高數(shù)下練習(xí)題(考研基礎(chǔ))

第十章重積分(測試題)

填空題

設(shè)。：0WxWl,0Ky<2,則［二一"(T=.

1.J/1+X

2.設(shè)。:|x區(qū)3,|y區(qū)1,則JJx(x+y)dcr=

D

3.設(shè)D是由x+y=l,x-y=l,x=O圍成的閉區(qū)域,則

jjsin3ydcr=。

D

4.若/(x,y)在。:。上連續(xù)且

x(“f(x,yylxd^)2=/(x,y)_；,則/(x,y)=--------------------。

D

(可設(shè)/(x,y)=&,兩邊再做二重積分)

5.若。由曲面z2=3(/+y2),*2+y2+z2=]6所圍，則三重積分

J"f(x,y,z)dv表示成直交坐標(biāo)系下的三次積分為,

柱面坐標(biāo)系下的三次積分為,

球面坐標(biāo)系下的三次積分為.o

6.試用二重積分表示由曲面Z=j3/一-一產(chǎn)及％2+y2=2az所圍立體

的表面積5=______________________________o

7.已知。是區(qū)域：a<x<b,0<y<1,且jjyf(x)d(y-1,則

D

￡f{x}dx=.?

8.若。是由x+y=l和兩坐標(biāo)軸圍成的三角形區(qū)域，且

jjf(x)dxdy=[)°(%)公,則(p(x)-o

D

9.積分=。(先交換積分次序)

10.換二次積分的積分次序J：6/(x,y)dx=。

選擇題

1.若人=JJ(l+x)dcr,其中。|是|x區(qū)l,|y|Wl；12=jjxydcr,其中是

?,。2

x2+y2<\,則7,,/,的值為?

(A)Z,<0,12=0；(B)/,>0,/2=0；(C)Z)=0,/2>0；(D)/,>0,Z2<0

2.7(x,y)在x?+V41上連續(xù)，使jj/(%,y)dxdy=味可；f(x,y)dy

2，一.

x-+y-^\

成立的充分條件為O

(A)/(-x,y)=f(x,y),f(.x,-y)=-f(x,y)；

(B)f(-x,y)=/(x,y),/(x,-y)=/(x,y)；

(C)f(-x,y)=-f(x,y),f(x,-y)=-f(x,y)；

(D)f(-x,y)=-f{x,y),f(x,-y)=f(x,y)。

3.設(shè)/=Jd，其中。為z2=/+y2,z=l圍成的立體，則正確的為。

Q

(A)I={d0\^rdri*zdz：(B)I=\"dOi^rdr\1zdz

JoJoJoJoJoJr

(C)/=fd0\dz\rdr；(D)/=[dz\d0[zrdr.0

J0JoJrJoJoJo

4.設(shè)Q由尤+y+zWK,0<x<l,0Ky<l,zN0所確定，其中K是大于2的常

數(shù)及jj|xdxdydz^—,則K=________________________。

Q4

/、/、14/、8

(A)5；(B)3；(C)—；(D)-

33

三.計算暨_(dá)______

1.I=Jjsin+,其中￡)："2+y2K4〃2

D

2.設(shè)/(x,y)是連續(xù)函數(shù)，改變/=｛；公J；/(演了)力的積分次序。

3.確定常數(shù)A使，Asin（x+y）dxdy=l,其中。是由y=x,y=2x,x=■所圍成

的區(qū)域。

4.計算/=JjJx3y其中。是由x=1,x=2,y=0,y=/,z=0,z=4所圍成

QX

的在x=l與x=2之間的閉區(qū)域。

5.計算/=口（（爐+y2）d%其中Q是由曲面/+/=2z及平面Z=2所圍成的

C

閉區(qū)域。（可考慮柱面坐標(biāo)）

6.計算/=UJQ/+y2",其中Q是由曲面2=J/+y2及Z=j2—/_y2

c

所圍成的閉區(qū)域。(可考慮球面坐標(biāo))

四.應(yīng)用題

1.求由橢圓拋物面z=》2+2;/和拋物面z=2——所圍成的立體的體積。

五.證明題

設(shè)函數(shù)/(〃)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且/(0)=0,求lim—!ffff(Jx2+y2+z2)Jv

第十一章曲線積分與曲面積分(練習(xí)一)

(第一，二節(jié))

一.選擇題

1.對弧長的曲線積分與積分路徑的方向()，對坐標(biāo)的曲線積分與積分路

徑的方向()。

A.有關(guān)B.無關(guān)C.不確定

2.設(shè)L是從A(1,O)到B(-l,2)的線段，則曲線積分Jjx+y)ds=()

A.-2V2B.2V2C.2D.0

22

3設(shè)L為橢圓?+號=1,其周長記為/，貝4(2xy+3x2+4y2)A=()

A.4/B.3/C.7/D.12I

二.計算下列對弧長的曲線積分.

1、Jds,其中L:x=acost,y=asint,0</<2/r.(a>0).

—~\~~ds,

2、r其中「為曲線x=e'cos/,y=dsin/,z=d上相應(yīng)于t從0變

rx+y+z

到2的這段弧.

f卜+「

3.Jeds,其中L為圓周幺+了2=。2,直線丫=*及*軸在第一象限內(nèi)所圍成的

扇形的整個邊界.

4.jx2(&,L為球面x2+y2+z2-R2與平面x+y+z=Q相應(yīng)的圓周.

三.計算下列對坐標(biāo)的曲線積分.

22

1.計算Jjd+2xy)d),其中L為橢圓卞+3=1上由點A(a,O)經(jīng)8(0,。)到

C(一兄0)的弧段.

2.^x2dx+zdy-ydz,其中「為曲線》=左6,丁=“。。5。，2=。5抽6上對應(yīng)于。從0到

力的一段弧.

3.￡xydx,其中L為圓周(x-a)2+丁=合(”為正)及無軸所圍成的在第一象限內(nèi)的

區(qū)域的整個邊界.

4.計算曲線積分￡(必+?2卜*+(*2—其中L是由

o(0,O),A(1,1)1(0,2),C(—1,1)為頂點的正方形的正向邊界.

第十一章曲線積分與曲面積分(練習(xí)二)

(第三，四節(jié))

--選擇.

1.設(shè)L是不經(jīng)過原點的簡單正向閉曲線，則曲線積分fxdy~y(!x=()

x+y

A.0B.2萬C.0或2萬D.以上答案都不對

2.設(shè)曲線積分/=j(2xcosy-)2sinx)t/x+(2ycosx-x2siny)6fy,其中積分表

達(dá)式是某二元函數(shù)〃(x,y)的全微分，則〃(x,y)=()

A.(x2+y2)B.(x2+y1)(cosx+cos_y)

c.dcosy+y2cos%D.(COSX+COSy)ex

3.設(shè)L是圓周x2+y2=a2(取負(fù)向)，則曲線積分

f(x3-x3j)/x+(x/-jJ)tZj=().

二.計算下列積分.

1.￡(x2-XJ3)/x+(j2-2xy)dy其中L是四個頂點分別為

(0,0),(2,0),(2,2),(0,2)的正方形區(qū)域的正向邊界。

2.求￡盯其中L為圓周X2+J；2=CT的順時針方向。

3.j^^dx+xdy),其中乙是橢圓9+,=1沿逆時針方向。

4.Jjy+2xy)dx+(x2+2x+y2)dy,其中L為由點A(4,0)沿上半圓y-y/^x-x2

到到0,0)的半圓周。

5.￡{exsinj+(excosy-x)dy,其中L是從點A(1,0)經(jīng)下半圓周

(x—4)2+丁=9到點B(7,0)的曲線弧。

三.證明下面曲線積分在整個W平面除去X+y=0的區(qū)域內(nèi)與路徑無關(guān)，并計算積分值.

C（3,o）3y-x,y-3x,

I------rdxH-----dy

J（i,2）（x+y）（x+y）?

四.驗證（2r+劣一1加什（3一3）為某一函數(shù)u（x,y）的全微分，并求出

W（x,y）.

2.JJ(z-3)公辦，其中E為曲面2z=d+V上介于z=2及z=3之間的部分的下

s

側(cè)。

3.^x+2)dydz+zdxdy,Z是由A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)為頂點的三角形

平面的上側(cè)

三.計算下列曲面積分。

1.目x^dydz-}-y2dzdx+/dxdy,其中E為平面x=0,y=0,z=0,x=a,y=a,z=a

所圍成立體的表面外側(cè)

2.xz2dydz+(x2y-z3)dzdx+(2xy4-y27]dxdy,其中X為上半球體

s

0<z<y/a2-x2-y2,x2+y2<a2的表面外側(cè)。

22_________

3.gzdxdy+xdydz其中E是由+)與z=2a-J-'+y2所圍空

a

間區(qū)域。的表面外側(cè)。

4.jjxdydz-vydzdx-vzdxdy,其中￡為曲面z=x2-hy2在第一卦限部分(()<z?1)

的上i則。

5.f(y-z)dx+(z-x)dy+(x-y)dz,其中r為橢圓x2+y2=a2—=1,

Jr9ab

(a>0,b>0)若從x軸正向看去，橢圓取逆時針方向。

6.，3ydx-yz2dz,其中「是圓周M+y2=2z,z=2若從z軸正向看去,

圓周取逆時針方向。

第十二章無窮級數(shù)

（練習(xí)一）

（常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)、常數(shù)項級數(shù)的審斂法）

一、填空題

1、若收斂，則lim（〃“+3）=。

〃一＞8

〃=1

8_8_

2、若的和為2，且4=〃]+〃2++”〃，貝!〃〃的和為

”=1n=2

limsn=

-8,，7

3、設(shè)的和為2,則的為.

H=1"=13

4'(;+?[■+,)++(《+?)+的和是

81

5、級數(shù)￡〃sin—的收斂性是:

〃=in

二、選擇題

1、lim%=0是級數(shù)收斂的（)

71—>00

〃=1

A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.既非充分又非必要條件

Q0

2、若級數(shù)收斂，且%=%+〃2++”〃下列敘述不正確的是（)

〃=1

A.lim〃”=0B.limsn-0C.limsn存在D.lim〃“存在

n->ooZ?->00

3、設(shè)級數(shù)收斂，則下列級數(shù)(）一定收斂。

M=1

8

B2》

A.-El??lC.Z(%+“"+JD-

〃=1n=ln=}

4、部分和數(shù)列｛4｝有界是正項級數(shù)zk收斂的（)

71=1

A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.既非充分又非必要條件

三、根據(jù)級數(shù)收斂與發(fā)散的定義或性質(zhì)判定下列級數(shù)的收斂性:

0012、'MM+3+

1、X

M=1(2〃一1)(2〃+1)3G盯陋

00

3"+2"4、ZH(—1)'T4(9"

3、Z

〃=15"n=\3

四、用比較審斂法或極限形式的比較審斂法判定下列級數(shù)的收斂性

1、

92〃-1

00_

?)

2、)sin—

71=1O

81

3、3>°)

〃=11-I-U

五、用比值審斂法判定下列級數(shù)的收斂性

003"

1、Z

M=1n-2"

2、￡”

0=1〃

六、判定下列級數(shù)的收斂性

1、72"sin—

〃=1J

8

2、Zn

/1=13〃+2,

8(b、

3、2—，其中。"-。(〃—8),%,。,匕均為正數(shù)。

"=11%)

七、判定下列級數(shù)是否收斂?如果收斂,是絕對收斂還是條件收斂?

】、之㈠嚴(yán)白

n=\D

0_1

2、2”商

八、解答下列各題

1、討論級數(shù)￡8（-1）"」1-的收斂性;

2、證明：若正項級數(shù)￡〃，收斂,則級數(shù)也收斂。

n=l”=1

第十二章無窮級數(shù)

（練習(xí)二）