專題10 解答壓軸題：幾何綜合（解析版）

專題10解答壓軸題：幾何綜合1．（2023?上海）如圖（1）所示，已知在中，，在邊上，點(diǎn)邊中點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓分別交，于點(diǎn)，，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)．（1）如果，求證：四邊形為平行四邊形；（2）如圖（2）所示，聯(lián)結(jié)，如果，，，求邊的長(zhǎng)；（3）聯(lián)結(jié)，如果是以為腰的等腰三角形，且，求的值．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【詳解】（1）證明：如圖：，，，，，，是的中點(diǎn)，，是的中位線，，即，四邊形是平行四邊形；（2）解：如圖：由，，點(diǎn)邊中點(diǎn)，設(shè)，，則，由（1）可得，，，，，，即，在中，，，，解得：或（舍去），；（3）解：①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，不符合題意，舍去；②當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如圖所示，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，設(shè)，，，，設(shè)，，，，，，，設(shè)交于點(diǎn)，，，，，，，在與中，，，，又，，，，，，，，的值為．2．（2022?上海）如圖，在中，是線段中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．（1）如果．?。笞C：為菱形；ⅱ．若，，求線段的長(zhǎng)；（2）分別以，為半徑，點(diǎn)，為圓心作圓，兩圓交于點(diǎn)，，點(diǎn)恰好在射線上，如果，求的值．【答案】（1）見解析；；（2）【詳解】（1）．證明：如圖，連接交于點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，為菱形；．解：，是的中線，為的中點(diǎn)，是的中線，點(diǎn)是的重心，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，，在中，由勾股定理得，，，解得（負(fù)值舍去），，；（2）解：方法一：如圖，與相交于，，，由（1）②知點(diǎn)是的重心，又在直線上，是的中線，，，，，，，，，，，．方法二：設(shè)，則，，，，垂直平分，，，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，，由勾股定理得，，由可得，，．3．（2021?上海）如圖，在四邊形中，，，，是對(duì)角線的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)交邊或邊于點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)在上，①求證：；②若，求的值；（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）①見解析；②；（2）或【詳解】（1）①證明：如圖1，，．，．是斜邊上的中線，，，，；②解：如圖2，若，在中，，．過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，在中，，，，；（2）①如圖3，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，，，是的中點(diǎn)，，，，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是矩形．設(shè)，，，，，在和中，，，，解得，或（舍去）．．②如圖4，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，設(shè)，則，設(shè)，，，，，，．又，，，，，，，將代入，整理得，，解得，或（舍去）．．綜合以上可得的長(zhǎng)為或．4．（2020?上海）如圖，中，，是的外接圓，的延長(zhǎng)線交邊于點(diǎn)．（1）求證：；（2）當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的大?。唬?）當(dāng)，時(shí)，求邊的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）或；（3）【詳解】（1）證明：連接．，，，，，，．（2）解：如圖2中，延長(zhǎng)交于．①若，則，，，，，，．②若，則，，，，．③若，則與重合，這種情形不存在．綜上所述，的值為或．（3）如圖3中，作交的延長(zhǎng)線于．則，，設(shè)，，，，，，．5．（2019?上海）如圖1，、分別是的內(nèi)角、的平分線，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）求證：；（2）如圖2，如果，且，求的值；（3）如果是銳角，且與相似，求的度數(shù)，并直接寫出的值．【答案】（1）見解析；（2）；（3），．，【詳解】（1）證明：如圖1中，，，，平分，，同理，，，，．（2）解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)．，，平分，，，，，，，．（3）與相似，，中必有一個(gè)內(nèi)角為是銳角，．①當(dāng)時(shí)，，，，，此時(shí)．②當(dāng)時(shí)，，，與相似，，此時(shí)．綜上所述，，．，．6．（2023?徐匯區(qū)二模）已知：如圖1，四邊形中，，．（1）求證：四邊形是等腰梯形；（2）邊的垂直平分線交于點(diǎn)，交對(duì)角線于點(diǎn)，交射線于點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，設(shè)長(zhǎng)為，試用表示的長(zhǎng)；②當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】（1）見解析；（2）①；②【詳解】（1）證明：延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，，，，，即，，，，即，，，，，與不平行，四邊形是梯形，，梯形是等腰梯形；（2）解：①連接，則，，，，，四邊形是等腰梯形，，，即，，，，，，，，，，，設(shè)，則，，，，即，解得：，或（不符合題意，舍去），；②延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于，作于，設(shè)與的交點(diǎn)為，若點(diǎn)在線段上，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，為等腰梯形的中位線，則，，這與矛盾；若點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，如圖，，又，，設(shè)，，則，，，，，，，，，，，，，，，，整理得，解得：，，，．