新高考藝術(shù)生40天突破數(shù)學(xué)90分講義第19講復(fù)數(shù)(原卷版+解析)

第19講復(fù)數(shù)【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】一.基本概念（1）叫虛數(shù)單位，滿足，當(dāng)時(shí)，.（2）形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，記作.=1\*GB3①?gòu)?fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，叫z的實(shí)部，b叫z的虛部；Z點(diǎn)組成實(shí)軸；叫虛數(shù)；且，z叫純虛數(shù)，純虛數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成虛軸（不包括原點(diǎn)）。兩個(gè)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù).=2\*GB3②兩個(gè)復(fù)數(shù)相等（兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)同一點(diǎn)）=3\*GB3③復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)的模，也就是向量的模，即有向線段的長(zhǎng)度，其計(jì)算公式為，顯然，.二.基本性質(zhì)1.復(fù)數(shù)運(yùn)算（1）（2）其中，叫z的模；是的共軛復(fù)數(shù).（3）.實(shí)數(shù)的全部運(yùn)算律（加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則）都適用于復(fù)數(shù).2.復(fù)數(shù)的幾何意義（1）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)平面內(nèi)的點(diǎn)；（2）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)平面向量；（3）復(fù)平面內(nèi)實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，除原點(diǎn)外虛軸上的點(diǎn)表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示復(fù)數(shù).（4）復(fù)數(shù)的模表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.【典型例題】例1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限例2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．（多選題）例3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A．|z|=2 B．是純虛數(shù)C．復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限 D．若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在角α的終邊上，則sinα=例4．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，則___________.例5．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知其中是實(shí)數(shù)，是虛數(shù)單位，則_________例6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則的虛部為_(kāi)____________.例7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________.【技能提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，復(fù)數(shù)的實(shí)部為，虛部為，則（）A． B． C． D．2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，則z的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列命題中∶①兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大??；②若，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，為純虛數(shù)；③則；④；⑤若實(shí)數(shù)與對(duì)應(yīng)，則實(shí)數(shù)集與純虛數(shù)集一一對(duì)應(yīng)；其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．34．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，若（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．6．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）設(shè)，，為復(fù)數(shù)，則下列命題中一定成立的是（）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．如果，，那么，且7．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）復(fù)數(shù)，若復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（）A．關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱 B．關(guān)于虛軸對(duì)稱C．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 D．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））在復(fù)平面內(nèi)，平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，A，B，C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，，(為虛數(shù)單位)，則點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）A． B． C． D．9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（）A． B． C． D．10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則（）．A． B． C． D．12．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x，y)，則A． B． C． D．13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）歐拉公式(是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，i是虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的．它將三角函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位，當(dāng)時(shí)，就有，根據(jù)上述背景知識(shí)，試判斷表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）歐拉公式(是虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面中的（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限16．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，則（）A． B．2 C． D．317．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則的值為（）A． B． C． D．18．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，則（）A． B． C． D．119．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B．2 C． D．20．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，滿足，復(fù)數(shù)z的實(shí)部為，則復(fù)數(shù)z的虛部是（）A． B． C． D．21．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為（）A．1 B． C．2 D．322．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））若復(fù)數(shù)，則=（）A．