A.3．設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線x2－eq\f(y2,24)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，且3|PF1|＝4|PF2|，則△PF1F2的面積等于()A．4eq\r(2) B．8eq\r(3)C．24 D．48解析：選C.由題知，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|PF1|－|PF2|＝2,3|PF1|＝4|PF2|))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|PF1|＝8,|PF2|＝6)).又由|F1F2|＝10可得△PF1F2是直角三角形，則S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1|×|PF2|＝24.4.如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的方程為()A．y2＝9x B．y2＝6xC．y2＝3x D．y2＝eq\r(3)x解析：選C．如圖，分別過點(diǎn)A，B作AA1⊥l于點(diǎn)A1，BB1⊥l于點(diǎn)B1.由拋物線的定義知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，∴∠AFx＝60°.連接A1F，則△AA1F為等邊三角形，過F作FF1⊥AA1于點(diǎn)F1，則點(diǎn)F1為AA1的中點(diǎn)，設(shè)l交x軸于點(diǎn)K，則|KF|＝|A1F1|＝eq\f(1,2)|AA1|＝eq\f(1,2)|AF|，即p＝eq\f(3,2)，故選C.5．若橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，長軸長與短軸長的和為18，焦距為6，則橢圓的方程為()A.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,16)＝1 B．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1C.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1或eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1 D．以上都不對解析：選C.2a＋2b＝18，a＋b＝9，2c＝6，c＝3.c2＝a2－b2＝9，a－b＝1，a＝5，b＝4，故eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1或eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1.故選C.6．已知雙曲線C的右焦點(diǎn)F與拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)相同，若以點(diǎn)F為圓心，eq\r(2)為半徑的圓與雙曲線C的漸近線相切，則雙曲線C的方程為()A.eq\f(y2,3)－x2＝1 B．eq\f(x2,3)－y2＝1C.eq\f(y2,2)－eq\f(x2,2)＝1 D．eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1解析：選D.設(shè)雙曲線C的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，而拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為(2，0)，即F(2，0)，所以4＝a2＋b2.又圓F：(x－2)2＋y2＝2與雙曲線C的漸近線y＝±eq\f(b,a)x相切，由雙曲線的對稱性可知圓心F到雙曲線的漸近線的距離為eq\f(2b,\r(b2＋a2))＝eq\r(2)，所以b＝eq\r(2)，則a2＝b2＝2，故雙曲線C的方程為eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1，故選D.7．設(shè)橢圓eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)的右焦點(diǎn)與拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)相同，橢圓的離心率為eq\f(1,2)，則此橢圓的方程為()A.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,16)＝1 B．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1C.eq\f(x2,48)＋eq\f(y2,64)＝1 D．eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1解析：選B.依題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－n2＝c2＝4,\f(c,m)＝\f(1,2)))，由此解得m＝4，n2＝12，因此所求的橢圓方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.8．橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，弦AB過F1，若△ABF2的內(nèi)切圓周長為π，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)，則|y1－y2|的值為()A.eq\f(5,3) B．eq\f(10,3)C.eq\f(20,3) D．eq\f(\r(5),3)解析：選A.易知△ABF2的內(nèi)切圓的半徑r＝eq\f(1,2)，根據(jù)橢圓的性質(zhì)結(jié)合△ABF2的特點(diǎn)，可得△ABF2的面積S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×2c×|y1－y2|，其中l(wèi)為△ABF2的周長，且l＝4a，代入數(shù)據(jù)解得|y1－y2|＝eq\f(5,3).9．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距為10，點(diǎn)P(2，1)在C的漸近線上，則C的方程為()A.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1 B．eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1C.eq\f(x2,80)－eq\f(y2,20)＝1 D．eq\f(x2,20)－eq\f(y2,80)＝1解析：選A.∵eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的焦距為10，∴c＝5＝eq\r(a2＋b2)①，又雙曲線漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，且P(2，1)在漸近線上，∴eq\f(2b,a)＝1，即a＝2b②，由①②解得a＝2eq\r(5)，b＝eq\r(5)，∴雙曲線的方程為eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1，故選A.10．