高中數(shù)學(xué)選修21講義第二章25圓錐曲線的統(tǒng)一定義

_2.5圓錐曲線的統(tǒng)一定義拋物線可以看成平面內(nèi)的到定點(diǎn)(焦點(diǎn))F的距離與到定直線(準(zhǔn)線)l的距離的比值等于1(離心率)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡．在坐標(biāo)平面內(nèi)有一定點(diǎn)F(c,0)，定直線x＝eq\f(a2,c)(a>0，c>0)．動(dòng)點(diǎn)P(x，y)到定點(diǎn)F(c,0)的距離與到定直線x＝eq\f(a2,c)的距離的比為eq\f(c,a).問(wèn)題1：求動(dòng)點(diǎn)P(x，y)的軌跡方程．提示：由eq\f(\r(x－c2＋y2),|\f(a2,c)－x|)＝eq\f(c,a)，化簡(jiǎn)得：(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)．問(wèn)題2：當(dāng)a>c，即0<eq\f(c,a)<1時(shí)，軌跡是什么？提示：橢圓．問(wèn)題3：當(dāng)a<c，即eq\f(c,a)>1時(shí)，軌跡是什么？提示：雙曲線．圓錐曲線可以統(tǒng)一定義為：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和到一條定直線l(F不在l上)的距離的比等于常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡．當(dāng)0＜e＜1時(shí)，它表示橢圓，當(dāng)e＞1時(shí)，它表示雙曲線，當(dāng)e＝1時(shí)，它表示拋物線．其中e是離心率，定點(diǎn)F是圓錐曲線的焦點(diǎn)，定直線l是圓錐曲線的準(zhǔn)線.從拋物線的定義知，拋物線只有一個(gè)焦點(diǎn)和一條準(zhǔn)線，那么橢圓、雙曲線有幾個(gè)焦點(diǎn)，幾條準(zhǔn)線？提示：橢圓、雙曲線分別有兩個(gè)焦點(diǎn)，兩條準(zhǔn)線．橢圓、雙曲線和拋物線的準(zhǔn)線方程曲線方程準(zhǔn)線方程曲線方程準(zhǔn)線方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)x＝±eq\f(a2,c)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)y＝±eq\f(a2,c)eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)x＝±eq\f(a2,c)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)y＝±eq\f(a2,c)y2＝2px(p＞0)x＝－eq\f(p,2)x2＝2py(p＞0)y＝－eq\f(p,2)y2＝－2px(p＞0)x＝eq\f(p,2)x2＝－2py(p＞0)y＝eq\f(p,2)圓錐曲線的第一定義與第二定義的區(qū)別橢圓、雙曲線的第一定義突出了動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離關(guān)系，第二定義主要表現(xiàn)了動(dòng)點(diǎn)與一定點(diǎn)和一條定直線的距離之比的關(guān)系，所以在選用兩種定義時(shí)可根據(jù)題目條件的不同適當(dāng)選擇．利用第一定義可以把到一個(gè)定點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到另一點(diǎn)的距離，利用第二定義可以把到定點(diǎn)與到定直線的距離互相轉(zhuǎn)化，對(duì)于拋物線，第一定義與第二定義是一致的．[例1]過(guò)圓錐曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)F的直線l交曲線C于A，B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓與F相應(yīng)的準(zhǔn)線相交，則曲線C為_(kāi)_______．[思路點(diǎn)撥]利用圓錐曲線第二定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，由圓心到直線的距離和半徑的大小關(guān)系，建立不等式求e的范圍即可判斷．[精解詳析]設(shè)圓錐曲線的離心率為e，M為AB的中點(diǎn)，A，B和M到準(zhǔn)線的距離分別為d1，d2和d，圓的半徑為R，d＝eq\f(d1＋d2,2)，R＝eq\f(AB,2)＝eq\f(FA＋FB,2)＝eq\f(ed1＋d2,2).由題意知R＞d，則e＞1，圓錐曲線為雙曲線．[答案]雙曲線[一點(diǎn)通]解答這種類型的問(wèn)題時(shí)，巧妙應(yīng)用圓錐曲線的統(tǒng)一定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即e＝eq\f(PF1,d1)＝eq\f(PF2,d2).有時(shí)會(huì)應(yīng)用到數(shù)形結(jié)合的思想方法，這種類型多為客觀題，以考查統(tǒng)一定義的應(yīng)用為主．