人教版數(shù)學九年級上冊試卷

第二十一章一元二次方程

21.1一元二次方程

例將方程3x(x-l)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數(shù)、一

次項系數(shù)和常數(shù)項.

練習

1.將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項:

(1)5X2-1=4X；(2)41=81；

(3)4x(%+2)=25；(4)(3x-2)(x+l)=8x—3.

2.根據(jù)下列問題，列出關于x的方程，并將所列方程化成一元二次方程的一般形式：

(1)4個完全相同的正方形的面積之和是25,求正方形的邊長x；

(2)一個矩形的長比寬多2,面積是100,求矩形的長x；

(3)把長為1的木條分成兩段，使較短一段的長與全長的積，等于較長一段的長的平方，求較

短一段的長X.

習題21.1

復習鞏固

1.將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項:

(1)3x2+1=6x；(2)4x2+5x=81；

(3)x(x+5)=0；(4)(2x-2)(x—l)=0；

(5)x(x+5)=5x-10；(6)(3x—2)(x+l)=x(2x—1).

2.根據(jù)下列問題列方程，并將所列方程化成一元二次方程的一般形式：

(1)一個圓的面積是23tm2,求半徑；

(2)一個直角三角形的兩條直角邊相差3cm,面積是9cm2,求較長的直角邊的長.

3.下列哪些數(shù)是方程V+x—12=0的根？

-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.

綜合運用

根據(jù)下列問題列方程，并將所列方程化成一元二次方程的一般形式(第4~6題)：

4.一個矩形的長比寬多1cm,面積是132cm2,矩形的長和寬各是多少？

5.有一根1m長的鐵絲，怎樣用它圍成一個面積為0.06m2的矩形？

6.參加一次聚會的每兩人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人參加聚會？

拓廣探索

7.如果2是方程/一c=0的一個根，那么常數(shù)c是多少？求出這個方程的其他根.

21.2解一元二次方程

21.2.1配方法

練習

解下列方程：

(1)2X2-8=0；(2)-5=3；(3)(x+6)2-9=0；

(4)3(1『-6=0；(5)f-4x+4=5；(6)9x2+5=l.

例1解下列方程：

(1)x2-8x+l=0；(2)2X2+1=3X；(3)3/-6x+4=0.

練習

1.填空：

(1)X2+10x+==(x+)~；(2)x2-12x+=(x-y；

o2

(3)x2+5x+=(x+)2；(4)A:2一1]+=(x-)02.

2.解下列方程：

)97

(1)x+1Ox+9=0；(2)x—x—=()；

4

(3)3%2+6x—4=0；(4)4k—6x—3=()；

(5)x2+4x-9=2x-l1；(6)x(x+4)=8x+12.

21.2.2公式法

例2用公式法解下列方程：

(1)￡_以—7=0；(2)2x2-2缶+1=。；

(3)5x2-3x=x+l；(4)x2+17=8x.

練習

1.解下列方程：

(1)f4-x—6=0；(2)—y/3x——0；

4

(3)—6x—2=0；(4)4x?—6x—0；

(5)x2+4x+8=4x+l1；(6)x(2x-4)=5-8x.

2.求第21.1節(jié)中問題1的答案.

21.2.3因式分解法

例3解下列方程：

(1)—2)+x—2—0；(2)5x2-2x--=x2-2x+—

44

練習

1.解下列方程：

(1)X2+X=0!(2)—2-^3x—0；

(3)—6x———3；(4)4x2-121=()；

(5)3x(2x+l)=4x+2；(6)(X-4)2=(5-2X)2

2.如圖，把小圓形場地的半徑增加5m得到大圓形場地，場地面積擴大了一倍.求小圓形場地的

半徑.

(第2題)

21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關系

例4根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關系，求下列方程兩個根XI,X2的和與積:

(1)X2-6X-15=0；(2)3兀2+7》-9=0；

(3)5x-l=4x2.

練習

不解方程，求下列方程兩個根的和與積：

(1)X2-3X=15；(2)3x2+2=1-4%；

(3)5x?—1——4x~+x；(42x~—x+2=3x+1.

習題21.2

復習鞏固

1.解下列方程：

(1)36/-1=()；(2)4/=81；

(3)(x+5)**=25；(4)x?+2x+1—4.

2.填空:

(1)X2+6x4-=(x+__)~;(2)-X4____=(X-___);

、2

(3)4%2+4x+—(2x+___；(4)x~—-X4____=(1-___)

3.用配方法解下列方程：

3

(1)x2+10x+16=0；(2)x2-X——=0；

4

(3)3x2+6x-5=0；(4)4X2-X-9=0.

4.利用判別式判斷下列方程的根的情況:

3

(1)2x2—3x—=0；(2)16X2-24X+9=0；

2

(3)x2-4血x+9=0；(4)3x2+10=2x2+8X.

5.用公式法解下列方程：

(1)X2+x-12=0：(2)x2->/2x——=0；

4

(3)+4-x+8=2x+11；(4)-4)=2-8x；

(5)x2+2x=0；(6)+2.\[Sx+10=0.

6.用因式分解法解下列方程：

(1)3x?—12x——12；(2)4X2-144=0；

(3)3x(x—l)=2(x-l)；(4)(2X-1)2=(3-X)2.

7.求下列方程兩個根的和與積：

(1)廠—3x+2=10；(2)5x?+x—5=0；

(3)x2+x=5x+6；(4)7x2-5=x+8.

綜合運用

8.一個直角三角形的兩條直角邊相差5cm,面積是7cm2.求斜邊的長.

