黑龍江省雙鴨山市饒河縣2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1黑龍江省雙鴨山市饒河縣2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1.的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗故選：C.2.在空間直角坐標(biāo)系中，，則的值為（）A.0 B.1 C.2 D.-1〖答案〗A〖解析〗因為，又，所以，解得，故選：A.3.已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗，故虛部為.故選：C4.已知橢圓的方程為，且離心率為，則下列選項中不滿足條件的為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗橢圓的方程為，則該橢圓的長短半軸長分別為，離心率，解得，對于A，，A符合；對于B，，B符合；對于C，，C不符合；對于D，，D符合.故選：C5.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，的分布密度曲線如圖所示，若，則與分別為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意，且，則，由正態(tài)曲線得，所以．故選：C．6.根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)得到回歸直線方程，其中，則時y的估計值是（）x2345y25385055A.73.5 B.64.5 C.61.5 D.57.5〖答案〗A〖解析〗因為回歸直線方程必過，由題中表格數(shù)據(jù)得，則，故，則當(dāng)時，，故選：A．7.由數(shù)字組成的各位上沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，從小到大排列第88個數(shù)為（）A.42031 B.42103 C.42130 D.42301〖答案〗C〖解析〗由數(shù)字組成各位上沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，1在萬位的有（個）；2在萬位的有（個）；3在萬位的有（個）；4在萬位的有（個）；則從小到大排列第88個數(shù)為4在萬位的五位數(shù).4在萬位0在千位的有（個）；4在萬位1在千位的有（個）；4在萬位2在千位的有（個），則從小到大排列第88個數(shù)為4在萬位2在千位的五位數(shù).4在萬位2在千位的五位數(shù)從小到大排列依次為：則從小到大排列第88個數(shù)為.故選：C8.已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的前項和為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗∵數(shù)列滿足，且，∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，∴，∴數(shù)列的前項和為，.故選：B.二、多選題9.若，則（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗由可得：，令，則，解得：，故B正確，A不正確；所以，令，則，故C正確，D不正確故選：BC10.“蘇州碼子”發(fā)源于蘇州，作為一種民間的數(shù)字符號流行一時，被廣泛應(yīng)用于各種商業(yè)場合.“蘇州碼子”0~9的寫法依次為○?丨?刂?川?ㄨ??〦?〧?〨?攵.某鐵路的里程碑所刻數(shù)代表距離始發(fā)車站的里程，如某處里程碑上刻著的“○”代表距離始發(fā)車站的里程為0公里，刻著“〦○”代表距離始發(fā)車站的里程為60公里，已知每隔3公里擺放一個里程碑，若在A點(diǎn)處里程碑上刻著“川攵”，在B點(diǎn)處里程碑上刻著“〨ㄨ”，則（）A.從始發(fā)車站到A點(diǎn)的所有里程碑個數(shù)為14B.從A點(diǎn)到B點(diǎn)的所有里程碑個數(shù)為16C.從A點(diǎn)到B點(diǎn)的所有里程碑上所刻數(shù)之和為987D.從A點(diǎn)到B點(diǎn)的所有里程碑上所刻數(shù)之和為984〖答案〗ABD〖解析〗由題意知，A點(diǎn)處里程碑刻著數(shù)字，B點(diǎn)處里程碑刻著數(shù)字84，里程碑上的數(shù)字成等差數(shù)列，公差為3，則從始發(fā)車站到A點(diǎn)的所有里程碑個數(shù)為，A選項正確；從A點(diǎn)到點(diǎn)的所有里程碑個數(shù)為，B選項正確；從A點(diǎn)到點(diǎn)的所有里程碑上的數(shù)字之和為，D選項正確，則C選項錯誤；故選：ABD.11.如圖所示，一個平面圖形的直觀圖為，其中，則下列說法中正確的是（）A.該平面圖形是一個平行四邊形但不是正方形B.該平面圖形的面積是8C.該平面圖形繞著直線旋轉(zhuǎn)半周形成的幾何體的體積是D.以該平面圖形為底，高為3的直棱柱的體對角線長為〖答案〗BC〖解析〗如圖所示將直觀圖還原為平面圖形，由題意可得，AC=4=BD，故該平面圖形為正方形.即A錯誤；面積，即B正確；將平面圖形繞直線AC旋轉(zhuǎn)半周得幾何體為兩個圓錐，底面半徑均為2，故體積，即C正確；以該平面圖形為底，高為3的直棱柱其實為長方體，體對角線長為，即D錯誤.故選：BC12.已知直線與圓：相交于A，B兩點(diǎn)，則（）A.直線過定點(diǎn)B.若的面積取得最大值，則C.的最小值為D.線段的中點(diǎn)在定圓上〖答案〗ACD〖解析〗直線即直線，聯(lián)立，解得，，所以直線過定點(diǎn)，故A正確；因為，所以的面積取得最大值時，利用勾股關(guān)系得到直線的距離為，所以，解得或，故B錯誤；，要使取到最小值，只需取最大，在中，，所以取最大時，弦長AB最短，當(dāng)直線AB與原點(diǎn)和點(diǎn)直線垂直時，弦長AB最短，因為原點(diǎn)C到點(diǎn)的距離為，此時，，所以，故C正確；聯(lián)立，得，設(shè)，，則，從而，設(shè)的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，消去，可得，所以線段的中點(diǎn)在定圓上，故D正確.故選：ACD.三、填空題13.展開式中的系數(shù)為______.〖答案〗135〖解析〗展開式的通項公式為，令，解得，所以含的項的系數(shù)為.故〖答案〗為：135.14.已知是奇函數(shù)，則實數(shù)__________．〖答案〗2〖解析〗由題意得，所以，解得．15.如圖，唐金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯出土于西安，這件金杯整體造型具有玲瓏剔透之美，充分體現(xiàn)唐代金銀器制作的高超技藝，是唐代金銀細(xì)工的典范之作．