內(nèi)蒙古自治區(qū)呼倫貝爾市2024屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題（理）（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1內(nèi)蒙古自治區(qū)呼倫貝爾市2024屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題（理）第Ⅰ卷一、選擇題1.已知集合，，若中恰有三個(gè)元素，則由a的取值組成的集合為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)橹星∮腥齻€(gè)元素，所以或或，結(jié)合集合中元素的互異性，解得或或（舍去）或.故選：D．2.若，純虛數(shù)z滿足，則（）A.2 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)（，且），則，所以，，則.故選：B.3.設(shè)x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A.11 B.7 C.－1 D.－4〖答案〗A〖解析〗由約束條件作出可行域和目標(biāo)函數(shù)，變形為，由于為在軸上的截距，要想得到的最大值，只需得到在軸上的截距的最小值，顯然當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，取得最大值，聯(lián)立，解得，將代入，，當(dāng)直線l：經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，z取得最大值11．故選：A.4.已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，且，下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗B〖解析〗如圖，當(dāng)時(shí)，與可相交也可平行，故A錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，由平行性質(zhì)可知，必有，故B對；如圖，當(dāng)時(shí)，或，故C錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，可相交、平行，故D錯(cuò).故選：B.5.已知曲線在處的切線與直線垂直，則（）A.3 B. C.7 D.〖答案〗C〖解析〗由，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，由曲線在處切線與直線垂直，得，所以.故選：C.6.在中，，，，，則（）A. B.4 C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，，又，，，則.故選：A.7.橢圓E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，若E上恰有4個(gè)不同的點(diǎn)P，使得為直角三角形，則E的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)E的上頂點(diǎn)為A，因?yàn)镋上恰有4個(gè)不同的點(diǎn)P，使得為直角三角形，所以，則，所以，即，故E的離心率的取值范圍為．故選：D8.已知變量x與y具有線性相關(guān)關(guān)系，在研究變量x與y之間的關(guān)系時(shí)，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)后得到了一組樣本數(shù)據(jù)，利用此樣本數(shù)據(jù)求得的線性回歸方程為，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)和誤差較大，剔除這兩對數(shù)據(jù)后，求得的線性回歸方程為，且，則（）A.8 B.12 C.16 D.20〖答案〗C〖解析〗設(shè)沒剔除兩對數(shù)據(jù)前的，的平均數(shù)分別為，，剔除兩對數(shù)據(jù)后的，的平均數(shù)分別為，，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)閮蓪?shù)據(jù)為和，所以，所以，所以，解得.故選：C.9.已知函數(shù)在上的圖象大致如圖所示，則的最小正周期為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由圖可知，，則．，．解得，，故，則，所以，故的最小正周期為．故選：B10.已知遞增數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則k的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗當(dāng)時(shí)，，即，則.當(dāng)時(shí)，由，得，得，則，易知，即.又，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列.又單調(diào)遞增，所以，解得.故選：C.11.在半徑為5的球體內(nèi)部放置一個(gè)圓錐，則該圓錐體積的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題知，如圖，當(dāng)圓錐體積最大時(shí)，此時(shí)圓錐內(nèi)接于球，球心在圓錐的高上，設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為，則，所以該圓錐的體積，則．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．故當(dāng)時(shí)，V取得最大值，且最大值為．故選：A.12.已知定義在R上的函數(shù)滿足．若的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且，則（）A.0 B.50 C.2509 D.2499〖答案〗D〖解析〗因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，即，從而，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱．由，可得．令，得，則的圖象關(guān)于直線對稱．，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則有，所以，，兩式相減得，故是以4為周期的函數(shù)．因?yàn)?，，，，所以．故選：D.第Ⅱ卷二、填空題13.在等差數(shù)列中，，則的前19項(xiàng)和______．