2021年上海市八年級數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)-第19章幾何證明壓軸題專練(學(xué)生版)

第19章幾何證明壓軸題專練1.如圖，已知△ABC中，求證：∠A+∠B+∠C=180°證明：過BC上一點(diǎn)D，分別作________，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，因?yàn)開__________________，所以∠A=______．同理∠B=______，∠C=______．因?yàn)開________________，所以_________________．因?yàn)椤螮DB+∠EDF+∠FDC=180°（ ），所以_________________．2.判斷下列命題的真假，若是假命題，舉出反例．如果兩個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等；有兩邊及第三邊上的高對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．3.寫出下列命題的逆命題，判斷逆命題的真假，并說明其中哪些是逆定理．（1）等腰三角形兩腰上的中線相等；（2）內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；（3）等邊對等角；（4）兩條平行直線被第三條直線所截，截得的同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直．4.如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠C，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC．求證：BE∥DF．5.如圖，AB∥CD，分別探討下面4個(gè)圖形中∠BPD、∠ABP、∠CDP的關(guān)系，（直接寫出關(guān)系即可），并對第3個(gè)圖得到的關(guān)系進(jìn)行證明（至少用兩種方法）．6.如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠DCB，AB=CD，AE=DF.求證：BF=CE；當(dāng)點(diǎn)E、F相向運(yùn)動(dòng)，形成圖2時(shí)，BF和CE還相等嗎?證明你的結(jié)論．7.如圖，已知△ABD、△ACE都是等腰直角三角形，∠DAB=∠EAC=90°，判斷BE和CD的位置及長度關(guān)系，并證明．8.如圖，三角形ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD是BC邊的中線，CE⊥AD，BF⊥BC，CF與AB、BF分別相交于點(diǎn)E、F，聯(lián)結(jié)DE，求證：∠1=∠2．9.已知A、C、E在同一直線上，△ABC和△CDE都是等邊三角形，M、N分別是AD、BE的中點(diǎn)，求證：△CMN是等邊三角形．10.如圖，在△ABC中，°，點(diǎn)D在AC上且．求證：BD平分．11.如圖，已知，°，BD平分．求證：．12.已知：如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，△ADB是等邊三角形，點(diǎn)C在△ADB的內(nèi)部，DE⊥AC交直線AC于點(diǎn)E．（1）求證：DE=CE；（2）若點(diǎn)C在△ADB外部，DE=CE的關(guān)系是否成立?如不成立，請說明理由；如成立，請證明．13.如圖，在直角△ABC和直角△ADE中，∠C=∠E=90°，BC=DE，∠BAE=∠DAC，BC與DE交于點(diǎn)F，求證：BF=DF．14.如圖，已知在△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=a，在線段AC上有動(dòng)點(diǎn)M，在射線CB上有動(dòng)點(diǎn)N，且AM=BN，連接MN交AB于點(diǎn)P．（1）當(dāng)點(diǎn)M在邊AC（與點(diǎn)A、C不重合）上，線段PM與線段PN之間有怎樣的大小關(guān)系?試證明你的結(jié)論．（2）過點(diǎn)M作邊AB的垂線，垂足為點(diǎn)Q，隨著M、N兩點(diǎn)的移動(dòng)，線段PQ的長能確定嗎?若能確定，請求出PQ的長；若不能確定，請簡要說明理由．15.已知：如圖，△ABC是等邊三角形，BD=DC，∠BDC=120°，∠MDN=60°，求證：．16.如圖，正方形ABCD中，E、F分別是AD、DC上的點(diǎn)，且∠EBF=45°，求證：AE+CF=EF；若BF=，BC=1，求BE的長．17.已知，如圖，在△ABC外作正方形ABDE和ACGF，M是BC的中點(diǎn)．求證：．18.已知：如圖，在△ABC中，BD=DC，ED⊥DF．求證：BE+CF>EF．19.已知：如圖，點(diǎn)M是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，射線ME、MF互相垂直，且分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，連接EF．求證：線段BE、CF、EF能夠成一個(gè)三角形；若∠A=120°，且BE=CF，試判斷BE、CF、EF所構(gòu)成三角形的形狀，并證明．20.如圖所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，M是BC的中點(diǎn)，MF//DA交BA的延長線于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，求證：BE=CF．21.已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB交CD于F，過F作FH∥AB，交BC于H．求證：CE=BH．（提示：平行四邊形的對邊相等，對角相等）22.如圖，在△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分AB，F(xiàn)M垂直平分AD，GN垂直平分BD，求證：AF=FG=BG．23.如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于N，交BC的延長線于M，∠A=40°，（1）求∠NMB的大??