該杯主體部分的軸截面可以近似看作雙曲線的一部分，設(shè)該雙曲線的方程為，右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，且，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為__________．〖答案〗〖解析〗如圖所示，設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為點(diǎn)，連接，設(shè)，則，由雙曲線的定義可得，由于，則,又，則四邊形為矩形，在中，由勾股定理得，即，解得，在中，由勾股定理得，即，．故〖答案〗為：.16.已知函數(shù)，若在定義域上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是________．〖答案〗〖解析〗依題意，當(dāng)時，恒成立，即恒成立，所以，在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，則，由得，由得所以函數(shù)在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，所以，函數(shù)在處取得極小值也即是最小值，故，所以，，即實數(shù)的取值范圍是故〖答案〗為：.四、解答題17.已知函數(shù).（1）求最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的值域.解：（1）因為，即函數(shù)的最小正周期，由，解得，即在上單調(diào)遞增，所以，函數(shù)的最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）因為，則，所以，所以，所以在區(qū)間上的值域為.18.設(shè)是等差數(shù)列，其前n項和為，是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，其前n項和為，且，，.（1）求，的通項公式；（2）求的最小值.解：（1）設(shè)的公差為d，數(shù)列的公比為，則，解得，∴，由，解得，（舍去），∴；（2）由題可知，，∴，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，遞增，即，∴的最小值為.19.2022年北京冬奧會的申辦成功與“3億人上冰雪”口號的提出，將冰雪這個冷項目迅速炒“熱”．北京某綜合大學(xué)計劃在一年級開設(shè)冰球課程，為了解學(xué)生對冰球運(yùn)動的興趣，隨機(jī)從該校一年級學(xué)生中抽取了100人進(jìn)行調(diào)查，其中女生中對冰球運(yùn)動有興趣的占，而男生有10人表示對冰球運(yùn)動沒有興趣．（1）完成下面的列聯(lián)表，并回答能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為“對冰球是否有興趣與性別有關(guān)”？有興趣沒興趣合計男55女合計（2）若將頻率視為概率，現(xiàn)再從該校一年級全體學(xué)生中，采用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1名學(xué)生，抽取5次，記被抽取的5名學(xué)生中對冰球有興趣的人數(shù)為，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求的分布列、期望和方差．附表：0.1500.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635參考公式：解：（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：有興趣沒有興趣合計男451055女301545合計7525100根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到，，所以能在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下可以認(rèn)為“對冰球是否有興趣與性別有關(guān)”.（2）由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)可知，對冰球有興趣的學(xué)生頻率是，將頻率視為概率，即從大一學(xué)生中抽取一名學(xué)生，對冰球有興趣的概率是，由題意知，從而X的分布列為：X012345，.20.如圖所示，在三棱錐中，平面，，，，，.（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角余弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離.解：（1）以為原點(diǎn)，??所在直線分別為??軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖則，，，，取的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)因為所以，又，所以，所以，四邊形為平行四邊形，又，所以，由所以，故，∵，，，∴，，即，，∵，平面，平面，∴平面；（2）由（1）可知為平面的一個法向量，設(shè)平面的法向量為，而，，則，令，可得，設(shè)平面與平面CSD的夾角為，∴，即平面ASD與平面CSD的夾角的余弦值為；（3），平面的法向量為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，∴，即點(diǎn)到平面的距離為.21.在橢圓C：，，過點(diǎn)與的直線的斜率為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)F為橢圓C的右焦點(diǎn)，P為直線上任意一點(diǎn)，過F作PF的垂線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)取最大值時，求直線MN的方程．解：（1）過點(diǎn)與的直線的斜率為，所以，即，又，即，解得，．所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是．（2）如圖所示，由題知，設(shè)點(diǎn)，則直線FP的斜率為．當(dāng)時，直線MN的斜率，直線MN的方程是；當(dāng)時，直線MN的方程是，也符合的形式，將直線MN的方程代入橢圓方程得，且，設(shè)，，則，，所以．又，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，由，解得，即當(dāng)時取最大值時，此時直線MN的方程為或．22.設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個極值點(diǎn)，①求a的取值范圍；②證明：．解：（1）當(dāng)時，，故，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）①，依據(jù)題意可知有兩個不等實數(shù)根，即有兩個不等實數(shù)根．