人教中考數(shù)學綜合題專題復習【平行四邊形】專題解析附詳細答案

一、平行四邊形真題與模擬題分類匯編（難題易錯題）1．在四邊形中，，對角線平分.（1）如圖1，若，且，試探究邊、與對角線的數(shù)量關系并說明理由.（2）如圖2，若將（1）中的條件“”去掉，（1）中的結論是否成立？請說明理由.（3）如圖3，若，探究邊、與對角線的數(shù)量關系并說明理由.【答案】（1）.證明見解析；（2）成立；（3）.理由見解析.【解析】試題分析：（1）結論：AC=AD+AB，只要證明AD=AC，AB=AC即可解決問題；（2）（1）中的結論成立．以C為頂點，AC為一邊作∠ACE=60°，∠ACE的另一邊交AB延長線于點E，只要證明△DAC≌△BEC即可解決問題；（3）結論：AD+AB＝AC．過點C作CE⊥AC交AB的延長線于點E，只要證明△ACE是等腰直角三角形，△DAC≌△BEC即可解決問題；試題解析：解：（1）AC=AD+AB．理由如下：如圖1中，在四邊形ABCD中，∠D+∠B=180°，∠B=90°，∴∠D=90°，∵∠DAB=120°，AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC=60°，∵∠B=90°，∴AB＝AC，同理AD＝AC．∴AC=AD+AB．（2）（1）中的結論成立，理由如下：以C為頂點，AC為一邊作∠ACE=60°，∠ACE的另一邊交AB延長線于點E，∵∠BAC=60°，∴△AEC為等邊三角形，∴AC=AE=CE，∵∠D+∠ABC=180°，∠DAB=120°，∴∠DCB=60°，∴∠DCA=∠BCE，∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，∴∠D=∠CBE，∵CA=CE，∴△DAC≌△BEC，∴AD=BE，∴AC=AD+AB．（3）結論：AD+AB＝AC．理由如下：過點C作CE⊥AC交AB的延長線于點E，∵∠D+∠B=180°，∠DAB=90°，∴DCB=90°，∵∠ACE=90°，∴∠DCA=∠BCE，又∵AC平分∠DAB，∴∠CAB=45°，∴∠E=45°．∴AC=CE．又∵∠D+∠ABC=180°，∠D=∠CBE，∴△CDA≌△CBE，∴AD=BE，∴AD+AB=AE．在Rt△ACE中，∠CAB=45°，∴AE＝∴.2．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，點E為CD的中點，射線BE交AD的延長線于點F，連接CF．（1）求證：四邊形BCFD是菱形；（2）若AD=1，BC=2，求BF的長．【答案】（1）證明見解析（2）2【解析】（1）∵AF∥BC，∴∠DCB=∠CDF，∠FBC=∠BFD，∵點E為CD的中點，∴DE=EC，在△BCE與△FDE中，，∴△BCE≌△FDE，∴DF=BC，又∵DF∥BC，∴四邊形BCDF為平行四邊形，∵BD=BC，∴四邊形BCFD是菱形；（2）∵四邊形BCFD是菱形，∴BD=DF=BC=2，在Rt△BAD中，AB=，∵AF=AD+DF=1+2=3，在Rt△BAF中，BF==2．3．圖1、圖2是兩張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點叫做格點．（1）在圖1中畫出等腰直角三角形MON，使點N在格點上，且∠MON=90°；（2）在圖2中以格點為頂點畫一個正方形ABCD，使正方形ABCD面積等于（1）中等腰直角三角形MON面積的4倍，并將正方形ABCD分割成以格點為頂點的四個全等的直角三角形和一個正方形，且正方形ABCD面積沒有剩余（畫出一種即可）．【答案】（1）作圖參見解析；（2）作圖參見解析.【解析】試題分析：（1）過點O向線段OM作垂線，此直線與格點的交點為N，連接MN即可；（2）根據(jù)勾股定理畫出圖形即可．試題解析：（1）過點O向線段OM作垂線，此直線與格點的交點為N，連接MN，如圖1所示；（2）等腰直角三角形MON面積是5，因此正方形面積是20，如圖2所示；于是根據(jù)勾股定理畫出圖3：考點：1.作圖﹣應用與設計作圖；2.勾股定理.4．（問題情境）在△ABC中，AB＝AC，點P為BC所在直線上的任一點，過點P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D、E，過點C作CF⊥AB，垂足為F．當P在BC邊上時（如圖1），求證：PD+PE＝CF．