概率論習(xí)題及答案習(xí)題詳解

概率論習(xí)題及答案習(xí)題詳解PAGEPAGE227習(xí)題七(A)1、設(shè)總體服從參數(shù)為和的二項(xiàng)分布，為取自的一個(gè)樣本，試求參數(shù)的矩估計(jì)量與極大似然估計(jì)量.解：由題意，的分布律為：.總體的數(shù)學(xué)期望為則.用替換即得未知參數(shù)的矩估計(jì)量為.設(shè)是相應(yīng)于樣本的樣本值，則似然函數(shù)為取對(duì)數(shù)，.令，解得的極大似然估計(jì)值為.從而得的極大似然估計(jì)量為.2,、設(shè)為取自總體的一個(gè)樣本,的概率密度為其中參數(shù)，求的矩估計(jì).解：取為母體的一個(gè)樣本容量為的樣本，則用替換即得未知參數(shù)的矩估計(jì)量為.3、設(shè)總體的一個(gè)樣本,的概率密度為

其中是未知參數(shù)，是已知常數(shù),求的最大似然估計(jì).解：設(shè)為樣本的一組觀測(cè)值，則似然函數(shù)為取對(duì)數(shù)解極大似然方程得的極大似然估計(jì)值為從而得的極大似然估計(jì)量為.4、設(shè)總體服從幾何分布

試?yán)脴颖局?求參數(shù)的矩估計(jì)和最大似然估計(jì).解：因,用替換即得未知參數(shù)的矩估計(jì)量為.在一次取樣下，樣本值即事件同時(shí)發(fā)生，由于相互獨(dú)立，得聯(lián)合分布律為,即得極大似然函數(shù)為取對(duì)數(shù)解極大似然方程得的極大似然估計(jì)值為從而得的極大似然估計(jì)量為.

5、設(shè)總體的概率密度為為未知參數(shù),為總體的一樣本,求參數(shù)的最大似然估計(jì).解：設(shè)為樣本的一組觀測(cè)值，則似然函數(shù)為取對(duì)數(shù)解極大似然方程得的極大似然估計(jì)值從而得的極大似然估計(jì)量為.6、證明第5題中的最大似然估計(jì)量為的無(wú)偏估計(jì)量.證明：由第5題知的最大似然估計(jì)量為故又從而，即是的無(wú)偏估計(jì).7,、設(shè)總體的概率密度為,為未知參數(shù),為總體的一個(gè)樣本,求參數(shù)的的矩估計(jì)量和最大似然估計(jì)量.解：因用替換即得未知參數(shù)的矩估計(jì)量為從而得未知參數(shù)的估計(jì)量為設(shè)為樣本的一組觀測(cè)值，則似然函數(shù)為取對(duì)數(shù)解極大似然方程得的極大似然估計(jì)值從而得未知參數(shù)的估計(jì)量為.8、設(shè)總體,已知,為未知參數(shù),為的一個(gè)樣本,,求參數(shù),使為的無(wú)偏估計(jì).解：由無(wú)偏估計(jì)的定義，要使為的無(wú)偏估計(jì)，則又由題意知總體，從而且由對(duì)稱(chēng)性有從而有，即.9、設(shè)是參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量,且有,試證不是的無(wú)偏估計(jì)量.證明：因?yàn)槭菂?shù)的無(wú)偏估計(jì)量，故，且有即不是的無(wú)偏估計(jì)量.10、設(shè)總體,是來(lái)自的樣本,試證：估計(jì)量;;

