同濟(jì)高等數(shù)學(xué)第七版第5章習(xí)題解答

PAGEPAGE279教材習(xí)題同步解析習(xí)題5-14.利用定積分的幾何意義，求下列積分：解根據(jù)定積分的幾何意義，定積分表示由直線、及軸所圍成的直角三角形的面積，故有根據(jù)定積分的幾何意義，定積分表示由上半圓周以及軸圍成的半圓的面積，故有8.水利工程中要計算攔水閘門所受的水壓力.已知閘門上水的壓強與水深存在函數(shù)關(guān)系，且有若閘門高寬，求水面與閘門頂相齊時閘門所受的水壓力解在區(qū)間上插入個分點取并記得到閘門所受的水壓力的近似值為根據(jù)定積分的定義可知閘門所受的水壓力為由于被積函數(shù)連續(xù)，因此積分值與積分區(qū)間的分法和的取法無關(guān).為方便計算，對區(qū)間進(jìn)行等分，則取于是故10.估計下列各積分的值：分析求出被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大、最小值.解在區(qū)間上，因此有在區(qū)間上，函數(shù)是單調(diào)增加的，因此即故有11.設(shè)在上連續(xù)，證明證明記則由定積分性質(zhì)，得即由此結(jié)論成立.12.設(shè)及在上連續(xù)，證明若在上，，且，則若在上，，且，則在上，若在上，，且，則在上，證明由條件知，存在使得由函數(shù)在連續(xù)可知，存在使得當(dāng)時因此有由定積分的性質(zhì)得到：故得結(jié)論用反證法假設(shè)在上，則由上面結(jié)論(1)知,這與假設(shè)矛盾，所以在上，.令，則在上，，且，由上面的結(jié)論(2)知，，即在上，.13.根據(jù)定積分的性質(zhì)及第題的結(jié)論，說明下列各對積分哪一個值較大：還是?還是?分析根據(jù)定積分的性質(zhì),比較同一個積分區(qū)間上的兩個定積分的大小可轉(zhuǎn)化為比較兩個被積函數(shù)的大小.解在區(qū)間上且，因此比大.由于當(dāng)時，故此時有因此比大.習(xí)題5-22.求由參數(shù)表達(dá)式所確定的函數(shù)對的導(dǎo)數(shù)解3.求由所確定的隱函數(shù)對的導(dǎo)數(shù)解方程兩邊分別對求導(dǎo)，得故注意：解這類題目的方法有兩種.第一種是先將隱函數(shù)顯化，然后再求導(dǎo)數(shù)，但是對于多數(shù)情況隱函數(shù)的顯化非常復(fù)雜，所以這種方法的局限性較大.第二種方法是方程兩邊直接分別對求導(dǎo)，此法需要注意的是在求導(dǎo)時，應(yīng)把看作的函數(shù).4.當(dāng)為何值時，函數(shù)有極值.解令，得當(dāng)時當(dāng)時故時，函數(shù)有極小值.5.計算下列各導(dǎo)數(shù):解.注意:式中是連續(xù)函數(shù)，皆可微.6.證明在上是單調(diào)增加函數(shù)，并求證當(dāng)時,在上是單調(diào)增加函數(shù).當(dāng)時7.設(shè)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，的圖形如圖所示.問下列積分中的哪一個積分值為負(fù)？;解由定積分的幾何意義知故選8.計算下列各積分:，其中解注意被積函數(shù)出現(xiàn)根式、絕對值、分段函數(shù)等形式時,首先去掉根式、絕對值記號或分段記號，這時特別要注意被積函數(shù)在不同區(qū)間上的正負(fù)號或不同表達(dá)式，以免導(dǎo)致錯誤.10.設(shè)且證明:證其中由上一題知11.求下列極限:解12．設(shè)求在上的表達(dá)式，并討論在內(nèi)的連續(xù)性.分析由于的定義域被分成兩段，故的表達(dá)式也要相應(yīng)地分成兩段來討論.解當(dāng)時，；當(dāng)時，=+.所以,在內(nèi)連續(xù).13．設(shè),求在內(nèi)的表達(dá)式.分析由于的定義域被分成三段，故的表達(dá)式也要相應(yīng)地分成三段來討論.解當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，=+所以14.