高中數(shù)學(xué)必修課知識點總結(jié)

高中數(shù)學(xué)必修1知識點總結(jié)

第一章集合與函數(shù)概念

一、集合有關(guān)概念

1、、集合的含義:’某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每一個

對象叫元素。

2、集合的中元素的三個特性：

1.元素的確定性；2,元素的互異性；3.元素的無序性

說明：（1）對于一個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個對象

或者是或者不是這個給定的集合的元素。

（2）任何一個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象

歸入一個集合時，僅算一個元素。

（3）集合中的元素是平等的，沒/先后順序，因此判定兩個集合是否一樣,

僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。

（4）集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。

3、集合的表示：｛…｝如｛我校的籃球隊員｝,｛太平洋,大西洋，印度洋,

北冰洋｝

1.用拉丁字母表示集合:A=｛我校的籃球隊員｝,B=｛1,2,3,4,5｝

2.集合的表示方法：列舉法與描述法。

非負整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N

正整數(shù)集N*或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實數(shù)集R

關(guān)于“屬于”的概念

集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就說a

屬于集合A記作aGA,相反，a不屬于集合A記作aeA

列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個大括號括上。

描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的

方法。用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法。

①語言描述法：例：（不是直角三角形的三角形｝

②數(shù)學(xué)式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是｛x?R|x-3>2｝或｛x|x-3>2｝

4、集合的分類：

（1）.有限集含有有限個元素的集合

（2）.無限集含有無限個元素的集合

（3）.空集不含任何元素的集合例：｛x|x2=-5｝

二、集合間的基本關(guān)系

1.“包含”關(guān)系一子集

注意：有兩種可能（1）A是B的一部分,；（2）A與B是同一集合。

反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA

2.“相等”關(guān)系（525,且5W5,則5=5）

實例：設(shè)A={x|x2-l=0}B=（-1,1}“元素相同”

結(jié)論：對于兩個集合A與B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元

素，同時，集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等

于集合B,即：A=B

任何一個集合是它本身的子集。g

②真子集:如果AuB,且B<zA那就說集合A是集合B的真子集,記作Ac

B（或B衛(wèi)A）

③如果AuB,BuC，那么AuC

④如果AuB同時BuA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，記為中

規(guī)定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的運算

1.交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合，

叫做A,B的交集.

記作AAB（讀作”A交B”）,即ACB={x|xWA,且xCB}.

2、并集的定義：--般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成

的集合，叫做A,B的并集。記作：AUB（讀作“A并B"）,即AUB={x|x

GA,或xeB}.

3、交集與并集的性質(zhì)：AAA=A,AC6=6,APB=BAA,AUA=A,

AU<1>=A,AUB=BUA.

4、全集與補集

（1）補集：設(shè)S是一個集合，A是S的一個子集（即）,由S中所有不

屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集（或余集）

（2）全集：如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個

集合就可以看作一個全集。通常用U來表示。

四、函數(shù)的有關(guān)概念

1.函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f,

使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對

應(yīng)，那么就稱f：AfB為從集合A到集合B的一個函數(shù).記作：y=f（x）,x

GA.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相

對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f（x）|xWA}叫做函數(shù)的值域.

注意：如果只給出解析式y(tǒng)=f（x）,而沒有指明它的定義域，則函數(shù)的定義域

即是指能使這個式子有意義的實數(shù)的集合；函數(shù)的定義域、值域要寫成集合

或區(qū)間的形式.

定義域補充

能使函數(shù)式有意義的實數(shù)X的集合稱為函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域時列

不等式組的主要依據(jù)是：（1）分式的分母不等于零；（2）偶次方根的被開方數(shù)

不小于零；(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零

且不等于1.(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的.那

么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數(shù)為零底

不可以等于零(6)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.

(又注意：求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域。)

構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域

注意：(1)構(gòu)成函數(shù)三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域.由于值域是由定

義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致,

即稱這兩個函數(shù)相等(或為同一函數(shù))(2)兩個函數(shù)相等當且僅當它們的定

義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。相同函數(shù)

的判斷方法：①表達式相同；②定義域一致(兩點必須同時具備)(見課本

21頁相關(guān)例2)

值域補充

(1)、函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則，不論采取什么方法求函數(shù)的值域

都應(yīng)先考慮其定義域.(2).應(yīng)熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)函

數(shù)及各三角函數(shù)的值域，它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ)。

3.函數(shù)圖象知識歸納

(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數(shù)y=f(x),(x￡A)中的x為橫坐標，

函數(shù)值y為縱坐標的點P(x,y)的集合C,叫做函數(shù)y=f(x),(xeA)的圖象.

