2024屆浙江省杭州市下學(xué)期高考全國(guó)統(tǒng)考預(yù)測(cè)密卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2024屆浙江省杭州市下學(xué)期高考全國(guó)統(tǒng)考預(yù)測(cè)密卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交該拋物線于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).若，則直線的斜率為()A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，則實(shí)數(shù)a為（）A． B．2 C． D．3．費(fèi)馬素?cái)?shù)是法國(guó)大數(shù)學(xué)家費(fèi)馬命名的,形如的素?cái)?shù)(如：)為費(fèi)馬索數(shù),在不超過(guò)30的正偶數(shù)中隨機(jī)選取一數(shù),則它能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的概率是()A． B． C． D．4．中國(guó)鐵路總公司相關(guān)負(fù)責(zé)人表示，到2018年底，全國(guó)鐵路營(yíng)業(yè)里程達(dá)到13.1萬(wàn)公里，其中高鐵營(yíng)業(yè)里程2.9萬(wàn)公里，超過(guò)世界高鐵總里程的三分之二，下圖是2014年到2018年鐵路和高鐵運(yùn)營(yíng)里程（單位：萬(wàn)公里）的折線圖，以下結(jié)論不正確的是（）A．每相鄰兩年相比較，2014年到2015年鐵路運(yùn)營(yíng)里程增加最顯著B(niǎo)．從2014年到2018年這5年，高鐵運(yùn)營(yíng)里程與年價(jià)正相關(guān)C．2018年高鐵運(yùn)營(yíng)里程比2014年高鐵運(yùn)營(yíng)里程增長(zhǎng)80%以上D．從2014年到2018年這5年，高鐵運(yùn)營(yíng)里程數(shù)依次成等差數(shù)列5．若樣本的平均數(shù)是10，方差為2，則對(duì)于樣本，下列結(jié)論正確的是（）A．平均數(shù)為20，方差為4 B．平均數(shù)為11，方差為4C．平均數(shù)為21，方差為8 D．平均數(shù)為20，方差為86．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過(guò)右頂點(diǎn)A且與x軸垂直的直線交雙曲線的一條漸近線于M點(diǎn)，MF的中點(diǎn)恰好在雙曲線C上，則C的離心率為（）A． B． C． D．7．已知拋物線C：，過(guò)焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)（A在x軸上方），且滿足，則直線l的斜率為（）A．1 B．C．2 D．38．已知拋物線,過(guò)拋物線上兩點(diǎn)分別作拋物線的兩條切線為兩切線的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)若,則直線與的斜率之積為（）A． B． C． D．9．若兩個(gè)非零向量、滿足，且，則與夾角的余弦值為（）A． B． C． D．10．已知集合，，，則集合()A． B． C． D．11．集合的真子集的個(gè)數(shù)為()A．7 B．8 C．31 D．3212．若，則“”的一個(gè)充分不必要條件是A． B．C．且 D．或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，求____________.14．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則＝_______．15．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的值域是，則的取值范圍是__________.16．已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為1．,點(diǎn)、分別為線段、上的動(dòng)點(diǎn),則取值的集合為_(kāi)_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的極值；（2）記關(guān)于的方程的兩根分別為，求證：.18．（12分）已知奇函數(shù)的定義域?yàn)?，且?dāng)時(shí)，.（1）求函數(shù)的解析式；（2）記函數(shù)，若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）設(shè)的最小值為，正數(shù)，滿足，證明：.20．（12分）在四棱錐的底面是菱形，底面，，分別是的中點(diǎn)，.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；（III）在邊上是否存在點(diǎn)，使與所成角的余弦值為，若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由.21．（12分）若函數(shù)在處有極值，且，則稱為函數(shù)的“F點(diǎn)”.（1）設(shè)函數(shù)（）.①當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；②若函數(shù)存在“F點(diǎn)”，求k的值；（2）已知函數(shù)（a，b，，）存在兩個(gè)不相等的“F點(diǎn)”，，且，求a的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù)，，（1）討論的單調(diào)性；（2）若在定義域內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且此時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合，求出的坐標(biāo)，然后求出的斜率即可．【詳解】解：拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，則，故，此時(shí)，即．則直線的斜率．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義，直線斜率公式，屬于中檔題．2、D【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由實(shí)部為求得值．【詳解】解：在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，，即．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．3、B【解析】

基本事件總數(shù)，能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和只有，，，共有個(gè)，根據(jù)古典概型求出概率．【詳解】在不超過(guò)的正偶數(shù)中隨機(jī)選取一數(shù)，基本事件總數(shù)能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的只有，，，共有個(gè)則它能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的概率是本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查列舉法解決古典概型問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．4、D【解析】

