高三一輪復(fù)習：函數(shù)的概念與性質(zhì)復(fù)習（江蘇）

高三一輪復(fù)習

“函數(shù)的概念與性質(zhì)專題復(fù)習(江蘇)”

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教師姓名授課時長

知識定位

本講內(nèi)容：函數(shù)的解析式、定義域和值域的定義及其求解方法；函數(shù)的奇偶、單調(diào)性、對

稱性和周期性等性質(zhì)的判斷及其應(yīng)用；函數(shù)圖像及圖像的性質(zhì)應(yīng)用。

掌握目標：

1.學會求解包含參數(shù)的一元二次不等式；

2.掌握二次不等式與二次函數(shù)的綜合問題等難度相對較大的關(guān)于一元二次不等式的問題；

3.掌握一元高次不等式的解法提高

考試分析：求解函數(shù)解析式是高考重點考查內(nèi)容之一，需引起重視本節(jié)主要幫助考生在

深刻理解函數(shù)定義的基礎(chǔ)上，掌握求函數(shù)解析式的幾種方法，并形成能力，并培養(yǎng)考生的創(chuàng)

新能力和解決實際問題的能力

函數(shù)的值域及其求法是近幾年高考考查的重點內(nèi)容之一本節(jié)主要幫助考生靈活掌握

求值域的各種方法，并會用函數(shù)的值域解決實際應(yīng)用問題

函數(shù)的圖像與性質(zhì)是高考考查的重點內(nèi)容之一，它是研究和記憶函數(shù)性質(zhì)的直觀工具，

利用它的直觀性解題，可以起到化繁為簡、化難為易的作用因此，考生要掌握繪制函數(shù)圖

像的一般方法，掌握函數(shù)圖像變化的一般規(guī)律，能利用函數(shù)的圖像研究函數(shù)的性質(zhì).

函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是高考的重點內(nèi)容之一，考查內(nèi)容靈活多樣。特別是兩性質(zhì)的應(yīng)

用更加突出。本節(jié)主要幫助考生深刻理解奇偶性、單調(diào)性的定義，掌握判定方法，正確認識

單調(diào)函數(shù)與奇偶函數(shù)的圖象。幫助考生學會怎樣利用兩性質(zhì)解題，掌握基本方法，形成應(yīng)用

意識。

知識梳理

＞知識點一：函數(shù)的解析式、定義域和值域

函數(shù)的概念：設(shè)4、8是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系力使對于集合A

中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)式幻和它對應(yīng)，那么就稱/：A-B為從集

合A到集合8的一個函數(shù)。記作：y/x),*GA。其中，x叫做自變量，與x的值相對應(yīng)的

y值叫做函數(shù)值函數(shù)值的集合伏x)|xdA｝叫做函數(shù)的值域。

構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域。

函數(shù)的定義域：自變量x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的)，值叫做

函數(shù)值，函數(shù)值的集合伏x)|xGA｝叫做函數(shù)的值域。

函數(shù)的解析式：就是把兩個變量的函數(shù)關(guān)系，用一個等式來表示，這個等式叫做函數(shù)的

解析表達式，簡稱解析式；

函數(shù)的值域：函數(shù)值的集合伏x)|xGA｝叫做函數(shù)的值域。

令子知識點一：求解定義域的幾種常見類型

1.函數(shù)的解析式為整式時，定義域就是全體實數(shù)(R).

2.函數(shù)解析式為分式時，定義域取使分母不為零的實數(shù).

3.當函數(shù)的解析式為偶次根式時，定義域取被開方數(shù)非負的實數(shù).

4.當解析式是由偶次根式，分式等幾種式子構(gòu)成的式子，定義域取使各個式子成立的公共

部分(即交集)。

5.已知函數(shù)y=/(x)的定義域，求函數(shù)/［g(x)］的定義域.

此種類型的一般解法是：若函數(shù)/(x)的定義域為0,則函數(shù)/［g(x)］的定義域是

g(x)e。有意義的x的集合.

6.已知函數(shù)y［g(x)］的定義域，求函數(shù)/(x)的定義域。

此種題型屬于已知復(fù)合函數(shù)/'［g(x)］的定義域，求函數(shù)“X)的定義域.若復(fù)合函數(shù)

/［g(x)］的定義域為［。,目，則可求出g(x)的值域，即為函數(shù)“X)的定義域.

7.已知函數(shù)/［g(x)］的定義域，求函數(shù)/［〃(刈］的定義域.

此種題型其解題思路是，先由函數(shù)/［g(x)］的定義域，求出函數(shù)/(x)的定義域，再

由函數(shù)/(X)的定義域求出函數(shù)/［〃(力］的定義域。

8.實際問題中求函數(shù)的定義域.

9.已知函數(shù)/(x)的定義域為A,求參數(shù)的取值范圍.

