【課時講義】6.2.4-向量的數(shù)量積-第1課時導學案及課時講義必修第二冊第六章平面向量及其應用

6．2.4向量的數(shù)量積導學案及課時講義第1課時向量數(shù)量積的定義及性質(zhì)知識點一向量夾角的概念1.已知|a|＝|b|＝3，且a與b的夾角為80°，則a＋b與a－b的夾角是________．2．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，|eq\o(AB,\s\up9(→))|＝eq\r(3)，|eq\o(CB,\s\up9(→))|＝1，則eq\o(AC,\s\up9(→))與eq\o(CB,\s\up9(→))的夾角θ＝________.知識點二平面向量數(shù)量積的定義3.若向量a，b滿足|a|＝|b|＝1，a與b的夾角為60°，則a·b等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(3,2)C．1＋eq\f(\r(3),2)D．24．已知A，B是圓心為C，半徑為eq\r(5)的圓上兩點，且AB＝eq\r(5)，則eq\o(AC,\s\up9(→))·eq\o(CB,\s\up9(→))等于()A．－eq\f(5,2)B.eq\f(5,2)C．2D.eq\f(5\r(3),2)知識點三投影向量5.已知等邊三角形ABC的邊長為2，則向量eq\o(AB,\s\up9(→))在向量eq\o(CA,\s\up9(→))方向上的投影向量為()A．－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up9(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up9(→))C．2eq\o(AC,\s\up9(→)) D．2eq\o(CA,\s\up9(→))6．若|a|＝2，|b|＝4，向量a與向量b的夾角為120°，記向量a在向量b方向上的投影向量為γ，則|γ|＝()A．4B．3C．2D．17．已知|a|＝4，e為單位向量，a與e的夾角為eq\f(2π,3)，則e在a方向上的投影向量的模為________．知識點四平面向量數(shù)量積的性質(zhì)8.給出以下結(jié)論：①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④(a·b)c＝a(b·c)；⑤|a·b|≤a·b.其中正確結(jié)論的個數(shù)為()A．1B．2C．3D．49．若|a|＝1，|b|＝2，則|a·b|的值不可能是()A．0B.eq\f(1,2)C．2D．310．在△ABC中，M是BC的中點，AM＝3，點P在AM上，且滿足eq\o(AP,\s\up9(→))＝2eq\o(PM,\s\up9(→))，求eq\o(PA,\s\up9(→))·(eq\o(PB,\s\up9(→))＋eq\o(PC,\s\up9(→)))的值．知識點五平面向量數(shù)量積的應用11.已知a·b＝－12eq\r(2)，|a|＝4，a與b的夾角為135°，則|b|＝()A．12B．3C．6D．3eq\r(3)12．已知|a|＝2，|b|＝eq\r(3)，且a·b＝－3，則〈a，b〉＝()A.eq\f(π,6)B.eq\f(2π,3)C.eq\f(3π,4)D.eq\f(5π,6)13．已知a，b是兩個非零向量，若|a|＝3，|b|＝4，|a·b|＝6，求a與b的夾角．14．已知非零向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，向量a，b的夾角為120°，且|b|＝2|a|，則向量b與c的夾角為________．易錯分析本題出錯的原因是確定向量夾角時未考察向量的方向，簡單認為角B即為向量b與c的夾角．一、選擇題1．已知|a|＝4，|b|＝2，當a，b的夾角為eq\f(π,3)時，a·b＝()A．4eq\r(3)B．4C．8eq\r(3)D．82．向量a的模為10，它與向量b的夾角為150°，則它在b方向上的投影向量的模為()A．－5eq\r(3)B．5C．－5D．5eq\r(3)3．在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up9(→))＝eq\o(DC,\s\up9(→))，且eq\o(AC,\s\up9(→))·eq\o(BD,\s\up9(→))＝0，則四邊形ABCD是()A．矩形 B．菱形C．直角梯形 D．等腰梯形4．已知|a|＝2|b|≠0，且關于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有實根，則a與b的夾角的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，π))5．(多選)已知等腰直角三角形ABC中，C＝90°，且S△ABC＝1，則下列結(jié)論正確的是()A.eq\o(AC,\s\up9(→))·eq\o(BC,\s\up9(→))＝0B.eq\o(AB,\s\up9(→))·eq\o(AC,\s\up9(→))＝2C.eq\o(AB,\s\up9(→))·eq\o(BC,\s\up9(→))＝2D．|eq\o(AB,\s\up9(→))|cosB＝|eq\o(BC,\s\up9(→))|二、填空題6．若|a|＝2，b＝－2a，則a·b＝________.7．已知e為一單位向量，a與e之間的夾角是120°，而a在e方向上的投影向量的模長為2，則|a|＝________.8.如圖所示，已知圓O為△ABC的外接圓，AB＝6，BC＝7，CA＝8，則eq\o(OA,\s\up9(→))·eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(OB,\s\up9(→))·eq\o(BC,\s\up9(→))＋eq\o(OC,\s\up9(→))·eq\o(CA,\s\up9(→))＝________.三、解答題9．(1)已知|a|＝3，|b|＝6，當①a∥b，②a⊥b，③a與b的夾角是60°時，分別求a·b；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，求eq\o(AB,\s\up9(→))·eq\o(BC,\s\up9(→)).10.如圖，在△OAB中，P為線段AB上一點，則eq\o(OP,\s\up9(→))＝xeq\o(OA,\s\up9(→))＋yeq\o(OB,\s\up9(→)).(1)若eq\o(AP,\s\up9(→))＝eq\o(PB,\s\up9(→))，求x，y的值；(2)若eq\o(AP,\s\up9(→))＝3eq\o(PB,\s\up9(→))，|eq\o(OA,\s\up9(→))|＝4，|eq\o(OB,\s\up9(→))|＝2，且eq\o(OA,\s\up9(→))與eq\o(OB,\s\up9(→))的夾角為60°，求eq\o(OP,\s\up9(→))·eq\o(AB,\s\up9(→))的值．6．2.4向量的數(shù)量積第1課時向量數(shù)量積的定義及性質(zhì)解析版知識點一向量夾角的概念1.已知|a|＝|b|＝3，且a與b的夾角為80°，則a＋b與a－b的夾角是________．答案90°解析如圖，作向量eq\o(OA,\s\up9(→))＝a，eq\o(OB,\s\up9(→))＝b，以OA，OB為鄰邊作平行四邊形，則四邊形OACB為菱形．∵eq\o(OC,\s\up9(→))＝a＋b，eq\o(BA,\s\up9(→))＝eq\o(OA,\s\up9(→))－eq\o(OB,\s\up9(→))＝a－b，eq\o(OC,\s\up9(→))⊥eq\o(BA,\s\up9(→))，∴a＋b與a－b的夾角為90°.2．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，|eq\o(AB,\s\up9(→))|＝eq\r(3)，|eq\o(CB,\s\up9(→))|＝1，則eq\o(AC,\s\up9(→))與eq\o(CB,\s\up9(→))的夾角θ＝________.答案120°解析在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝eq\r(3)，CB＝1，所以tan∠ACB＝eq\f(AB,CB)＝eq\r(3)，所以∠ACB＝60°，即eq\o(CB,\s\up9(→))與eq\o(CA,\s\up9(→))的夾角為60°，所以eq\o(AC,\s\up9(→))與eq\o(CB,\s\up9(→))的夾角為120°.知識點二平面向量數(shù)量積的定義3.若向量a，b滿足|a|＝|b|＝1，a與b的夾角為60°，則a·b等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(3,2)C．1＋eq\f(\r(3),2)D．2答案A解析a·b＝|a||b|cos60°＝1×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).4．已知A，B是圓心為C，半徑為eq\r(5)的圓上兩點，且AB＝eq\r(5)，則eq\o(AC,\s\up9(→))·eq\o(CB,\s\up9(→))等于()A．－eq\f(5,2)B.eq\f(5,2)C．2D.eq\f(5\r(3),2)答案A解析因為AB＝eq\r(5)，所以三角形ABC為等邊三角形，所以eq\o(AC,\s\up9(→))·eq\o(CB,\s\up9(→))＝|eq\o(AC,\s\up9(→))||eq\o(CB,\s\up9(→))|cos120°＝eq\r(5)×eq\r(5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(5,2).知識點三投影向量5.已知等邊三角形ABC的邊長為2，則向量eq\o(AB,\s\up9(→))在向量eq\o(CA,\s\up9(→))方向上的投影向量為()A．－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up9(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up9(→))C．2eq\o(AC,\s\up9(→)) D．2eq\o(CA,\s\up9(→))答案A解析在等邊三角形ABC中，∵∠A＝60°，∴向量eq\o(AB,\s\up9(→))在向量eq\o(AC,\s\up9(→))方向上的投影向量為eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up9(→))，∴向量eq\o(AB,\s\up9(→))在向量eq\o(CA,\s\up9(→))方向上的投影向量為－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up9(→)).故選A.6．若|a|＝2，|b|＝4，向量a與向量b的夾角為120°，記向量a在向量b方向上的投影向量為γ，則|γ|＝()A．4B．3C．2D．1答案D解析設向量a與向量b的夾角為θ，與b方向相同的單位向量為e，則a在b方向上的投影向量γ＝|a|cosθ·e，則|γ|＝||a|cosθ|＝|2×cos120°|＝1，故選D.7．已知|a|＝4，e為單位向量，a與e的夾角為eq\f(2π,3)，則e在a方向上的投影向量的模為________．答案eq\f(1,2)解析∵a與e的夾角θ＝eq\f(2π,3)，∴e在a方向上的投影向量的模為||e|cosθ|＝eq\f(1,2).知識點四平面向量數(shù)量積的性質(zhì)8.給出以下結(jié)論：①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④(a·b)c＝a(b·c)；⑤|a·b|≤a·b.其中正確結(jié)論的個數(shù)為()A．1B．2C．3D．4答案C解析①②③顯然正確；(a·b)c與c共線，而a(b·c)與a共線，故④錯誤；|a·b|＝|a||b||cosθ|，a·b＝|a||b|cosθ，有|a·b|≥a·b，故⑤錯誤．9．若|a|＝1，|b|＝2，則|a·b|的值不可能是()A．0B.eq\f(1,2)C．2D．3答案D解析由向量內(nèi)積性質(zhì)知|a·b|≤|a||b|＝2.故選D.10．在△ABC中，M是BC的中點，AM＝3，點P在AM上，且滿足eq\o(AP,\s\up9(→))＝2eq\o(PM,\s\up9(→))，求eq\o(PA,\s\up9(→))·(eq\o(PB,\s\up9(→))＋eq\o(PC,\s\up9(→)))的值．解如圖，由AM＝3，且eq\o(AP,\s\up9(→))＝2eq\o(PM,\s\up9(→))，可知|eq\o(AP,\s\up9(→))|＝2.∵M為BC的中點，∴eq\o(PB,\s\up9(→))＋eq\o(PC,\s\up9(→))＝2eq\o(PM,\s\up9(→))＝eq\o(AP,\s\up9(→))，∴eq\o(PA,\s\up9(→))·(eq\o(PB,\s\up9(→))＋eq\o(PC,\s\up9(→)))＝eq\o(PA,\s\up9(→))·eq\o(AP,\s\up9(→))＝－eq\o(PA,\s\up9(→))2＝－|eq\o(PA,\s\up9(→))|2＝－4.知識點五平面向量數(shù)量積的應用11.已知a·b＝－12eq\r(2)，|a|＝4，a與b的夾角為135°，則|b|＝()A．