由折線圖逐項(xiàng)分析即可求解【詳解】選項(xiàng)，顯然正確；對(duì)于，，選項(xiàng)正確；1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差數(shù)列，故錯(cuò).故選：D【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí),是基礎(chǔ)題5、D【解析】

由兩組數(shù)據(jù)間的關(guān)系,可判斷二者平均數(shù)的關(guān)系,方差的關(guān)系,進(jìn)而可得到答案.【詳解】樣本的平均數(shù)是10，方差為2，所以樣本的平均數(shù)為,方差為.故選:D.【點(diǎn)睛】樣本的平均數(shù)是，方差為，則的平均數(shù)為,方差為.6、A【解析】

設(shè)，則MF的中點(diǎn)坐標(biāo)為，代入雙曲線的方程可得的關(guān)系，再轉(zhuǎn)化成關(guān)于的齊次方程，求出的值，即可得答案.【詳解】雙曲線的右頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，M所在直線為，不妨設(shè)，∴MF的中點(diǎn)坐標(biāo)為.代入方程可得，∴，∴，∴（負(fù)值舍去）.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意構(gòu)造的齊次方程.7、B【解析】

設(shè)直線的方程為代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理可得,,由可知所以可得代入化簡(jiǎn)求得參數(shù),即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，（，）.易知直線l的斜率存在且不為0，設(shè)為，則直線l的方程為.與拋物線方程聯(lián)立得，所以，.因?yàn)?，所以，得，所以，即，，所?故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理及向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系,考查計(jì)算能力，屬于中檔題.8、A【解析】

設(shè)出A，B的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出過(guò)A，B的切線的斜率，結(jié)合，可得x1x2＝﹣1．再寫(xiě)出OA，OB所在直線的斜率，作積得答案．【詳解】解：設(shè)A（），B（），由拋物線C：x2＝1y，得，則y′．∴，，由，可得，即x1x2＝﹣1．又，，∴．故選：A．點(diǎn)睛：（1）本題主要考查拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是解題的思路，由于與切線有關(guān)，所以一般先設(shè)切點(diǎn)，先設(shè)A,B,,再求切線PA,PB方程，求點(diǎn)P坐標(biāo)，再根據(jù)得到最后求直線與的斜率之積.如果先設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，計(jì)算量就大一些.9、A【解析】

設(shè)平面向量與的夾角為，由已知條件得出，在等式兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律可求得的值，即為所求.【詳解】設(shè)平面向量與的夾角為，，可得，在等式兩邊平方得，化簡(jiǎn)得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用平面向量的模求夾角的余弦值，考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.10、D【解析】

根據(jù)集合的混合運(yùn)算，即可容易求得結(jié)果.【詳解】，故可得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的混合運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.11、A【解析】

計(jì)算，再計(jì)算真子集個(gè)數(shù)得到答案.【詳解】，故真子集個(gè)數(shù)為：.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的真子集個(gè)數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.12、C【解析】，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故“且”是“”的充分不必要條件.選C．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

求出向量的坐標(biāo)，然后利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】，，，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

先把復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后利用求模公式可得結(jié)果.【詳解】．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)模的求解，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算把復(fù)數(shù)化為的形式是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).15、.【解析】

