考研數(shù)學(xué)三(常微分方程與差分方程)模擬試卷18(題后含答案及解析)

考研數(shù)學(xué)三（常微分方程與差分方程）模擬試卷18(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求。1．二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y’’-2y’-3y=(2x+1)e-x的特解形式為()A．(ax+b)e-xB．x2e-xC．x2(ax+b)e-xD．x(ax+b)e-x正確答案：D解析：方程y’’-2y’-3y=(2x+1)e-x的特征方程為λ2-2λ-3=0，特征值為λ1=-1，λ2=3。由于λ=-1是特征方程的一個單根，故方程y’’-2y’-3y=(2x+1)e-x的特解形式為x(ax+b)e-x。故選D。知識模塊：常微分方程與差分方程2．設(shè)y=y(x)是二階常系數(shù)微分方程y’’+py’+qy=e3x滿足初始條件y(0)=y’(0)=0的特解，則當x→0時，函數(shù)的極限()A．不存在B．等于1C．等于2D．等于3正確答案：C解析：因y(0)=y’(0)=0，In(1+0)=0，故利用洛必達法則，有由y’’+py’+qy=e3x知y’’(x)連續(xù)且y’’(0)=e0=1，故所求極限等于2。故選C。知識模塊：常微分方程與差分方程3．對于微分方程y’’-4y’+4y=0，函數(shù)C1C2xe2x(C1，C2為任意常數(shù))為()A．方程的通解B．方程的特解C．非方程的解D．是解，但不是通解也不是特解正確答案：D解析：令f(x)=C1C2xe2x，C1、C2為任意常數(shù)，將f(x)，f’(x)及f’’(x)代入所給微分方程中，且滿足方程y’’-4y’+4y=0，故C1C2xe2x是方程的解，因為含有任意常數(shù)，所以不是特解，又因為C1C2實質(zhì)上是一個任意常數(shù)，而方程是二階微分方程，由通解的結(jié)構(gòu)知應(yīng)含有兩個任意常數(shù)，故C1C2xe2x不是通解。故選D。知識模塊：常微分方程與差分方程4．設(shè)y=y(x)是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y’’+Py’+Qy=3e2x滿足初始條件y(0)=y’(0)=0的特解，則極限=()A．B．C．D．正確答案：B解析：在微分方程y’’+Py’+Qy=3e2x中，取x=0得y’’(0)+Py’(0)+Qy(0)=3，由y(0)=y’(0)=0，得y’’(0)=3。則有故選B。知識模塊：常微分方程與差分方程5．設(shè)φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)為二階非齊次線性方程y’’+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三個線性無關(guān)的解，則該方程的通解為()A．C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2φ3(x)B．C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2φ3(x)C．C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2[φ1(x)-φ3(x)]D．C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C1+C2+C3=1正確答案：D解析：因為φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)為方程y’’+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三個線性無關(guān)解，所以φ1(x)-φ3(x)，φ2(x)-φ3(x)為所對應(yīng)齊次方程y’’+a1(x)y’+a2(x)y=0的兩個線性無關(guān)解。根據(jù)非齊次線性方程通解的結(jié)構(gòu)，方程y’’+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的通解為C1[φ1(x)-φ3(x)]+C2[φ2(x)-φ3(x)]+φ3(x)，也就是C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C3=1-C1-C2或C1+C2+C3=1。故選D。知識模塊：常微分方程與差分方程6．設(shè)常系數(shù)線性微分方程y’’+ay’+by=0的通解為y=e-x(C1cosx+C2sinx)，其中C1，C2是任意常數(shù)，則a+b等于()A．-2B．0C．2D．4正確答案：D解析：由所給通解可知，方程的特征根為λ1，2=-1±i，則所給方程的特征方程為[λ-(-1+i)][λ-(-1-i)]=0，于是得λ2+2λ+2=0，由對應(yīng)關(guān)系，故a=2，b=2，那么a+b=4。