12B．3C．6D．3eq\r(3)答案C解析a·b＝|a||b|cos135°＝－12eq\r(2)，又|a|＝4，解得|b|＝6.12．已知|a|＝2，|b|＝eq\r(3)，且a·b＝－3，則〈a，b〉＝()A.eq\f(π,6)B.eq\f(2π,3)C.eq\f(3π,4)D.eq\f(5π,6)答案D解析因為|a|＝2，|b|＝eq\r(3)，且a·b＝－3，所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－eq\f(\r(3),2).又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝eq\f(5π,6).13．已知a，b是兩個非零向量，若|a|＝3，|b|＝4，|a·b|＝6，求a與b的夾角．解∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，∴|a·b|＝||a||b|cos〈a，b〉|＝|a||b||cos〈a，b〉|＝6.又|a|＝3，|b|＝4，∴|cos〈a，b〉|＝eq\f(6,|a||b|)＝eq\f(6,3×4)＝eq\f(1,2)，∴cos〈a，b〉＝±eq\f(1,2).∵〈a，b〉∈[0，π]，∴a與b的夾角為eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).課時易錯點易錯點求夾角時忽略向量的方向致誤14．已知非零向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，向量a，b的夾角為120°，且|b|＝2|a|，則向量b與c的夾角為________．易錯分析本題出錯的原因是確定向量夾角時未考察向量的方向，簡單認為角B即為向量b與c的夾角．答案150°正解由題意畫出圖形，如圖，因為a，b的夾角為120°，所以∠CAB＝60°，又|b|＝2|a|，所以∠ACB＝90°，所以∠ABC＝30°，則b與c的夾角為150°.一、選擇題1．已知|a|＝4，|b|＝2，當a，b的夾角為eq\f(π,3)時，a·b＝()A．4eq\r(3)B．4C．8eq\r(3)D．8答案B解析根據(jù)向量數(shù)量積的定義得a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝4×2×coseq\f(π,3)＝4.2．向量a的模為10，它與向量b的夾角為150°，則它在b方向上的投影向量的模為()A．－5eq\r(3)B．5C．－5D．5eq\r(3)答案D解析a在b方向上的投影向量的模為||a|cos150°|＝5eq\r(3).3．在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up9(→))＝eq\o(DC,\s\up9(→))，且eq\o(AC,\s\up9(→))·eq\o(BD,\s\up9(→))＝0，則四邊形ABCD是()A．矩形 B．菱形C．直角梯形 D．等腰梯形答案B解析由eq\o(AB,\s\up9(→))＝eq\o(DC,\s\up9(→))得四邊形ABCD中一組對邊平行且相等，由eq\o(AC,\s\up9(→))·eq\o(BD,\s\up9(→))＝0得兩條對角線互相垂直，所以四邊形ABCD為菱形．4．已知|a|＝2|b|≠0，且關于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有實根，則a與b的夾角的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，π))答案B解析設a與b的夾角為θ，由題意可得，Δ＝|a|2－4a·b≥0，∵|a|＝2|b|，∴cosθ≤eq\f(1,2)，又θ∈[0，π]，∴θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π)).故選B.5．(多選)已知等腰直角三角形ABC中，C＝90°，且S△ABC＝1，則下列結(jié)論正確的是()A.eq\o(AC,\s\up9(→))·eq\o(BC,\s\up9(→))＝0B.eq\o(AB,\s\up9(→))·eq\o(AC,\s\up9(→))＝2C.eq\o(AB,\s\up9(→))·eq\o(BC,\s\up9(→))＝2D．