【試題來源】

【題目】求下列函數(shù)的定義域：

(1)y=Jl-2cos2x

(2)y=4x+2+^-^-

2x-l

【答案】(1){x\k7r^-—<x<k7r+—,kGZ}

66

三目伍I教旨

【解析】⑴要使函數(shù)y=Jl—2cos2x有意義,必須且只需l-2cos2x20,即

IIT57r

cos2x<—，即2k7vT——<龍<左㈤+2—,原函數(shù)的定義域為

233

｛xI]7r+—<x<k7r+—kqZ.

66

____r_Q

（2）使根式JUE有意義的實數(shù)X的集合是[-2,+8）,使分式二^有意義的實數(shù)X的集

2x1

合是｛x|xw（｝，所以，這個函數(shù)的定義域是｛x|x>-2｝｛x|xw；｝即函數(shù)的定義域為

【知識點】函數(shù)的概念與性質(zhì)專題復(fù)習

【適用場合】當堂練習

【難度系數(shù)】1

【試題來源】

【題目】已知函數(shù)/（3-2x）的定義域為[-1,2],求函數(shù)〃x+3）的定義域.

【答案】[-4,2]

【解析】函數(shù)“3-2x）的定義域為[-1,2],.1<XW2,—1W3—2xV5,即函

數(shù)/（x）的定義域為[一1,5]..?.使函數(shù)〃x+3）有意義的條件是一1WX+3W5,既

-44x42,.?.函數(shù)/（x+3）的定義域為[T,2].

【知識點】函數(shù)的概念與性質(zhì)專題復(fù)習

【適用場合】當堂例題

【難度系數(shù)】2

【試題來源】

【題目】周長為定值。的扇形，它的面積S是這個扇形半徑的函數(shù)，求此函數(shù)的定義域.

aa

【答案】

271+2"2

【解析】5手乎（5）=孑+海

/>0以及/<2〃R,??Ca-2R>0

得,

a

a-2R<2兀RR>

2乃+2

aa\

此函數(shù)的定義域為、27+2司.

【知識點】函數(shù)的概念與性質(zhì)專題復(fù)習

【適用場合】當堂例題

【難度系數(shù)】2

【試題來源】

【題目】(1)已知函數(shù)y=Jmx?-6mx+m+8的定義域為R求實數(shù)m的取值范圍。

(2)若函數(shù)/(x)=的定義域為R,求實數(shù)加的取值范圍.

【答案】(1)OWmWl；(2)-2及4加42及。

【解析】(1)分析：函數(shù)的定義域為R,表明mx?-6mx+8+mN0,使一切x￡R都成

立，由x2項的系數(shù)是m,所以應(yīng)分m=0或m00進行討論。

解：當m=0時，>=際，函數(shù)的定義域為R；

當mw()時，mx?一6mx+m+820是二次不等式，其對一切實數(shù)x都成立的充要條

件是

m>0

A=(-6m)2-4m(m+8)<0

=^>0<m<1

綜上：可知04m4l0

解(2)：因為函數(shù)f(x)=Jig”+心7的定義域為火，即〃優(yōu)2+如+321對一切工￡R

恒成立，即nvc24-mx+2>0恒成立.

當〃2=0時，220恒成立.

當機>0,A<0,即加2—8K0,解得一2血4加工2夜.

三號伍I教旨

綜上）得，-2V2<m<2V2.

評注:m=()的情況，學生容易忽略，希望能夠注意.

【知識點】函數(shù)的概念與性質(zhì)專題復(fù)習

【適用場合】當堂例題

【難度系數(shù)】3

【試題來源】2014年奉賢區(qū)調(diào)研測試高三數(shù)學試卷

【題目】與函數(shù)y=x有相同圖像的一個函數(shù)是()

A.y=>JxB.y=>0且a/1)

x2

C.y=—D.y=log”a'(a〉0且aH1)

x

【答案】D

【解析】此題關(guān)鍵看一下原函數(shù)及答案中個函數(shù)的定義域，容易得到答案。

【知識點】函數(shù)的概念與性質(zhì)專題復(fù)習

【適用場合】當堂練習

【難度系數(shù)】2

。子知識點二：求解函數(shù)解析式的幾種常用方法主要

1、換元法：己知/(g(x))的表達式，欲求/(x),我們常設(shè)/=g(x),從而求得》=8-y),

然后代入/(g(x))的表達式，從而得到了⑺的表達式，即為/(x)的表達式。

2、待定系數(shù)法：若已知/(x)的結(jié)構(gòu)時，可設(shè)出含參數(shù)的表達式，再根據(jù)已知條件，列方程

或方程組，從而求出待定的參數(shù)，求得/(x)的表達式。

3、湊配法：若已知/(g(x))的表達式，欲求/(x)的表達式，用換元法有困難時，(如g(x)

不存在反函數(shù))可把g(x)看成一個整體，把右邊變?yōu)橛蒰(x)組成的式子，再換元求出/(x)

的式子。

4、消元法：若已知以函數(shù)為元的方程形式，若能設(shè)法構(gòu)造另一個方程，組成方程組，再解

這個方程組，求出函數(shù)元，稱這個方法為消元法。

5、賦值法：在求某些函數(shù)的表達式或求某些函數(shù)值時;有時把已知條件中的某些變量賦值，

使問題簡單明了，從而易于求出函數(shù)的表達式。

另外，在解題過程中經(jīng)常用到分類討論、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法

三昌閩教旨

【試題來源】

【題目】已知/(a+b)=/(6)+a(a+2。+1),且/(O)=1,求/(x)的表達式。

【答案】f(x)=x-+X+1

【解析】用賦值法：：令b=O,由己知得：/(a)=/(O)+a(a+1)=1++a.