7．（2023?楊浦區(qū)二模）已知是的直徑，弦，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)在直徑上（與、不重合），，連接并延長(zhǎng)與交于點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求的度數(shù)；（2）連接交弦于點(diǎn)，如果，求的值；（3）當(dāng)四邊形是梯形時(shí)，且，求的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）；（3）【詳解】（1）如圖1，連接、、，，垂足為點(diǎn)，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形，，，，是等邊三角形，；（2）如圖，，，，，，，，，，，設(shè)，則，，，；（3）如圖，當(dāng)時(shí)，連接，由（2）知，，，在梯形中，，，，，，，，，，，，，在中，，，，，，，，設(shè)，則，，，．8．（2023?徐匯區(qū)一模）如圖1，已知菱形，點(diǎn)在邊上，，交對(duì)角線于點(diǎn)．（1）求證：；（2）如圖2，聯(lián)結(jié)．①當(dāng)為直角三角形時(shí)，求的大?。虎谌鐖D3，聯(lián)結(jié)．當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】（1）見解析；（2）①或；②【詳解】（1）證明：四邊形是菱形，，，，，，，，；（2）①菱形是軸對(duì)稱圖形，，令，則，當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)為直角三角形時(shí)，或；②連接交于，交于，四邊形是菱形，，，，，，，，，，，，，四邊形是等腰梯形，，，，，，，，垂直平分，，，，，設(shè)，菱形邊長(zhǎng)是，，，或（舍，，，．的值是．9．（2023?浦東新區(qū)二模）已知：的直徑，是的中點(diǎn)，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、、重合），射線交射線于點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接、，中是否存在度數(shù)保持不變的角？如果存在，請(qǐng)指出這個(gè)角并求其度數(shù)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）聯(lián)結(jié)，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，求與面積的比值．【答案】（1）；（2）見解析；（3）或或【詳解】（1）解：如圖1，連接、、，是的中點(diǎn)，是半徑，，，，，，，，，，，，．（2）不變，．如圖2，連接，是的中點(diǎn)，，是的直徑，，，，．（3）解：①如圖3，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，，，，是的中點(diǎn)，，，，，，，，，是等邊三角形，，，，，，，．②如圖4，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，過點(diǎn)作于，，，，，，，，設(shè)，，，，由得，，，，，，，③如圖5，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，長(zhǎng)度與②中相同，，，綜上得，與面積的比值為：或或．10．（2023?楊浦區(qū)一模）已知在正方形中，對(duì)角線，點(diǎn)、分別在邊、上，．（1）如圖，如果，求線段的長(zhǎng)；（2）過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，與交于點(diǎn)．①求證：；②設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)，如果，求的值．【答案】（1）；（2）①見解析；②或【詳解】（1）解：如圖1，連接，四邊形是正方形，，，，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，（舍去），；（2）①證明：如圖2，延長(zhǎng)，交于，作，，，，四邊形是正方形，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，；②如圖3，當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于，作于，作的垂直平分線，交于，，設(shè)，則，由上可知：，，，，，，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，，，，，，，，；如圖4，當(dāng)時(shí)，同理可得：，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，，，，，，綜上所述：或．11．（2023?黃浦區(qū)二模）如圖，在菱形中，，是邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，連接，分別交、于點(diǎn)、．（1）已知，①當(dāng)時(shí)，求的面積；②以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，以點(diǎn)為圓心，半徑為1作圓，圓與圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求的值；（2）延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)，當(dāng)設(shè)，請(qǐng)用含的代數(shù)式表示的值．【答案】（1）①；②或；（2）【詳解】（1）①如圖1，作于，在中，，，，，在中，，；②如圖2，作于，，設(shè)，，，設(shè)兩圓外切于時(shí)，，，在中，，，，，，，如圖3，當(dāng)兩圓內(nèi)切于點(diǎn)時(shí)，，，，，，，綜上所述：或；（2）如圖4，延長(zhǎng)，交于，四邊形是菱形，，，，，，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，．