第4題雙曲線中滿足一定條件的直線問題 2024年高中數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之一題多解

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第4題雙曲線中滿足一定條件的直線問題【南昌市第二中學(xué)2024屆高三新改革適應(yīng)性模擬】若雙曲線右焦點為，直線與的右支交于兩點，且為的重心，則直線斜率的取值范圍為（）A．

B．C．

D．先根據(jù)重心坐標(biāo)公式可以計算出弦的中點坐標(biāo)，再運用點差法，可以得到中點坐標(biāo)與直線斜率的關(guān)系，用離心率表示出斜率，再根據(jù)弦中點與雙曲線的位置關(guān)系以及點不共線列出不等式，求出離心率的取值范圍，再結(jié)合二次函數(shù)即可求斜率的取值范圍．由題意可知，設(shè)的斜率為的中點．設(shè)，代入雙曲線方程得，①②得：，．為的重心，，，，．根據(jù)與雙曲線的位置關(guān)系，得，即，整理得，即．因為不共線，即，即，即，且．直線的斜率的取值范圍為．（2023·四川成都·模擬預(yù)測）1．已知圓錐曲線統(tǒng)一定義為“平面內(nèi)到定點F的距離與到定直線l的距離（F不在l上）的比值e是常數(shù)的點的軌跡叫做圓錐曲線”．過雙曲線的左焦點的直線l（斜率為正）交雙曲線于A，B兩點，滿足．設(shè)M為AB的中點，則直線OM斜率的最小值是（

）A． B． C． D．（23-24高二上·上?！て谀?．已知雙曲線中，離心率為，且經(jīng)過點．(1)求雙曲線方程；(2)若直線與雙曲線左支有兩個交點，求的取值范圍；(3)過點是否能作直線與雙曲線交于、兩點，且使得是的中點，若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由．利用重心坐標(biāo)公式計算出弦中點的坐標(biāo)，再設(shè)出含斜率與截距的直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，計算得到弦中點的坐標(biāo)，根據(jù)中點坐標(biāo)建立方程后，分別求出直線的斜率和截距的表達(dá)式，再根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系，通過判別式以及點不共線列出不等式，得到離心率的取值范圍，再結(jié)合斜率的表達(dá)式，利用二次函數(shù)求出斜率的取值范圍．由題意可知，設(shè)的中點直線方程，與雙曲線聯(lián)立，得，消去，得，所以，即①又②③由②、③得，代入①得：，整理得，所以，所以．因為不共線，即，即，且，直線的斜率的取值范圍為．【題后反思】：本題是一道雙曲線小題，主要考查重心坐標(biāo)公式，弦中點問題的以及范圍問題的處理方法．主要難點的用含離心率的式子表示斜率和求出離心率的取值范圍．對于弦中點問題，常用的處理方法主要有兩種，一是利用點差法，得到弦中點坐標(biāo)與直線斜率的關(guān)系；二是利用直線與曲線方程聯(lián)立后，利用根系關(guān)系求出弦中點坐標(biāo)與直線斜率的關(guān)系．對于變量的范圍問題，主要有兩種策略，一是利用函數(shù)的方法解決，二是利用不等式的方法解決．本題利用以離心率為變量的函數(shù)來求斜率的范圍，在求解離心率的范圍時，使用了兩種方法，一是利用中點與雙曲線的位置關(guān)系建立不等式求出，二是利用直線與雙曲線的位置關(guān)系列不等式求出，同時也需要考慮去掉點共線的情況，得到離心率的范圍．最后利用二次函數(shù)的知識求出斜率的取值范圍．相對來說利用點差法和中點與雙曲線的位置關(guān)系求離心率的范圍的操作方法計算量相對較小，解題時可以考慮多使用．（2023·湖北武漢·一模）3．設(shè)F為雙曲線的右焦點，A，B分別為雙曲線E的左右頂點，點P為雙曲線E上異于A，B的動點，直線l：x＝t使得過F作直線AP的垂線交直線l于點Q時總有B，P，Q三點共線，則的最大值為.（23-24高二下·吉林長春·階段練習(xí)）4．已知雙曲線C：的右頂點為M，過點的直線l交雙曲線C于A，B兩點，設(shè)直線MA的斜率為，直線MB的斜率為.(1)求直線l斜率的取值范圍；(2)證明：為定值，并求出該定值；(3)求的最大值.5．設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，過的直線分別與雙曲線左右兩支交于兩點，以為直徑的圓過，且，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．6．已知是雙曲線的右焦點，直線經(jīng)過點且與雙曲線相交于兩點，記該雙曲線的離心率為，直線的斜率為，若，則（

）A． B． C． D．（2023·內(nèi)蒙古包頭·一模）7．已知點在雙曲線：（）上，斜率為的直線過點且不過點．若直線交于，兩點，且以線段為直徑的圓過點，則（

）A． B． C． D．（2023·四川成都·模擬預(yù)測）8．已知圓錐曲線統(tǒng)一定義為“平面內(nèi)到定點F的距離與到定直線l的距離（F不在l上）的比值e是常數(shù)的點的軌跡叫做圓錐曲線”．過雙曲線的左焦點的直線l（斜率為正）交雙曲線于A，B兩點，滿足．設(shè)M為AB的中點，則直線OM斜率的最小值是（