故選D。知識模塊：常微分方程與差分方程7．如果y=cos2x是微分方程y’+P(x)y=0的一個特解，則該方程滿足初始條件y(0)=2的特解為()A．y=cos2x+2B．y=cos2x+1C．y=2cosxD．y=2cos2x正確答案：D解析：因為y=cos2x是微分方程y’+P(x)y=0的一個特解。將其代入微分方程，得-2sin2x+P(x)cos2x=0，所以得P(x)=2tan2x。則原微分方程為y’+2tan2x﹒y=0，這是一個變量可分離的微分方程，分離變量得等式兩邊積分，得即In︱y︱=In︱cos2x︱+In︱C︱，于是得y=Ccos2x。由y(0)=2，得C=2。故所求特解為y=2cos2x。故選D。知識模塊：常微分方程與差分方程8．微分方程①，②，③y2dx-(y2+2xy-y)dy=0中，屬于一階線性微分方程的是()A．①B．②C．③D．①②③均不是正確答案：C解析：可直接觀察出方程①和②不是一階線性微分方程。對于方程③，將其變形為將x看成未知函數(shù)，y為自變量，則該方程就是一階線性微分方程。故選C。知識模塊：常微分方程與差分方程9．微分方程y’’-4y=x+2的通解為()A．B．C．D．正確答案：D解析：對應(yīng)齊次微分方程y’’-4y=0的特征方程為λ2-4=0，特征值為λ1=-2，λ2=2，則齊次方程y’’-4y=0的通解為C1e-2x+C2e2x，根據(jù)選項進行驗證知，方程y’’-4y=x+2有特解。故選D。知識模塊：常微分方程與差分方程填空題10．設(shè)f(x)連續(xù)，且，則f(x)=_____________________。正確答案：In(x+1)解析：令y=f(x)，兩邊對x求導(dǎo)數(shù)，得，即ef(x)=x+C。因為f(0)=0，所以在ef(x)=x+C兩邊，令x=0，得C=1，所以有ef(x)=x+1→f(x)=In(x+1)。知識模塊：常微分方程與差分方程11．微分方程y’+ytanx=cosx的通解為y=_____________________。正確答案：(x+C)cosx，其中C為任意常數(shù)解析：此一階線性微分方程的p(x)=tanx，q(x)=cosx，則由通解公式其中C為任意常數(shù)。知識模塊：常微分方程與差分方程12．設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)滿足，則f(x)=_____________________。正確答案：2e2x-ex解析：因，所以可化為，兩邊求導(dǎo)得f’(x)-2f(x)=ex，解此一階微分方程得因為f(0)=1，所以有f(0)=C-1=1，得C=2，于是f(x)=2e2x-ex。知識模塊：常微分方程與差分方程13．差分方程yx+1-3yx=2﹒3x的通解為_____________________。正確答案：y(x)=A3x+2x3x-1，其中A為任意常數(shù)解析：由通解公式，則齊次差分方程yx+1-3yx=0的通解為y=A3x，A為任意常數(shù)。根據(jù)差分方程yx+1-ayx=b﹒dx中a，d間的關(guān)系：a-d=3-3=0，可設(shè)差分方程yx+1-3yx=2﹒3x的特解為，其中C為特定常數(shù)，將代入方程yx+1-3yx=2﹒3x，即C(x+1)﹒3x+1-3Cx3x=2﹒3x，整理后比較系數(shù)得。故原差分方程的通解為y(x)=A3x+2x3x-1，其中A為任意常數(shù)。知識模塊：常微分方程與差分方程14．設(shè)y(x)為微分方程y’’-4y’+4y=0滿足初始條件y(0)=1，y’(0)=2的特解，則=_____________________。正確答案：解析：經(jīng)計算得，微分方程y’’-4y’+4y=0的通解為y=(C1+C2x)e2x。且由初始條件y(0)=1，y’(0)=2得C1=1，C2=0，即y=e2x。于是知識模塊：常微分方程與差分方程15．設(shè)y=y(x)可導(dǎo)，y(0)=2，令△y=y(x+△x)-y(x)，且，其中α是當△x→0時的無窮小量，則y(x)=_____________________。正確答案：解析：由，其中α是當△x→0時的無窮小量，得，即，由一階微分方程通解公式得，再由y(0)=2，得C=2，所以。知識模塊：常微分方程與差分方程16．微分方程y’’-y’-2y=e2x的通解為_____________________。正確答案：，其中C1，C2為任意常數(shù)解析：對應(yīng)齊次方程的特征方程為λ2-λ-2=0，特征根為λ1=-1，λ2=2，因λ=2是特征方程的一個單根，故令特解為y*=Axe2x，代入原方程得。所以通解為，其中C1，C2為任意常數(shù)。知識模塊：常微分方程與差分方程17．微分方程y’+y=e-xcosx滿足條件y(0)=0的解為y=_____________________。正確答案：e-xsinx解析：由一階線性微分方程通解公式，原方程的通解為由y(0)=0，得C=0，故所求特解為e-xsinx。知識模塊：常微分方程與差分方程18．