證明思路是：如圖2，連接AP，由△ABP與△ACP面積之和等于△ABC的面積可以證得：PD+PE＝CF．（不要證明）（變式探究）（1）當點P在CB延長線上時，其余條件不變（如圖3），試探索PD、PE、CF之間的數(shù)量關系并說明理由；請運用上述解答中所積累的經(jīng)驗和方法完成下列兩題：（結論運用）（2）如圖4，將長方形ABCD沿EF折疊，使點D落在點B上，點C落在點C′處，點P為折痕EF上的任一點，過點P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分別為G、H，若AD＝16，CF＝6，求PG+PH的值．（遷移拓展）（3）在直角坐標系中，直線l1：y＝-x+8與直線l2：y＝﹣2x+8相交于點A，直線l1、l2與x軸分別交于點B、點C．點P是直線l2上一個動點，若點P到直線l1的距離為2．求點P的坐標．【答案】【變式探究】證明見解析【結論運用】8【遷移拓展】（﹣1，6），（1，10）【解析】【變式探究】連接AP，同理利用△ABP與△ACP面積之差等于△ABC的面積可以證得；【結論運用】過點E作EQ⊥BC，垂足為Q，根據(jù)勾股定理和矩形的性質解答即可；【遷移拓展】分兩種情況，利用結論，求得點P到x軸的距離，再利用待定系數(shù)法可求出P的坐標．【詳解】變式探究:連接AP，如圖3：∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，且S△ABC＝S△ACP﹣S△ABP，∴AB?CF＝AC?PE﹣AB?PD．∵AB＝AC，∴CF＝PD﹣PE；結論運用:過點E作EQ⊥BC，垂足為Q，如圖④，∵四邊形ABCD是長方形，∴AD＝BC，∠C＝∠ADC＝90°．∵AD＝16，CF＝6，∴BF＝BC﹣CF＝AD﹣CF＝5，由折疊可得：DF＝BF，∠BEF＝∠DEF．∴DF＝5．∵∠C＝90°，∴DC＝＝8．∵EQ⊥BC，∠C＝∠ADC＝90°，∴∠EQC＝90°＝∠C＝∠ADC．∴四邊形EQCD是長方形．∴EQ＝DC＝4．∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB．∵∠BEF＝∠DEF，∴∠BEF＝∠EFB．∴BE＝BF，由問題情境中的結論可得：PG+PH＝EQ．∴PG+PH＝8．∴PG+PH的值為8；遷移拓展:如圖，由題意得：A（0，8），B（6，0），C（﹣4，0）∴AB＝＝10，BC＝10．∴AB＝BC，（1）由結論得：P1D1+P1E1＝OA＝8∵P1D1＝1＝2，∴P1E1＝6即點P1的縱坐標為6又點P1在直線l2上，∴y＝2x+8＝6，∴x＝﹣1，即點P1的坐標為（﹣1，6）；（2）由結論得：P2E2﹣P2D2＝OA＝8∵P2D2＝2，∴P2E2＝10即點P1的縱坐標為10又點P1在直線l2上，∴y＝2x+8＝10，∴x＝1，即點P1的坐標為（1，10）【點睛】本題考查了矩形的性質與判定、等腰三角形的性質與判定及勾股定理等知識點，利用面積法列出等式是解決問題的關鍵．5．（1）如圖1，將矩形折疊，使落在對角線上，折痕為，點落在點處，若，則的度數(shù)為______.（2）小明手中有一張矩形紙片，，.（畫一畫）如圖2，點在這張矩形紙片的邊上，將紙片折疊，使落在所在直線上，折痕設為（點，分別在邊，上），利用直尺和圓規(guī)畫出折痕（不寫作法，保留作圖痕跡，并用黑色水筆把線段描清楚）；（算一算）如圖3，點在這張矩形紙片的邊上，將紙片折疊，使落在射線上，折痕為，點分別落在點，處，若，求的長.【答案】（1）21；（2）畫一畫；見解析；算一算：【解析】【分析】（1）利用平行線的性質以及翻折不變性即可解決問題；（2）【畫一畫】，如圖2中，延長BA交CE的延長線由G，作∠BGC的角平分線交AD于M，交BC于N，直線MN即為所求；【算一算】首先求出GD=9-，由矩形的性質得出AD∥BC，BC=AD=9，由平行線的性質得出∠DGF=∠BFG，由翻折不變性可知，∠BFG=∠DFG，證出∠DFG=∠DGF，由等腰三角形的判定定理證出DF=DG=，再由勾股定理求出CF，可得BF，再利用翻折不變性，可知FB′=FB，由此即可解決問題．【詳解】（1）如圖1所示：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=42°，由翻折的性質可知，∠DBE=∠EBC=∠DBC=21°，故答案為21．