橢圓的幾何性質(zhì)（原卷版）

橢圓的幾何性質(zhì)TOC\o"13"\h\z\u題型1橢圓的幾何性質(zhì) 2題型2點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系 4題型3離心率取值問(wèn)題 5題型4離心率取值范圍 7◆類型1根據(jù)a,b,c的不等關(guān)系求離心率取值范圍 7◆類型2臨界關(guān)系求離心率的取值范圍 8◆類型3根據(jù)幾何性質(zhì)求離心率的取值范圍 8◆類型4根據(jù)題目的條件求離心率的取值范圍 10題型5直線與橢圓的位置關(guān)系 12◆類型1過(guò)定點(diǎn)型 12◆類型2聯(lián)立方程型 12題型6弦長(zhǎng)問(wèn)題 13◆類型1不含參數(shù)型 13◆類型2含參數(shù)型 14題型7中點(diǎn)弦問(wèn)題 15題型8解答題 16焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)范圍－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)＝eq\a\vs4\al(2a)，短軸長(zhǎng)＝eq\a\vs4\al(2b)焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|＝eq\a\vs4\al(2c)對(duì)稱性對(duì)稱軸x軸和y軸，對(duì)稱中心(0,0)離心率e＝eq\f(c,a)(0<e<1)知識(shí)點(diǎn)二.橢圓的離心率1.定義：e＝eq\f(c,a).2.離心率的范圍為：(0,1).2.公式拓展：e＝eq\f(c,a)=1-b2a3.e越大，橢圓越扁平；e越小，橢圓越接近于圓.題型1橢圓的幾何性質(zhì)【例題1】（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）求下列各橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距、頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率：(1)x2(2)x2(3)4x【變式11】1.（多選）（2023秋·河南焦作·高二?？茧A段練習(xí)）已知橢圓x216+A．13 B．13 C．19 D．19【變式11】2.（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）曲線x225+A．長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等 B．焦距相等 C．離心率相等 D．短軸長(zhǎng)相等【變式11】3.（2024秋·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓E的方程為x2+(y-2)A．長(zhǎng)軸長(zhǎng)為16 B．短軸長(zhǎng)為4C．焦距為2 D．焦點(diǎn)為-2,0【變式11】4.（多選）（2022秋·浙江嘉興·高二校考期中）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C:xA．PB．橢圓的焦距為2C．點(diǎn)P到左焦點(diǎn)F1距離的最大值為D．∠F1【變式11】5.（多選）（2022秋·河北邯鄲·高二校考階段練習(xí)）已知橢圓C：x2m+y2A．6+25 B．6+45【變式11】6.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，用一束與平面α成60°角的平行光線照射半徑為3的球O，在平面α上形成的投影為橢圓C及其內(nèi)部，則橢圓C的（

）A．長(zhǎng)軸長(zhǎng)為3 B．離心率為2C．焦距為2 D．面積為3【變式11】7.（2023·江西九江·統(tǒng)考一模）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2，過(guò)F2A．3 B．6 C．62 D．【變式11】8.（多選）（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖所示，“嫦娥五號(hào)”月球探測(cè)器飛行到月球附近時(shí)，首先在以月球球心F為圓心的圓形軌道Ⅰ上繞月球飛行，然后在P點(diǎn)處變軌進(jìn)入以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月球飛行，最后在Q點(diǎn)處變軌進(jìn)入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月球飛行，設(shè)圓形軌道Ⅰ的半徑為R，圓形軌道Ⅲ的半徑為r，則（

）A．軌道Ⅱ的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為R+rB．軌道Ⅱ的焦距為R-rC．若R不變，r越小，軌道Ⅱ的短軸長(zhǎng)越大D．若r不變，R越大，軌道Ⅱ的離心率越小題型2點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系【方法總結(jié)】點(diǎn)P(x0，y0)與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置關(guān)系：點(diǎn)P在橢圓上?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1；點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)<1；點(diǎn)P在橢圓外部?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)>1.【例題2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）若點(diǎn)3,2在橢圓x2A．點(diǎn)-3,-2不在橢圓上 B．點(diǎn)3,-2不在橢圓上C．點(diǎn)-3,2在橢圓上 D．無(wú)法判斷上述點(diǎn)與橢圓的關(guān)系【變式21】1.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）點(diǎn)P(4cosα，23sinα)(α∈R)與橢圓C：x24＋yA．點(diǎn)P在橢圓C上 B．點(diǎn)P與橢圓C的位置關(guān)系不能確定，與α的取值有關(guān)C．點(diǎn)P在橢圓C內(nèi) D．點(diǎn)P在橢圓C外【變式21】2.（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）點(diǎn)Aa,1在橢圓xA．-2,C．-2,2 D．-1,1【變式21】3.（2022秋·遼寧葫蘆島·高三校聯(lián)考期中）函數(shù)y=a3-x（a>0，且a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在橢圓x2m+y2A．12 B．14 C．16 D．18【變式21】4.（多選）（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知曲線C:mxA．0<m<12 B．CC．m的值越小，C的焦距越大 D．C的短軸長(zhǎng)的取值范圍是0,2【變式21】5.（2023·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)點(diǎn)Px,y是曲線x225+yA．PF1C．PF1題型3離心率取值問(wèn)題【方法總結(jié)】1．橢圓的離心率的求法：(1)直接求a，c后求e，或利用e＝eq\r(1－\f(b2,a2))，求出eq\f(b,a)后求e.(2)將條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b，c的關(guān)系式，利用b2＝a2－c2消去b.等式兩邊同除以a2或a4構(gòu)造關(guān)于eq\f(c,a)(e)的方程求e.2．