：.f(x)=X2+X+1

【知識點】函數(shù)的概念與性質(zhì)專題復(fù)習

【適用場合】當堂例題

【難度系數(shù)】2

【試題來源】

【題目】已知函數(shù)f(x)滿足/(10g?T)=—^―(X--)(其中a〉0,aW1,x>0),求

a~-1x

f(x)的表達式

(2)已知二次函數(shù)f(x)=a*+8x+c滿足|f(l)|=|f(-1)Hf(0)1=1,求f(x)

的表達式

【答案】(1)/(*)=，一(H—aN(a>l,x>0；(Ka〈l,x〈0)

a2-l

(2)/(%)=2/-1或/'(x)=-2/+1或/'(x)=—x+1

或f(x)=V—x—l或f(x)=—y+刈4或/'(x)=/+x—l

【解析】命題意圖本題主要考查函數(shù)概念中的三要素定義域、值域和對應(yīng)

法則，以及計算能力和綜合運用知識的能力

技巧與方法：(1)用換元法；(2)用待定系數(shù)法

解：⑴令t=log3x(a>l,t>O;O<a<l,t<0),則jra'

因此fOf-(a'-a—)

a2-l

/.f{x)=-^-—(s'—(a>l,x>0;0〈a〈l,矛〈0)

a2

(2)由f(l)=a+Hc,f(—l)=a—?加c,/(0)=c

?=^[/(D+/(-l)]-/(O)

得/⑴-/(-I)]

c=/(O)

并且f(l)、f(—1)、F(O)不能同時等于1或一1,

所以所求函數(shù)為：

f{x)=2^—\或/'(才)=-2/+1或/'(x)=—，一x+l

或/'(x)=*—x—1或/'(x)=—f+矛+1或/'(x)=/+x—1

【知識點】函數(shù)的概念與性質(zhì)專題復(fù)習

【適用場合】當堂例題

【難度系數(shù)】2

【試題來源】

【題目】設(shè)/'(才)為定義在R上的偶函數(shù)，當xW-l時，度/'(x)的圖像是經(jīng)過點

(-2,0),斜率為1的射線，又在尸F(xiàn)(x)的圖像中有一部分是頂點在(0,2),且

過點(一1,1)的一段拋物線，試寫出函數(shù)/'(x)的表達式，并在圖中作出其圖像

x+l,x<-1

【答案】f(x)=2-/,T<x<l作圖由讀者來完成

—x+2,x21

【解析】命題意圖本題主要考查函數(shù)基本知識、拋物線、射線的基本概念及其

圖像的作法，對分段函數(shù)的分析需要較強的思維能力因此，分段函數(shù)是今后高

考的熱點題型

■3與方法：合理進行分類，并運用待定系數(shù)法求函數(shù)表達式

解：(1)當xW—1時，設(shè)/'(x)=x+b

??,射線過點(一2,0).?.()=—2+6即於2,，『(才)=戶2.

(2)當一1〈矛〈1時，設(shè)f(Q=a*+2

?.?拋物線過點(一1,1),.?.l=a?(-l)2+2,即a=—1

--x+2.

(3)當才21時，F(xiàn)(x)=一戶2

x+l,x<-1

綜上可知：f(x)=<2--,-1<彳<1作圖由讀者來完成

-x+2,x>1

【知識點】函數(shù)的概念與性質(zhì)專題復(fù)習

【適用場合】當堂例題

【難度系數(shù)】2

【試題來源】

【題目】已知F(2—cosx)=cos2戶cosx,求f(x—1)

【答案】Ax-1)=2x-11^+4(2<A-<4)

【解析】注意：定義域。

解法一：(換元法)

F(2-cosx)=cos2x-COSA=2COS'X-cosx—1

令i/=2-cosx(lWuW3),則COSJF2—y

二f(2—cosx)=f(u)=2(2—u)2—(2—u)—1=2J-7u+5(1WuW3)

:.fix-1)=2(x—1)2—7(x-1)+5=2/一lljt+4(2WW4)

解法二：(配湊法)

/(2—cosy)=2cos2x—cosx—1=2(2—cosx)'—7(2—cosx)+5

F(x)=2x，—7x—5(1WxW3),

即f(x-1)=2(x-1)2—7(*—1)+5=2x-11戶14(2W啟4).