1．方程eq\r(1＋x2＋y2)＝|x＋y－1|對(duì)應(yīng)點(diǎn)P(x，y)的軌跡為_(kāi)_______．解析：由eq\r(1＋x2＋y2)＝|x＋y－1|得eq\f(\r([x－－1]2＋y2),\f(|x＋y－1|,\r(2)))＝eq\r(2).可看作動(dòng)點(diǎn)P(x，y)到定點(diǎn)(－1,0)的距離與到定直線x＋y－1＝0的距離比為eq\r(2)>1的軌跡方程，由圓錐曲線統(tǒng)一定義可知，軌跡為雙曲線．答案：雙曲線2．若將例1中“相交”二字改為“相離”，判斷曲線的形狀；把“相交”二字改為“相切”，再判斷曲線的形狀．解：設(shè)圓錐曲線的離心率為e，M是AB中點(diǎn)，A，B和M到準(zhǔn)線的距離分別為d1，d2和d，圓的半徑為R，則d＝eq\f(d1＋d2,2)，R＝eq\f(AB,2)＝eq\f(FA＋FB,2)＝eq\f(ed1＋d2,2).當(dāng)圓與準(zhǔn)線相離時(shí)，R＜d，即eq\f(ed1＋d2,2)＜eq\f(d1＋d2,2)，∴0＜e＜1，圓錐曲線為橢圓．當(dāng)圓與準(zhǔn)線相切時(shí)，R＝d，∴e＝1，圓錐曲線為拋物線.[例2]已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y)到點(diǎn)A(0,3)與到定直線y＝9的距離之比為eq\f(\r(3),3)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡．[思路點(diǎn)撥]此題解法有兩種一是定義法，二是直譯法．[精解詳析]法一：由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知：P點(diǎn)的軌跡是一橢圓，c＝3，eq\f(a2,c)＝9，則a2＝27，a＝3eq\r(3)，∴e＝eq\f(3,3\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，與已知條件相符．∴橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為(0，±3)，準(zhǔn)線y＝±9.b2＝18，其方程為eq\f(y2,27)＋eq\f(x2,18)＝1.法二：由題意得eq\f(\r(x2＋y－32),|9－y|)＝eq\f(\r(3),3).整理得eq\f(y2,27)＋eq\f(x2,18)＝1.P點(diǎn)的軌跡是以(0，±3)為焦點(diǎn)，以y＝±9為準(zhǔn)線的橢圓．[一點(diǎn)通]解決此類題目有兩種方法：①是直接列方程，代入后化簡(jiǎn)整理即得方程．②是根據(jù)定義判斷軌跡是什么曲線，然后確定其幾何性質(zhì)，從而得出方程．3．平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P(x，y)(y>0)到點(diǎn)F(0,2)的距離與到x軸的距離之差為2，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡．解：如圖：作PM⊥x軸于M，延長(zhǎng)PM交直線y＝－2于點(diǎn)N.∵PF－PM＝2，∴PF＝PM＋2.又∵PN＝PM＋2，∴PF＝PN.∴P到定點(diǎn)F與到定直線y＝－2的距離相等．由拋物線的定義知，P的軌跡是以F為焦點(diǎn)，以y＝－2為準(zhǔn)線的拋物線，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，p＝4.∴拋物線方程為x2＝8y(y>0)．∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是拋物線．4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知F1(－4,0)，直線l：x＝－2，動(dòng)點(diǎn)M到F1的距離是它到定直線l距離d的eq\r(2)倍．設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡曲線為E.(1)求曲線E的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)F2(4,0)，若直線m為曲線E的任意一條切線，且點(diǎn)F1，F(xiàn)2到m的距離分別為d1，d2，試判斷d1d2是否為常數(shù)，并說(shuō)明理由．解：(1)由題意，設(shè)點(diǎn)M(x，y)，則有MF1＝eq\r(x＋42＋y2)，點(diǎn)M(x，y)到直線l的距離d＝|x－(－2)|＝|x＋2|，故eq\r(x＋42＋y2)＝eq\r(2)|x＋2|，化簡(jiǎn)得x2－y2＝8.故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2－y2＝8.(2)d1d2是常數(shù)，證明如下：若切線m斜率不存在，則切線方程為x＝±2eq\r(2)，此時(shí)d1d2＝(c＋a)·(c－a)＝b2＝8.當(dāng)切線m斜率存在時(shí)，設(shè)切線m：y＝kx＋t，代入x2－y2＝8，整理得：x2－(kx＋t)2＝8，即(1－k2)x2－2tkx－(t2＋8)＝0.