都是的無(wú)偏估計(jì),并指出它們中哪一個(gè)最有效.證明：總體,是來(lái)自的樣本，則即估計(jì)量都是的無(wú)偏估計(jì).又有，從而估計(jì)量最有效.11,、設(shè)是總體的一個(gè)樣本,,證明：是的相合估計(jì)量.證明：由題意，總體，則由樣本的獨(dú)立同分布性知，即是的無(wú)偏估計(jì).又，且故，有故是的相合估計(jì)量12、設(shè)總體的數(shù)學(xué)期望為,方差為,分別抽取容量為和的兩個(gè)獨(dú)立樣本,,分別為兩樣本均值,試證明:如果滿足,則是的無(wú)偏估計(jì)量,并確定,使得最小.解：由題意，，且,分別為容量為和的兩個(gè)獨(dú)立樣本得樣本均值，故，.當(dāng)時(shí)，有，即是的無(wú)偏估計(jì)量.令，由知函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)為，且，故為函數(shù)唯一極小值點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，最小.13、設(shè)是總體的一個(gè)樣本,的概率密度為,,未知，已知,試求的置信水平為的置信區(qū)間.解：由題意，統(tǒng)計(jì)量，則給定置信度為時(shí)，有由置信區(qū)間的定義知，的置信水平為的置信區(qū)間為.14、從大批彩色顯像管中隨機(jī)抽取100只,其平均壽命為10000小時(shí),可以認(rèn)為顯像管的壽命服從正態(tài)分布.已知均方差小時(shí),在置信水平0.95下求出這批顯像管平均壽命的置信區(qū)間.解：設(shè)是母體的樣本容量為的子樣，則顯像管平均壽命構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量，有由題意，查表可得，故顯像管平均壽命的置信度為的置信區(qū)間為：.15、設(shè)隨機(jī)地調(diào)查26年投資的年利潤(rùn)率(%),得樣本標(biāo)準(zhǔn)差,設(shè)投資的年利潤(rùn)率服從正態(tài)分布,求它的方差的區(qū)間估計(jì)(置信水平為0.95).解：由題意，構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量，則給定置信水平為，有取，查表可得，，故方差的置信度為的置信區(qū)間為.16,、從一批釘子中抽取16枚,測(cè)得其長(zhǎng)度為(單位:厘米)2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11.設(shè)釘子的長(zhǎng)度服從正態(tài)分布,試求總體均值的置信水平為0.90的置信區(qū)間.解：設(shè)是母體的樣本容量為的子樣，由題意知，.構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量，有由題意，查表可得，故顯像管平均壽命的置信度為的置信區(qū)間為：.17、生產(chǎn)一個(gè)零件所需時(shí)間(單位：秒),觀察25個(gè)零件的生產(chǎn)時(shí)間得,.試求和的置信水平為0.95的置信區(qū)間.解：設(shè)是母體的樣本容量為25的子樣，由題意知，.構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量，有由題意，查表可得，故參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間為：.構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量，則給定置信水平為，有取，查表可得，，故方差的置信度為的置信區(qū)間為.18、產(chǎn)品的某一指標(biāo)，已知，未知.現(xiàn)從這批產(chǎn)品中抽取只對(duì)該指標(biāo)進(jìn)行測(cè)定,問(wèn)需要多大,才能以95%的可靠性保證的置信區(qū)間長(zhǎng)度不大于0.01?19、設(shè)和兩批導(dǎo)線是用不同工藝生產(chǎn)的,今隨機(jī)地從每批導(dǎo)線中抽取5根測(cè)量其電阻,算得,,若批導(dǎo)線的電阻服從,批導(dǎo)線的電阻服從,求的置信水平為0.90的置信區(qū)間.20,、從甲乙兩個(gè)蓄電池廠的產(chǎn)品中分別抽取6個(gè)產(chǎn)品,測(cè)得蓄電池的容量(A.h)如下:甲廠140,138,143,141,144,137;乙廠135,140,142,136,138,140設(shè)蓄電池的容量服從正態(tài)分布,且方差相等,求兩個(gè)工廠生產(chǎn)的蓄電池的容量均值差的95%置信區(qū)間.（B）1、設(shè)總體的概率分別為0123其中是未知參數(shù),利用總體的如下樣本值:3,1,3,0,3,1,2,3求的矩估計(jì)值和最大似然估計(jì)值.解：由題意可知總體為離散型隨機(jī)變量，則總體的數(shù)學(xué)期望為有，由樣本值可知，用替換即得未知參數(shù)的矩估計(jì)量為，矩估計(jì)值.設(shè)是相應(yīng)于樣本的樣本值，則似然函數(shù)為取對(duì)數(shù)解極大似然方程有，從而又當(dāng)時(shí)，矛盾，故舍去.所以的最大似然估計(jì)值2、設(shè)和是參數(shù)的兩個(gè)相互獨(dú)立的無(wú)偏估計(jì)量,且方差,試確定常數(shù),使得是的無(wú)偏估計(jì)量,且在一切這樣的線性估計(jì)類(lèi)中方差最小.解：由題意，和是參數(shù)的兩個(gè)相互獨(dú)立的無(wú)偏估計(jì)量，則.要使得是的無(wú)偏估計(jì)量，有恒成立，即.又，相互獨(dú)立，且，則令，由知函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)為，且，故線性估計(jì)類(lèi)中方差最小時(shí)，.3、在測(cè)量反應(yīng)時(shí)間中,一心理學(xué)家估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.05秒,為了以0.95的置信水平使他對(duì)平均反應(yīng)時(shí)間的估計(jì)誤差不超過(guò)0.01秒,應(yīng)取多大的樣本容量.習(xí)題八1．在正常情況下，某煉鋼廠的鐵水含碳量（%）.