陜西省西安市交大附中分校高三數(shù)學文期末試題含解析

陜西省西安市交大附中分校高三數(shù)學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在半徑為R的半球內有一內接圓柱，則這個圓柱的體積的最大值是（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A解：設圓柱的高為h,則圓柱的底面半徑為，圓柱的體積為V==

(0<h<R),,時V有最大值為。

2.已知圓C的方程為，點M在直線上，則圓心C到點M的最小距離為A.

B.

C.

D.參考答案：C3.已知函數(shù)，且，則的值是（）A.

B.

C.

D.參考答案：A：因為，所以，所以，故選A.4.已知命題：，則是（

）A．

B．C．

D．參考答案：A略5.i是虛數(shù)單位，若(a,b∈R)，則lg(a+b)的值是A．-2 B． -1 C．0 D．參考答案：C6.函數(shù)的導函數(shù)為，對R，都有成立，若，則不等式的解是（▲）。A.

B．

C．

D．參考答案：A略7.若存在實常數(shù)和，使得函數(shù)和對其公共定義域上的任意實數(shù)都滿足：和恒成立，則稱此直線為和的“隔離直線”．已知函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù))，，．有下列命題：①在遞減；②和存在唯一的“隔離直線”；③和存在“隔離直線”，且的最大值為；④函數(shù)和存在唯一的隔離直線．其中真命題的個數(shù)

（A）個

（B）個

（C）個

（D）個參考答案：C8.經過圓x2+y2﹣2x+2y=0的圓心且與直線2x﹣y=0平行的直線方程是（）A．2x﹣y﹣3=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．2x﹣y+3=0 D．x+2y+1=0參考答案：A【考點】J9：直線與圓的位置關系．【分析】求出圓的圓心坐標，直線的斜率，然后求解直線方程即可．【解答】解：圓x2+y2﹣2x+2y=0的圓心（1，﹣1），與直線2x﹣y=0平行的直線的斜率為：2，所求直線方程為：y+1=2（x﹣1）．∴2x﹣y﹣3=0．故選：A．【點評】本題考查圓的方程的應用，直線與直線的位置關系的應用，考查計算能力．9.若變量x，y滿足約束條件，且z＝2x＋y的最大值和最小值分別為m和n，則m－n等于A．5

B．6

C．7

D．8參考答案：B作出不等式組對應的平面區(qū)域，如圖所示，由，得，平移直線，由圖象可知當直線經過點時，直線的截距最大，此時有最大值，由，解得，所以，直線經過點時，有最小值，由，解得，所以，所以，故選B.

10.某醫(yī)務人員說：“包括我在內，我們社區(qū)診所醫(yī)生和護士共有16名．無論是否把我算在內．下面說法都是對的，在遮些醫(yī)務人員中：護士多于醫(yī)生；女醫(yī)生多于女護士；女護士多于男護。士；至少有一名男醫(yī)生，”請你推斷說話的人的性別與職業(yè)是A．男醫(yī)生

B．男護士

C．女醫(yī)生

D．女護士參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知x，y滿足約束條件的最小值是

.參考答案：12.已知正數(shù)x、y，滿足＝1，則x＋2y的最小值

.參考答案：1813.等比數(shù)列（）中，若，，則

.參考答案：64在等比數(shù)列中，，即，所以，。所以。14.（幾何證明選講）如圖，AB是半圓O的直徑，點C在半圓上，CD⊥AB于點D，且AD＝3DB，設∠COD＝，則＝＿＿＿參考答案：15.已知，且，則的值是

.參考答案：答案：

16.在區(qū)間（0，2）內任取兩數(shù)m，n（m≠n），則橢圓的離心率大于的概率是

．參考答案：【考點】幾何概型；橢圓的簡單性質．【專題】計算題．【分析】由已知中在區(qū)間（0，2）內任取兩個實數(shù)，我們易求出該基本事件對應的平面區(qū)域的大小，再求了滿足條件橢圓的離心率大于對應的平面區(qū)域的面積大小，代入幾何概型公式，即可得到答案．【解答】解：區(qū)間（0，2）內任取兩個實數(shù)計為（m，n），則點對應的平面區(qū)域為下圖所示的正方形，當m＞n時，橢圓的離心率e=＞，化簡得，m＞2n；當M＜n時，橢圓的離心率e=＞，化簡得，n＞2m；故其中滿足橢圓的離心率大于時，有m＞2n或n＞2m．它表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示：其中正方形面積S=4，陰影部分面積S陰影=2××2×1=2．∴所求的概率P==故答案為：．【點評】本題考查的知識點是幾何概型，其中計算出總的基本事件對應的幾何圖形的面積及滿足條件的幾何圖形的面積是解答本題的關鍵．17.在直角梯形ABCD中，AB=2DC=2AD=2,∠DAB=∠ADC=90°，將△DBC沿BD向上折起，使面ABD垂直于面BDC，則C－DAB三棱錐的外接球的體積為-________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知角是的內角，分別是其對邊長，且.（1）若，求的長；（2）設的對邊，求面積的最大值.參考答案：（1）；（2）.