【知識點】函數(shù)的概念與性質(zhì)專題復(fù)習

【適用場合】當堂例題

【難度系數(shù)】3

【試題來源】

【題目】設(shè)函數(shù))，=/)的圖像關(guān)于直線x=l對稱，在xWl時，危)=(%+1)2—1,則

x>\時段)等于()

A,*x)=(x+3)2—1B人》)=(尤一3)2—1

c/)=(尤一3>+iD??)=(龍一1)2—1

【答案】B

【解析】利用數(shù)形結(jié)合，xWl時，

/(x)=(x+l)2-1的對稱軸為廣一1,最小值為一1,

又產(chǎn)")關(guān)于x=l對稱，

故在x>l上，ZU)的對稱軸為x=3且最小值為一L

【知識點】函數(shù)的概念與性質(zhì)專題復(fù)習

【適用場合】當堂練習題

【難度系數(shù)】2

【試題來源】

【題目】已知)=3x,求7U)的解析式為

X

【解析】由?x)+現(xiàn)L)=3x知人,)+現(xiàn)幻=3_1,

XXX

由上面兩式聯(lián)立消去八,)可得/U尸2一%

XX

【答案】7U)=--X

X

【知識點】函數(shù)的概念與性質(zhì)專題復(fù)習

【適用場合】當堂練習題

【難度系數(shù)】3

【試題來源】

【題目】已知j{x)-axp-+bx+c,^40)=0且fix+1)yx)+x+1,貝!J/(x)=

后閩教旨

【答案】-^-x

22

【解析】???火工)=加+及+。＜0)=0,可知c=0又J(x+1)yx)+x+1,

a{x+l)2+/?(x+1')+O=ax1+bx+x+1,B[J(2a+h)x+a+b=bx+x+1

故2a+h=b+1且a+b=1,解得a=—,b=—,—f+—x

2222

【知識點】函數(shù)的概念與性質(zhì)專題復(fù)習

【適用場合】當堂練習題

【難度系數(shù)】3

【試題來源】

【題目】設(shè)二次函數(shù)人0滿足火%—2)=八一%—2),且其圖像在y軸上的截距為I,

在x軸上截得的線段長為五，求凡r)的解析式

【答案】/(X)=yX2+-|x+l.

【解析】利用待定系數(shù)法，設(shè)式工)=加+公+C,然后找關(guān)于。、b、C的方程組求解,

/(x)=|x2+|x+l.

【知識點】函數(shù)的概念與性質(zhì)專題復(fù)習

【適用場合】當堂練習

【難度系數(shù)】3

【試題來源】連云港、徐州、淮安、宿遷四市2015屆高三

【題目】如圖，有一個長方形地塊ABCD，邊為2km，4)為4

km.地塊的一角是草坪(圖中陰影部分)，其邊緣線AC是以直線AD

為對稱軸，以A為頂點的拋物線的一部分.現(xiàn)要鋪設(shè)?條過邊緣線AC

上一點P的直線型隔離帶防，E,F分別在邊AB,上(隔離帶

不能穿越草坪，且占地面積忽略不計)，將隔離出的△BEE作為健身

場所.設(shè)點P到邊AO的距離為f(單位：km),△5耳■的面積為S

(單位:km2).

(1)求S關(guān)于f的函數(shù)解析式，并指出該函數(shù)的定義域；

(2)是否存在點P，使隔離出的△BEF面積S超過3km2?并說明

理由.(第17題)

【答案】見解析

【解析】(1)如圖，以4為坐標原點O，/山所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，則

C點坐標為(2,4).

設(shè)邊緣線AC所在拋物線的方程為y=以2,把(2,4)代入，得4=a?2?,解得a=1,

所以拋物線的方程為y=x2

因為理=2x,所以過PC/)的切線EF方程為y=2比-廣

令y=0,得E(-,0)；令x=2,得F(2,4t-t2)

S=!(2-：)(I2,

22

13,

所以S=—?3—8*+16r),定義域為(0,2].

4

i34

⑵S'(t)=-(3t2-\6t+16)=^(t-4)(f—一),

44

由S'Q)>0,W0<r<-.所以S'⑺在(0,§)上是增

44

函數(shù)，由S'(t)<0,得]<f<4,所以S'(f)在(§,2]

上是減函數(shù),

_464

所以S在(0,2］上有最大值5(一)=—.

327

又因為——=3——<3,所以不存在點尸，使隔離出的△曲面積S超過3km2.

2727

答：不存在點P，使隔離出的45瓦'面積S超過3km2.