Δ＝(－2tk)2＋4(1－k2)(t2＋8)＝0，化簡(jiǎn)得t2＝8k2－8.又由kx－y＋t＝0，d1＝eq\f(|－4k＋t|,\r(k2＋1))，d2＝eq\f(|4k＋t|,\r(k2＋1))，d1d2＝eq\f(|16k2－t2|,k2＋1)＝eq\f(|16k2－8k2－8|,k2＋1)＝8,8為常數(shù)．綜上，對(duì)任意切線m，d1d2是常數(shù).[例3]已知定點(diǎn)A(－2，eq\r(3))，點(diǎn)F為橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上運(yùn)動(dòng)，求AM＋2MF的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．[思路點(diǎn)撥]利用統(tǒng)一定義把MF轉(zhuǎn)化為點(diǎn)M到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，數(shù)形結(jié)合便可迎刃而解．[精解詳析]∵a＝4，b＝2eq\r(3)，∴c＝eq\r(a2－b2)＝2.∴離心率e＝eq\f(1,2).A點(diǎn)在橢圓內(nèi)，設(shè)M到右準(zhǔn)線的距離為d，則eq\f(MF,d)＝e，即MF＝ed＝eq\f(1,2)d，右準(zhǔn)線l：x＝8.∴AM＋2MF＝AM＋d.∵A點(diǎn)在橢圓內(nèi)，∴過(guò)A作AK⊥l(l為右準(zhǔn)線)于K，交橢圓于點(diǎn)M0.則A、M、K三點(diǎn)共線，即M與M0重合時(shí)，AM＋d最小為AK，其值為8－(－2)＝10.故AM＋2MF的最小值為10，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為(2eq\r(3)，eq\r(3))．[一點(diǎn)通]圓錐曲線的統(tǒng)一定義通常用來(lái)解決一些與距離有關(guān)的最值問(wèn)題，利用定義，實(shí)現(xiàn)曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離間的互化，互化時(shí)應(yīng)注意焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的對(duì)應(yīng)．5．已知雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(9,2)，M為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則MA＋eq\f(3,5)MF的最小值為_(kāi)_____．解析：雙曲線離心率e＝eq\f(5,3)，由圓錐曲線統(tǒng)一定義知eq\f(MF,d)＝e(d為點(diǎn)M到右準(zhǔn)線l的距離)，右準(zhǔn)線l的方程為x＝eq\f(9,5)，顯然當(dāng)AM⊥l時(shí)，AM＋d最小，而AM＋eq\f(3,5)MF＝MA＋eq\f(3,5)de＝MA＋d.而AM＋d的最小值為A到l的距離為9－eq\f(9,5)＝eq\f(36,5).答案：eq\f(36,5)6．若點(diǎn)P的坐標(biāo)是(－1，－3)，F(xiàn)為橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1的右焦點(diǎn)，點(diǎn)Q在橢圓上移動(dòng)，當(dāng)QF＋eq\f(1,2)PQ取得最小值時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，并求出最小值．解：在eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1中a＝4，b＝2eq\r(3)，c＝2，∴e＝eq\f(1,2)，橢圓的右準(zhǔn)線l：x＝8，過(guò)點(diǎn)Q作QQ′⊥l于Q′，則eq\f(QF,QQ′)＝e.∴QF＝eq\f(1,2)QQ′.∴QF＋eq\f(1,2)PQ＝eq\f(1,2)QQ′＋eq\f(1,2)PQ＝eq\f(1,2)(QQ′＋PQ)．要使QQ′＋PQ最小，由圖可知P、Q、Q′三點(diǎn)共線，所以由P向準(zhǔn)線l作垂線，與橢圓的交點(diǎn)即為QF＋eq\f(1,2)PQ最小時(shí)的點(diǎn)Q，∴Q的縱坐標(biāo)為－3，代入橢圓得：Q的橫坐標(biāo)為x＝2.∴Q為(2，－3)，此時(shí)QF＋eq\f(1,2)PQ＝eq\f(9,2).[例4]求橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1的離心率與準(zhǔn)線方程，并求與該橢圓有相同準(zhǔn)線且離心率互為倒數(shù)的雙曲線方程．[思路點(diǎn)撥]由方程確定a、c，從而求e與準(zhǔn)線，由橢圓的準(zhǔn)線、離心率再確定雙曲線的實(shí)軸、虛軸長(zhǎng)，求出雙曲線的方程．