12．（2023?虹口區(qū)一模）如圖，在中，，，點(diǎn)、分別在邊、上，滿足．點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且．（1）當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，求的值；（2）如果，求的值；（3）如果是等腰三角形，求的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）；（3）【詳解】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，，，，，．．．，，，是的中點(diǎn)，是的中位線，，，．在中，；（2），．，，．，．，，，．，，，，；（3）如果是等腰三角形，①當(dāng)時(shí)，則．，，，這與已知條件不符，此種情況不存在；②當(dāng)時(shí)，則，，，，，，，，為鈍角，此種情況不存在；③當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，由題意得：，，，，．．，，，，，．由（1）知：，，．．13．（2023?嘉定區(qū)二模）在中，，點(diǎn)在線段上，，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）如果，①如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求證：；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上，且不與點(diǎn)、點(diǎn)重合時(shí)，問：①中的“”仍成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明你的理由；（2）如果，如圖3，已知為常數(shù)），當(dāng)點(diǎn)在線段上，且不與點(diǎn)、點(diǎn)重合時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄康闹担ㄓ煤氖阶颖硎荆?，并寫出你的探究過程．【答案】（1）①見解析；②；（2）【詳解】（1）①證明：，，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，，，即；②解：結(jié)論：．理由：如圖2中，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．，，，，由（1）可知，；（2）解：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．，，，同法可證，，，，，，，．14．（2023?普陀區(qū)一模）如圖，在矩形中，，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，是線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，與矩形對(duì)角線交于點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，如果，求的長(zhǎng)；（2）當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，①求的值；②如果，求的余切值．【答案】（1）；（2）①；②的余切值【詳解】（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，設(shè)，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，，即，，；（2）①如圖，交于點(diǎn)，連接，由（1）得，，，，，又，，，，，，，設(shè)，則，，；②如圖，連接，，設(shè)，則，設(shè)，且，，則，，，，，，，，，即，，由①得，，，，兩邊平方并整理得，，，，，，，，，即的余切值．15．（2023?寶山區(qū)一模）如圖1，在中，．點(diǎn)、分別在邊、上（不與端點(diǎn)重合），和交于點(diǎn)，滿足．（1）求證：；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；（3）當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的值．【答案】（1）見解析；（2）（3）；或【詳解】（1）證明：如圖1，作于，，，，，，，，，，，，，，；（2）解：如圖2，作于，，，，，，，在中，，設(shè)，，，，由得，，，；（3）解：如圖3，當(dāng)時(shí)，，，，，作于，作于，，，，，，，，由（1）知：，，，，如圖4，當(dāng)時(shí)，，，作于，，，，，由（1）知：，，，，，綜上所述：；或．16．（2023?靜安區(qū)二模）如圖1，扇形的半徑為，圓心角，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），點(diǎn)、分別在半徑、上，四邊形為矩形，點(diǎn)在線段上，且．（1）求證：；（2）如圖2，以為頂點(diǎn)、為一邊，作，射線交射線于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、．①當(dāng)時(shí)，求與的面積之比；②把沿直線翻折后記作，當(dāng)時(shí)，求的正切值．【答案】（1）見解析；（2）①；②【詳解】（1）證明：連接，設(shè)交于，如圖：四邊形為矩形，，，，；（2）解：①連接，如圖：四邊形為矩形，，，，，，，，，，，，，，；②如圖：當(dāng)時(shí)，，，把沿直線翻折得，，，，在中，，．的正切值是．17．（2023?崇明區(qū)二模）如圖，在中，，，．點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），聯(lián)結(jié)，過點(diǎn)作，分別交、于點(diǎn)、．（1）當(dāng)時(shí)，求的正切值；（2）設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出的定義域；（3）聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)，與邊的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，若與相似，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）或【詳解】（1），，，，，，，，；（2）如圖，作于，于．