0 B．2 C．4 D．623．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則（）A．25 B．5 C． D．4124．（2021·全國(guó)·高三階段練習(xí)（理））復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（）A． B． C． D．二、多選題25．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)，滿足，則（）A．的共軛復(fù)數(shù)為 B．C．的值可能為 D．26．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，，則（）A．是純虛數(shù) B．對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C． D．27．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是A．的虛部為 B．C．為純虛數(shù) D．的共軛復(fù)數(shù)為28．（2021·江蘇·海安高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)，是復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的是（）A． B．C．若，則 D．若，則29．（2021·福建·泉州鯉城北大培文學(xué)校高三期中）設(shè)是的共軛復(fù)數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A． B． C．是實(shí)數(shù) D．是純虛數(shù)30．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是復(fù)數(shù)，則下列命題中的真命題是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則31．（2021·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，復(fù)數(shù)滿足在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則下列結(jié)論正確的有（）A．復(fù)數(shù)的虛部為B．C．的最大值D．的最小值為32．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））設(shè)為復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（）A．B．C．若，則的最大值為2D．若，則33．（2021·湖南·高三階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，復(fù)數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A．點(diǎn)的坐標(biāo)為 B．（為的共軛復(fù)數(shù)）C．的最大值為 D．的最小值為三、填空題34．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知是虛數(shù)單位，，且，則__________.35．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））為虛數(shù)單位，若關(guān)于的方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)___________，36．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則_________．37．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)__________.38．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））復(fù)數(shù)，，若為實(shí)數(shù)，則______．39．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，，是正實(shí)數(shù)，則復(fù)數(shù)__________.40．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，為虛數(shù)單位，若為實(shí)數(shù)，則的值為_(kāi)_________．41．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知m∈R，復(fù)數(shù)z＝（2+i）m2﹣m（1﹣i）﹣（1+2i）（其中i為虛數(shù)單位），若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_____42．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)（，，i為虛數(shù)單位）滿足，寫出一個(gè)滿足條件的復(fù)數(shù)__________．43．（2021·上海市建平中學(xué)高三階段練習(xí)）若是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則___________.44．（2021·重慶梁平·高三階段練習(xí)）是虛數(shù)單位，已知復(fù)數(shù)，則________．45．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）i是虛數(shù)單位，________．第19講復(fù)數(shù)【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】一.基本概念（1）叫虛數(shù)單位，滿足，當(dāng)時(shí)，.（2）形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，記作.=1\*GB3①?gòu)?fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，叫z的實(shí)部，b叫z的虛部；Z點(diǎn)組成實(shí)軸；叫虛數(shù)；且，z叫純虛數(shù)，純虛數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成虛軸（不包括原點(diǎn)）。兩個(gè)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù).=2\*GB3②兩個(gè)復(fù)數(shù)相等（兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)同一點(diǎn)）=3\*GB3③復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)的模，也就是向量的模，即有向線段的長(zhǎng)度，其計(jì)算公式為，顯然，.二.基本性質(zhì)1.復(fù)數(shù)運(yùn)算（1）（2）其中，叫z的模；是的共軛復(fù)數(shù).（3）.實(shí)數(shù)的全部運(yùn)算律（加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則）都適用于復(fù)數(shù).2.復(fù)數(shù)的幾何意義（1）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)平面內(nèi)的點(diǎn)；（2）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)平面向量；（3）復(fù)平面內(nèi)實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，除原點(diǎn)外虛軸上的點(diǎn)表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示復(fù)數(shù).（4）復(fù)數(shù)的模表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.【典型例題】例1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【詳解】解：因?yàn)?，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，位于第二象限，故選：B.例2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，所以故選：C（多選題）例3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A．|z|=2 B．是純虛數(shù)C．復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限 D．若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在角α的終邊上，則sinα=【答案】AB【詳解】由題意，，A選項(xiàng)正確；，B選項(xiàng)正確；在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB.例4．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，則___________.【答案】2【詳解】解：，則.故答案為：2.例5．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知其中是實(shí)數(shù)，是虛數(shù)單位，則_________【答案】【詳解】由，可得則，解得.故答案為：.例6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則的虛部為_(kāi)____________.【答案】-1【詳解】，所以虛部為-1.故答案為：-1.例7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________.【答案】【詳解】因?yàn)椋栽趶?fù)平面中所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，令，解得.故答案為：.【技能提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，復(fù)數(shù)的實(shí)部為，虛部為，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)后結(jié)合復(fù)數(shù)的定義可得．【詳解】，所以，，所以.故選：A.2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，則z的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先對(duì)復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)，從而可求出其共軛復(fù)數(shù)，進(jìn)而可求出其虛部【詳解】因?yàn)?，所以，所以的虛部為，故選：C3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列命題中∶①兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大?。虎谌?，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，為純虛數(shù)；③則；④；⑤若實(shí)數(shù)與對(duì)應(yīng)，則實(shí)數(shù)集與純虛數(shù)集一一對(duì)應(yīng)；其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念，逐項(xiàng)判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】復(fù)數(shù)(為實(shí)數(shù))，當(dāng)時(shí)可以比較大小，當(dāng)時(shí)，不能比較大小，故①錯(cuò)誤;復(fù)數(shù)，當(dāng)為實(shí)數(shù)且時(shí)，為純虛數(shù)，故②錯(cuò)誤;若,則，但不成立，故③錯(cuò)誤;只有當(dāng)時(shí)，有，故④錯(cuò)誤;若，則，不是純虛數(shù)，故⑤錯(cuò)誤.綜上可知，有0個(gè)命題正確.故選：A.4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算和相等復(fù)數(shù)的性質(zhì)，求出，再根據(jù)，得出，從而可求出的取值范圍.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，解得：，因?yàn)椋?，解得：或，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，若（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)相等列方程組，解方程組求得，由此求得的虛部.【詳解】設(shè)，，則，∵，∴，即，解得，∴，故復(fù)數(shù)的虛部為.故選：D6．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）設(shè)，，為復(fù)數(shù)，則下列命題中一定成立的是（）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．如果，，那么，且【答案】D【分析】舉特例排除選項(xiàng)，利用正實(shí)數(shù)的性質(zhì)判斷正確.【詳解】對(duì)于，反例，，滿足，，但是不正確，所以不正確；對(duì)于，反例，滿足，但是，所以不正確；對(duì)于，滿足的復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為點(diǎn)與點(diǎn)連線的中垂線，所以不正確；對(duì)于，，顯然為正實(shí)數(shù)，所以，且正確.故選：7．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）復(fù)數(shù)，若復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（）A．關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱 B．關(guān)于虛軸對(duì)稱C．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 D．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】B【分析】由條件求得，化簡(jiǎn)，根據(jù)復(fù)平面內(nèi)坐標(biāo)，判斷兩復(fù)數(shù)對(duì)稱性即可.【詳解】由題知，，由復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)知，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱.故選：B8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））在復(fù)平面內(nèi)，平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，A，B，C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，，(為虛數(shù)單位)，則點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用復(fù)數(shù)的幾何意義寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用平行四邊形構(gòu)造相等向量列方程組求解.【詳解】由題知，，，，設(shè).則，.因?yàn)闉槠叫兴倪呅危?由，解得，所以點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.故選：A.9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，可求得復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的幾何意義可得出結(jié)論.【詳解】由題意，得，所以．所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為．故選：D．10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，求出，再求出在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得結(jié)果.【詳解】，，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第二象限，故選B.【點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)是高考中的必考知識(shí)，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算．要注意對(duì)實(shí)部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算，通過(guò)分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡(jiǎn)，防止簡(jiǎn)單問(wèn)題出錯(cuò)，造成不必要的失分.11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義得，再根據(jù)復(fù)數(shù)乘法法則得結(jié)果.【詳解】由題意得，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)幾何意義以及復(fù)數(shù)乘法法則，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.12．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x，y)，則A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考點(diǎn)為復(fù)數(shù)的運(yùn)算，為基礎(chǔ)題目，難度偏易．