一日測(cè)得5爐鐵水含碳量如下：4.48，4.40，4.42，4.45，4.47在顯著性水平下，試問(wèn)該日鐵水含碳量得均值是否有明顯變化.解：設(shè)鐵水含碳量作為總體，則，從中選取容量為5的樣本，測(cè)得.由題意，設(shè)原假設(shè)為構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，則在顯著性水平下，查表可得，拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為有顯著性變化.2．根據(jù)某地環(huán)境保護(hù)法規(guī)定，傾入河流的廢物中某種有毒化學(xué)物質(zhì)含量不得超過(guò)3ppm.該地區(qū)環(huán)保組織對(duì)某廠連日傾入河流的廢物中該物質(zhì)的含量的記錄為：.經(jīng)計(jì)算得知,.試判斷該廠是否符合環(huán)保法的規(guī)定.（該有毒化學(xué)物質(zhì)含量X服從正態(tài)分布）解：設(shè)有毒化學(xué)物質(zhì)含量作為總體，則，從中選取容量為15的樣本，測(cè)得，.由題意，設(shè)原假設(shè)為，備擇假設(shè)為.構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，則，在顯著性水平下,查表可得，即拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)，認(rèn)為該廠不符合環(huán)保的規(guī)定.3．某廠生產(chǎn)需用玻璃紙作包裝，按規(guī)定供應(yīng)商供應(yīng)的玻璃紙的橫向延伸率不應(yīng)低于65.已知該指標(biāo)服從正態(tài)分布，.從近期來(lái)貨中抽查了100個(gè)樣品，得樣本均值，試問(wèn)在水平上能否接受這批玻璃紙？解：設(shè)玻璃紙的橫向延伸率為總體，則，從中選取容量為100的樣本，測(cè)得.由題意，設(shè)原假設(shè)為，備擇假設(shè)為.構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，則在顯著性水平下,查表可得，即拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)，不能接受該批玻璃紙..4．某紡織廠進(jìn)行輕漿試驗(yàn)，根據(jù)長(zhǎng)期正常生產(chǎn)的累積資料，知道該廠單臺(tái)布機(jī)的經(jīng)紗斷頭率（每小時(shí)平均斷經(jīng)根數(shù)）的數(shù)學(xué)期望為9.73根，標(biāo)準(zhǔn)差為1.60根.現(xiàn)在把經(jīng)紗上漿率降低20%，抽取200臺(tái)布機(jī)進(jìn)行試驗(yàn)，結(jié)果平均每臺(tái)布機(jī)的經(jīng)紗斷頭率為9.89根，如果認(rèn)為上漿率降低后均方差不變，問(wèn)斷頭率是否受到顯著影響（顯著水平α=0.05）？解：設(shè)經(jīng)紗斷頭率為總體，則，，從中選取容量為200的樣本，測(cè)得.由題意，設(shè)原假設(shè)為，備擇假設(shè)為.構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，則在顯著性水平下,查表可得，即接受原假設(shè)，認(rèn)為斷頭率沒(méi)有受到顯著影響.5．某廠用自動(dòng)包裝機(jī)裝箱，在正常情況下，每箱重量服從正態(tài)分布.某日開(kāi)工后，隨機(jī)抽查10箱,重量如下（單位：斤）：99.3，98.9，100.5，100.1，99.9，99.7，100.0，100.2，99.5，100.9.問(wèn)包裝機(jī)工作是否正常，即該日每箱重量的數(shù)學(xué)期望與100是否有顯著差異?（顯著性水平α=0.05）解：設(shè)每箱重量為總體，則，從中選取容量為10的樣本，測(cè)得，.由題意，設(shè)原假設(shè)為，備擇假設(shè)為.構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，則，在顯著性水平下,查表可得，即接受原假設(shè)，認(rèn)為每箱重量無(wú)顯著差異.6．某自動(dòng)機(jī)床加工套筒的直徑X服從正態(tài)分布.現(xiàn)從加工的這批套筒中任取5個(gè)，測(cè)得直徑分別為(單位:)，經(jīng)計(jì)算得到,.試問(wèn)這批套筒直徑的方差與規(guī)定的有無(wú)顯著差別？（顯著性水平）解：設(shè)這批套筒直徑為總體，則，從中選取容量為5的樣本，測(cè)得，.由題意，設(shè)原假設(shè)為，備擇假設(shè)為.構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，則，在顯著性水平下,查表可得，，從而，即接受原假設(shè)，認(rèn)為這批套筒直徑的方差與規(guī)定的無(wú)顯著差別.7.甲、乙兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)獨(dú)立地加工某種軸，軸的直徑分別服從正態(tài)分布、（未知）.今從甲機(jī)床加工的軸中隨機(jī)地任取6根，測(cè)量它們的直徑為，從乙機(jī)床加工的軸中隨機(jī)地任取9根，測(cè)量它們的直徑為，經(jīng)計(jì)算得知：,問(wèn)在顯著性水平下，兩臺(tái)機(jī)床加工的軸的直徑方差是否有顯著差異？解：設(shè)兩臺(tái)機(jī)床加工的軸的直徑分別為總體，則、，從總體中選取容量為6的樣本，測(cè)得從總體中選取容量為9的樣本，測(cè)得由題意，設(shè)原假設(shè)為，備擇假設(shè)為.構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，則，在顯著性水平下,查表可得，，從而，即接受原假設(shè)，認(rèn)為兩臺(tái)機(jī)床加工的軸的直徑方差無(wú)顯著差異.8.某維尼龍廠根據(jù)長(zhǎng)期正常生產(chǎn)積累的資料知道所生產(chǎn)的維尼龍纖度服從正態(tài)分布，它的標(biāo)準(zhǔn)差為0.048.某日隨機(jī)抽取5根纖維，測(cè)得其纖度為1.32，1.55，1.36，1.40，1.44.問(wèn)該日所生產(chǎn)得維尼龍纖度的均方差是否有顯著變化（顯著性水平α=0.1）？解：