集合C上每一點的坐標(x,y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x),反過來，以滿足y=f(x)

的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標的點(x,y),均在C上.即記為C={P(x,y)

Iy=f(x),xEA}，圖象C一般的是一?條光滑的連續(xù)曲線(或直線)，也可能

是由與任意平行與Y軸的直線最多只有一個交點的若干條曲線或離散點組

成。

(2)畫法

A、描點法：根據(jù)函數(shù)解析式和定義域，求出X,y的一些對應(yīng)值并列表，以(x,y)

為坐標在坐標系內(nèi)描出相應(yīng)的點P(x,y),最后用平滑的曲線將這些點連接

起來.

B、圖象變換法(請參考必修4三角函數(shù))

常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換

(3)作用:

1、直觀的看出函數(shù)的性質(zhì)；2、利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路。提高

解題的速度。發(fā)現(xiàn)解題中的錯誤。

4.了解區(qū)間的概念

(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；(2)無窮區(qū)間；(3)區(qū)間

的數(shù)軸表示.

5.什么叫做映射

一般地，設(shè)A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則f,使對

于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯確定的元素y與之對應(yīng)，

那么就稱對應(yīng)f：A-*B為從集合A到集合B的一個映射。記作“f：A-*B”

給定一個集合A到B的映射，如果a^A,b￡B.且元素a和元素b對應(yīng)，那么，

我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

說明：函數(shù)是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應(yīng)，①集合A、B及對應(yīng)

法則f是確定的；②對應(yīng)法則有“方向性”，即強調(diào)從集合A到集合B的對應(yīng),

它與從B到A的對應(yīng)關(guān)系一般是不同的；③對于映射f：A-B來說，則應(yīng)滿足:

(I)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(II)

集合A中不同的元素，在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個；(III)不要求集合

B中的每一個元素在集合A中都有原象。

常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點：

1函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意

判斷一個圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù);2解析法：必須注明函數(shù)的定義域;3圖

象法：描點法作圖要注意：確定函數(shù)的定義域；化簡函數(shù)的解析式；觀察函數(shù)

的特征；4列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征.

解析法：便于算出函數(shù)值。列表法：便于查出函數(shù)值。圖象法：便于量出函數(shù)

值.

補充一：分段函數(shù)(參見課本P24-25)

在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)。在不同的范圍里求函數(shù)值

時必須把自變量代入相應(yīng)的表達式。分段函數(shù)的解析式不能寫成兒個不同的方

程，而就寫函數(shù)值幾種不同的表達式并用一個左大括號括起來，并分別注明各

部分的自變量的取值情況.(1)分段函數(shù)是一個函數(shù)，不要把它誤認為是兒個

函數(shù)；(2)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集.

補充二：復(fù)合函數(shù)

如果y=f(u),(u@M),u=g(x),(xWA),則y=f[g(x)]=F(x),(x￡A)稱為f、g

的復(fù)合函數(shù)。

例如：y=2sinxy=2cos(2x+l)

7.函數(shù)單調(diào)性

(1).增函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個

自變量a,b,當a<b時，都有f(a)<f(b),那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函

數(shù)。區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間(睇清楚課本單調(diào)區(qū)間的概念)

如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值a,b,當a<b時，都有f(a)>f(b),

那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.

注意：1函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì);

2必須是對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量a,b；當a〈b時，總有f(a)<f(b)。

(2)圖象的特點

如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)

間上具有(嚴格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減

函數(shù)的圖象從左到右是下降的.

(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法

(A)定義法：任取a,bWD,且a〈b；2作差f(a)—f(b)；3變形(通常是因

式分解和配方)；4定號(即判斷差f(a)—f(b)的正負)；5下結(jié)論(指出函

數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性).

(B)圖象法(從圖象上看升降)_

(C)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x),y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)

注意：1、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間，不能把單調(diào)性相同的區(qū)

間和在一?起寫成其并集.2、還記得我們在選修里學(xué)習(xí)簡單易行的導(dǎo)數(shù)法判定

單調(diào)性嗎？

8.函數(shù)的奇偶性

(1)偶函數(shù)

一般地,對于函數(shù)f(X)的定義域內(nèi)的任意一個X,都有f(―x)=f(x),那么f(X)

就叫做偶函數(shù).