則四邊形是矩形．，，，，，，．（3）如圖：①當(dāng)時(shí)，有，又，，，點(diǎn)，，，四點(diǎn)共圓，且為直徑，，，，，，．②當(dāng)時(shí)，有，，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，，，解得（負(fù)值舍去），，綜上所述，若與相似，的值為或．18．（2023?長(zhǎng)寧區(qū)一模）已知：在中，，，點(diǎn)、分別在射線、射線上，且滿足．（1）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖1．①如果，求的長(zhǎng)；②設(shè)、兩點(diǎn)的距離為，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域．（2）當(dāng)時(shí)，求的面積．（直接寫出結(jié)論，不必給出求解過程）【答案】（1）①4或12；②；（2）或【詳解】（1）①，，，且，，，，，，，，解得或，的長(zhǎng)為4或12；②由（1），，、兩點(diǎn)的距離為，，，，，，，，，，，，，，，；（2）過作于，過作于，當(dāng)在邊上時(shí)，如圖：，，，，由（1）知當(dāng)，即時(shí)，，，于，，，，，，，，的面積為，當(dāng)在延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖：由可得，由可得，的面積為，綜上所述，的面積為或．19．（2023?楊浦區(qū)三模）已知在矩形中，，，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓，交射線于點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)與直線相切時(shí)，求半徑的長(zhǎng)；（2）當(dāng)與的三邊有且只有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求半徑的取值范圍；（3）連接，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)，如果以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓與相切，求的正切值．【答案】（1）；（2）或；（3）或1【詳解】（1）如圖1，設(shè)于相切于點(diǎn)，連接、，則，四邊形是矩形，，，，，，，是的半徑，與相切于點(diǎn)，，，，，，，，半徑的長(zhǎng)為．（2）設(shè)與相切于點(diǎn)，此時(shí)與的三邊有三個(gè)交點(diǎn)，如圖2，連接，則，，四邊形是矩形，，當(dāng)時(shí)，與的三邊有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖3，經(jīng)過點(diǎn)，此時(shí)與的三邊有三個(gè)交點(diǎn)，連接，則，，，，解得當(dāng)點(diǎn)于點(diǎn)重合時(shí)，，當(dāng)時(shí)，與的三邊有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，綜上所述，半徑的取值范圍是或．（3）如圖4，與外切，于點(diǎn)，，，，，，，解得，；如圖5，經(jīng)過點(diǎn)，此時(shí)與內(nèi)切，，，，綜上所述，的正切值是或1．20．（2023?金山區(qū)一模）已知平行四邊形中，，，，點(diǎn)是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，作，射線交射線于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，證明：；（2）如圖2，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；（3）當(dāng)是以為底的等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）；（3）或【詳解】（1）證明：如圖1，四邊形是平行四邊形，，，點(diǎn)與點(diǎn)重合，，，，，，．（2）解：如圖2，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，，，，，且，，解得或（不符合題意，舍去），，，，，，，，，，，，的長(zhǎng)是．（3）解：是以為底的等腰三角形，，如圖3，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，，，，解得；如圖4，點(diǎn)在線段上，，，，解得，綜上所述，的長(zhǎng)是或．21．（2023?松江區(qū)一模）已知梯形中，，，，，是線段上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．（1）如圖1，如果，且，求的正切值；（2）如圖2，如果，且，求的長(zhǎng)；（3）如果，且是等腰三角形，求的面積．【答案】（1）；（2）；（3）或或或【詳解】（1）過作于，過作于，如圖：，，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，即，，，，，，，的正切值為；（2）過作于，過作于，如圖：，，同（1）可得，，，，，，，，，，即，或，（大于6舍去）或，，；的長(zhǎng)為；（3）當(dāng)時(shí)，過作于，如圖：，，，，，即，，；當(dāng)時(shí)，過作于，過作于，如圖：，同（2）可得，，解得或，或；當(dāng)時(shí)，過作于，過作于，如圖：設(shè)，則，，，，，，，即，解得（舍去）或，，綜上所述，的面積為或或或．22．（2023?虹口區(qū)二模）如圖1，在菱形中，，點(diǎn)在對(duì)角線上，，是的外接圓，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離記為．（1）如圖2，當(dāng)時(shí)，聯(lián)結(jié)，求證：；（2）延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)，如果是直角三角形，求的長(zhǎng)；（3）當(dāng)圓心在菱形外部時(shí)，用含的代數(shù)式表示的半徑，并直接寫出的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）或；（3）或【詳解】（1）證明：連接，交于點(diǎn)，如圖，，，又過圓心，．