）A． B． C． D．9．已知,是離心率為的雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩點，是雙曲線上的動點，且直線的斜率分別為，，，則的取值范圍為A． B．C． D．)（2023·湖北襄陽·模擬預(yù)測）10．已知焦點在軸上的橢圓的內(nèi)接平行四邊形的一組對邊分別經(jīng)過其兩個焦點（如圖所示），當(dāng)這個平行四邊形為矩形時，其面積最大，則的取值范圍是（

）

A． B． C． D．11．已知雙曲線上存在兩點M，N關(guān)于直線y＝x＋m對稱，且MN的中點在拋物線上，則實數(shù)m的值為．12．已知拋物線：，其焦點為，的準(zhǔn)線交軸于點，，為拋物線上動點，且直線過點，過，分別作，的平行線，（為坐標(biāo)原點），直線，相交于點，記點的運動軌跡為曲線，直線與曲線無交點，則的取值范圍是.（2023·山東·模擬預(yù)測）13．已知直線與曲線．(1)若與交于，兩點，點，直線與的斜率之積為1，證明：直線過定點；(2)若與相切于點，過點且與垂直的直線分別交軸、軸于，兩點，求的最小值．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．C【分析】根據(jù)條件畫出圖形結(jié)合圓錐曲線的定義及條件可得，然后利用點差法可得，進(jìn)而可得，然后利用基本不等式即得.【詳解】由題可知在左支上在右支上，如圖，設(shè)，在左準(zhǔn)線上的射影為，因為，則，所以，設(shè)，則，所以，，即，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)圓錐曲線的定義結(jié)合條件表示出，然后利用點差法得，根據(jù)基本不等式即得.2．(1)(2)(3)不存在，理由見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、、的值，即可得出雙曲線的方程；（2）將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，根據(jù)已知條件結(jié)合韋達(dá)定理、判別式可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，即可解得實數(shù)的取值范圍；（3）利用點差法求出直線的方程，再將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，計算，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）解：因為雙曲線中，離心率為，且經(jīng)過點，則，解得，所以，雙曲線的方程為.（2）解：設(shè)直線交雙曲線于點、，聯(lián)立可得，因為直線與雙曲線左支有兩個交點，則，解得，故實數(shù)的取值范圍是.（3）解：若直線軸，則直線與雙曲線相切，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，設(shè)點、，因為為線段的中點，則，將點、的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得，作差可得，即，即，所以，直線的斜率為，所以，直線的方程為，即，聯(lián)立可得，則，因此，不存在滿足題設(shè)條件的直線.3．##1.25【分析】設(shè)出直線方程，與雙曲線的方程聯(lián)立，韋達(dá)定理表示出A與P的關(guān)系，根據(jù)三點B，P，Q共線，求得Q點坐標(biāo)的橫坐標(biāo)表示出t,然后運用設(shè)參數(shù)m法化簡,最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.【詳解】設(shè)，，聯(lián)立整理得:;所以，得到，所以；過F作直線PA的垂線與直線交于Q，因為B,Q,P三點共線，所以Q是直線與BP的交點，Q是與的交點所以得，所以設(shè)則所以當(dāng)時，即m=2即時，取得最大值.故答案為：【點睛】方法點睛：（1）聯(lián)立方程，根據(jù)韋達(dá)定理表示出坐標(biāo)關(guān)系式；按照題目中給出的關(guān)系，構(gòu)建關(guān)系式，表示出所求變量；（2）在計算推理的過程中運用整體轉(zhuǎn)化，化簡函數(shù)式，從而得到二次函數(shù)或者不等式，求得最值；本題的解題的關(guān)鍵是，表示出Q點的交點坐標(biāo)，找到與t有關(guān)的解析式.4．(1)(2)(3)【分析】（1）設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，利用判別式求出斜率的取值范圍即可；（2）設(shè)，，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理代入求解即可；（3）按在軸同側(cè)和兩側(cè)分類討論，利用弦長公式和韋達(dá)定理得到關(guān)于的方程，再利用導(dǎo)數(shù)求最大值即可.【詳解】（1）由雙曲線方程可知，過點的直線交雙曲線于兩點，則直線斜率存在，設(shè)直線，聯(lián)立得，因為直線交雙曲線有兩個交點，所以，即，令解得，綜上直線斜率的取值范圍為.（2）設(shè)，，則，，所以，由（1）得，，代入得.（3）設(shè)，，且，則，同理，所以，當(dāng)時，，此時，將，，代入得，令，，則，令解得或（舍去），所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得最小值，此時取得最大值；當(dāng)時，，此時，將，，代入得，令，，則恒成立，所以單調(diào)遞增，不存在最大值，綜上的最大值為.【點睛】解決直線與圓錐曲線相交（過定點、定值）問題的常用步驟：（1）得出直線方程，設(shè)交點為,；（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于或的一元二次方程；（3）寫出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為，形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.5．B【解析】根據(jù)圓的性質(zhì)得到，根據(jù)得到.設(shè)為的中點.