；（2）如果將（1）中的度數(shù)改為70°，其余條件不變，再求∠NMB的度數(shù)；（3）若∠A=α，你發(fā)現(xiàn)了怎樣的規(guī)律，并證明之；（4）將（1）中的∠A改為鈍角，對這個(gè)問題規(guī)律性的認(rèn)識是否要加以修改．24.如圖，在直角△ABC中，AD是斜邊BC上的高，BF平分∠ABC，交AC于點(diǎn)F、AD于點(diǎn)E，EG∥BC交AC于點(diǎn)G，求證：AF=CG．25.如圖，以△ABC兩邊AB、AC為邊，向外作等邊△ABD和等邊△ACE，連接BE、CD交于F點(diǎn)，CD交AB于點(diǎn)G，BE交AC于點(diǎn)H，求證：AF平分∠DFE．26.如圖，在△ABC中，∠CAB和∠ABC的平分線AD、BE交于點(diǎn)P，連接CP．求證：CP平分∠ACB；如圖1，當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，求證：EP=DP；如圖2，當(dāng)△ABC不是等邊三角形，但∠ACB=60°，（2）中的結(jié)論是否還成立?若成立，請證明；若不成立，請說明理由．27.如圖，在△ABC中，OE、OF分別是邊AB、AC的垂直平分線，∠OBC、∠OCB的平分線相交于點(diǎn)G，判斷OG與BC的位置關(guān)系，并證明你的判斷．28.已知，AC⊥BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，判斷下面四個(gè)結(jié)論中哪些成立，（1）AD平分∠CDE；（2）∠BAC=∠BDE；（3）DE平分∠ADB；（4）BD+AC>AB哪些不成立，成立的說明理由，不成立的在原有條件的基礎(chǔ)上，添加條件使之成立，并證明．29.如圖，AD是等腰△ABC底邊上的高，E、F為AD上兩點(diǎn)，且∠ABE=∠EBF=∠FBC，聯(lián)結(jié)CF并延長交AB于點(diǎn)G．求證：（1）△GBF為等腰三角形；（2）GE∥BF．30.在直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直線l為經(jīng)過點(diǎn)A的任一直線，BD⊥l于點(diǎn)D，CE⊥l于點(diǎn)E，若BD>CE，試問：AD與CE的大小關(guān)系如何?請說明理由；線段BD、DE、CE之間的數(shù)量關(guān)系如何?你能說明清楚嗎?試一試．31.如圖，在△ABC中，AB=AC，DE是過點(diǎn)A的直線，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E．若BC在DE的同側(cè)（如圖1），且AD=CE，求證：AB⊥AC．若BC在DE的兩側(cè)（如圖2），其他的條件不變，問AB與AC仍垂直嗎?若是，請予以證明，若不是，請說明理由．32.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的高，在AB上截取AE=AC，過點(diǎn)E作EF∥CD、交BC邊于點(diǎn)F，EG垂直BC于點(diǎn)G，求證：DE=EG．33.如圖，已知在鈍角ABC中，AC、BC邊上的高分別是BE、AD，BE、AD的延長線交于點(diǎn)H，點(diǎn)F、G分別是BH、AC的中點(diǎn)．（1）求證：∠FDG=90°；（2）連結(jié)FG，試問FDG能否為等腰直角三角形?若能，試確定ABC的度數(shù)，并寫出你的推理過程；若不能，請簡要說明理由．34.如圖，點(diǎn)A、B、C在同一直線上，在直線AC的同側(cè)作△ABE和△BCF，連接AF、CE，取AF、CE的中點(diǎn)M、N，連接MB、NB、NM．若△ABE和△FBC是等腰直角三角形，且∠ABE=∠FBC=90°，如圖1所示，則△MBN是_____________三角形；若△ABE和△FBC中，BA=BE，BC=BF，且∠ABE=∠FBC=，如圖2所示，則△MBN是_____________三角形，且∠MBN=_______；若（2）中的△ABE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一定的角度，如圖3，其他的條件不變那么（2）中的結(jié)論是否成立?若成立，給出你的證明，若不成立，寫出正確的結(jié)論并給出證明．35.已知，如圖，在△ABC中，邊AB上的高CF、邊BC上的高AD與邊CA上的高BE交于點(diǎn)H，連接EF，AH和BC的中點(diǎn)為N、M．求證：MN是線段EF的中垂線．36.在△ABC中，已知∠A=60°，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，點(diǎn)D是BC中點(diǎn).（1）如果AB=AC，求證△DEF為等邊三角形；（2）如果AB≠AC，試猜想△DEF是不是等邊三角形，若是，請加以證明，若不是，請說明理由；（3）如果CM=4，F(xiàn)M=5，求BE的長度．37.已知∠MAN，AC平分∠MAN，（1）在圖1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求證：AB+AD=AC.（2）在圖2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，則(1)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．38.如圖，AB兩個(gè)村子在河邊CD的同側(cè)，A、B兩村到河邊的距離分別為AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米．現(xiàn)在河邊CD建一座水廠，建成后的水廠，可以直接向A、B兩村送水，也可以將水送一村再轉(zhuǎn)送另一村．鋪設(shè)水管費(fèi)用為每千米2萬元，試在河邊CD選擇水廠位置P確定方案，使鋪設(shè)水管費(fèi)用最低，并求出鋪設(shè)水管的總費(fèi)用（精確到0.01萬元）．39.如圖，在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，E、F是BC上的兩點(diǎn)，且∠EAF=45°，求證：．40.如圖，ABC是等邊三角形，P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度數(shù)．41.如圖，P是凸四邊形內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)P作AB、BC、CD、DA的垂線，垂足分別為E、F、G、H，已知AH=3，DH=4，DG=1，GC=5，