【知識點】函數(shù)的概念與性質(zhì)專題復(fù)習

【適用場合】當堂例題

【難度系數(shù)】3

令子知識點三：求函數(shù)值域的常用方法及值域的應(yīng)用

(1)求函數(shù)的值域

此類問題主要利用求函數(shù)值域的常用方法；配方法、分離變量法、單調(diào)性

法、圖像法、換元法、不等式法等，無論用什么方法求函數(shù)的值域，都必須考慮

函數(shù)的定義域。

(2)函數(shù)的綜合性題目

此類問題主要考查函數(shù)值域、單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)等一些基本知識相結(jié)

合的題目

此類問題要求考生具備較高的數(shù)學思維能力和綜合分析能力以及較強的運

算能力在今后的命題趨勢中綜合性題型仍會成為熱點和重點，并可以逐漸加

強

⑶運用函數(shù)的值域解決實際問題

此類問題關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，從而利用所學知識去解決此類

題要求考生具有較強的分析能力和數(shù)學建模能力

【試題來源】

【題目】設(shè)加是實數(shù)，記滬{加勿＞1},f(x)=log3(*—4/ZZX+4序+研一L-)

m-\

(1)證明：當/e"時，F(xiàn)(x)對所有實數(shù)都有意義；反之，若/'(x)對所有實

數(shù)x都有意義，則旌〃

(2)當加e"時，求函數(shù)f(x)的最小值

(3)求證：對每個m￡M,函數(shù)f(x)的最小值都不小于1

【答案】⑴證明：先將f(x)變形：f(x)=log3[5—24?+研—L],

當加時，力＞1,?\(x—研一-—〉0恒成立，

故F(x)的定義域為R

反之，若『3對所有實數(shù)才都有意義，則只須V—4如什4/+研」一〉0,令/

m-\

＜0,即16序一4(4/+加一-—)＜0,解得力＞1,故

(2)解析：設(shè)尸，一4勿產(chǎn)4/+研一]一,

m-1

丁片log：W是增函數(shù)，.??當〃最小時，f(x)最小

而尸(x—2勿)、研_1_,

m-\

顯然，當產(chǎn)力時，〃取最小值為〃汁」一，

此時/^/^1(^(研二^為最小值

m-\

(3)證明：當/時，研—!_=(加一1)+_1_+123,

m-1m-\

當且僅當爐2時等號成立

?！挂?

.?Jog：；^log33=l

【解析】略

【知識點】函數(shù)的概念與性質(zhì)專題復(fù)習

【適用場合】當堂例題

【難度系數(shù)】2

【試題來源】

【題目】設(shè)兀冷是在(-8,+8)上以4為周期的函數(shù)，且?r)是偶函數(shù)，在區(qū)間[2,

31上時，段)=一2。一3>+4,求當xG[1,2]時段)的解析式，若矩形A8CO的

兩個頂點A、8在x軸上，C、D在y=/(x)(0WxW2)的圖像上，求這個矩形面積的

最大值

【答案】⑴設(shè)xG[1,2],則4—xe[2,3],

??/x)是偶函數(shù)，?；/U)=A—龍)，

又因為4是fix)的周期，；—x)y4—x)=—2(x—1)2+4

(2)設(shè)xe[0,1],貝U2W尤+2W3<X)=/U+2)=—2(X—1)2+4,

又由(1)可知[0,2]時，_/(%)=—2(x—1)2+4,

設(shè)A、8坐標分別為(1一1,0),(l+r,0)(0</<l),

則依8|=2〃4。|=一2尸+4,5矩形=2〃-2/2+4)=4?2一尸),令S矩=S,

￡=2*(2—P)?(2—r2)W(2〃+2"+2")3=竺,

8327

當且僅當2於=2一戶,即仁逅時取等號

3

?0V64x8gncv16^/6?C_16*\/6

??oS-----KPd■-----,??dmax=-------

2799

【解析】略

【知識點】函數(shù)的概念與性質(zhì)專題復(fù)習

【適用場合】當堂練習

【難度系數(shù)】3

【試題來源】

【題目】設(shè)xi、X2為方程41—4處+加+2=0的兩個實根，當加=時，

Xl2+X22有最小值_________

【答案】一1-

2

【解析】由韋達定理知：X\+X2=m,X]X2=/，?+2,

4

x\2+X22=(XI+X2)2-2x\X2=m2—m+~=(m——)2——,

2416

又xi,九2為實根，.../NO.,.機W—1或，”22,

y=(〃z—』)2—衛(wèi),在區(qū)間(一8』)上是減函數(shù)，在[2,+8)上是增函數(shù)，又

416

拋物線y開口向上且以加=；為對稱軸故機=1時，ymin=g

【知識點】函數(shù)的概念與性質(zhì)專題復(fù)習

【適用場合】課后兩周練習

【難度系數(shù)】3

【試題來源】

【題目】某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品時，固定成本為5000元，而每生產(chǎn)100臺產(chǎn)品時

直接消耗成本要增加2500元，市場對此商品年需求量為500臺，銷售的收入函

數(shù)為H(x)=5x—萬元X0WxW5),其中尤是產(chǎn)品售出的數(shù)量(單位：百臺)

(1)把利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù)；

(2)年產(chǎn)量多少時，企業(yè)所得的利潤最大？

(3)年產(chǎn)量多少時，企業(yè)才不虧本？

【答案】(1)利潤y是指生產(chǎn)數(shù)量x的產(chǎn)品售出后的總收入R(x)與其總成本C(x)

VS時.產(chǎn)品能全部售出，當x>5時，只能銷售500臺，

所以

12(

_5X~2X-(。$+0.25項0V5)_4.75x--5-x2-0.5(0<x<5)

y~4.=<2

(5x5--x52)-(0.5+0.25x)(x>5)12-0.25x(x>l)

I2

(2)在0WxW5時，y=——x2+475x—05,當x=-2=475(百臺)時，

22a

ymax=1078125(萬元)，當x>5(百臺)時，y<12-025X5=1075(

所以當生產(chǎn)475臺時，利潤最大

0<x<5c.