此題可采用幾何法，根據(jù)點(diǎn)（x，y）和點(diǎn)(0，1)之間的距離為1，可選正確答案C．【詳解】則．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義和模的運(yùn)算，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取公式法或幾何法，利用方程思想解題．13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】首先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，判斷選項(xiàng).【詳解】由題意可知：，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為.位于第四象限.故選:D.14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）歐拉公式(是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，i是虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的．它將三角函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位，當(dāng)時(shí)，就有，根據(jù)上述背景知識(shí)，試判斷表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根據(jù)歐拉公式，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)得的，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】由題意，可得，所以復(fù)數(shù)表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于第二象限．故選：B.15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）歐拉公式(是虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面中的（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】先由歐拉公式計(jì)算可得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義作出判斷即可.【詳解】根據(jù)題意，故，對(duì)應(yīng)點(diǎn)，在第一象限.故選：A.16．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，則（）A． B．2 C． D．3【答案】D【分析】由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算得出復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入直線方程得出.【詳解】因?yàn)樗云鋵?duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為由題意知，解得故選：D.17．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)模的公式，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)，可得，所以，所以.故選：D.18．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，則（）A． B． C． D．1【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)及模長(zhǎng)公式可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以所?故選：D19．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算先求z，再利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式求解.【詳解】因?yàn)?，所以，，所以|z|=.故選：C.20．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，滿足，復(fù)數(shù)z的實(shí)部為，則復(fù)數(shù)z的虛部是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由復(fù)數(shù)z的實(shí)部為，結(jié)合，由求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z的實(shí)部為，所以，因?yàn)?，所以，解得，（舍去），所以?fù)數(shù)z的虛部．故選：A21．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為（）A．1 B． C．2 D．3【答案】D【分析】設(shè)，利用推出對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)的軌跡，的最大值即為軌跡上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值.【詳解】設(shè)，由，推出，則，于是可看成以為圓心，半徑為的圓上運(yùn)動(dòng)，，意為A到的距離，距離最大值為3，所以.故選：D.22．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））若復(fù)數(shù)，則=（）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算以及減法運(yùn)算求出，然后利用模長(zhǎng)公式即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可得：，則，所以．故選：B．23．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則（）A．25 B．5 C． D．41【答案】C【分析】將代入原方程，然后根據(jù)復(fù)數(shù)相等求解出的值，則可求.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，所以，所以，所以，所以，則，故選：C.24．（2021·全國(guó)·高三階段練習(xí)（理））復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】運(yùn)用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求得，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義即可得到答案.【詳解】因?yàn)椋缘墓曹棌?fù)數(shù)為.故選.二、多選題25．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)，滿足，則（）A．的共軛復(fù)數(shù)為 B．C．的值可能為 D．【答案】BCD【分析】由復(fù)數(shù)相等的定義求出的關(guān)系，并求得的可能值，然后判斷各選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?所以，，即，，則.解得或，故A錯(cuò)誤，B，C，D均正確.故選：BCD.26．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，，則（）A．是純虛數(shù) B．對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C． D．【答案】AD【分析】對(duì)于A選項(xiàng)利用復(fù)數(shù)的相關(guān)概念可判斷；對(duì)于B選項(xiàng)結(jié)合復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的幾何意義即可判斷；對(duì)于C選項(xiàng)結(jié)合復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式即可判斷；對(duì)于D選項(xiàng)結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式即可判斷.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),利用復(fù)數(shù)的相關(guān)概念可判斷A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，，則，故C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，，則，故D正確.故選：AD.27．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是A．的虛部為 B．C．為純虛數(shù) D．的共軛復(fù)數(shù)為【答案】ABC【分析】首先利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)后得：，然后分別按照四個(gè)選項(xiàng)的要求逐一求解判斷即可.