|eq\o(AB,\s\up9(→))|cosB＝|eq\o(BC,\s\up9(→))|答案ABD解析在等腰直角三角形ABC中，C＝90°，面積為1，則eq\f(1,2)AC2＝1，得AC＝eq\r(2)，得AB＝2，所以eq\o(AC,\s\up9(→))·eq\o(BC,\s\up9(→))＝0，A正確；eq\o(AB,\s\up9(→))·eq\o(AC,\s\up9(→))＝|eq\o(AB,\s\up9(→))|·|eq\o(AC,\s\up9(→))|cos45°＝2，B正確；eq\o(AB,\s\up9(→))·eq\o(BC,\s\up9(→))＝|eq\o(AB,\s\up9(→))||eq\o(BC,\s\up9(→))|cos135°＝－2，C不正確；向量eq\o(BA,\s\up9(→))在eq\o(BC,\s\up9(→))上投影的數(shù)量為|eq\o(BC,\s\up9(→))|，即|eq\o(AB,\s\up9(→))|·cosB＝|eq\o(BC,\s\up9(→))|，D正確．故選ABD.二、填空題6．若|a|＝2，b＝－2a，則a·b＝________.答案－8解析|b|＝2|a|＝4，且b與a反向，∴〈a，b〉＝180°.∴a·b＝|a|·|b|cos180°＝2×4×(－1)＝－8.7．已知e為一單位向量，a與e之間的夾角是120°，而a在e方向上的投影向量的模長為2，則|a|＝________.答案4解析因為||a|cos120°|＝2，所以eq\f(1,2)|a|＝2，所以|a|＝4.8.如圖所示，已知圓O為△ABC的外接圓，AB＝6，BC＝7，CA＝8，則eq\o(OA,\s\up9(→))·eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(OB,\s\up9(→))·eq\o(BC,\s\up9(→))＋eq\o(OC,\s\up9(→))·eq\o(CA,\s\up9(→))＝________.答案－eq\f(149,2)解析eq\o(OA,\s\up9(→))·eq\o(AB,\s\up9(→))＝|eq\o(OA,\s\up9(→))||eq\o(AB,\s\up9(→))|cos(180°－∠BAO)，∵|eq\o(OA,\s\up9(→))|cos(180°－∠BAO)＝－|eq\o(OA,\s\up9(→))|cos∠BAO＝－eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up9(→))|，∴eq\o(OA,\s\up9(→))·eq\o(AB,\s\up9(→))＝－eq\f(1,2)·|eq\o(AB,\s\up9(→))|2，同理，eq\o(OB,\s\up9(→))·eq\o(BC,\s\up9(→))＝－eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up9(→))|2，eq\o(OC,\s\up9(→))·eq\o(CA,\s\up9(→))＝－eq\f(1,2)|eq\o(CA,\s\up9(→))|2，∴eq\o(OA,\s\up9(→))·eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(OB,\s\up9(→))·eq\o(BC,\s\up9(→))＋eq\o(OC,\s\up9(→))·eq\o(CA,\s\up9(→))＝－eq\f(1,2)×(62＋72＋82)＝－eq\f(149,2).三、解答題9．(1)已知|a|＝3，|b|＝6，當①a∥b，②a⊥b，③a與b的夾角是60°時，分別求a·b；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，求eq\o(AB,\s\up9(→))·eq\o(BC,\s\up9(→)).解(1)①當a∥b時，若a與b同向，則它們的夾角θ＝0°，∴a·b＝|a||b|cos0°＝3×6×1＝18.若a與b反向，則它們的夾角θ＝180°，∴a·b＝|a||b|cos180°＝3×6×(－1)＝－18.②當a⊥b時，它們的夾角θ＝90°，∴a·b＝0.③當a與b的夾角是60°時，有a·b＝|a||b|cos60°＝3×6×eq\f(1,2)＝9.(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，故BC＝3，且cos∠ABC＝eq\f(3,5)，eq\o(AB,\s\up9(→))與eq\o(BC,\s\up9(→))的夾角θ＝180°－∠ABC，∴eq\