【矩陣對角化方法數(shù)值求解薛定諤方程綜述1200字】

矩陣對角化方法數(shù)值求解薛定諤方程這里我們只討論不含時的薛定諤方程，其本質(zhì)就是求解這樣一個本征值問題Hψ=εψ,(其中H是哈密頓算符,波函數(shù)ψ是本征矢量，對應(yīng)的本征值ε是能量。哈密頓算符是動能算符T和勢能算符V之和，因此由(1)式可以寫為T+Vψ=εψ,動能算符還可以寫為T=?為了簡化計(jì)算，在后面的計(jì)算和編程中我們可能會用到自然單位?=（一）哈密頓量的矩陣對角化采用自然單位后，由式(2)可以寫為??2在這里我們用有限差分法去表示二階導(dǎo)數(shù)算子[5]，首先我們考慮下述方程?2u?我們用離散點(diǎn)集對應(yīng)的值來表示函數(shù)u(x,y)xyl=y0其中我們令步長?x=?y=?。然后，我們用uj,l表示u(xj,uj+1,l或者等價地uj+1,l 為了把這個線性方程組寫成矩陣形式我們需要把u寫成一個向量，我們通過下式將二維格點(diǎn)用一維序列進(jìn)行編號i≡jL+1+l,j=0,1,…,J,l=0,1,…,L.因此由式(8)可以變?yōu)閡i+L+1+u這個方程僅適用于內(nèi)部點(diǎn)j=1,2,…,J?1;l=1,2,…,L?1。 對于邊界上的點(diǎn)j=0j=Jl=0l=Li.e.,i=L,L+1+L,…,JL+1+L,u或其導(dǎo)數(shù)已經(jīng)確定。這樣如圖3所示我們就可以用矩陣來描述這個線性方程組。圖3二階導(dǎo)數(shù)算子的矩陣表示[5] 因此對于式(4)，當(dāng)我們在一個L×L的有限格點(diǎn)中表示各個算符，ψ是一個L×1的矢量，T=??2和（二）求解二維諧振子勢對于二維諧振子勢Vx,y這一勢場很容易用矩陣表示，之后可以用python自帶的算法求解本征方程，解出的本征值與二維諧振子勢的解析解ε=1進(jìn)行比較（此處代碼見附錄A），并標(biāo)注其對應(yīng)的ωx和ωyωω?cái)?shù)值解解析解誤差0.1114350.0549080.083160.083170.01009%0.0457820.1166480.081210.081220.00922%0.0362960.0701720.053230.053230.00360%0.1151150.0636870.089390.089400.01489%0.0676970.1180790.092870.092890.01534%0.1569220.0291990.093040.093060.01948%0.0769490.0850480.080990.081000.01238%0.0627390.0850920.073910.073920.01163%表1二維諧振子勢的數(shù)值解和解析解的誤差 上表表明用矩陣對角化方法數(shù)值求解的結(jié)果具有較高的精度。雖然我們還未涉及利用機(jī)器學(xué)習(xí)理論去數(shù)值求解方程，但這一部分是后續(xù)生成數(shù)據(jù)集的基礎(chǔ)。因?yàn)槔镁矸e神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)去求解方程并不是一項(xiàng)獨(dú)立的工作，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以實(shí)現(xiàn)求解之前，我們必須經(jīng)過一定量的訓(xùn)練使得神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有能力去求解參數(shù)隨機(jī)的勢場。雖然原則上如果我們希望機(jī)器學(xué)習(xí)解方程的結(jié)果盡可能準(zhǔn)確，我們應(yīng)該采用不同參數(shù)下的解析解和盡可能多的數(shù)據(jù)點(diǎn)，但考慮到可能并不是所有勢場都能寫出解析解的形式，因此選用某種數(shù)值方法得出的