設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，，證明在內(nèi)有.證方法一(因為所以)方法二(因為所以)15.設(shè),求解16.設(shè)在內(nèi)連續(xù)，且.證明函數(shù)滿足方程，并求.證,所以滿足方程.由,存在當(dāng)時,有.因此.故當(dāng)時,,由洛必達(dá)法則習(xí)題5-31.計算下列定積分:;;.解令則因此由于被積函數(shù)是奇函數(shù),因此由于被積函數(shù)是偶函數(shù),因此由于被積函數(shù)是偶函數(shù),因此由于被積函數(shù)是奇函數(shù),因此由于是以為周期的周期函數(shù),因此上式注意換元積分中，新的變量不寫出，則上、下限不能變；新的變量一旦寫出，則上、下限一定要變.3.證明：.分析本題由上、下限易看出所作的變量代換為.證令，則4.證明：證令則5.設(shè)在上連續(xù)，證明：證令，則因此由教材本節(jié)例知因此結(jié)論成立.6.若是連續(xù)的奇函數(shù)，證明是偶函數(shù)；若是連續(xù)的偶函數(shù)，證明是奇函數(shù).分析記，要證明是偶函數(shù)，只要證,即（所需變換由上、下限易看出）.證記，則若為奇函數(shù)，則所以是偶函數(shù)；若為偶函數(shù),則所以是奇函數(shù).7.計算下列定積分:解.所以所以令，則所以由教材本節(jié)的例6(2),可得：.從而.又當(dāng)時,習(xí)題5-41.判定下列各反常積分的收斂性,如果收斂,計算反常積分的值:解..為暇點，,即為暇點，由于即反常積分發(fā)散，所以反常積分發(fā)散.常見錯解.錯誤原因忽略是的無窮間斷點，而把它誤認(rèn)為定積分來計算，結(jié)果是錯誤的.為暇點，2.當(dāng)為何值時，反常積分收斂？當(dāng)為何值時，這反常積分發(fā)散？又當(dāng)為何值時，這反常積分取得最小值？.解當(dāng)時，當(dāng)時，故當(dāng)時，反常積分發(fā)散；當(dāng)時，反常積分收斂.收斂時反常積分的值為則，令，得唯一的駐點.當(dāng)時，;當(dāng)時，，所以當(dāng)時，最小.3.利用遞推公式計算反常積分.解時，；時，由洛必達(dá)法則：.因而，故.4.計算反常積分解總習(xí)題五1.填空函數(shù)在上有界是在上可積的條件,而在上連續(xù)是在上可積的條件;對上非負(fù)連續(xù)的函數(shù),它的變上限積分在上有界是反常積分收斂的條件;函數(shù)在上有定義且在上可積,此時積分存在.設(shè)函數(shù)連續(xù)，則.解必要,充分.充分必要.不一定.，所以原式2.以下兩題中給出了四個結(jié)論,從中選出一個正確的結(jié)論：設(shè)則估計值的大致范圍為設(shè)是連續(xù)函數(shù)的一個原函數(shù)，則必有是偶函數(shù)是奇函數(shù)是奇函數(shù)是偶函數(shù)是周期函數(shù)是周期函數(shù)是單調(diào)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)解當(dāng)時，所以即故選，是偶函數(shù)是奇函數(shù).故正確；如偶函數(shù)它的一個原函數(shù)非奇非偶.故錯誤；如周期函數(shù)，它的一個原函數(shù)不是周期函數(shù).故錯誤；如單調(diào)函數(shù)，它的一個原函數(shù)不是單調(diào)函數(shù).故錯誤.3.回答下列問題:設(shè)函數(shù)及在區(qū)間上連續(xù),且那么在幾何上表示什么?設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),且那么在幾何上表示什么?如果在時刻以的流量(單位時間內(nèi)流過的流體的體積或質(zhì)量)向以水池注水,那么表示什么?如果某國人口增長的速率為那么表示什么?如果一公司經(jīng)營某種產(chǎn)品的邊際利潤函數(shù)為那么表示什么?解表示由曲線以及直線所圍成的圖形的面積.表示面上,由曲線以及軸所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而得到的旋轉(zhuǎn)體的體積.