，．在菱形中，，在中，，，即，；（2）解：，如果是直角三角形，那么只有或，①當(dāng)時(shí)，連接，如圖，由題可得：，，在中，，，．，，即：，；②當(dāng)時(shí)，，，在菱形中，，，，，在中，，，綜上所述，或；（3）解：連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，，，同理，，，，，，．在中，，．在中，，在中，，，的半徑為，的取值范圍為或．23．（2023?松江區(qū)二模）如圖1，是半圓的直徑，是半圓上一點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，射線交半圓于點(diǎn)，弦交于點(diǎn)、交于點(diǎn)．（1）如圖2，恰好落在半圓上，求證：；（2）如果，求的值：（3）如果，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）；（3）或【詳解】（1）證明：如圖2，連接，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，，，，，，是等邊三角形，，，，，．（2）解：如圖3，設(shè)的半徑為，則，作于，，，，在中，，，，，，，，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，，由對(duì)稱性得，，，，．（3）解：①如圖4，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，，由對(duì)稱性知，過點(diǎn)作于，于，，，，，．②如圖5，當(dāng)點(diǎn)在外部時(shí)，過點(diǎn)作于，于，則，，，又，，，．綜上得，或．24．（2023?青浦區(qū)一模）如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)、分別在邊、上，且，設(shè)．過點(diǎn)作，與直線相交于點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求的值；（3）當(dāng)與相似時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）；（3）的長(zhǎng)為或【詳解】（1）過作，垂足為點(diǎn)，，．，，，又，，，；（2）當(dāng)時(shí)，得，，．，點(diǎn)是射線與直線的交點(diǎn)，過作，交于點(diǎn)，則．，．，，，，（3）當(dāng)點(diǎn)是射線與的交點(diǎn)時(shí)，與相似，又，，即，又，．，即．解得，過作，垂足為點(diǎn)．由，得，，．，．．，．解得，，當(dāng)點(diǎn)是射線與的交點(diǎn)時(shí)，，，又與相似，．，，，．即．解得．，，．．解得．綜上所述，當(dāng)與相似時(shí)，的長(zhǎng)為或．25．（2023?長(zhǎng)寧區(qū)二模）如圖1，在中，，以點(diǎn)為圓心、為半徑的交邊于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，滿足，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，垂足為點(diǎn)．（1）求證：；（2）延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，如圖2所示，求的值；（3）以點(diǎn)為圓心、為半徑作，當(dāng)，時(shí)，請(qǐng)判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）見解析；（2）2；（3）與外切【詳解】（1）證明：，，，，，，，，，；（2）解：如圖，延長(zhǎng)交于，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：與外切，理由如下：設(shè)，設(shè)，在中，由勾股定理得，；①，，，，，②由①②得，，，，，與外切．26．（2023?寶山區(qū)二模）如圖，已知半圓的直徑，是圓外一點(diǎn)，的平分線交半圓于點(diǎn)，且，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）當(dāng)時(shí)，求的值；（3）當(dāng)為直角三角形時(shí)，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）或【詳解】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，，，，，，，在中，，，（負(fù)值已舍去），是的平分線，，，，，，，，，，四邊形是矩形，，；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，，，，，是的平分線，，，，，，，，，，四邊形是矩形，，，，，，；（3）①當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，，，，，，，，，，（負(fù)值舍去），；②當(dāng)時(shí)，連接，，，，，，，，，；綜上，的值為或．27．（2023?奉賢區(qū)一模）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)在邊上，交對(duì)角線于點(diǎn)，．（1）求證：；（2）如果．①求的長(zhǎng)；②如果，求值．【答案】（1）見解析；（2）①3；②【詳解】（1）證明：如圖1，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，．（2）解：①如圖2，，，，，，，，，，，，解得或（不符合題意，舍去），的長(zhǎng)是3．②如圖2，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，解得，，，，，，，．28．（2023?