拋物線y＝4ax2(a≠0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(0，a) B．(a，0)C．(0，eq\f(1,16a)) D．(eq\f(1,16a)，0)解析：選C.將y＝4ax2(a≠0)化為標(biāo)準(zhǔn)方程得x2＝eq\f(1,4a)y(a≠0)，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，eq\f(1,16a))，所以選C.二、填空題11．已知F1、F2是橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過點(diǎn)F2作x軸的垂線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則△F1AB的周長為________．解析：由已知可得△F1AB的周長為|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝8.答案：812．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC的頂點(diǎn)A(－4，0)和C(4，0)，頂點(diǎn)B在橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上，則eq\f(sinA＋sinC,sinB)的值為________．解析：eq\f(sinA＋sinC,sinB)＝eq\f(|BC|＋|BA|,|AC|)＝eq\f(2a,2c)＝eq\f(a,c)＝eq\f(5,4).答案：eq\f(5,4)13．已知雙曲線x2＋my2＝1的虛軸長是實(shí)軸長的兩倍，則實(shí)數(shù)m的值是________．解析：由雙曲線的方程知a＝1，b＝eq\r(－\f(1,m))，又b＝2a，所以eq\r(－\f(1,m))＝2，解得m＝－eq\f(1,4).答案：－eq\f(1,4)14．對于拋物線y2＝4x上任意一點(diǎn)Q，點(diǎn)P(a，0)都滿足|PQ|≥|a|，則a的取值范圍是________．解析：設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(eq\f(yeq\o\al(2,0),4)，y0)，由|PQ|≥|a|，得yeq\o\al(2,0)＋(eq\f(yeq\o\al(2,0),4)－a)2≥a2.整理，得yeq\o\al(2,0)(yeq\o\al(2,0)＋16－8a)≥0，因?yàn)閥eq\o\al(2,0)≥0，所以yeq\o\al(2,0)＋16－8a≥0，即a≤2＋eq\f(yeq\o\al(2,0),8)恒成立．而2＋eq\f(yeq\o\al(2,0),8)的最小值為2，所以a≤2.答案：(－∞，2]三、解答題15．設(shè)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為e＝eq\f(\r(3),2)，M是橢圓C上的一點(diǎn)，且點(diǎn)M到橢圓C兩焦點(diǎn)的距離之和為4.(1)求橢圓C的方程；(2)過橢圓C的左頂點(diǎn)A的直線l交橢圓于另一點(diǎn)B，P(0，t)是y軸上一點(diǎn)，滿足|PA|＝|PB|，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝4，求實(shí)數(shù)t的值．解：(1)由已知得2a＝4，則a＝2，又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，所以c＝eq\r(3)，b2＝1，所以橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)易知A(－2，0)，設(shè)B(x1，y1)，根據(jù)題意可知直線l的斜率存在，可設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y＝k(x＋2)，把它代入橢圓C的方程，消去y，整理得：(1＋4k2)x2＋16k2x＋(16k2－4)＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系得－2＋x1＝eq\f(－16k2,1＋4k2)，則x1＝eq\f(2－8k2,1＋4k2)，y1＝k(x1＋2)＝eq\f(4k,1＋4k2).所以線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8k2,1＋4k2)，\f(2k,1＋4k2))).①當(dāng)k＝0時(shí)，則有B(2，0)，線段AB的垂直平分線為y軸，于是eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－2，－t)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(2，－t)，由eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝－4＋t2＝4，解得t＝±2eq\r(2).②當(dāng)k≠0時(shí)，則線段AB的垂直平分線的方程為y－eq\f(2k,1＋4k2)＝eq\f(－1,k)(x＋eq\f(8k2,1＋4k2))．因?yàn)镻(0，t)是線段AB垂直平分線上的一點(diǎn)，令x＝0，得t＝－eq\f(6k,1＋4k2)，于是eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－2，－t)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(x1，y1－t)，由eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝－2x1－t(y1－t)＝eq\f(4（16k4＋15k2－1）,（1＋4k2）2)＝4，解得：k＝±eq\f(\r(14),7)，代入t＝－eq\f(6k,1＋4k2)，解得t＝±eq\f(2\r(14),5).綜上，滿足條件的實(shí)數(shù)t的值為t＝±2eq\r(2)或t＝±eq\f(2\r(14),5).16．已知拋物線y2＝2px(p>0)，過點(diǎn)C(－2，0)的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝12.(1)求拋物線的方程；(2)當(dāng)以AB為直徑的圓與y軸相切時(shí)，求直線l的方程．解：(1)設(shè)l：x＝my－2，代入y2＝2px中，得y2－2pmy＋4p＝0.(*)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，則x1x2＝eq\f(yeq\o\al(2,1)yeq\o\al(2,2),4p2)＝4.因?yàn)閑q\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB