江蘇省蘇州市木瀆高級中學天華學校高三數(shù)學理上學期摸底試題含解析

江蘇省蘇州市木瀆高級中學天華學校高三數(shù)學理上學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知等比數(shù)列{an}前n項和為Sn，則下列一定成立的是（） A．若a3＞0，則a2013＜0 B． 若a4＞0，則a2014＜0 C．若a3＞0，則S2013＞0 D． 若a4＞0，則S2014＞0參考答案：考點： 等比數(shù)列的性質．專題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析： 對于選項A，B，D可通過q=﹣1的等比數(shù)列排除，對于選項C，可分公比q＞0，q＜0來證明即可得答案．解答： 解：對于選項A，可列舉公比q=﹣1的等比數(shù)列1，﹣1，1，﹣1，…，顯然滿足a3＞0，但a2013=1＞0，故錯誤；對于選項B，可列舉公比q=﹣1的等比數(shù)列﹣1，1，﹣1，1…，顯然滿足a4＞0，但a2014=0，故錯誤；對于選項D，可列舉公比q=﹣1的等比數(shù)列﹣1，1，﹣1，1…，顯然滿足a2＞0，但S2014=0，故錯誤；對于選項C，因為a3=a1?q2＞0，所以a1＞0．當公比q＞0時，任意an＞0，故有S2013＞0；當公比q＜0時，q2013＜0，故1﹣q＞0，1﹣q2013＞0，仍然有S2013=＞0，故C正確，故選C．點評： 本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質，通過給變量取特殊值，舉反例來說明某個命題不正確，是一種簡單有效的方法，屬于中檔題．2.在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若3a=2b，則的值為（）A．﹣ B． C．1 D．參考答案：D【考點】余弦定理；正弦定理．【專題】解三角形．【分析】根據(jù)正弦定理，將條件進行化簡即可得到結論．【解答】解：∵3a=2b，∴b=，根據(jù)正弦定理可得===，故選：D．【點評】本題主要考查正弦定理的應用，比較基礎．3.已知共有

（

）

A．9個

B．11個

C．12個

D．13個參考答案：D4.已知雙曲線的一條準線經(jīng)過拋物線y2=15x的焦點，則該雙曲線的漸近線方程為A、y＝B、y＝C、y＝D、y＝參考答案：A5.設全集，集合，，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A6.若m、n是互不重合的直線，是互不重合的平面，給出下列命題：（

）①若;

②若;③若m不垂直于內的無數(shù)條直線;④若.其中正確命題的序號是

A．①②

B．③④

C．②③

D．②④參考答案：D7.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AD1與BD所成的角為（）A.45° B.90° C.60° D.120°參考答案：C【分析】通過平移直線作出異面直線AD1與BD所成的角，在三角形中即可求得．【詳解】如圖，連結BC1、BD和DC1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，由AB=D1C1，AB∥D1C1，可知AD1∥BC1，所以∠DBC1就是異面直線AD1與BD所成角，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，BC1、BD和DC1是其三個面上的對角線，它們相等．所以△DBC1是正三角形，∠DBC1=60°故異面直線AD1與BD所成角的大小為60°．故選：C．【點睛】本題考查異面直線所成的角及其求法，解決該類題目的基本思路是化空間角為平面角．8.若函數(shù)f（x）同時具有以下兩個性質：①f（x）是偶函數(shù)，②對任意實數(shù)x，都有f（+x）=f（﹣x），則f（x）的解析式可以是(

) A．f（x）=cosx B．f（x）=cos（2x+） C．f（x）=sin（4x+） D．f（x）=cos6x參考答案：C考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．專題：三角函數(shù)的圖像與性質．分析：先判斷三角函數(shù)的奇偶性，再考查三角函數(shù)的圖象的對稱性，從而得出結論．解答： 解：由題意可得，函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，且它的圖象關于直線x=對稱．∵f（x）=cosx是偶函數(shù)，當x=時，函數(shù)f（x）=，不是最值，故不滿足圖象關于直線x=對稱，故排除A．∵函數(shù)f（x）=cos（2x+）=﹣sin2x，是奇函數(shù)，不滿足條件，故排除B．∵函數(shù)f（x）=sin（4x+）=cos4x是偶函數(shù)，當x=時，函數(shù)f（x）=﹣1，是最小值，故滿足圖象關于直線x=對稱，故C滿足條件．∵函數(shù)f（x）=cos6x是偶函數(shù)，當x=時，函數(shù)f（x）=0，不是最值，故不滿足圖象關于直線x=對稱，故排除D，故選：C．點評：本題主要考查三角函數(shù)的奇偶性的判斷，三角函數(shù)的圖象的對稱性，屬于中檔題．9.已知數(shù)列的前項和滿足：，且，那么（

▲

）A.1

B.9

C.10

D.55參考答案：A略10.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n﹣1則其通項公式an=（）A．3?2n﹣1 B．2×3n﹣1 C．2n D．3n參考答案：B【考點】等比數(shù)列的通項公式．【分析】利用n≥2時，an=sn﹣sn﹣1及，a1=s1=可求數(shù)列的通項公式【解答】解：由于Sn=3n﹣1∴n≥2時，an=sn﹣sn﹣1=3n﹣1﹣（3n﹣1﹣1）=2?3n﹣1當n=1時，a1=s1=2適合上式∴故選B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量,則的最小值為

.參考答案：4已知向量,,當時最小值為4.

12.在ABC中，若，，，則

．參考答案：13.若函數(shù)f（x）=x2+ln（x+a）（a＞0）與g（x）=x2+ex﹣（x＜0）的圖象上存在關于y軸對稱的點，則關于x的方程x2+2alnx﹣2ax=0解的個數(shù)是

．參考答案：1【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性．【分析】由題意可得，存在x＜0使f（﹣x）﹣g（x）=0，即ex﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，從而化為函數(shù)m（x）=ex﹣﹣ln（﹣x+a）在（﹣∞，0）上有零點，從而求解．【解答】解：若函數(shù)f（x）=x2+ln（x+a）（a＞0）與g（x）=x2+ex﹣（x＜0）圖象上存在關于y軸對稱的點，則等價為g（x）=f（﹣x），在x＜0時，方程有解，即x2+ex﹣=x2+ln（﹣x+a），即ex﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，令m（x）=ex﹣﹣ln（﹣x+a），則m（x）=ex﹣﹣ln（﹣x+a）在其定義域上是增函數(shù)，且x→﹣∞時，m（x）＜0，∵a＞0∴ex﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解可化為：e0﹣﹣lna＞0，即lna＜，故0＜a＜．令h（x）=x2+2alnx﹣2ax，，∵a2﹣4a＜0，∴h′（x）＞0，h（x）單調遞增，x→0時，h（x）→﹣∞，x→+∞時，h（x）→+∞，∴h（x）=0有一個解，故答案為：1．14.已知函數(shù)則

.參考答案：

15.15.某學校有兩個食堂，甲、乙、丙三名學生各自隨機選擇其中的一個食堂用餐，則他們在同一個食堂用餐的概率為．參考答案：略16.函數(shù)的圖像的一條對稱軸為,則以為方向向量的直線的傾斜角為

參考答案：略17.已知函數(shù)______________.參考答案：3略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)在區(qū)間[0，1]上單調遞增，在區(qū)間[1，2]上單調遞減。（1）求的值；（2）若斜率為24的直線是曲線的切線，求此直線方程；（3）是否存在實數(shù)b，使得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有2個不同交點？若存在，求出實數(shù)b的值；若不存在，試說明理由.參考答案：解：（1）由已知得，，，。

（2），即，，

，此切線方程為：，即。

（3）令，則由得：--------（*），當時，（*）無實根，f(x)與g(x)的圖象只有1個交點；當時，（*）的實數(shù)解為x=2,f(x)與g(x)的圖象有2個交點；當時，若x=0是（*）的根，則b=4,方程的另一根為x=4,此時，f(x)與g(x)的圖象有2個交點；當時，f(x)與g(x)的圖象有3個不同交點。綜上，存在實數(shù)b=0或4，使函數(shù)f(x)與g(x)的圖象恰有2個不同交點。

19.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，PD=PA，已知AB=2DC=10，BD=AD=8．（1）設M是PC上的一點，求證：平面MBD⊥平面PAD；（2）當三角形PAD為正三角形時，點M在線段PC（不含線段端點）上的什么位置時，二面角P﹣AD﹣M的大小為．參考答案：【考點】用空間向量求平面間的夾角；平面與平面垂直的判定．【分析】（1）通過證明BD⊥平面PAD，利用直線與平面垂直的判定定理證明平面MBD⊥平面PAD．（2）以OA、OE、OP為x，y，z軸，建空間直角坐標系，求出點O，A，D，B，P，C的坐標，設（0＜λ＜1），平面PAD的法向量可?。海蟪銎矫鍹AD的法向量為，利用空間向量的數(shù)量積，結合二面角P﹣AD﹣M的大小為．求出．【解答】（本小題滿分12分）解：（1）證明：因為BD=AD=8，得BD=8，AD=6，又AB=10，所以有AD2+BD2=AB2，即AD⊥BD，又因為平面PAD⊥平面ABCD，且交線為AD，所以PD⊥平面PAD，BD?平面BDM，故平面MBD⊥平面PAD．（2）由條件可知，三角形PAD為正三角形，所以取AD的中點O，連PO，則PO垂直于AD，由于平面PAD⊥平面ABCD，所以PO垂直于平面ABCD，過O點作BD的平行線，交AB于點E，則有OE⊥AD，所以分別以OA、OE、OP為x，y，z軸，建空間直角坐標系所以點O（0，0，0），A（3，0，0），D（﹣3，0，0），B（﹣3，8，0），P（0，0，3），由于AB∥DC且AB=2DC，得到C（﹣6，4，0），設（0＜λ＜1），則有，因為由（1）的證明可知BD⊥平面PAD，所以平面PAD的法向量可取：，設平面MAD的法向量為，則有，即有由由二面角P﹣AD﹣M的大小為．==，解得故當M滿足：PM=PC時符合條件．20.已知離心率為的橢圓的頂點恰好是雙曲線的左右焦點，點是橢圓上不同于的任意一點，設直線的斜率分別為.（Ⅰ）求橢圓的標準方程；高考資源網(wǎng)w。w-w*k&s%5￥u

（Ⅱ）試判斷的值是否與點的位置有關，并證明你的結論；（Ⅲ）當時，圓：被直線截得弦長為，求實數(shù)的值。參考答案：解：（Ⅰ）雙曲線的左右焦點為即的坐標分別為.

所以設橢圓的標準方程為,則,且,所以,從而,

所以橢圓的標準方程為.

若是豎放的，則：(Ⅱ)設則，即高考資源網(wǎng)w。w-w*k&s%5￥u

.

所以的值與點的位置無關，恒為。

（Ⅲ）由圓：得，其圓心為，半徑為，

由（Ⅱ）知當時，，故直線的方程為即，高考資源網(wǎng)w。w-w*k&s%5￥u

所以圓心為到直線的距離為，又由已知圓：被直線截得弦長為及垂徑定理得圓心到直線的距離，所以，即，解得或。所以實數(shù)的值為或.

略21.（本小題滿分12分）

如圖5甲，四邊形ABCD中，E是BC的中點，DB=2,DC=1，BC=，AB=AD=．將（圖甲）沿直線BD折起，使二面角A－BD－C為60o（如圖乙）．

（Ⅰ）求證：AE⊥平面BDC;

（Ⅱ）求點B到平面ACD的距離．

參考答案：（Ⅰ）證明：如圖4，取BD中點M，連接AM，ME.因為AB=AD=，所以AM⊥BD，

因為DB=2，DC=1，BC=，滿足：DB2+DC2=BC2，所以△BCD是以BC為斜邊的直角三角形，BD⊥DC，

因為E是BC的中點，所以ME為△BCD的中位線，＝

ME

∥，

ME⊥BD，ME=，…………………（2分）

∠AME是二面角A-BD-C的平面角，=°.

，且AM、ME是平面AME內兩條相交于點M的直線，，平面AEM，.………………（4分）

，，為等腰直角三角形，，在△AME中，由余弦定理得：，

，.………………………（6分）（Ⅱ）解法一：等體積法.解法二：如圖5，以M為原點，MB所在直線為x軸，ME所在直線為y軸，平行于EA的直線為z軸，建立空間直角坐標系，………………（7分）則由（Ⅰ）及已知條件可知B(1，0，0)，，，D，C.則

……（8分）設平面ACD的法向量為=，則令則z=-2，…………………（10分）記點到平面的距離為d，則，