求離心率范圍時(shí)，常需根據(jù)條件或橢圓的范圍建立不等式關(guān)系，通過(guò)解不等式求解，注意最后要與區(qū)間(0,1)取交集．【例題3】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),O為橢圓的對(duì)稱中心，A．32 B．5-12 C．【變式31】1.（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2，點(diǎn)P是橢圓C上位于第一象限的一點(diǎn)，且A．217 B．3311 C．7【變式31】2.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知右焦點(diǎn)為F的橢圓E：x2a2+y2b2=1a>b>0上的三點(diǎn)A，B，C滿足直線A．22 B．75 C．3【變式31】3.（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦點(diǎn)為F1A．14,12 B．1【變式31】4.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的上頂點(diǎn)為【變式31】5.（2022秋·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知F1、F2為橢圓x2a2+y2題型4離心率取值范圍【方法總結(jié)】橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式e=c②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2◆類型1根據(jù)a,b,c的不等關(guān)系求離心率取值范圍【例題41】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）橢圓x25a+A．（0，15） B．（15，C．0,55【變式41】1.（2023春·海南·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知橢圓x2A．0,55 B．0,12【變式41】2.（2023秋·高二單元測(cè)試）已知橢圓的焦距不小于短軸長(zhǎng)，則橢圓的離心率的取值范圍為．【變式41】3.（2023秋·河南洛陽(yáng)·高三?？茧A段練習(xí)）已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別為A．2-1,1 B．2-1,1 C．0,◆類型2臨界關(guān)系求離心率的取值范圍【例題42】2023秋·高二單元測(cè)試）橢圓C:x2a2+y2b2A．0,12 B．12【變式42】1.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若橢圓x2a2+y2b【變式42】2.（2022秋·河南商丘·高二?？茧A段練習(xí)）已知圓C1:x2+y2=b2與橢圓C2:xaA．[32C．22,【變式42】3.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）過(guò)原點(diǎn)作一條傾斜角為θθ∈π6,5【變式42】4.(2023·廣西南寧·南寧市武鳴區(qū)武鳴高級(jí)中學(xué)?？级＃┰O(shè)F1、F2分別為橢圓x2a2+y◆類型3根據(jù)幾何性質(zhì)求離心率的取值范圍【例題43】（2023春·甘肅張掖·高三高臺(tái)縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若橢圓E:x2+y21-m2=1A．0,12 B．12,1【變式43】1.（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓C：x2a2+y2bA．0，3C．35，【變式43】2.（2021·陜西西安·統(tǒng)考一模）已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，半焦距為【變式43】3.（2021秋·陜西漢中·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為B，直線l:x-y=0與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，滿足|MF|+|NF|=4，且點(diǎn)B到直線l的距離不小于22，則橢圓C的離心率eA．0,32 B．32,1【變式43】4.（2023秋·重慶南岸·高三重慶市第十一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）橢圓x2a2+y2b2=1A．0，4C．0，17【變式43】5.（2022秋·山東淄博·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若F1、F2為橢圓C：x2a2+y2b2=1的左、右焦點(diǎn)，焦距為4，點(diǎn)P為C【變式43】6.（2023秋·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足MFA．(0，12) B．(0【變式43】7.（2023秋·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)Px0,y0是橢圓C:x2a2A．0,22 B．0,22【變式43】8.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)F1、F2分別是橢圓C:xA．0,12 B．0,13【變式43】9.（2023·海南·?？寄M預(yù)測(cè)）已知F是橢圓x2a2+yA．[32,1) B．(0,3【變式43】10.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C:x2aA．0,1 B．0,22 C．2【變式43】11.（2023·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C：x2a2+y2bA．0,12C．0,22【變式43】12.（2023春·湖南衡陽(yáng)·高三衡陽(yáng)市一中校考階段練習(xí)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2◆類型4根據(jù)題目的條件求離心率的取值范圍【例題44】（2023·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)M是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上頂點(diǎn)，A．22,1 B．0,22【變式44】1.（2023·吉林·吉林省實(shí)驗(yàn)?？寄M預(yù)測(cè)）橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，A1，A2，B1，B2分別為橢圓的左、右、上、下頂點(diǎn)，F(xiàn)2為其右焦點(diǎn)，直線B1FA．5-12,1 B．12【變式44】2.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為【變式44】3.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)F是橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點(diǎn)，點(diǎn)F關(guān)于直線【變式44】4.（2023·湖北黃岡·黃岡中學(xué)?？级＃┮阎狾為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線l與橢圓M:x2a2+y2b2【變式44】5.（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，∠PF【變式44】6.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2【變式44】7.