根據(jù)雙曲線的定義和等腰直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理列方程，求得，以及，進(jìn)而求得直線的斜率.【詳解】由為直徑的圓過，所以，由，得，即，即，即，所以，所以.設(shè)，則，由，，兩式相加可得，即有，設(shè)為的中點，在直角三角形中可得，化為，即，而，所以，所以直線的斜率為.故選：B【點睛】本小題主要考查雙曲線的定義，考查圓的幾何性質(zhì)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查運算求解能力，屬于難題.6．C【分析】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組求得，根據(jù)，得到，代入上式，可得，求得，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，可得，因為，即，可得，代入上式，可得，可得，整理得，即，又由，可得，即，所以，可得，即.故選：C.【點睛】設(shè)出直線的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得，結(jié)合，轉(zhuǎn)化為，列出關(guān)于的方程是解答的關(guān)鍵.7．A【分析】根據(jù)點在雙曲線上求出雙曲線方程，根據(jù)線段為直徑的圓過點可得，利用韋達(dá)定理代入即可求解.【詳解】因為點在雙曲線：（）上，所以由解得，所以雙曲線，設(shè)，，，聯(lián)立整理得，因為直線交于，兩點，所以，，所以，，，，因為線段為直徑的圓過點，所以，所以，即，所以，整理得，解得或，當(dāng)時，直線過點，不滿足題意；當(dāng)時，滿足且；所以，故選：A8．C【分析】根據(jù)條件畫出圖形結(jié)合圓錐曲線的定義及條件可得，然后利用點差法可得，進(jìn)而可得，然后利用基本不等式即得.【詳解】由題可知在左支上在右支上，如圖，設(shè)，在左準(zhǔn)線上的射影為，因為，則，所以，設(shè)，則，所以，，即，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)圓錐曲線的定義結(jié)合條件表示出，然后利用點差法得，根據(jù)基本不等式即得.9．B【分析】因為M,N關(guān)于原點對稱，所以設(shè)其坐標(biāo)，然后再設(shè)P坐標(biāo)，將表示出來.做差得，即有，最后得到關(guān)于的函數(shù)，求得值域.【詳解】因為雙曲線的離心率，所以有，故雙曲線方程即為.設(shè)M,N,P的坐標(biāo)分別是,則，并且做差得，即有，于是有因為的取值范圍是全體實數(shù)集，所以或，即的取值范圍是，故選B.【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)，有一定的綜合性和難度.10．C【分析】解法1、設(shè)直線為，聯(lián)立方程組，利用弦長公式求得，求得直線與的距離為，得到的面積為，設(shè)，得到，轉(zhuǎn)化為的值最小即可，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和橢圓的性質(zhì)，即可求解.解法2、設(shè)直線的傾斜角為，求得，原點的距離為，得到矩形面積，設(shè)，得到，結(jié)合基本不等式的成立的條件，得到，進(jìn)而求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】解法1：設(shè)所在直線方程為且聯(lián)立方程組，整理得，可得，所以，由直線方程為，所以直線與垂線的距離為，矩形的面積為，設(shè)，則，所以，要使最大，則只需的值最大，即的值最小即可，當(dāng)這個平行四邊形為矩形時，其面積最大，即當(dāng)時，有最大值，即時，的值最小，由雙勾函數(shù)性質(zhì)在上單調(diào)遞減，在區(qū)間為單調(diào)遞增，又由，當(dāng)時，有最小值，所以，所以，可得，即，解得，所以，又因為，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.解法2：設(shè)所在直線方程為且聯(lián)立方程組，整理得，可得，所以，設(shè)直線的傾斜角為，可得，即，代入上式，化簡得，又由原點的距離為，所以矩形的面積：，設(shè)，則，且，可得，則，要使最大，則只需的值最大，即的值最小即可，當(dāng)這個平行四邊形為矩形時，其面積最大，即當(dāng)時，有最大值，即時，的值最小，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，即，所以，即，所以，可得，即，解得，所以，又因為，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點睛】解答圓錐曲線的最值問題的方法與策略：（1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來解決；（2）函數(shù)取值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）單調(diào)性法；（4）三角換元法；（5）導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.11．0或－8【解析】設(shè)，MN的中點，代入雙曲線相減得到，得到，代入拋物線計算得到答案.【詳解】設(shè)，MN的中點，則故，即，∵M(jìn)，N關(guān)于直線y＝x＋m對稱，∴，∴，又∵，∴，代入拋物線方程得＝18·解得m＝0或－8，經(jīng)檢驗都符合．故答案為：m＝0或－8【點睛】本題考查了圓錐曲線的對稱問題，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算能力.12．【分析】根據(jù)題意得，設(shè)，直線的方程為：，與拋物線聯(lián)立得，，再設(shè)，根據(jù)題意得曲線的方程為：，再根據(jù)雙曲線的性質(zhì)即可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意得，直線的斜率存在且不取零，記為，設(shè)，直線的方程為：聯(lián)立直線與拋