金山區(qū)二模）如圖，已知在中，，點(diǎn)是邊中點(diǎn)，在邊上取一點(diǎn)，使得，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）求證：；（2）設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)，①如果為經(jīng)過、、三點(diǎn)的圓的一條弦，當(dāng)弦恰好是正十邊形的一條邊時(shí)，求的值；②經(jīng)過、兩點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、，當(dāng)，，時(shí)，求的半徑長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）①；②【詳解】（1）證明：，，，，，；（2）①連接，是的中點(diǎn)，，，為圓的直徑，連接，設(shè)經(jīng)過、、三點(diǎn)的圓半徑為，弦恰好是正十邊形的一條邊，，，又、是、的中點(diǎn)，，，，，，，，，則，即，解得：（舍，，②，，又，，，，設(shè)，由①可知，，，，，即，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，，，解得，，，，是所在圓的半徑，，又，，，，，，即，解得：，連接，，的半徑長(zhǎng)為．29．（2023?崇明區(qū)一模）已知中，，，．點(diǎn)為射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與重合），過點(diǎn)作，交射線于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，與交于點(diǎn)，求證：；（2）在（1）的情況下，射線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出定義域；（3）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）；（3）為或【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，．，，，，，，，，四點(diǎn)共圓，，，；（2）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．，，，，，，，，，四點(diǎn)共圓，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，，，，，．當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．同法可證，，，綜上所述，滿足條件的的值為或．30．（2023?普陀區(qū)二模）如圖，半圓的直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），點(diǎn)是的中點(diǎn)，分別聯(lián)結(jié)、．（1）當(dāng)是圓的內(nèi)接正六邊形的邊時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）設(shè)，，求與之間的函數(shù)解析式，并寫出的取值范圍；（3）定義：三角形一邊上的中線把這個(gè)三角形分成兩個(gè)小三角形，如果其中有一個(gè)小三角形是等腰三角形，且這條中線是這個(gè)小三角形的腰，那么這條中線就稱為這個(gè)三角形的中腰線．分別延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．是的中腰線，求的長(zhǎng)．【答案】（1）2；（2）；（3）3或1【詳解】（1）如圖1，聯(lián)結(jié)、，的直徑，，是的內(nèi)接正六邊形的邊，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，是等邊三角形，，的長(zhǎng)是2．（2）如圖2．聯(lián)結(jié)、交于點(diǎn)，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)不與點(diǎn)、重合，，，，，，，，，，，，．（3）點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)不在上，，，當(dāng)時(shí)，如圖3，聯(lián)結(jié)、交于點(diǎn)，，，，，，，，，，，由（2）得，，解得；當(dāng)時(shí)，如圖4，聯(lián)結(jié)、交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，則，，，，，，，，，綜上所述，的長(zhǎng)為3或1．31．（2023?青浦區(qū)二模）如圖，半圓的直徑，點(diǎn)在半圓上，，，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)是弧上一點(diǎn)．（1）若點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，求的值；（2）連接交半徑于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)．①用含的代數(shù)式表示線段的長(zhǎng)；②分別以點(diǎn)為圓心為半徑、點(diǎn)為圓心為半徑作圓，當(dāng)這兩個(gè)圓相交時(shí)，求取值范圍．【答案】（1）；（2）①；②【詳解】（1）連接，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，是直徑，．，，，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．由垂徑定理，．在中，，，，，．在中，，，，；（2）①作交于點(diǎn)．得，．又，所以，．②設(shè)，由①知，．當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，．由于，，所以兩圓不可能內(nèi)切．當(dāng)兩圓外切時(shí)，．解得．所以當(dāng)兩圓相交時(shí)，．32．（2023?奉賢區(qū)二模）在梯形中，，，，，過點(diǎn)作對(duì)角線的垂線，垂足為，交射線于點(diǎn)．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，求證：；（2）如圖，如果是的中點(diǎn)，求的值；（3）聯(lián)結(jié)，如果是等腰三角形，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）；（3）如果是等腰三角形，的長(zhǎng)為8或或【詳解】（1）證明：，，，，，，，，；（2）解：如圖1，作點(diǎn)作交于點(diǎn)，設(shè)，．，是的中點(diǎn)，，，，，，，，，，即，解得，；（3）解：①如圖2，當(dāng)時(shí)，，，，，是等邊三角形，，，，；②如圖3，當(dāng)時(shí)，，，，，，，，；③如圖4，當(dāng)時(shí)，設(shè)與交于，，，，，，，即，解得，，綜上所述，如果是等腰三角形，的長(zhǎng)為8或或．33．（2023?靜安