[精解詳析]由eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1知a＝5，b＝4，c＝3.e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,5)，準(zhǔn)線方程為y＝±eq\f(25,3).設(shè)雙曲線虛半軸長(zhǎng)為b′，實(shí)半軸長(zhǎng)為a′，半焦距為c′，離心率為e′，則e′＝eq\f(1,e)＝eq\f(5,3)，又∵eq\f(a2,c)＝eq\f(a′2,c′)＝eq\f(25,3).解得：a′＝eq\f(125,9)，c′＝eq\f(625,27)，b′2＝eq\f(250000,729).∴雙曲線方程為eq\f(81y2,15625)－eq\f(729x2,250000)＝1.[一點(diǎn)通]此類問(wèn)題首先判斷該圓錐曲線是什么曲線，然后化成標(biāo)準(zhǔn)方程，確定出a、b、c、p，進(jìn)而求離心率和準(zhǔn)線方程．7．(天津高考)已知拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，且雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的方程為_(kāi)_______．解析：拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線x＝－2過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，所以c＝2，又離心率為2，所以a＝1，b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(3)，所以該雙曲線的方程為x2－eq\f(y2,3)＝1.答案：x2－eq\f(y2,3)＝18．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦距為2eq\r(10)，若一雙曲線與此橢圓共焦點(diǎn)，且它的實(shí)軸長(zhǎng)比橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)短8，雙曲線的離心率與橢圓的離心率之比是5∶1，求橢圓和雙曲線的方程，并求其相應(yīng)的準(zhǔn)線方程．解：設(shè)a′，b′分別為雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)，依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－a′＝4，,\f(\r(10),a′)：\f(\r(10),a)＝5∶1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a′＝1，,a＝5.))所以橢圓的短半軸長(zhǎng)b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(15)，雙曲線的虛半軸長(zhǎng)b′＝eq\r(c2－a′2)＝3.故橢圓和雙曲線的方程分別是eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,15)＝1和x2－eq\f(y2,9)＝1.橢圓的準(zhǔn)線方程為x＝±eq\f(5,2)eq\r(10)，雙曲線的準(zhǔn)線方程為x＝±eq\f(\r(10),10).1．圓錐曲線的判斷：要判斷所給曲線是哪種圓錐曲線，常利用圓錐曲線的定義求解，其思路是：(1)如果遇到有動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離問(wèn)題應(yīng)自然聯(lián)想到橢圓及雙曲線的定義．(2)如果遇到動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離問(wèn)題應(yīng)自然聯(lián)想到橢圓、雙曲線和拋物線的統(tǒng)一定義．2．圓錐曲線共同特征的應(yīng)用：設(shè)F為圓錐曲線的焦點(diǎn)，A為曲線上任意一點(diǎn)，d為點(diǎn)A到定直線的距離，由eq\f(AF,d)＝e變形可得d＝eq\f(AF,e).由這個(gè)變形可以實(shí)現(xiàn)由AF到d的轉(zhuǎn)化，借助d則可以解決一些最值問(wèn)題．課時(shí)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練（十三）1．雙曲線2x2－y2＝－16的準(zhǔn)線方程為_(kāi)_______．解析：原方程可化為eq\f(y2,16)－eq\f(x2,8)＝1.∵a2＝16，c2＝a2＋b2＝16＋8＝24，∴c＝2eq\r(6).∴準(zhǔn)線方程為y＝±eq\f(a2,c)＝±eq\f(16,2\r(6))＝±eq\f(4\r(6),3).答案：y＝±eq\f(4\r(6),3)2．設(shè)P是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上一點(diǎn)，M，N分別是兩圓：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的點(diǎn)，則PM＋PN的最小值、最大值分別為_(kāi)_______________．