表示在時間段內(nèi)向水池注入的水的總量.表示該國在時間段內(nèi)增加的人口總量.表示從經(jīng)營第個產(chǎn)品起一直到第個產(chǎn)品的利潤總量.4.利用定積分的定義計算下列極限:；.分析由定積分定義知，由此可求一些和式的極限.解5.求下列極限:；.解.6.下列計算是否正確,試說明理由:因為所以解不對,因為在上有間斷點不符合換元法的要求.事實上,不對.原因與相同.事實上,不對.因為當(dāng)時極限不存在,故發(fā)散,也就得到發(fā)散.注意：反常積分要化成上、下限只有一個是無窮大或無窮間斷點的反常積分之和討論.和式中每一個反常積分收斂，則原反常積分收斂；否則原反常積分發(fā)散.7.設(shè)證明證記則當(dāng)時,有由拉格朗日中值定理的推論,得而8.設(shè)，證明.分析關(guān)鍵是將兩邊的式子變形為定積分，注意到，所以，只要證明時，即可.證因為當(dāng)時，，所以及，兩邊同除得，因此而，所以9.設(shè)在區(qū)間上均連續(xù)，證明：(柯西-施瓦茨不等式)；(閔可夫斯基不等式).分析將看作是二次多項式根的判別式.則相應(yīng)的二次多項式為因為，所以只要證明.兩邊平方整理得，由的結(jié)論知上式成立.證因為，，即.上式左端是關(guān)于的二次多項式，并且從而有判別式，即，所以.由的結(jié)論知，即，于是，，即10.設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，且證明證根據(jù)上一題所證的柯西-施瓦茨不等式,有11.計算下列積分:;;;;;;;;;.解.分析本題考慮用變量代換使得原積分再現(xiàn)，即將上、下限分別為的積分化為上、下限分別為的積分.由積分上、下限知所作變換應(yīng)滿足.令，則.所以.作變換，則，.注意當(dāng)時,當(dāng)時,當(dāng)時,因此12.設(shè)為連續(xù)函數(shù)，證明.證方法一由分部積分公式得.所以.方法二令，則，，所以(常數(shù)).所以，即.13.設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，且證明:方程在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個根.證由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)可知在區(qū)間內(nèi)必有零點.根據(jù)可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增加,從而零點唯一,即方程在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個根.14.求,其中.解令，則15.設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，在區(qū)間上連續(xù)且不變號，證明至少存在一點，使下式成立：（積分第一中值定理）分析時,所以只要證明.其中分別為在上的最大、最小值.證由于在上連續(xù)，故可設(shè)分別為在上的最大、最小值.不妨設(shè)，則若，則由上式知，故結(jié)論成立；若則有由介值定理的推論知，必存在，使得故結(jié)論成立.五、自測題（滿分100分，時間120分鐘）填空題（每小題3分,共15分）1.設(shè)在上連續(xù)，則+；2.，則；3.；；4.設(shè)，且，則；5.設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，則.選擇題（每小題3分,共15分）1.=（）.（A）；（B）；（C）；（D）2.（）.（A）；（B）；（C）；（D）發(fā)散3.（）.（A）；（B）；（C）；（D）4.設(shè)連續(xù)，且則（）.（A）；（B）；（C）；（D）5.設(shè)則當(dāng)時，是的（）.（A）等價無窮小；（B）同階但非等價無窮小；（C）高階無窮小；（D）低階無窮小.計算下列積分（每小題6分,共36分）1.；2.；3.；4.；5.；6..（8分）求極限.（9分）設(shè)其中