略19.已知函數(shù).（Ⅰ）若不等式的解集為，，求的取值范圍；（Ⅱ）若為整數(shù)，，且函數(shù)在上恰有一個零點，求的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若函數(shù)對任意的x∈，有恒成立，求實數(shù)的最小值.參考答案：解：（Ⅰ）由題知------2分，∈（2，+∞）----4分（Ⅱ）時，f(x)=－2x+1,零點為，不合，舍去；------1分時，∵∴

，，∴函數(shù)必有兩個零點，又函數(shù)在上恰有一個零點，∴------4分，又，∴

----6分（Ⅲ），，整理得

--------2分令H(x)=，，在（1，+∞）上單調增，又，>0,-----4分

∴H(x)=在（1，+∞）單調增，，k≥1,k的最小值為1.----6分略20.已知函數(shù)，為的導函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的極值；（2）若，使成立，求實數(shù)a的最小值.參考答案：（1）見解析；（2）【分析】（1）寫出函數(shù)定義域，求導數(shù)得導函數(shù)的零點，列表即可寫出函數(shù)的極值（2）原不等式成立可轉化為，而通過換元令，可求其最大值為1，原題轉化為存在，，即，利用導數(shù)求，的最小值即可.【詳解】（1）的定義域為，當時，，令，得，列表得--0+極小值

所以當時，取得極小值，且極小值為；無極大值.（2）若，使成立由（1）知，，所以，令，則原式的最大值為1，故存在，，即，化，令，，則.對于函數(shù)，（），，當時，取最大值為，所以，所以，故恒成立，在為減函數(shù)，最小值為，所以，的最小值為.【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)求函數(shù)的極值，利用導數(shù)研究不等式成立的問題，涉及存在性問題，構造函數(shù)利用導數(shù)求其最大最小值問題，換元法，屬于難題.此類問題要注意理解存在性和恒成立的差別，結合具體問題實現(xiàn)正確轉換為最大值和最小值是關鍵.21..已知為橢圓上兩點，過點P且斜率為的兩條直線與橢圓M的交點分別為B，C.（Ⅰ）求橢圓M的方程及離心率；（Ⅱ）若四邊形PABC為平行四邊形，求k的值．參考答案：（Ⅰ），離心率；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）由題列a,b方程組，即可求解橢圓方程，再由a,b,c關系，求解離心率；（Ⅱ）設直線的方程為，與橢圓聯(lián)立消去y,得x的方程，求點B坐標，同理求點C坐標，進而得再由，得k方程求解即可【詳解】（I）由題意得解得所以橢圓的方程為.又，所以離心率.（II）設直線的方程為，由消去，整理得.當時，設，則，即.將代入，整理得，所以.所以.所以.同理.所以直線的斜率.又直線的斜率，所以.因為四邊形為平行四邊形，所以.所以，解得或.時，與重合，不符合題意，舍去.所以四邊形平行四邊形時，.【點睛】本題考查橢圓方程，直線與橢圓位置關系，韋達定理，設而要求的思想，準確求得B,C坐標且推得是本題關鍵，是中檔題22.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PBC⊥平面ABCD，．（1）證明：平面PAB⊥平面PCD；（2）若，E為棱CD的中點，，，求二面角的余弦值．參考答案：（1）見解析；（2）分析：（1）由四邊形為矩形，可得，再由已知結合面面垂直的性質可得平面，進一步得到，再由，利用線面垂直的判定定理可得面，即可證得平面；（2）取的中點，連接，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，由題得，解得.

進而求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解二面角的余弦值.詳解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD⊥BC.∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，CD平面ABCD，∴CD⊥平面PBC，∴CD⊥PB.

∵PB⊥PD，CD∩PD=D，CD、PD平面PCD，∴PB⊥平面PCD.∵PB平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD.（2）設BC中點為,連接，，又面面，且面面，所以面.

以為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系.由（1）知PB⊥平面PCD，故PB⊥，設，可得

所以由題得，解得.

所以設是平面的法向量，則，即，可取.設是平面的法向量，則，即，可取.