(3)要使企業(yè)不虧本,即要求12或：'I八

-X2+4.75X-0.5>0112-0.25%>0

[21

解得52x2475—J21.5625小01(百臺)或5<xV48(百臺)時，即企業(yè)

年產(chǎn)量在10臺到4800臺之間時，企業(yè)不虧本

【解析】略

【知識點】函數(shù)的概念與性質(zhì)專題復(fù)習

【適用場合】階段測驗

【難度系數(shù)】3

>知識點二：函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和對稱性

單調(diào)性的定義：對于給定區(qū)間上的函數(shù)y=f(x)：

①如果對于屬于這個區(qū)間的任意兩個自變量的值與x2,當芭<而時，都有那

么就說/(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)；

②如果對于屬于這個區(qū)間的任意兩個自變量的值玉，芍，當玉<毛時，都有〃3)>/(&)，那

么就說/(X)在這個區(qū)間上是減函數(shù)。

奇偶性的定義：

一般地，對于函數(shù)/(X),如果對于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個X,都有/(一X)=/(X),

那么函數(shù)/(X)就叫做偶函數(shù)。

一般地，對于函數(shù)/(X),如果對于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個X,都有/(_幻=一/(乃，

那么函數(shù)/(X)就叫做奇函數(shù)。

注意：定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件。

周期性的定義：設(shè)有函數(shù)y=/(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得x取定義域內(nèi)的任何

值時，/(x+T)=/(x)總成立，那么就把函數(shù)y=/(x)叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這

個函數(shù)的周期.

令子知識點一：判斷及證明函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性周期性和對稱性：

若為具體函數(shù)，嚴格按照定義判斷，注意變換中的等價性。

在判斷和證明函數(shù)的單調(diào)性時，也可以利用導(dǎo)數(shù)法進行計算和證明。

當導(dǎo)數(shù)大于0時，函數(shù)在所在區(qū)間上單調(diào)遞增，反之遞減。

若為抽象函數(shù)，在依托定義的基礎(chǔ)上，用好賦值法，注意賦值的科學性、合

理性。

若為復(fù)合函數(shù)，則問題的解決關(guān)鍵在于：既把握復(fù)合過程，又掌握基本函數(shù)。

同時，注意判斷與證明、討論三者的區(qū)別，針對所列的訓練認真體會，用好

數(shù)與形的統(tǒng)一。

注意：加強逆向思維、數(shù)形統(tǒng)一正反結(jié)合解決基本應(yīng)用題目。

【試題來源】連云港、徐州、淮安、宿遷四市2015屆高三

【題目】已知函數(shù)/(x)=Inx—gax?+尤，aeR.

(1)若。=2,求函數(shù)/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間；

⑵若關(guān)于x的不等式/(x)W公-1恒成立，求整數(shù)。的最小值;

(3)若。=—2,%,馬是兩個不相等的正數(shù)，且/(玉)+/(工2)+%々=0,

求證：X]+々》避2]?

三窗鬧教旨

【答案】(1)因為/(1)=1-^=0,所以。=2,

2

1_or?r1i

此時f(x)=lnx-x2+x,x>0,f\x)=——2x+l=--------------(x>0),

xx

由/'(x)<0,得2元2—不一1>0,又x>0,所以1>1.

所以/(幻的單調(diào)減區(qū)間為(L+8).

(2)方法一：令g(%)=/(x)-(ar-l)=lnx--or24-(l-tz)x+l,

所以g，(x)=l-?x+(l-a)=TZ+(1-")2

XX

當〃W()時，因為％>0,所以g'(x)〉o.所以g(x)在(0,k)上是增函數(shù)，

13

乂因為g(l)=lnl-?+(1一。)+1=-3々+2>0,

所以關(guān)于x的不等式/(x)W以-1不能恒成立.

“(x-^Xx+l),令g,(x)=0,得x=_L.

當。>0時,—cix^+(1—ci)x+1

g'(x)a

xx

所以當工￡(0,一)時，g'(x)〉0；當工￡(L+oo)時，g'O)<0,

aa

因此函數(shù)g(X)在X￡(0,')上是增函數(shù)，在X￡(L,+8)上是減函數(shù).

aa

故函數(shù)g(x)的最大值為g(一)—In------ax(-)~+(1—Q)X—卜1=------Ina.

aalaa2a

令〃(〃)=」——Ina,因為力(1)=，>0,7z(2)=--ln2<0,又/?(〃)在?！?0,+8)是

2a24

減函數(shù).故當。22時，〃(〃)<().所以整數(shù)。的最小值為2.

方法二：由/(工)War—1恒成立，得—l在(0,+8)上恒成立,

、lnx+x+1

a與---------

問題等價于12在(。,+8)上恒成立.

—X+X

2

lnx+x+1

令g(X)=]J，只要a>g(X)max。6分

2

(x+l)(-：x-lnx)]

因為g'(x)=----：----------,令g'(x)=O,得——x-lnx=O.

2

設(shè)/z(x)=-』x-lnx,因為/i'(x)=-L-L<0,所以力(x)在(0,+°o)上單調(diào)減，

22x

不妨設(shè)一;x-lnx=0的根為/.當XG(0,X())時，g'(x)>0：當X€(為,+00)時，

g'(x)<(),所以g(x)在xe(0,x0)上是增函數(shù)；在xe(x0,+=。)上是減函數(shù).

所以g(X)max=g(X。)=lnj+Xo+1=------2---=J_

2

-x0+x0無+玉>

因為/z(')=ln2>0,//(1)=--<0,所以4<垢<1,此時1<，<2,即

2422%

g(x%,xG(1，Z所以a》2,即整數(shù)。的最小值為2.

(3)當。=一2時，/(x)=lnx+x2+x,x>0,由/(3)+/(々)+西工2=。，即

2

InX1+x；+%+Inx2+x2+x2+xtx2=0,

2

從而(X[+x2)+(X]+%2)=%,-x2-ln(x,-x2),

t-l

令，=X]〃2，貝Ij由。⑺=f-ln/得，<p'(t)=—,

可知，9(。在區(qū)間(0,1)上單調(diào)減，在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)增.

所以9(/)⑴=1,(X]+工2)2+(X]+%2)21,故X[+X,2~^成立.…16分

【解析】略

【知識點】函數(shù)的概念與性質(zhì)專題復(fù)習

【適用場合】當堂例題

【難度系數(shù)】4

【試題來源】蘇州市2015屆高;上期末

【題目】已知函數(shù)/(>)="—a(x—l),其中為自然對數(shù)底數(shù).

(1)當。=—1時，求函數(shù)/(x)在點(1,/(1))處的切線方程；

(2)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性，并寫出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間；

(3)已知beR,若函數(shù)對任意xeR都成立，求的最大值.

【答案】見解析

【解析】解：(1)當a=T時，/''(x)=e'+l,r⑴=e+l,/(l)=e,

函數(shù)在點處的切線方程為y-e=(e+l)(x—l),

即y=(e+l)x-l.

(2)Vf\x)=e-a,

①當aWO時，尸(x)>0,函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增：

②當a>0時，由/'(%)=e*-a=0得x=Ina，

%e(-oo,Ina)時,/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；xe(lna,+oo)時，/'(x)>0,/(x)

單調(diào)遞增.

綜上，當aWO時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,+8)；當a>0時，函數(shù)/(x)的單

調(diào)遞增區(qū)間為(Ina,+0。)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-00,Ina).

(3)由(2)知，當a<0時，函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增，

.?.“X)2b不可能恒成立;

當。=0時，0W0,此時必=0；

當a>0時，由函數(shù)f(x)與匕對任意xeR都成立，得匕W1ymin")，

,/力血(％)=/(lna)=2a-alna,：.b^2a-ah\a

abW2a2-?2Ina-

設(shè)g(a)=2a?-a-na(a>0),g'(a)=4a-(2?lna+a)=3a-2alna,

由于a>0，令g'(a)=O,得lna=；；3,J3,

\/O(A—C

(3\(3\

當0,e2時,g1a)>0,g(。)單調(diào)遞增;aee2,+oo時,g(o)>0,g(a)單調(diào)遞

\7\7

減.

???gmaxS)=±，即時的最大值為土.

22

2]2

此時a=e2,Z?=-e2.

2

【知識點】函數(shù)的概念與性質(zhì)專題復(fù)習

【適用場合】當堂練習

【難度系數(shù)】4

【試題來源】

【題目】下列函數(shù)中的奇函數(shù)是()

A.f(x)=(x-1)B.