微分方程的通解為_____________________。正確答案：，其中C為任意常數(shù)解析：由，得，即。令z=ey，則，由一階線性微分方程通解公式解得，將ey=z代回，故得原方程的通解為，其中C為任意常數(shù)。知識模塊：常微分方程與差分方程19．差分方程yt+1-yt=t﹒2t的通解為_____________________。正確答案：yt=A+2t(t-2)，A為任意常數(shù)解析：相應(yīng)的齊次差分方程為yt+1-yt=0，特征方程為λ-1=0，特征根為λ=1，齊次差分方程的通解為Yt=A。對應(yīng)于差分方程yt+1-ayt=t﹒dt，由于a=1，d=2，a≠d。故設(shè)特解yt*=2t(B0+B1t)，代入原差分方程可得B0=-2，B1=1，故yt*=2t(t-2)，因此原差分方程的通解為yt=A+2t(t-2)，A為任意常數(shù)。知識模塊：常微分方程與差分方程20．微分方程xy’-y[In(xy)-1]=0的通解為_____________________。正確答案：In(xy)=Cx解析：令xy=u，則，代入原方程得，分離變量得，積分得InInu=Inx+InC，即Inu=Cx，所以原方程的通解為In(xy)=Cx。知識模塊：常微分方程與差分方程解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。21．已知y1=xex+e2x，y2=xex-e-x，y3=xex+e2x+e-x，求f(u)。正確答案：由已知可得代入原方程，得f’’(u)e2x=e2xf(u)，即有f’’(u)-f(u)=0。解得其通解為f(u)=C1eu+C2e-u，其中C1、C2為任意常數(shù)。涉及知識點：常微分方程與差分方程24．設(shè)需求函數(shù)為。(Ⅰ)求需求彈性；(Ⅱ)分別就P=3，P=5，P=6時，求需求彈性，分析其經(jīng)濟學(xué)意義。正確答案：(Ⅰ)由彈性公式。(Ⅱ)當p=3時，εQd︱p=0.6＜1，說明價格上升1％時，需求下降0.6％，需求變動的幅度小于價格變動的幅度。當P=5時，εQd︱p=1，說明價格上升1％時，需求下降1％，此時需求變動的幅度與價格變動的幅度相同。當P=6時，εQd︱p=1.2＞1，說明價格上升1％時，需求下降1.2％時，需求變動的幅度大于價格變動的幅度。涉及知識點：常微分方程與差分方程25．設(shè)f(x)連續(xù)，且滿足，求f(x)。正確答案：令x-t=u，則1所以有，等式兩端求導(dǎo)得即等式兩端再次求導(dǎo)f’(x)=f(x)。解此微分方程得f(x)=Cex。又由f(0)=1，得c=1，故f(x)=ex。涉及知識點：常微分方程與差分方程26．設(shè)有連續(xù)兩點A(0，1)與B(1，0)且位于弦AB上方的一條上凸的曲線，P(x，y)為曲線上任一點。已知曲線與弦AP之間的面積為P點橫坐標的立方，求曲線方程。正確答案：如下圖所示，設(shè)曲線方程y=f(x)，則弦AP的方程為即。根據(jù)題意，于是有化簡整理，得兩邊對x求導(dǎo)，得即由一階線性微分方程通解公式，得由f(1)=0，得C=5，因此所求曲線方程為f(x)=-6x2+5x+1。涉及知識點：常微分方程與差分方程27．設(shè)函數(shù)y=y(x)在(-∞，+∞)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且y’(x)≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函數(shù)。(Ⅰ)試將x=x(y)所滿足的微分方程變換為y=y(x)滿足的微分方程；(Ⅱ)求變換后的微分方程滿足初始條件y(0)=0，的解。正確答案：(Ⅰ)由反函數(shù)求導(dǎo)法則，，則將以上兩式代入所給微分方程得y’’-y=sinx。(Ⅱ)由(Ⅰ)中結(jié)果，則對應(yīng)齊次方程的特征方程為λ2-1=0，特征根為λ=±1。由于i不是特征方程的根，故設(shè)非齊次待定特解為y*=Acosx+Bsinx，并將y*，(y*)’及(y*)’’代入y’’-y=sinx，得A=0，。則非齊次方程通解為。又由y(0)=0，可得，C1，C2=-1。故所求特解為涉及知識點：常微分方程與差分方程28．設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，+∞)上連續(xù)，若曲線y=f(x)與直線x=1，x=t(t＞1)及x軸所圍平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積為，求f(x)滿足的微分方程，并求滿足初值的解。正確答案：由題設(shè)可得即等式兩邊同時對t求導(dǎo)，得3f2(t)=2tf(t)+t2f’(t)，即f(x)所滿足的微分方程x2f’(x)+2xf(x)=3f2(x)。記y=f(t)，則有這是關(guān)于y，t的齊次方程，令，則方程化為即有兩端積分得In︱u-1︱-In︱u︱=3In︱t︱+In︱C︱，即有即有于是。由