【詳解】因?yàn)?，?duì)于A：的虛部為，正確；對(duì)于B：模長(zhǎng)，正確；對(duì)于C：因?yàn)?，故為純虛?shù)，正確；對(duì)于D：的共軛復(fù)數(shù)為，錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，考查邏輯思維能力和運(yùn)算能力，側(cè)重考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解和掌握，屬于?？碱}.28．（2021·江蘇·海安高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)，是復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的是（）A． B．C．若，則 D．若，則【答案】ABD【分析】利用復(fù)數(shù)運(yùn)算對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】設(shè)，，，A正確.，，B正確.，C錯(cuò)誤.，，，，D正確.故選：ABD29．（2021·福建·泉州鯉城北大培文學(xué)校高三期中）設(shè)是的共軛復(fù)數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A． B． C．是實(shí)數(shù) D．是純虛數(shù)【答案】ABC【分析】設(shè)（，為虛數(shù)單位），有（，為虛數(shù)單位）.對(duì)于A，，，由此可判斷.對(duì)于B，根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算可判斷；對(duì)于C，由可判斷.對(duì)于D，由，分和判斷.【詳解】解：設(shè)（，為虛數(shù)單位），則（，為虛數(shù)單位）.對(duì)于A，，，所以A選項(xiàng)正確.對(duì)于B，，所以B選項(xiàng)正確.對(duì)于C，，為實(shí)數(shù)，所以C選項(xiàng)正確.對(duì)于D，，當(dāng)時(shí)，為實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，為純虛數(shù)，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.30．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是復(fù)數(shù)，則下列命題中的真命題是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ABC【分析】對(duì)于A，B，利用復(fù)數(shù)模和共軛復(fù)數(shù)的意義即可判斷；對(duì)于C，設(shè)出復(fù)數(shù)和的代數(shù)形式，根據(jù)給定條件計(jì)算判斷；對(duì)于D，舉特例說(shuō)明并判斷作答.【詳解】對(duì)于A，因，則，即，則為真，A正確；對(duì)于B，因，則和互為共軛復(fù)數(shù)，則為真，B正確；對(duì)于C，設(shè)，因，則，即，于是得，則為真，C正確；對(duì)于D，當(dāng)，有，而，即為假，D不正確.故選：ABC31．（2021·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，復(fù)數(shù)滿足在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則下列結(jié)論正確的有（）A．復(fù)數(shù)的虛部為B．C．的最大值D．的最小值為【答案】BC【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念和幾何意義即可求解.【詳解】對(duì)于A，由得，虛部為1，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)?，，在?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則，所以，故B正確，對(duì)于C，由題意知，點(diǎn)B在以為圓心，半徑為2的圓周上，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，，所以，，故C正確，對(duì)于D，表示點(diǎn)B與定點(diǎn)的距離，易知點(diǎn)在圓內(nèi)，所以，故D錯(cuò)誤.故選：BC.32．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））設(shè)為復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（）A．B．C．若，則的最大值為2D．若，則【答案】ACD【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)求模公式、乘法法則、幾何意義等知識(shí)，逐一分析選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】設(shè)，則，對(duì)于A：，，故A正確；對(duì)于B：，，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：表示z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z，在以（0,0）為圓心，1為半徑的圓上，則表示點(diǎn)Z與點(diǎn)（0，-1）的距離，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為2，故C正確；對(duì)于D：，表示z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在以（1,0）為圓心，1為半徑的圓上，則表示點(diǎn)Z與原點(diǎn)（0,0）的距離，當(dāng)點(diǎn)Z在原點(diǎn)時(shí)，最小為0，當(dāng)點(diǎn)時(shí)，最大為2，所以，故D正確.故選：ACD33．（2021·湖南·高三階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，復(fù)數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A．點(diǎn)的坐標(biāo)為 B．（為的共軛復(fù)數(shù)）C．的最大值為 D．的最小值為【答案】ABC【分析】對(duì)A，根據(jù)復(fù)數(shù)的表達(dá)式直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行判斷即可；對(duì)B，根據(jù)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可；對(duì)C，D，根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義，結(jié)合圓的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】解：對(duì)A，復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故A正確；對(duì)B，，，故B正確；對(duì)C，D，設(shè)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，設(shè)，，點(diǎn)到點(diǎn)的距離為1，因此點(diǎn)是在以為圓心，1為半徑的圓，表示圓上的點(diǎn)到點(diǎn)距離，因此，，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題34．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知是虛數(shù)單位，，且，則__________.【答案】3【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等得出，解方程組即可求解.【詳解】由題意可得解得，所以.故答案為：335．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））為虛數(shù)單位，若關(guān)于的方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)___________，【答案】【分析】設(shè)實(shí)根為，代入方程，利用復(fù)數(shù)相等的條件列出方程，即可解得和的值.【詳解】設(shè)該方程的實(shí)根為，則，整理得，因?yàn)?，所以解?故答案為：.36．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則_________．【答案】【詳解】設(shè)，則考點(diǎn)：復(fù)數(shù)相等，共軛復(fù)數(shù)37．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)__________.【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合復(fù)數(shù)的概念，列出方程組，即可求