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓x2a2+y2b2=1【變式44】8.（2023春·上海靜安·高二上海市新中高級(jí)中學(xué)校考期中）設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別為題型5直線與橢圓的位置關(guān)系【方法總結(jié)】直線y＝kx＋m與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置關(guān)系，判斷方法：聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消y得一元二次方程．當(dāng)Δ>0時(shí)，方程有兩解，直線與橢圓相交；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有一解，直線與橢圓相切；當(dāng)Δ<0時(shí)，方程無(wú)解，直線與橢圓相離．◆類型1過(guò)定點(diǎn)型【例題51】（2023秋·全國(guó)·高二期中）橢圓x28+A．相離 B．相交 C．相切 D．無(wú)法確定【變式51】1.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知橢圓C:x225A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【變式51】2.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線y=kx-k與橢圓x2A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【變式51】3.（2022秋·廣東深圳·高二深圳中學(xué)?？计谀┲本€y＝k（x﹣2）+1與橢圓x2A．相離 B．相交 C．相切 D．無(wú)法判斷◆類型2聯(lián)立方程型【例題52】（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)P(1,m)在橢圓x24+y2A．相離 B．相交 C．相切 D．相交或相切【變式52】1.（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）直線x=1與橢圓x2A．相離 B．相切 C．相交 D．無(wú)法確定【變式52】2.（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）直線y=x+1與橢圓x2A．相離 B．相切 C．相交 D．無(wú)法確定題型6弦長(zhǎng)問(wèn)題【方法總結(jié)】（1）定義：連接橢圓上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱為橢圓的弦．（2）求弦長(zhǎng)的方法①交點(diǎn)法：將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式來(lái)求．②根與系數(shù)的關(guān)系法：如果直線的斜率為k，被橢圓截得弦AB兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則弦長(zhǎng)公式為：|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\r(y1＋y22－4y1y2).◆類型1不含參數(shù)型【例題61】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）通過(guò)橢圓x2A．23 B．3 C．3【變式61】1.（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·嘉積中學(xué)?？既＃┮阎獧E圓C：x216+y27=1，F(xiàn)為橢圓C的左焦點(diǎn)，A為橢圓C的右頂點(diǎn)，B【變式61】2.（2022·高二課時(shí)練習(xí)）直線l：x+y-3=0，橢圓x24【變式61】3.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）過(guò)橢圓C：x26+y2【變式61】4.（2022秋·新疆烏魯木齊·高二烏市八中?？计谥校┮阎獧E圓x2a2+y2b2=1被直線y=-2x-2截得的弦長(zhǎng)為6，則直線①-2x-y+2=0【變式61】5.（2022秋·廣東江門·高二江門市培英高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎獧E圓的方程為x24+y23=1，左、右焦點(diǎn)分別為【變式61】6.（2022春·寧夏吳忠·高二?？奸_學(xué)考試）設(shè)橢圓C:x2a2+(1)求橢圓C的方程；(2)求橢圓C被直線y=x+1截得的弦長(zhǎng).◆類型2含參數(shù)型【例題62】（2023秋·全國(guó)·高二期中）已知橢圓E：x2m+A．kx+y+1=0 B．kx+y-1=0 C．kx-y-1=0 D．kx+y-2=0【變式62】1.（多選）（2023秋·山東聊城·高三校聯(lián)考期末）已知過(guò)點(diǎn)0,1的直線與橢圓x2+y22=1交于A．1 B．2 C．3 D．3【變式62】2.（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）直線y=2x+b被橢圓4x2+y2【變式62】3.（2022秋·湖南郴州·高二?？茧A段練習(xí)）直線y=kx-2與橢圓x2+4y2=80相交于不同的兩點(diǎn)P,Q,若PQ【變式62】4.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線l:y=2x+m和橢圓C:x24+y2=1，m【變式62】5.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）橢圓Cx24+y23=1上有一點(diǎn)P，若過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線l與C的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，并且滿足:原點(diǎn)O到l題型7中點(diǎn)弦問(wèn)題【方法總結(jié)】解決橢圓中點(diǎn)弦問(wèn)題的兩種方法：（1）根與系數(shù)關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決；（2）點(diǎn)差法：利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和【例題7】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知A、B為橢圓y24+x23=1上兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，MA．-23 B．-32【變式71】1.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）直線y=x-1被橢圓2xA．13,C．12,【變式71】2.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）橢圓4x2+9A．3x+2y-12=0 B．2x+3y-12=0C．4x+9y-14=0 D．9x+4y-14=0【變式71】3.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知橢圓x2a2+yA．12 B．22 C．3【變式71】4.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）阿基米德是古希臘著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率π等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F6,0A．123π B．93π題型8解答題【例題8】（2023·福建龍巖·統(tǒng)考二模）已知橢圓K:x2a2+y2b2