〖答案〗76〖解析〗設(shè)的公差為d，則，即．故．故〖答案〗為：76.14.已知，是方程的兩個(gè)根，則______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，是方程的兩個(gè)根，所以，，則，所以．故〖答案〗為：15.為了響應(yīng)中央的號召，某地教育部門計(jì)劃安排甲、乙、丙、丁等6名教師前往四個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)支教，要求每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少安排1名教師，則甲、乙在同一鄉(xiāng)鎮(zhèn)支教且丙、丁不在同一鄉(xiāng)鎮(zhèn)支教的安排方法共有______種．〖答案〗〖解析〗若這6名教師的分組為3，1，1，1，則甲、乙必在三人組中，丙、丁分開，不同的安排方法有種；若這6名教師的分組為2，2，1，1，則甲、乙必在二人組中，丙、丁分開，不同的安排方法有種．故不同的安排方法共有種．故〖答案〗為：.16.已知分別是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，是的左支上一點(diǎn)，過作角平分線的垂線，垂足為為坐標(biāo)原點(diǎn)，則______.〖答案〗2〖解析〗雙曲線的實(shí)半軸長為，延長交直線于點(diǎn)，由題意有，，又是中點(diǎn)，所以，故〖答案〗為：2.三、解答題（一）必考題17.已知的內(nèi)角的對邊分別為，且．（1）求；（2）若，，求的面積．解：（1）因?yàn)橹?，由正弦定理得，所以，又由余弦定理可得，所以，即，因?yàn)?，所以．?）由（1）可知，，因，，所以，則的面積．18.為提升基層綜合文化服務(wù)中心服務(wù)效能，廣泛開展群眾性文化活動，某村干部在本村的村民中進(jìn)行問卷調(diào)查，將他們的成績（滿分：100分）分成7組：.整理得到如下頻率分布直方圖.（1）求的值并估計(jì)該村村民成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；（2）從成績在內(nèi)的村民中用分層抽樣的方法選取6人，再從這6人中任選3人，記這3人中成績在內(nèi)的村民人數(shù)為，求的分布列與期望.解：（1）由圖可知，，解得，該村村民成績的平均數(shù)約為；（2）從成績在內(nèi)的村民中用分層抽樣的方法選取6人，其中成績在的村民有人，成績在的村民有4人，從中任選3人，的取值可能為1,2,3，，，，則的分布列為123故19.如圖，在四棱錐中，平面平面，底面為菱形，，是的中點(diǎn).（1）證明：平面平面.（2）求二面角的余弦值.（1）證明：取中點(diǎn)，連接，如圖，因?yàn)樗倪呅问橇庑吻?，所以和都是正三角形，又是中點(diǎn)，所以，，從而有，又，所以是矩形．又，所以，所以，即是等腰直角三角形，所以，，又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量是，則，取得，設(shè)平面的一個(gè)法向量是，則，取得，，所以，所以平面平面；（2）解：設(shè)平面的一個(gè)法向量是，則，取得，設(shè)二面角的大小為，由圖知為銳角，所以．20.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，已知點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離的最大值為6.（1）求拋物線的方程.（2）設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，直線與軸分別相交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），且是線段的中點(diǎn)，試判斷直線是否經(jīng)過定點(diǎn).若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說明理由.解：（1）點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最大距離為，即，得,故拋物線的方程為.（2）設(shè)，則方程為，方程為,聯(lián)立與拋物線方程可得，即,因此點(diǎn)縱坐標(biāo)為，代入拋物線方程可得點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為,同理可得點(diǎn)坐標(biāo)為,因此直線的斜率為,代入點(diǎn)坐標(biāo)可以得到方程為,整理可以得到,因此經(jīng)過定點(diǎn).21.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，證明：有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍．（3）證明：．（1）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)?，則，令，則在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，則，即在上恒成立，在上單調(diào)遞增，而，，所以根據(jù)零點(diǎn)存在定理知，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．（2）解：當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，令，求導(dǎo)得，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，則，于是當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，因此，所以a取值范圍為．（3）證明：由（2）可知，當(dāng)時(shí)，有，則，因此，所以．（二）選考題［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］22.在直角坐標(biāo)系xOy中，傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為．（1）求l和C的直角坐標(biāo)方程；（2）若l和C恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求．解：（1）消去參數(shù)t，得l的直角坐標(biāo)方程；由，得C的直角坐標(biāo)方程，即．（2）由（1）知，C是以為圓心，為半徑的圓，由l和C恰有一個(gè)公共