C./'(*)=/："<0)Df(x)=?sinx-COSX

-x2+x(x>0)1+cosx+sinx

【答案】C

【解析】。>°)=卜,+")。<°)=_f(力,

-x2-x(x<0)[-(-x2+x)(x>0)

故/'(X)為奇函數(shù)

【知識點】函數(shù)的概念與性質(zhì)專題復(fù)習

【適用場合】當堂練習題

【難度系數(shù)】2

【試題來源】

【題目】已知函數(shù)f(x)在(一1,1)上有定義，￡(工)=一1,當且僅當0<Kl時

2

A^XO,且對任意x、ye(-1,1)都有/1(X)+/■(")=￡(立上)，試證明：

1+xy

為奇函數(shù)；(2)f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減

【解析】：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判定以及運算能力和邏輯推理

能力奇偶性及單調(diào)性定義及判定、賦值法及轉(zhuǎn)化思想。

S閩教旨

對于(D,獲得/'(0)的值進而取產(chǎn)一y是解題關(guān)鍵；對于(2),判定玉』

l-x}x2

的范圍是焦點。

【答案】證明：(1)由f(x)+f(y)=f(山?)，

1+xy

令x=y=0,得/(0)=0,

令尸一局得f{x)+f(—x)=r(-^—4-)=Ao)=0：

1-x2

f(,x)=-f{-X)■為奇函數(shù).

(2)先證f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減

1

令0cxl<而<1,貝J￡(王)—f(^l)=/(-Y2)+/(—%1)=/(—~—)

1-XjX2

?.,0〈*〈及〈1,，房—為>o,1-屈怒>0，/.%2~X|>0,

1-X2X1

又(也一Xi)—(1—又藥)二，-1)(修+1)<0

.?.%—x〈l一在Xi,

.\0<X2~X]<1,由題意知f(X2~X1)<o

1-X2^1\-xxx2

即

.?.f(x)在(0,1)上為減函數(shù)，又/U)為奇函數(shù)且/'(0)=0.

在(一1,1)上為減函數(shù)

【知識點】函數(shù)的概念與性質(zhì)專題復(fù)習

【適用場合】當堂例題

【難度系數(shù)】2

【試題來源】

【題目】設(shè)a>0,f(x)=t+2是R上的偶函數(shù)，(1)求a的值；(2)證明：f(x)在(0,+8)

ae

上是增函數(shù).

【答案】(D解：依題意，對一切xGR,有/1(才小八一x),

即紀+—=」-+ae'整理，得(a-L)(e'--5-)=0

aexaexaex

因止匕，有a——=0,即才=1,又a>0,/.5=1

a

(2)證法一(定義法)：設(shè)OVxV鳥

則〃小)-f(及)=一"2+'——-=("2_)(———1)

ex'ex-ex,+X2

1一?！?與

=^(eX2-A-,_

ex,+X2

由小>0,生>0,%>汨，e^~x'-1>0,l-ex,+X2<0,

二F(xi)—f(*2)<0,即人為)Vf(*2)

.?./1(x)在(0,+8)上是增函數(shù)

證法二(導(dǎo)數(shù)法)：由/'(x)=e*+er,得/(x)=e—e~x-e-x,[ex-1),當xG(0,+8)

時，e-t>0,e"'—1>0

此時/''(x)>0,所以/i(x)在［0,+8)上是增函數(shù)

【解析】略

【知識點】函數(shù)的概念與性質(zhì)專題復(fù)習

【適用場合】當堂例題

【難度系數(shù)】2

【試題來源】

【題目】函數(shù)Hx)=\l+X2+X3的圖象()

A,關(guān)于x軸對稱B關(guān)于y軸對稱

C.關(guān)于原點對稱D,關(guān)于直線產(chǎn)1對稱

【解析】f(-x)=-f(x),Hx)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱。

【答案】C

【知識點】函數(shù)的概念與性質(zhì)專題復(fù)習

【適用場合】當堂練習題

【難度系數(shù)】2

【試題來源】

【題目】增函數(shù)，則尸/■(■+11)的一個單調(diào)遞減區(qū)間是

【解析】令曰“+1|,則亡在(一8,-1］上遞減，又尸/U)在R上單調(diào)遞增,

...產(chǎn)f(|廣1|)在(-8,—1］上遞減。

【答案】

【知識點】函數(shù)的概念與性質(zhì)專題復(fù)習

【適用場合】當堂練習題

【難度系數(shù)】2

令子知識點二：用奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性解決綜合性題目.

三昌閩教旨

此類題目要求考生必須具有駕馭知識的能力，并具有綜合分析問題和解決問題的能力

【試題來源】

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，并在區(qū)間（一8,0）內(nèi)單調(diào)遞增，

A2a2+a+lXA3a2-2a+l）求a的取值范圍，并在該范圍內(nèi)求函數(shù)尸（,）”）村的單調(diào)遞

2

減區(qū)間

【答案】：設(shè)0<水松則一水一水0,.."（x）在區(qū)間（—8,0）內(nèi)單調(diào)遞增，

；"（一及）"（一*1）,'."（X）為偶函數(shù)，；.『（一*2）=/1（及），『（一為）=「（汨），

.?"（&）"（?。?.?./■（/）在（0,+8）內(nèi)單調(diào)遞減

171?

又2Q-+Q+1=2（Q+—）-+—>O,3Q2—2a+1=3（Q——）2+—>0.

由f（23+K1）<F（3/一2md）得：2才+91〉3才一291解之，得0〈水3

又a2—3a+l=（a——）——

24

...函數(shù)片d的單調(diào)減區(qū)間是［3,+8］

2