山東省泰安市2024屆高三下學(xué)期高考模擬（（三模））數(shù)學(xué)試題

2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬試題數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū).2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在革稿紙、試卷上答題無(wú)效.4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.5.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若，則的值為（）A. B. C. D.2.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的值為（）A.1 B.2 C.3 D.43.已知圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為4，下底面圓的半徑是上底面圓的半徑的3倍，軸截面周長(zhǎng)為16，則該圓臺(tái)的表面積為（）A. B. C. D.4.已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則的最小值為（）A. B. C. D.5.已知為雙曲線（，）的右焦點(diǎn)，直線與的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，是面積為4的直角三角形，則的方程為（）A. B. C. D.6.在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，若，，則（）A.1 B. C.2 D.37.盒中有4個(gè)大小相同的小球，其中2個(gè)紅球、2個(gè)白球，第一次在盒中隨機(jī)摸出2個(gè)小球，記下顏色后放回，第二次在盒中也隨機(jī)摸出2個(gè)小球，記下顏色后放回.設(shè)事件“兩次均未摸出紅球”，事件“兩次均未摸出白球”，事件“第一次摸出的兩個(gè)球中有紅球”，事件“第二次摸出的兩個(gè)球中有白球”，則（）A.與相互獨(dú)立 B.與相互獨(dú)立C.與相互獨(dú)立 D.與相互獨(dú)立8.在三棱錐中，，，，，為的中點(diǎn)，且直線與平面所成角的余弦值為，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某燈具配件廠生產(chǎn)了一種塑膠配件，該廠質(zhì)檢人員某日隨機(jī)抽取了100個(gè)該配件的質(zhì)量指標(biāo)值（單位：分）作為一個(gè)樣本，得到如下所示的頻率分布直方圖，則（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）（）A. B.樣本質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為75C.樣本質(zhì)量指標(biāo)值的眾數(shù)小于其平均數(shù) D.樣本質(zhì)量指標(biāo)值的第75百分位數(shù)為8510.已知滿足，且在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（）A. B. C.的最小值為 D.的最小值為11.已知函數(shù)，則（）A.若的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后與的圖像重合，則的最小值為1B.若的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖像，則的最小值為5C.若函數(shù)的最小正周期為，則D.當(dāng)時(shí)，若的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖像，則方程有無(wú)窮多個(gè)解三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，，若，則的取值范圍是____________.13.已知函數(shù)若曲線與直線恰有2個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是__________.14.已知拋物線，點(diǎn)在的準(zhǔn)線上，過(guò)的焦點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，則的最小值為___________；若為等邊三角形，則__________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.（13分）已知函數(shù).（1）討論的最值；（2）若，且，求的取值范圍.16.（15分）如圖，在四棱錐中，，.（1）證明：平面平面；（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面夾角的正弦值為？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.17.（15分）2024年7月26日至8月11日將在法國(guó)巴黎舉行夏季奧運(yùn)會(huì).為了普及奧運(yùn)知識(shí)，大學(xué)舉辦了一次奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽分為初賽與決賽，初賽通過(guò)后才能參加決賽.（1）初賽從6道題中任選2題作答，2題均答對(duì)則進(jìn)入決賽.已知這6道題中小王能答對(duì)其中4道題，記小王在初賽中答對(duì)的題目個(gè)數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望以及小王在已經(jīng)答對(duì)一題的前提下，仍未進(jìn)入決賽的概率；（2）大學(xué)為鼓勵(lì)大學(xué)生踴躍參賽并取得佳績(jī)，對(duì)進(jìn)入決賽的參賽大學(xué)生給予一定的獎(jiǎng)勵(lì).獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下：已進(jìn)入決賽的參賽大學(xué)生允許連續(xù)抽獎(jiǎng)3次，中獎(jiǎng)1次獎(jiǎng)勵(lì)120元，中獎(jiǎng)2次獎(jiǎng)勵(lì)180元，中獎(jiǎng)3次獎(jiǎng)勵(lì)360元，若3次均未中獎(jiǎng)，則只獎(jiǎng)勵(lì)60元.假定每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率均為，且每次是否中獎(jiǎng)相互獨(dú)立.（?。┯浺幻M(jìn)入決賽的大學(xué)生恰好中獎(jiǎng)1次的概率為，求的極大值；（ⅱ）大學(xué)數(shù)學(xué)系共有9名大學(xué)生進(jìn)入了決賽，若這9名大學(xué)生獲得的總獎(jiǎng)金的期望值不小于1120元，試求此時(shí)的取值范圍.18.（17分）已知的其中兩個(gè)頂點(diǎn)為，，點(diǎn)為的重心，邊，上的兩條中線的長(zhǎng)度之和為，記點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作斜率存在且不為0的直線與相交于，兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)且與直線垂直的直線與相交于，兩點(diǎn)，記四邊形的面積為，求的取值范圍.19.（17分）對(duì)于，，不是10的整數(shù)倍，且，則稱為級(jí)十全十美數(shù).已知數(shù)列滿足：，，.（1）若為等比數(shù)列，求；（2）求在，，，…，中，3級(jí)十全十美數(shù)的個(gè)數(shù).