(2).奇函數(shù)

一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x,都有f(—x)=—f(x),那么

f(x)就叫做奇函數(shù).

注意：1、函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)

的整體性質(zhì)；函數(shù)可能沒有奇偶性,也可能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。

2、由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義

域內(nèi)的任意一個x,則一x也一定是定義域內(nèi)的一個自變量(即定義域關(guān)于原

點對稱).

3、具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征

偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱.

總結(jié)：利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：1首先確定函數(shù)的定義域，并判

斷其定義域是否關(guān)于原點對稱；2確定f(—x)與f(x)的關(guān)系；3作出相應(yīng)結(jié)

論：若f(—x)=f(x)或f(―x)—f(x)=0,則f(x)是偶函數(shù)；若f(—x)=

—f(x)或f(―x)+f(x)=0,則f(x)是奇函數(shù).

注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.首先看函數(shù)的

定義域是否關(guān)于原點對稱，若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對稱，(1)再根

據(jù)定義判定；(2)有時判定f(-x)=±f(x)比較困難，可考慮根據(jù)是否有f(-x)

土f(x)=0或f(x)/f(-x)=±l來判定；(3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定.

9、函數(shù)的解析表達式

(1).函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系時,

一是要求出它們之間的對應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域.

(2).求函數(shù)的解析式的主要方法有：待定系數(shù)法、換元法、消參法等，如果

已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時，可用待定系數(shù)法；已知復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的表達式

時，可用換元法，這時要注意元的取值范圍；當已知表達式較簡單時，也可用

湊配法；若已知抽象函數(shù)表達式，則常用解方程組消參的方法求出f(x)

10.函數(shù)最大(小)值(定義見課本p36頁)

(1)、利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)值.(2)、利

用圖象求函數(shù)的最大(小)值(3)、利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)

值：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上單調(diào)遞增，在區(qū)間［b,c］上單調(diào)遞減則

函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上單調(diào)遞

減，在區(qū)間［b,c］上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；

第二章基本初等函數(shù)

一、指數(shù)函數(shù)

(-)指數(shù)與指數(shù)嘉的運算

1.根式的概念：一般地，如果x"=。,那么x叫做。的〃次方根(nthroot),

其中〃>1,且〃GN*.

當〃是奇數(shù)時，正數(shù)的〃次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的〃次方根是一個負數(shù).此

時，a的〃次方根用符號底■表示.式子立■叫做根式(radical),這里〃叫

做根指數(shù)(radicalexponent),。叫做被開方數(shù)(radicand).

當“是偶數(shù)時，正數(shù)的〃次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù).此時，正

數(shù)。的正的〃次方根用符號后表示，負的〃次方根用符號一折表示.正

的〃次方根與負的〃次方根可以合并成土加(a>0).由此可得：負數(shù)沒有

偶次方根；0的任何次方根都是0,記作礪=0。

注意：當〃是奇數(shù)時，廂=。，當〃是偶數(shù)時，VF=i?i=r⑴

［一a(a<0)

2.分數(shù)指數(shù)累

正數(shù)的分數(shù)指數(shù)基的意義，規(guī)定：

m____m

n1

a=>0,tn,〃￡N*,幾>1),a"1——(a>0,m,/zeN\n>1)

nilIam

0的正分數(shù)指數(shù)累等于0,0的負分數(shù)指數(shù)塞沒有意義

指出：規(guī)定了分數(shù)指數(shù)愚的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有

理數(shù)指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)累的運算性質(zhì)也同樣可以推廣到有理數(shù)指數(shù)暴.

3.實數(shù)指數(shù)幕的運算性質(zhì)

(1)。。。(a〉0,r,seR)；(2)(")-a(a>0,r,seR)；

(3)(ab)'=優(yōu)"S〉0/,§€夫).

(二)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)y=a%a>0,月.awl)叫做指數(shù)函數(shù)

(exponentialfunction),其中x是自變量，函數(shù)的定義域為R.

注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負數(shù)、零和1.

a>10<a<1a>10<a<1

向x、y軸正負方向無限延伸函數(shù)的定義域為R

圖象關(guān)于原點和y軸不對稱非奇非偶函數(shù)

函數(shù)圖象都在X軸上方函數(shù)的值域為R,

函數(shù)圖象都過定點(0,1)a0=1

自左向右自左向右

看，看，

增函數(shù)減函數(shù)

圖象逐漸圖象逐漸

上升下降

在第一象在第一象

限內(nèi)的圖限內(nèi)的圖x>0,ax>1x>0,ax<1

象縱坐標象縱坐標

都大于1都小于1

在第二象在第二象

限內(nèi)的圖限內(nèi)的圖x<0,ax<1x<0,ax>1

象縱坐標象縱坐標

都小于1都大于1

數(shù)值

開

函函數(shù)值開

較

始

長

增始減小極

了

慢

圖象上升圖象上升到

，快，到了

后

某

趨勢是越趨勢是越值

一某一值后

度

增

來越陡來越緩長

速

極減小速度

現(xiàn)

；較慢；

注意：利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出：

(1)在［a,b］上，寅*)=2*伯>0且2。1)值域是［其2),其功］或［底1?)丁g)］;

(2)若XHO,則f(x)wl；f(x)取遍所有正數(shù)當且僅當xeR；

(3)對于指數(shù)函數(shù)第)=2*但>0且2中1),總有抽)=2；

(4)當a>l時,若X1<X2，則f(xj<f(x2)；

二、對數(shù)函數(shù)

(一)對數(shù)

1.對數(shù)的概念：一般地，如果/=N(a>0,awl),那么數(shù)x叫做以。為

用N的對數(shù)，記作：x=logttN(a一底數(shù)，N一真數(shù)，log“N—對數(shù)

式)

說明：①注意底數(shù)的限制a>0,且awl；

②a*=Nu>log“N=x；

③注意對數(shù)的書寫格式.-lng--A^-

兩個重要對數(shù)：__________

①常用對數(shù)：以io為底的對數(shù)糖加-「------

②自然對數(shù)：以無理數(shù)e=2.71828…為底的對數(shù)的對數(shù)InN.

對數(shù)式與指數(shù)式的互化

log”N=x=a*=N

對數(shù)式o指數(shù)式

對數(shù)底數(shù)一。f幕底數(shù)

對數(shù)一Xf指數(shù)

真數(shù)一Nf嘉

（二）對數(shù)的運算性質(zhì)

如果。>0,且awl,M>Q,N>0,那么：（1）log〃（M?N）=log?M

M

+log“N；（2）log?—=log“M-log”N；（3）log,,=nlog,,M

N

（ne/?）.

注意：換底公式log“b="gc”（a〉0,JIa#1；c>0,且col；&>0）.

log,a

利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論（1）logb"=—log,,b；（2）log?b=―-一.

"mlog；,a

（二）對數(shù)函數(shù)

1、對數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)y=log.x（a〉0,且aHl）叫做對數(shù)函數(shù)，其中

x是自變量，函數(shù)的定義域是（0,+8）.

注意：①對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別。

如：y=21og2x,y=log5|都不是對數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對數(shù)型函數(shù).

②對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制：5〉0,且awl）.

2、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：

a>l0<a<l

]..

11

一一丁一

Q0

J/

1/

圖象特征函數(shù)性質(zhì)

0<a<1

a>1a>10<a<1

函數(shù)圖象都在y軸右側(cè)函數(shù)的定義域為（0,+8）

圖象關(guān)于原點和y軸不對

非奇非偶函數(shù)

稱

向y軸正負方向無限延伸函數(shù)的值域為R

函數(shù)圖象都過定點（1,0）log.1=0

自左向自左向

右看，右看，

增函數(shù)減函數(shù)

圖象逐圖象逐

漸上升漸下降

第

第

象

?象

圖

圖

限

限

的

的

坐

坐

象

象

縱

縱x>l,logwx>00<X<l,10gqX>

大

大

標

標

都

都

于

于OO

第二象

象

限的圖第二

圖

象坐限的

<0

o&x

<1,l

0cx

<0

og”x

縱x>l』

坐

標都小象縱

小

于標都

O

于0

塞函數(shù)

三、

為

中a

數(shù)，其

幕函

數(shù)稱為

)的函

“eR

/(

如)，=

地，形

：一般

定義

函數(shù)

1、幕

常數(shù).

.

質(zhì)歸納

函數(shù)性

2、幕

1)；

點(1,

象都過

并且圖

義，

有定

8)都

(0,+

函數(shù)在

有的累

(1)所

數(shù).特

增函

上是

+8)

間［0,

在區(qū)

，并且

原點

通過

圖象

數(shù)的

事函

時，

a〉0

(2)

；

上凸

圖象

數(shù)的

基函

l時，

0<a<

凸；當

象下

的圖

函數(shù)

時，基

a〉l

，當

別地

，當

限內(nèi)

一