解析：PM＋PN最大值為PF1＋1＋PF2＋1＝12，最小值為PF1－1＋PF2－1＝8.答案：8,123．到直線y＝－4的距離與到A(0，－2)的距離的比值為eq\r(2)的點(diǎn)M的軌跡方程為_(kāi)_______．解析：設(shè)M(x，y)，由題意得eq\f(|y＋4|,\r(x2＋y＋22))＝eq\r(2).化簡(jiǎn)得eq\f(y2,8)＋eq\f(x2,4)＝1.答案：eq\f(y2,8)＋eq\f(x2,4)＝14．(福建高考)橢圓Γ：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c.若直線y＝eq\r(3)(x＋c)與橢圓Γ的一個(gè)交點(diǎn)M滿足∠MF1F2＝2∠MF2F1，則該橢圓的離心率等于________．解析：直線y＝eq\r(3)(x＋c)過(guò)點(diǎn)F1(－c,0)，且傾斜角為60°，所以∠MF1F2＝60°，從而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中，MF1＝c，MF2＝eq\r(3)c，所以該橢圓的離心率e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(2c,c＋\r(3)c)＝eq\r(3)－1.答案：eq\r(3)－15．已知橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1內(nèi)部的一點(diǎn)為Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,3)))，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，M為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則MA＋eq\r(2)MF的最小值為_(kāi)_______．解析：設(shè)M到右準(zhǔn)線的距離為d，由圓錐曲線定義知eq\f(MF,d)＝eq\f(\r(2),2)，右準(zhǔn)線方程為x＝eq\f(a2,c)＝2eq\r(2).∴d＝eq\r(2)MF.∴MA＋eq\r(2)MF＝MA＋d.由A向右準(zhǔn)線作垂線，垂線段長(zhǎng)即為MA＋d的最小值，∴MA＋d≥2eq\r(2)－1.答案：2eq\r(2)－16．已知橢圓eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,36)＝1上有一點(diǎn)P，到其左、右兩焦點(diǎn)距離之比為1∶3，求點(diǎn)P到兩準(zhǔn)線的距離及點(diǎn)P的坐標(biāo)．解：設(shè)P(x，y)，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2.由已知的橢圓方程可得a＝10，b＝6，c＝8，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,5)，準(zhǔn)線方程為x＝±eq\f(25,2).∵PF1＋PF2＝2a＝20，且PF1∶PF2＝1∶3，∴PF1＝5，PF2＝15.設(shè)P到兩準(zhǔn)線的距離分別為d1、d2，則由eq\f(PF1,d1)＝eq\f(PF2,d2)＝e＝eq\f(4,5)，得d1＝eq\f(25,4)，d2＝eq\f(75,4).∴x＋eq\f(a2,c)＝x＋eq\f(25,2)＝eq\f(25,4)，∴x＝－eq\f(25,4).代入橢圓方程，得y＝±eq\f(3\r(39),4).∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(25,4)，\f(3\r(39),4)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(25,4)，－\f(3\r(39),4))).7．已知平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P到定直線l：x＝2eq\r(2)的距離與點(diǎn)P到定點(diǎn)F(eq\r(2)，0)之比為eq\r(2).(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)若點(diǎn)N為軌跡C上任意一點(diǎn)(不在x軸上)，過(guò)原點(diǎn)O作直線AB，交(1)中軌跡C于點(diǎn)A、B，且直線AN、BN的斜率都存在，分別為k1、k2，問(wèn)k1·k2是否為定值？解：(1)設(shè)點(diǎn)P(x，y)，依題意，有eq\f(\r(x－\r(2)2＋y2),|x－2\r(2)|)＝eq\f(\r(2),2).整理，得eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)由題意，設(shè)N(x1，y1)，A(x2，y2)，則B(－x2，－y2)，eq\f(x\o\al(2,1),4)＋eq\f(y\o\al(2,1),2)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),4)＋eq