配方求出頂點(diǎn)，作出圖像，求出對(duì)應(yīng)的自變量，結(jié)合函數(shù)圖像，即可求解.【詳解】，頂點(diǎn)為因?yàn)楹瘮?shù)的值域是，令，可得或.又因?yàn)楹瘮?shù)圖象的對(duì)稱軸為，且，所以的取值范圍為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)值域，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)三角形各點(diǎn)的坐標(biāo),依題意求出,,,的表達(dá)式,再進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算,最后求和即可得出結(jié)果.【詳解】解:以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為軸,線段的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,則,,,,則,,,設(shè),,,即點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,,,所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)表示和線性運(yùn)算,以及平面向量基本定理和數(shù)量積的運(yùn)算,是中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)參數(shù)討論，得函數(shù)單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出極值；（2）是方程的兩根，代入方程，化簡(jiǎn)換元，構(gòu)造新函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性求最值可解.【詳解】（1）依題意，；若，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)既無(wú)極大值，也無(wú)極小值；若，則，令，解得，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)有極大值，無(wú)極小值；若，則，令，解得，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)有極大值，無(wú)極小值；（2）依題意，，則，，故，；要證：，即證，即證：，即證，設(shè)，只需證：，設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，故，即，故.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)極值及利用導(dǎo)數(shù)證明二元不等式.證明二元不等式常用方法是轉(zhuǎn)化為證明一元不等式，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本方法：(1)若與的最值易求出，可直接轉(zhuǎn)化為證明；(2)若與的最值不易求出，可構(gòu)造函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性或最值，證明.18、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)奇函數(shù)定義，可知；令則，結(jié)合奇函數(shù)定義即可求得時(shí)的解析式，進(jìn)而得函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)零點(diǎn)定義，可得，由函數(shù)圖像分析可知曲線與直線在第三象限必1個(gè)交點(diǎn)，因而需在第一象限有2個(gè)交點(diǎn)，將與聯(lián)立，由判別式及兩根之和大于0，即可求得的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，且，故；當(dāng)時(shí)，，，則；故.（2）令，解得，畫(huà)出函數(shù)關(guān)系如下圖所示，要使曲線與直線有3個(gè)交點(diǎn)，則2個(gè)交點(diǎn)在第一象限，1個(gè)交點(diǎn)在第三象限，聯(lián)立，化簡(jiǎn)可得，令，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式，分段函數(shù)圖像畫(huà)法，由函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，屬于中檔題.19、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）將表示為分段函數(shù)的形式，由此求得不等式的解集.（2）利用絕對(duì)值三角不等式求得的最小值，利用分析法，結(jié)合基本不等式，證得不等式成立.【詳解】（1），不等式，即或或，即有或或，所以所求不等式的解集為.（2），，因?yàn)?，，所以要證，只需證，即證，因?yàn)椋灾灰C，即證，即證，因?yàn)椋灾恍枳C，因?yàn)椋猿闪?，所?【點(diǎn)睛】本小題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，考查分析法證明不等式，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題.20、（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）見(jiàn)解析.【解析】

(Ⅰ)由題意結(jié)合幾何關(guān)系可證得平面，據(jù)此證明題中的結(jié)論即可；(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系，求得直線的方向向量與平面的一個(gè)法向量，然后求解線面角的正弦值即可；(Ⅲ)假設(shè)滿足題意的點(diǎn)存在，設(shè)，由直線與的方向向量得到關(guān)于的方程，解方程即可確定點(diǎn)F的位置.【詳解】(Ⅰ)由菱形的性質(zhì)可得：，結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)可知：，故，底面，底面，故，且，故平面，平面，(Ⅱ)由題意結(jié)合菱形的性質(zhì)易知，，，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則：，設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則：，據(jù)此可得平面的一個(gè)法向量為，而，設(shè)直線與平面所成角為，則.(Ⅲ)由題意可得：，假設(shè)滿足題意的點(diǎn)存在，設(shè)，，據(jù)此可得：，即：,從而點(diǎn)F的坐標(biāo)為，據(jù)此可得：,，結(jié)合題意有：，解得：.故點(diǎn)F為中點(diǎn)時(shí)滿足題意.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，線面角的向量求法，立體幾何中的探索性問(wèn)題等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.21、（1）①極小值為1，無(wú)極大值.②實(shí)數(shù)k的值為1.（2）【解析】

（1）①將代入可得，求導(dǎo)討論函數(shù)單調(diào)性，即得極值；②設(shè)是函數(shù)的一個(gè)“F點(diǎn)”（），即是的零點(diǎn)，那么由導(dǎo)數(shù)可知，且，可得，根據(jù)可得，設(shè)，由的單調(diào)性可得，即得.（2）方法一：先求的導(dǎo)數(shù)，存在兩個(gè)不相等的“F點(diǎn)”，，可以由和韋達(dá)定理表示出，的關(guān)系，再由，可得的關(guān)系式，根據(jù)已知解即得.方法二：由函數(shù)存在不相等的兩個(gè)“F點(diǎn)”和，可知，是關(guān)于x的方程組的兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根，由得，分兩種情況：是函數(shù)一個(gè)“F點(diǎn)”，不是函數(shù)一個(gè)“F點(diǎn)”，進(jìn)行討論即得.【詳解】解：（1）①當(dāng)時(shí)，（），則有（），令得，列表如下：x10極小值故函數(shù)在處取得極小值，極小值為1，無(wú)極大值.②設(shè)是函數(shù)的一個(gè)“F點(diǎn)”（）.（），是函數(shù)的零點(diǎn).，由，得，，由，得，即.設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)增，注意到，所以方程存在唯一實(shí)根1，所以，得，根據(jù)①知，時(shí)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以1是函數(shù)的“F點(diǎn)”.綜上，得實(shí)數(shù)k的值為1.（2）由（a，b，，），可得（）.又函數(shù)