數(shù)學(xué)一、選擇題1.A【解析】.故選A項(xiàng).2.D【解析】由題得，解得，所以當(dāng)時(shí)，，所以.故選D項(xiàng).3.C【解析】設(shè)上底面圓的半徑為，則下底面圓的半徑是，故軸截面周長(zhǎng)為，解得，所以上、下底面圓的面積分別為，，圓臺(tái)側(cè)面積，所以圓臺(tái)的表面積為.故選C項(xiàng).4.D【解析】設(shè)的公差為，則，又，解得，所以，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得的最小值.故選D項(xiàng).5.B【解析】因?yàn)闉橹苯侨切?，由雙曲線的對(duì)稱性知，且，所以的漸近線方程為，即，又的面積為4，所以，解得，又，所以，故的方程為.故選B項(xiàng).6.C【解析】由，得，由正弦定理得，即，所以，又，所以，如圖，可知，又，，所以在中，由余弦定理得，解得（負(fù)值舍去）.故選C項(xiàng).7.D【解析】依題意得，，，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；，，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；，，故D項(xiàng)正確.故選D項(xiàng).8.B【解析】如圖，設(shè)球心為，的外接圓圓心為，連接，，，，，，，因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，，所以，為的外心，由，為的外心，得，，三點(diǎn)共線，且.由題意得平面，故直線與平面所成角為的余角，所以，所以.在中，，，由正弦定理得，，所以，所以在中，，所以球的表面積.故選B項(xiàng).二、選擇題9.ACD【解析】由題意知，解得，故A項(xiàng)正確；樣本質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；樣本質(zhì)量指標(biāo)值的眾數(shù)是，故C項(xiàng)正確；前3組的頻率之和為，前4組的頻率之和為，故第75百分位數(shù)位于第4組，設(shè)其為，則，解得，即第75百分位數(shù)為85，故D項(xiàng)正確.故選ACD項(xiàng).10.AC【解析】設(shè)，則，所以，整理得，故A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)誤；由前面知對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡為直線，則的最小值為原點(diǎn)到該直線的距離，則，故C項(xiàng)正確，D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選AC項(xiàng).11.BC【解析】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)?，所以，，即，，又，所以的最小值?，故A項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)?，所以，，即，，又，所以的最小值為，故B項(xiàng)正確.對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期是的最小正周期的一半，所以的最小正周期為，所以，解得，故C項(xiàng)正確.對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以，方程.令，則，，當(dāng)時(shí)，，即，所以（舍）或（舍）；當(dāng)時(shí)，，即，無(wú)解.綜上，無(wú)解，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選BC項(xiàng).三、填空題12.【解析】由，得，所以，則，由，得，又，所以，解得.13.【解析】當(dāng)時(shí)，，，則；當(dāng)時(shí)，，，則.作出的圖像，如圖，易知的取值范圍是.14.824【解析】由已知得，設(shè)直線的方程為，，，弦的中點(diǎn)，聯(lián)立消去并整理得，則，，所以，且，，，故當(dāng)時(shí)，.若為等邊三角形，則，直線的方程為，所以點(diǎn)，又，，所以，解得，則.四、解答題15.解：（1）由題知的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取得極小值，也是最小值，且最小值為，無(wú)最大值.（2）當(dāng)時(shí)，由，得，整理得，即.令，則，由（1）知，當(dāng)時(shí)，的最小值為，即恒成立，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.故當(dāng)時(shí)，取得最大值，即，故的取值范圍為.16.（1）證明：因?yàn)?，，所以，，所以，，又，所以四邊形為菱形，所以，，又，平面，，所以平面，又平面，所以平面平?（2）解：由（1）得平面，因?yàn)槠矫?，所以，故四邊形為正方?不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，的中點(diǎn)為，連接.因?yàn)闉榈冗吶切危?，又平面，平面平面，平面平面，所以平?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，.假設(shè)存在點(diǎn)，使得平面與平面夾角的正弦值為，且，，由，得，即，解得，，，所以，所以，，，.設(shè)平面的法向量為，則可取.設(shè)平面的法向量為，則可取，則，解得或（舍去），所以在棱上存在點(diǎn)，使得平面與平面夾角的正弦值為，且.17.解：（1）的可能取值為0，1，2，則，，，的分布列為012.記事件：小王已經(jīng)答對(duì)一題，事件：小王未進(jìn)入決賽，則小王在已經(jīng)答對(duì)一題的前提下，仍未進(jìn)入決賽的概率.（2）（?。?，則，令，解得或（舍），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，有極大值，且的極大值為.（ⅱ）由題可設(shè)每名進(jìn)入決賽的大學(xué)生獲得的獎(jiǎng)金為隨機(jī)變量，則的可能取值為60，120，180，360，，，，，所以，所以，即，整理得，經(jīng)觀察可知是方程的根，故.因?yàn)楹愠闪ⅲ杂?，得，又，所以的取值范圍?18.解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)為的重心，的邊，上的兩條中線長(zhǎng)度之和為，所以，故由橢圓的定義可知曲線是以，為焦點(diǎn)的橢圓（不包括長(zhǎng)軸的端點(diǎn)）.設(shè)，，分別為該橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)、半焦距，所以，，所以，所以的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立整理得，則，，.設(shè)，則，即，代入橢圓方程得，所以，則，所以.由對(duì)稱性知，又，所以，.又，所以的取值范圍為，故的取值范圍為.19.解：（1）設(shè)的公比為，則，即，由，得解得或.故或.（2）由（1）知，當(dāng)