9,參加一次商品交易會的每兩家公司之間都簽訂了一份合同，所有公司共簽訂了45份合同，共

有多少家公司參加商品交易會？

10.分別用公式法和因式分解法解方程Y—6x+9=（5—2x）2.

11.有一根20m長的繩，怎樣用它圍成一個面積為24m2的矩形？

拓廣探索

12.一個凸多邊形共有20條對角線,它是幾邊形？是否存在有18條對角線的多邊形？如果存在,

它是幾邊形？如果不存在，說明得出結論的道理.

13.無論p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0總有兩個不等的實數(shù)根嗎？給出答案并說明理

由.

21.3實際問題與一元二次方程

習題21.3

復習鞏固

1.解下列方程：

(1)f+i0x+21=0；(2)—x—1—()；

(3)3x2+6x-4=0；(4)3x(x+l)=3x+3；

(5)4x?—4x+1=x~+6x+9；(6)7x2-V6x-5=0.

2.兩個相鄰偶數(shù)的積是168.求這兩個偶數(shù).

3.一個直角三角形的兩條直角邊的和是14cm,面積是24cm2.求兩條直角邊的長.

綜合運用

4.某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小

分支的總數(shù)是91,每個支干長出多少小分支？

5.一個菱形兩條對角線長的和是l()cm,面積是12cm2,求菱形的周長，

6.參加足球聯(lián)賽的每兩隊之間都進行兩場比賽，共要比賽90場，共有多少個隊參加比賽？

7.青山村種的水稻2010年平均每公頃產(chǎn)7200kg,2012年平均每公頃產(chǎn)8450kg.求水稻每公頃產(chǎn)

量的年平均增長率.

8.要為一幅長29cm,寬22cm的照片配一個相框，要求相框的四條邊寬度相等，且相框所占面

積為照片面積的四分之一，相框邊的寬度應是多少厘米(結果保留小數(shù)點后一位)？

拓廣探索

9.如圖，要設計一幅寬20cm,長30cm的圖案，其中有兩橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比

為3：2.如果要使彩條所占面積是圖案面積的四分之一，應如何設計彩條的寬度(結果保留小數(shù)

點后一位)？

(第9題)

10.如圖，線段AB的長為1.

A￡DCB

(第10Jg)

(1)線段AB上的點C滿足關系式AC2=BC-AB,求線段AC的長度；

(2)線段AC上的點D滿足關系式AD2=CD-AC,求線段AD的長度：

(3)線段AD上的點E滿足關系式AE2=DE-AD,求線段AE的長度.

上面各小題的結果反映了什么規(guī)律？

復習題

21復習鞏固

1.解下列方程：

(1)196/_1=0；(2)4f+12x+9=81；

(3)X2-7x-l=0；(4)2x2+3x=3；

(5)x2-2x+l=25；(6)x(2x-5)=4x-10；

(7)x2+5x+7=3x4-11；(8)l-8x+16x2=2-8x.

2.兩個數(shù)的和為8,積為9.75.求這兩個數(shù).

3.一個矩形的長和寬相差3cm,面積是4cm2.求這個矩形的長和寬.

4.求下列方程兩個根的和與積：

(1)x~—5x—10—()；(2)2x"+7x+1=()；

(3)3x?-l=2x+5；(4)x(x—l)=3x+7.

綜合運用

5.一個直角梯形的下底比上底長2cm,高比上底短1cm,面積是8cm?.畫出這個梯形.

6.一個長方體的長與寬的比為5：2,高為5cm,表面積為40cm?.畫出這個長方體的展開圖.

7.要組織一次籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式(每兩隊之間都賽一場)，計劃安排15場比賽，應

邀請多少個球隊參加比賽？

8.如下頁圖，利用一面墻(墻的長度不限)，用20m長的籬笆，怎樣圍成一個面積為50m2的矩

形場地？

（第8題）

9.某銀行經(jīng)過最近的兩次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降至1.98%,平均每次降息的百

分率是多少（結果寫成a%的形式，其中a保留小數(shù)點后兩位）？

10.向陽村2010年的人均收入為12000元，2012年的人均收入為14520元.求人均收入的年平均

增長率.

11.用一條長40cm的繩子怎樣圍成一個面積為75cm2的矩形？能圍成一個面積為101cm2的矩形

嗎？如能，說明圍法；如不能，說明理由.

拓廣探索

12.如圖，要設計一個等腰梯形的花壇，花壇上底長100m,下底長180m,上下底相距80m.在兩

腰中點連線處有一條橫向甬道，上下底之間有兩條縱向甬道，各甬道的寬度相等.甬道的面積是

梯形面積的六分之一.甬道的寬應是多少米（結果保留小數(shù)點后兩位）？

可利用梯形的中位線求解.梯形的中位線是連接梯形兩腰中點的線段，其長度等于兩底和的一半.

（第12題）

13.一個小球以5m/s的速度開始向前滾動，并且均勻減速，4s后小球停止?jié)L動.

（1）小球的滾動速度平均每秒減少多少？

（2）小球滾動5m約用了多少秒（結果保留小數(shù)點后一位）？

（提示：勻變速直線運動中，每個時間段內(nèi)的平均速度v（初速度與末速度的算術平均數(shù)）與

路程s,時間t的關系為5=侖.）

第二十二章二次函數(shù)

22.1二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

22.1.1二次函數(shù)

練習

1.一個圓柱的高等于底面半徑，寫出它的表面積S與底面半徑r之間的關系式.

2.如圖，矩形綠地的長、寬各增加xm,寫出擴充后的綠地的面積y與x的關系式.

22.1.2二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì)

例1在同一直角坐標系中，畫出函數(shù)曠=3》，＞=2/的圖象.

練習

說出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點：

(1)y-3x2；(2)y--3x2；

(3)y=—x2；(4)y=--x'.

33

22.1.3二次函數(shù)、=。(工一〃『+人的圖象和性質(zhì)

例2在同一直角坐標系中，畫出二次函數(shù)y=2/+l,曠=2--1的圖象.

練習

在同一直角坐標系中，畫出下列二次函數(shù)的圖象：

y=-x2,y=—x2+2,y=—x2-2.

-2'2-2

觀察三條拋物線的位置關系，并分別指出它們的開口方向、對稱軸和頂點.你能說出拋物線

丁=(/+上的開口方向、對稱軸和頂點嗎？它與拋物線y=；x2有什么關系？

練習

在同一直角坐標系中，畫出下列二次函數(shù)的圖象：

y=#y=；(x+2>,>=如一2);

觀察三條拋物線的位置關系，并分別指出它們的開口方向、對稱軸和頂點.

例3畫出函數(shù)、=-的圖象，并指出它的開口方向、對稱軸和頂點.怎樣移動拋物

11,

線y=一;彳2就可以得到拋物線y=—；(x+1)--1?

例4要修建一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個噴水頭，使噴

出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達到最高，高度為3m,水柱落地處離池中心

3m,水管應多長？

練習

說出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點：

(1)y=2(x+37+5；(2)y=-3(x-l)2-2；

(3)y=4(x-3)2+7；(4)y=-5(x+2)2-6.

22.1.4二次函數(shù)〉=奴2+"+。的圖象和性質(zhì)

練習

寫出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點：

(1)y=3x?+2x；(2)y--x2-2x；

(3)y=-2x2+8x-8；(4)y-~x2-4x+3.

練習

1.一個二次函數(shù)，當自變量x=0時，函數(shù)值y=-l,當x=-2與g時，y=0.求這個二次函數(shù)的解析

式.

2.一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(0,0),(-1,-1),(1,9)三點.求這個二次函數(shù)的解析式.

習題22.1

復習鞏固

1.一個矩形的長是寬的2倍，寫出這個矩形的面積關于寬的函數(shù)解析式.

2.某種商品的價格是2元，準備進行兩次降價.如果每次降價的百分率都是X,經(jīng)過兩次降價后

的價格y(單位：元)隨每次降價的百分率X的變化而變化，y與x之間的關系可以用怎樣的函

數(shù)來表示？

3.在同一直角坐標系中，畫出下列函數(shù)的圖象：

y-4x2,y=-4x2,y=—x2.

4

4.分別寫出拋物線y=5/與y=的開口方向、對稱軸和頂點.

5.分別在同一直角坐標系中，描點畫出下列各組二次函數(shù)的圖象，并寫出對稱軸和頂點：

(1)y5x^+3?>=§尤2—2；(2)y——-->y-—-(x-；

(3)y=—(x+2)--2,y=-(%-1)'-2.

6.先確定下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點，再描點畫圖：

(1)y=-3x2+12x-3；(2)y=4x2-24x+26；

(3)y=+8x6；(4)y—5x^2.x—1.

綜合運用

7.填空：

(1)已知函數(shù)y=2(x+iy+l,當xv時，y隨x的增大而減小，當x>時，y隨

x的增大而增大；

(2)已知函數(shù)y=-2f+x-4,當xv時，y隨x的增大而增大，當x>時，y隨

x的增大而減小.

8.如圖，在△ABC中，/B=90°,AB=12mm,BC=24mm,動點P從點A開始沿邊AB向點B

以2mm/s的速度移P動，動點Q從點B開始沿邊BC向點C以4mm/s的速度移動.如果P,Q

兩點分別從A,B兩點同時出發(fā)，那么APEQ的面積S隨出發(fā)時間t如何變化？寫出S關于t

的函數(shù)解析式及t的取值范圍.

9.一輛汽車的行駛距離s(單位：m)關于行駛時間t(單位：s)的函數(shù)解析式是5=%+，/，

2

經(jīng)過12s汽車行駛了多遠？行駛380m需要多少時間？

*10.根據(jù)二次函數(shù)圖象上三個點的坐標，求出函數(shù)的解析式：

(1)(-1,3),(1,3),(2,6)；(2)(-L-1),(0,-2),(1,1)；

(3)(-1,0),(3,0),(1,-5)：(4)(1,2),(3,0),(-2,20).

*11.拋物線丁=。^+法+。經(jīng)過(-1,-22),(0,-8),(2,8)三點，求它的開口方向、對稱軸

和頂點.

拓廣探索

12.如圖，鋼球從斜面頂端由靜止開始沿斜面滾下，速度每秒增加1.5m/s.

(1)寫出滾動的距離s(單位：m)關于滾動的時間t(單位：s)的函數(shù)解析式.(提示：本題

中，距離=平均速度工X時間t,3="匕，其中，％是開始時速度，斗是t秒時的速度.)

(第12題)

(2)如果斜面的長是3m,鋼球從斜面頂端滾到底端用多長時間？

22.2二次函數(shù)與一元二次方程

例利用函數(shù)圖象求方程一-2*-2=0的實數(shù)根(結果保留小數(shù)點后一位).

習題22.2

復習鞏固

1.已知函數(shù)y=/-4x+3.

(1)畫出這個函數(shù)的圖象；

(2)觀察圖象，當x取哪些值時，函數(shù)值為0?

2.用函數(shù)的圖象求下列方程的解：

(1)x?—3x+2—0；(2)—x~—6x—9—0.

綜合運用

3.如圖，一名男生推鉛球，鉛球行進高度y(單位：m)與水平距離x(單位：m)之間的關系

125

是1g,=---x2+—x+—.

1233

(1)畫出上述函數(shù)的圖象；

(2)觀察圖象，指出鉛球推出的距離.

4.拋物線'=依2+法+。與*軸的公共點是(-1,0),(3,0),求這條拋物線的對稱軸.

拓廣探索

5.畫出函數(shù)y=Y-2x—3的圖象，利用圖象回答：

(1)方程/-2%一3=()的解是什么？

(2)x取什么值時，函數(shù)值大于0?

(3)x取什么值時，函數(shù)值小于0?

6.如果a>0,拋物線y-ax1+hx+c的頂點在什么位置時，

(1)方程而：2+加+。=0有兩個不等的實數(shù)根？

(2)方程以2+桁+。=0有兩個相等的實數(shù)根？

(3)方程以2+桁+。=0無實數(shù)根？

如果a<0呢？

22.3實際問題與二次函數(shù)

習題22.3

復習鞏固

1.下列拋物線有最高點或最低點嗎？如果有，寫出這些點的坐標：

(1)y——4x~+3x；(2)y-3x-+x+6.

2.某種商品每件的進價為30元，在某段時間內(nèi)若以每件x元出售，可賣出(100-x)件，應如何

定價才能使利潤最大?

3.飛機著陸后滑行的距離s(單位:m)關于滑行的時間t(單位:s)的函數(shù)解析式是S=60/-1.5產(chǎn).

飛機著陸后滑行多遠才能停下來？

4.已知直角三角形兩條直角邊的和等于8,兩條直角邊各為多少時，這個直角三角形的面積最

大？最大值是多少？

5.如圖，四邊形ABCD的兩條對角線AC,BD互相垂直，AC+BD=10.當AC,BD的長是多少

時，四邊形ABCD的面積最大？

（第5題）

綜合運用

6.一塊三角形材料如圖所示，ZA=30°,ZC=90°,AB=12.用這塊材料剪出一個矩形CDEF,

其中，點D,E,F分別在BC,AB,AC上.要使剪出的矩形CDEF的面積最大，點E應選在何

處？

（第6題）

7.如圖，點E,F,G,H分別位于正方形ABCD的四條邊上.四邊形EFGH也是正方形.當點E

位于何處時，正方形EFGH的面積最?。?/p>

8.某賓館有5（）個房間供游客居住.當每個房間每天的定價為180元時，房間會全部住滿；當每個

房間每天的定價每增加10元時，就會有一個房間空閑.如果游客居住房間，賓館需對每個房間

每天支出20元的各種費用.房價定為多少時，賓館利潤最大？

拓廣探索

9.分別用定長為L的線段圍成矩形和圓，哪種圖形的面積大？為什么？

復習題22

復習鞏固

1.如圖，正方形ABCD的邊長是4.E是AB上一點，F(xiàn)是AD延長線上的一點，BE=DF.四邊形

AEGF是矩形，矩形AEGF的面積y隨BE的長x的變化而變化，y與x之間的關系可以用怎樣

的函數(shù)來表示？

2.某商場第1年銷售計算機5000臺，如果每年的銷售量比上一年增加相同的百分率x,寫出第

3年的銷售量y關于每年增加的百分率x的函數(shù)解析式.

3.選擇題.

在拋物線＞=/—4x—4上的一個點是().

(A)(4,4)(B)(3,-1)

、17

(C)(-2,-8)(D)(---,---)

24

4.先確定下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點，再描點畫圖：

(1)y=x2+2x-3；(2)＞=1+6》一》2；

,1,

(3)y=5x?+2x+l；(4)y=--x2+x-4.

5.汽車剎車后行駛的距離s(單位：m)關于行駛的時間t(單位：s)的函數(shù)解析式是s=15f-6F.

汽車剎車后到停下來前進了多遠？

綜合運用

*6.根據(jù)下列條件，分別確定二次函數(shù)的解析式：

(1)拋物線＞=以2+6x+c過點(-3,2),(-1,-1),(1,3)；

1Q

⑵拋物線丁=/+加+。與X軸的兩交點的橫坐標分別是-:與y軸交點的縱坐標

是-5.

7.如圖，用一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的18m矩形菜園,墻長為18m.這個矩形的長、

寬各為多少墻時，菜園的面積最大？最大面積是多少？

18m

地

菜園

（第7題）

8.已知矩形的周長為36cm,矩形繞它的一條邊旋轉形菜園成一個圓柱.矩形的長、寬各為多少時,

旋轉形成的圓柱的側面積最大？

拓廣探索

9.如圖，點E,F,G,H分別在菱形ABCD的四條邊上，BE=BF=DG=DH,連接EF,FG,GH,

HE,得到四邊形EFGH.

（1）求證：四邊形EFGH是矩形.

（2）設AB=a,NA=60°,當BE為何值時，矩形EFGH的面積最大？

10.對某條路線的長度進行n次測量，得到n個結果X”X2,…，xn.如果用x作為這條路線長度

的近似值，當X取什么值時，（廿百）2+&-々）2++（X-X.）2最??？X所取的這個值是哪個

常用的統(tǒng)計量？

（第9題）

第二十三章旋轉

23.1圖形的旋轉

練習

1.請你舉出一些現(xiàn)實生活、生產(chǎn)中旋轉的實例，并指出旋轉中心和旋轉角.

2.時鐘的時針在不停地旋轉，從上午6時到上午9時，時針旋轉的旋轉角是多少度？從上午9

時到上午10時呢？

3.如圖，杠桿繞支點轉動撬起重物，杠桿的旋轉中心在哪里？旋轉角是哪個角？

A

（第3題）

例如圖23.14E是正方形ABCD中CD邊上任意一點，以點A為中心，把4ADE順時針旋

轉90°,畫出旋轉后的圖形.

A------------.D

口

圖23.1-4

練習

1.如圖，小明坐在秋千上，秋千旋轉了8（）。.請在圖中小明身上任意選一點P,利用旋轉性質(zhì),

標出點P的對應點.

（1）這兩個點到旋轉中過的距離有怎樣的關系？

（2）這兩個點與旋轉中心所連線段的夾角是多少度？

2.如圖，用左面的三角形經(jīng)過怎樣的旋轉，可以得到右面的圖形？

（第2題）

3.找出圖中扳手擰螺母時的旋轉中心和旋轉角.

%

(第3題)

練習

把一個三角形進行旋轉：

(1)選擇不同的旋轉中心、不同的旋轉角，看看旋轉的效果；

(2)改變?nèi)切蔚男螤?，看看旋轉的效果.

習題23.1

復習鞏固

1.任意畫一個AABC,作下列旋轉：

(1)以點A為中心，把AABC逆時針旋轉40。；

(2)以點B為中心，把4ABC順時針旋轉60°；

(3)在AABC外任取一點為中心，把AABC順時針旋轉120°；

(4)以AC的中點為中心，把AABC旋轉180°.

2.說出如圖所示的壓水機壓水時的旋轉中心和旋轉角.

3.ZXABC中，AB=AC,P是BC邊上任意一點.以點A為中心，取旋轉角等于NBAC,把4ABP

逆時針旋轉，畫出旋轉后的圖形.

(第3題)

4.分別畫出AABC繞點O逆時針旋轉90°和180°后的圖形.

5.下面的圖形是由一個基本的圖形經(jīng)過旋轉得到的，分別指出它們的旋轉中心和旋轉角.

綜合運用

6.把圖中的五角星圖案，繞著它的中心O旋轉.旋轉角至少為多少度時，旋轉后的五角星能與自

身重合？對等邊三角形進行類似的討論.

（第6題）

7.圖中的風車圖案，可以由哪個基本的圖形、經(jīng)過什么樣的旋轉得到？

8.如圖，用一個等腰三角形，經(jīng)過旋轉，制作一個五角星圖案.（提示：選擇旋轉中心，計算旋

轉角.）

（第8題）

9.如圖，z^ABC中，ZC=90°.

（1）將AABC繞點B逆時針旋轉90°,畫出旋轉后的三角形；

（2）若BC=3,AC=4,點A旋轉后的對應點為A，，求AA的長.

（第9題）

拓廣探索

10.如圖，AABD,△AEC都是等邊三角形.BE與DC有什么關系？你能用旋轉的性質(zhì)說明上述

關系成立的理由嗎？

(第10題)

11.以原點為中心，把點A(4,5)逆時針旋轉90°,得到點B.求點B的坐標.

23.2中心對稱

23.2.1中心對稱

例1(1)如圖23.24,選擇點O為對稱中心，畫出點A關于點O的對稱點A，；

(2)如圖23.2-5,選擇點O為對稱中心，畫出與AABC關于點O對稱的△ABC.

A.

6

圖23.2-4圖23.2-5

練習

1.分別畫出下列圖形關于點O對稱的圖形.

2.00?。

(第1題)

2.圖中的兩個四邊形關于某點對稱，找出它們的對稱中心.

(第2題)

23.2.2中心對稱圖形

練習

1.在我們學過的圖形中，你能說出一些中心對稱圖形嗎？

2.在以下的圖案中，哪些是中心對稱圖形？再舉出幾個自然界以及生活、生產(chǎn)中中心對稱圖形

的實例.

23.2.3關于原點對稱的點的坐標

例2如圖23212所示，利用關于原點對稱的點的坐標的關系，作出與AABC關于原點對稱

練習

1.下列各點中哪兩個點關于原點O對稱？

A(-5,0),B(0,2),C(2,-1),D(2,0),E(O,5),F(-2,1),G(-2,-1).

2.寫出下列各點關于原點的對稱點A，,B',C,D的坐標:

A(3,1),B(-2,3),C(-1,-2),D(2,-3)

3.如圖，已知點A的坐標為（-26，2）,點B的坐標為（-1,S，菱形ABCD的對角線

交于坐標原點O.求C,D兩點的坐標.

習題23.2

復習鞏固

1.分別畫出下列圖形關于點O對稱的圖形.

o

(第1題)

2.下列圖形是中心對稱圖形嗎？如果是中心對稱圖形，指出其對稱中心.

3.四邊形ABCD各頂點坐標分別為A(5,0),B(-2,3),C(-1,0),D(-1,-5),作出與四

邊形ABCD關于原點對稱的圖形.

4.已知點A(a,1)與點A，(5,b)關于原點對稱，求a,b的值.

綜合運用

5.如圖，Oi，Ch分別是兩個半圓的圓心，這個圖形是中心對稱圖形嗎？如果不是，請說明理由;

如果是，請指出對稱中心.

6.已知△ABC,能否通過平移、軸對稱或旋轉，得到另一個三角形，使得這兩個三角形能夠拼

成一個以AC,AB為鄰邊的平行四邊形？

7.如圖，能否通過平移、軸對稱或旋轉，由AABC得到△口￡口?

拓廣探索

8.如圖，過菱形對角線交點的一條直線，把菱形分成了兩個梯形，這兩個梯形全等嗎？為什么？

9.如圖，由兩個全等的梯形可以拼成一個菱形嗎？符合什么條件的兩個全等梯形可以拼成一個

菱形？

（第9題）

10.如圖，Z\ADE和4BCF是「458外的兩個等邊三角形，用旋轉的知識說明4ADE和ABCF

成中心對稱.

（第1（）題）

23.3課題學習圖案設計

復習題23

復習鞏固

1.如圖，把Rt^ABC以點S為中心順時針旋轉30°,畫出旋轉后的圖形.

(第1題)

2.如圖，上面的圖案是由什么基本圖案經(jīng)怎樣的旋轉得到的？

(第2題)

3.在美術字中，有些漢字或字母是中心對稱圖形.下面的漢字或字母是中心對稱圖形嗎？如果是,

請標出它們的對稱中心.

綜合運用

4.已知線段AB,用平移、軸對稱或旋轉完成以下各題:

A'---------------8

(第4電)

(1)畫出一個以這條線段為一邊的正方形；

(2)畫出一個以這條線段為一邊的等邊三角形；

(3)畫出一個以這條線段為一邊，一個內(nèi)角是30°的菱形.

5.如圖，^ABC和4ECD都是等邊三角形，AEBC可以看作是aDAC經(jīng)過平移、軸對稱或旋

轉得到.說明得到4EBC的過程.

6.能否通過平移、軸對稱和旋轉把右邊傾斜的樹放在左邊直立的位置？

7.如圖，有一張紙片，若連接EB,則紙片被分為矩形FABE和菱形EBCD.請你畫一條直線把這

張紙片分成面積相等的兩部分，并說明理由.

拓廣探索

8.如圖，（1）中的梯形符合什么條件時，可以經(jīng)過旋轉和軸對稱形成（2）中的圖案？

（第8題）

第二十四章圓

24.1圓的有關性質(zhì)

例1矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O.求證：A,B,C,D四個點在以點O為圓心

的同一個圓上.

練習

1.如何在操場上畫一個半徑是5m的圓？說出你的理由

2.你見過樹木的年輪嗎？從樹木的年輪，可以知道樹木的年齡.把樹干的橫截面看成是圓形的,

如果一棵20年樹齡的樹的樹干直徑是23cm,這棵樹的半徑平均每年增加多少？

3.4ABC中，NC=90°.求證：A,B,C三點在同一個圓上.

24.1.2垂直于弦的直徑

例2趙州橋（圖24.1-7）是我國隋代建造的石拱橋，距今約有1400年的歷史，是我國古代人

民勤勞與智慧的結晶.它的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦的長）為37m,拱高（弧的

中點到弦的距離）為7.23m,求趙州橋主橋拱的半徑（結果保留小數(shù)點后一位）.

練習

1.如圖，在。O中，弦AB的長為8cm,圓心O到AB的距離為3cm.求。O的半徑.

（第1題）

2.如圖，在OO中，AB,AC為互相垂直且相等的兩條弦，ODJ_AB,0E1AC,垂足分別為D,

E.求證：四邊形ADOE是正方形.

(第2題)

24.1.3弧、弦、圓心角

例3如圖24.1-10,在。O中，AB=AC,NACB=60°.求證：ZAOB=ZBOC=ZAOC.

圖24.1-10

練習

1.如圖，AB,CD是。O的兩條弦.

(1)如果AB=CD,那么,.

(2)如果AB=C￡>,那么,.

(3)如果/AOB=NCOD,那么,.

(4)如果AB=CD,OE±AB,OF±CD,垂足分別為E,F,OE與OF相等嗎？為什么？

(第1題)

2.如圖，AB是。。的直徑，BC=CD=DE,NCOD=35°.求NAOE的度數(shù).

ED

（第2題）

24.1.4圓周角

例4如圖24.1-14,。0的直徑AB為10cm,弦AC為6cm,NACB的平分線交。O于點D,

求BC,AD,BD的長.

練習

2.如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC,BD把它的4個內(nèi)角分成8個角，這些角中哪些相

等？為什么？

（第2題）

3.如圖，OA,OB,0C都是。0的半徑，/AOB=2NBOC.求證：ZACB=2ZBAC.

4.如圖，你能用三角尺確定一張圓形紙片的圓心嗎？有幾種方法？與同學交流一下.

（第4題）

5.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。0,E為CD延長線上一點.若NB=110°,求/ADE的度數(shù).

（第5題）

習題24.1

復習鞏固

1.求證：直徑是圓中最長的弦.

2.如圖，在半徑為50mm的€）0中，弦AB長50mm.求:

(1)NAOB的度數(shù)；

(2)點O到AB的距離.

3.如圖，0O中，AB=AC,NC=75°.求NA的度數(shù).

4.如圖，AD=BC,比較A8與CO的長度，并證明你的結論.

5.如圖，。0中，OAJ_BC,NAOB=50°.求/ADC的度數(shù).

6.如圖，用直角曲尺檢查半圓形的工件，哪個是合格的？為什么？

(第6題)

7.求證：圓內(nèi)接平行四邊形是矩形.

綜合運用

8.如下頁圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以點0為圓心的圓的一部分.如果M是。0中弦

CD的中點，EM經(jīng)過圓心O交。O于點E,并且CD=4m,EM=6m.求。0的半徑.

9.如圖，兩個圓都以點0為圓心，大圓的弦AB交小圓于C,D兩點.求證：AC=BD.

10.00的半徑為13cm,AB,CD是。O的兩條弦，AB〃CD,AB=24cm,CD=10cm.求AB和

CD之間的距離.

11.如圖，AB,CD是（DO的兩條平行弦，MN是AB的垂直平分線.求證：MN垂直平分CD.

（第11題）

12.如圖，一條公路的轉彎處是一段圓?。ˋB）,點O是這段弧所在圓的圓心.AB=300m,C是

AB上一點，OC_LAB,垂足為D,CD=45m.求這段彎路的半徑.

（第12題）

13.如圖，A,B是00上的兩點，ZAOB=120°,C是AB的中點.求證：四邊形OACB是菱形.

（第13題）

14.如圖，A,P,B,C是OO上的四個點，ZAPC=ZCPB=60°.判斷aABC的形狀，并證明你

的結論.

（第14題）

拓廣探索

15.如圖,AB和CD分別是。。上的兩條弦，圓心0到它們.的距離分別是0M和0N.如果AB>CD,

0M和ON的大小有什么關系？為什么？

（第15題）

16.如圖，鐵路MN和公路PQ在點0處交會，NQON=30°,在點A處有一棟居民樓,A0-200m.

如果火車行駛時，周圍200m以內(nèi)會受到噪聲的影響，那么火車在鐵路MN上沿ON方向行駛

時，居民樓是否會受到噪聲的影響？如果火車行駛的速度為72km/h,居民樓受噪聲影響的時間

約為多少秒（不考慮火車長度，結果保留小數(shù)點后一位）？

（第16題）

17.如圖，一個海港在xy范圍內(nèi)是淺灘.為了使深水船只不進入淺灘，需要測量船所在的位置與

兩個燈塔的視角/XPY,并把它與已知的危險角NXZY（Xy上任意一點乙與兩個燈塔所成的

角）相比較，航行中保持NXPYCNXZY.你知道這樣做的道理嗎？

24.2點和圓、直線和圓的位置關系

24.2.1點和圓的位置關系

練習

1.畫出由所有到已知點O的距離大于或等于2cm,并且小于或等于3cm的點組成的圖形.

2.體育課上，小明和小麗的鉛球成績分別是6.4m和5.1m,他們投出的鉛球分別落在圖中哪個區(qū)

域內(nèi)？

（第2題）

3.如圖，CD所在的直線垂直平分線段AB,怎樣用這樣的工具找到圓形工件的圓心?

D

?(第題)

3

24.2.2直線和圓的位置關系

練習

圓的直徑是13cm,如果圓心與直線的距離分別是:

(1)4.5cm；(2)6.5cm；(3)8cm.

那么直線和圓分別是什么位置關系？有幾個公共點？

例1如圖24.2-11,AABC為等腰三角形，0是底邊BC的中點，腰AB與00相切于點D.

求證：AC是。。的切線.

練習

1.如圖，AB是。0的直徑，ZABT=45°,AT=AB.求證：AT是OO的切線.

(第1題)

2.如圖，AB是00的直徑，直線1”L是。。的切線，A,B是切點］，L有怎樣的位置關系？

證明你的結論.

(第2題)

例2如圖24.2-17,AABC的內(nèi)切圓。0與BC,CA,AB分別相切于點D,E,F,且AB=9,

BC=14,CA=I3.求AF,BD,CE的長.

圖24.2-17

練習

1.如圖，Z^ABC中，NABC=50°,NACB=75°，點0是4ABC的內(nèi)心.求NBOC的度數(shù).

2.Z\ABC的內(nèi)切圓半徑為r,ZiABC的周長為1,求AABC的面積.(提示：設aABC的內(nèi)心為

O,連接OA,OB,OC.)

習題24.2

復習鞏固

1.00的半徑為10cm,根據(jù)下列點P到圓心O的距離，判斷點P和。O的位置關系：

(1)8cm；(2)10cm；(3)12cm.

2.Rt^ABC中，ZC=90°,AC=3cm,BC=4cm,判斷以點C為圓心，下列r為半徑的。C與

AB的位置關系：

(1)r=2cm；(2)r=2.4cm；(3)r=3cm.

3.一根鋼管放在V形架內(nèi)，其橫截面如圖所示，鋼管的半徑是25cm.

(第3題)

(1)如果UV=28cm,VT是多少？

(2)如果NUVW=60°,VT是多少？

4.如圖，直線AB經(jīng)過OO上的點C,并且OA=OB,CA=CB.求證：直線AB是00的切線.

(第4題)

5.如圖，以點0為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB是小圓的切線，點P為切點.求證：AP=BP.

6.如圖，PA,PB是。。的切線，A,B為切點，AC是。0的直徑，NBAC=25°.求NP的度數(shù).

綜合運用

7.已知AB=6cm,畫半徑為4cm的圓，使它經(jīng)過A,B兩點.這樣的圓能畫出多少個？如果半徑

為3cm,2cm呢？

8.如圖，分別作出銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的外接圓，它們外心的位置有什么特

點？

（第8題）

9.如圖是一名考古學家發(fā)現(xiàn)的一塊古代車輪的碎片，你能幫他找出這個輪子的半徑嗎？說出你

的理由.

10.如圖，一個油桶靠在直立的墻邊，量得WY=0.65m,并且XYJ_WY這個油桶的底面半徑是

多少？為什么？

（第10題）

11.如圖，AB,BC,CD分別與相切于E,F,G三點，且AB〃CD,BO=6cm,CO=8cm.

求BC的長.

（第11題）

12.如圖，AB為。O的直徑，C為。。上一點，AD和過點C的切線互相垂直，垂足為D.求證:

AC平分NDAB.

拓廣探索

13.如下頁圖，等圓。。和。Ch相交于A,B兩點，經(jīng)過。Ch的圓心02.求NOiAB的度數(shù).

A

（第13題）

14.如圖，RtZiABC中，ZC=90°,AB,BC,CA的長分別為c,a,b.求AABC的內(nèi)切圓半徑

r.

24.3正多邊形和圓

例如圖24.3-4,有一個亭子，它的地基是半徑為4m的正六邊形，求地基的周長和面積（結果保

留小數(shù)點后一位）.

|924.3-4

練習

1.矩形是正多邊形嗎？菱形呢？正方形呢？為什么？

2.各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形嗎？各角相等的圓內(nèi)接多邊形呢？如果是，說明為什么;

如果不是，舉出反例.

3.分別求半徑為R的圓內(nèi)接正三角形、正方形的邊長、邊心距和面積.

練習

1.畫一個半徑為2cm的正五邊形，再作出這個正五邊形的各條對角線，畫出一個五角星.

2.用等分圓周的方法畫出下列圖案：

（第2題）

習題24.3

復習鞏固

1.完成下表中有關正多邊形的計算:

正多邊形邊數(shù)內(nèi)角中心角半徑邊長邊心距周長面積

360°2百

41

66

2.要用圓形鐵片截出邊長為a的正方形鐵片，選用的圓形鐵片的半徑至少是多少？

3.正多邊形都是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸在哪里？正多邊形都是中心對稱圖形嗎？

如果是，它的對稱中心在哪里？

4.如圖，H,I,J,K,L分別是正五邊形ABCDE各邊的中點.求證：五邊形HIJKL是正五邊形.

綜合運用

5.如下頁圖，要擰開一個邊長a=12mm的六角形螺帽，扳手張開的開口b至少要多少？

6.如圖，正方形的邊長為4cm,剪去四個角后成為一個正八邊形.求這個正八邊形的邊長和面積.

（第6題）

7.用48m長的籬笆在空地上圍成一個綠化場地，現(xiàn)有四種設計方案：正三角形、正方形、正六

邊形、圓.哪種場地的面積最大（可以利用計算器計算）？

拓廣探索

8.把圓分成n（nN3）等份，經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形叫做這

個圓的外切正n邊形.如圖，。。的半徑是R,分別求它的外切正三角形、外切正方形、外切正

六邊形的邊長.

（第8題）

24.4弧長和扇形面積

例1制造彎形管道時，經(jīng)常要先按中心線計算“展直長度”，再下料，試計算圖2441所示的

管道的展直長度L（結果取整數(shù)）.

4=900

例2如圖24.4-3,水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6m,其中水面高0.3m.求截面上

有水部分的面積（結果保留小數(shù)點后兩位）.

圖24.4-3

練習

1.弧長相等的兩段孤是等孤嗎？

2.如圖，有一段彎道是圓弧形的，道長是12m,弧所對的圓心角是81°.這段圓弧所在圓的半徑

R是多少米（結果保留小數(shù)點后一位）？

（第2題）

3.如圖，正三角形ABC的邊長為a,D,E,F分別為BC,CA,AB的中點，以A,B,C三點

為圓心，3長為半徑作圓.求圖中陰影部分的面積.

2

(第3題)

例3蒙古包可以近似地看作由圓錐和圓柱組成.如果想用毛氈搭建2()個底面積為12m2,高為

3.2m,外圍高1.8m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛氈(兀取3.142,結果取整數(shù))？

練習

1.圓錐的底面直徑是80cm,母線長90cm.求它的側面展開圖的圓心角和圓錐的全面積.

2.如圖，圓錐形的煙囪帽的底面圓的直徑是80cm,母線長是50cm,制作1(X)個這樣的煙囪帽

至少需要多少平方米的鐵皮？

復習鞏固

L填空：

(1)75°的圓心角所對的弧長是2.5?tcm,則此弧所在圓的半徑是cm；

(2)—■個扇形的弧長是2()7tcm,面積是24()7tcm2,則扇形的圓心角是；

(3)用一個圓心角為120。，半徑為4的扇形作一個圓錐的側面，這個圓錐的底面圓的半徑為

2.如圖，兩個大小一樣的傳送輪連接著一條傳送帶.求這條傳送帶的長.

3.在航海中，常用海里（單位：nmile）作為路程的度量單位.把地球看作球體，Inmile近似等于

赤道所在的圓中1'的圓心角所對的弧長.已知地球半徑（也就是赤道所在圓的半徑）約為6370km,

Inmile約等于多少米（兀取3.14,結果取整數(shù)）？

4.正方形的邊長為a,以各邊為直徑在正方形內(nèi)畫半圓.求圖中陰影部分的面積.

（第4題）

5.Rt^ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4.把它分別沿三邊所在直線旋轉一周.求所得三個幾何體

的全面積.

綜合運用

6.如圖是一段彎形管道，其中