（2）【畫一畫】如圖所示：【算一算】如3所示：∵AG=，AD=9，∴GD=9-，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，BC=AD=9，∴∠DGF=∠BFG，由翻折不變性可知，∠BFG=∠DFG，∴∠DFG=∠DGF，∴DF=DG=，∵CD=AB=4，∠C=90°，∴在Rt△CDF中，由勾股定理得：CF=，∴BF=BC-CF=9，由翻折不變性可知，F(xiàn)B=FB′=，∴B′D=DF-FB′=.【點睛】四邊形綜合題，考查了矩形的性質、翻折變換的性質、勾股定理、等腰三角形的判定、平行線的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會利用翻折不變性解決問題．6．如圖，已知矩形ABCD中，E是AD上一點，F(xiàn)是AB上的一點，EF⊥EC，且EF＝EC．（1）求證：△AEF≌△DCE．（2）若DE＝4cm，矩形ABCD的周長為32cm，求AE的長．【答案】（1）證明見解析；（2）6cm.【解析】分析：（1）根據(jù)EF⊥CE，求證∠AEF=∠ECD．再利用AAS即可求證△AEF≌△DCE．（2）利用全等三角形的性質，對應邊相等，再根據(jù)矩形ABCD的周長為32cm，即可求得AE的長.詳解：（1）證明：∵EF⊥CE，∴∠FEC=90°，∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°，∴∠AEF=∠ECD．在Rt△AEF和Rt△DEC中，∠FAE=∠EDC=90°，∠AEF=∠ECD，EF=EC．∴△AEF≌△DCE．（2）解：∵△AEF≌△DCE．AE=CD．AD=AE+4．∵矩形ABCD的周長為32cm，∴2（AE+AE+4）=32．解得，AE=6（cm）．答：AE的長為6cm．點睛：此題主要考查學生對全等三角形的判定與性質和矩形的性質等知識點的理解和掌握，難易程度適中，是一道很典型的題目．7．如圖，在正方形ABCD中，點E在CD上，AF⊥AE交CB的延長線于F．求證：AE=AF．【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)同角的余角相等證得∠BAF=∠DAE，再利用正方形的性質可得AB=AD，∠ABF=∠ADE=90°，根據(jù)ASA判定△ABF≌△ADE，根據(jù)全等三角形的性質即可證得AF=AE．【詳解】∵AF⊥AE，∴∠BAF+∠BAE=90°，又∵∠DAE+∠BAE=90°，∴∠BAF=∠DAE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABF=∠ADE=90°，在△ABF和△ADE中，，∴△ABF≌△ADE（ASA），∴AF=AE．【點睛】本題主要考查了正方形的性質、全等三角形的判定和性質等知識點，證明△ABF≌△ADE是解決本題的關鍵．8．已知點O是△ABC內任意一點，連接OA并延長到E，使得AE=OA，以OB，OC為鄰邊作?OBFC，連接OF與BC交于點H，再連接EF．（1）如圖1，若△ABC為等邊三角形，求證：①EF⊥BC；②EF=3BC；（2）如圖2，若△ABC為等腰直角三角形（BC為斜邊），猜想（1）中的兩個結論是否成立？若成立，直接寫出結論即可；若不成立，請你直接寫出你的猜想結果；（3）如圖3，若△ABC是等腰三角形，且AB=AC=kBC，請你直接寫出EF與BC之間的數(shù)量關系．【答案】（1）見解析；（2）EF⊥BC仍然成立；（3）EF=4k【解析】試題分析：（1）由平行四邊形的性質得到BH=HC=12BC，OH=HF，再由等邊三角形的性質得到AB=BC，AH⊥BC，根據(jù)勾股定理得到AH=3（2）由平行四邊形的性質得到BH=HC=12BC，OH=HF，再由等腰直角三角形的性質得到AB=2（3）由平行四邊形的性質得到BH=HC=12BC，OH=HF，再由等腰三角形的性質和AB=AC=kBC得到AB=BC，AH⊥BC，根據(jù)勾股定理得到AH=1試題解析：（1）連接AH，如圖1，∵四邊形OBFC是平行四邊形，∴BH=HC=12∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2=AB2﹣BH2，∴AH=BC2-∵OA=AE，OH=HF，∴AH是△OEF的中位線，∴AH=12∴EF⊥BC，32BC=1∴EF⊥BC，EF=3BC；（2）EF⊥BC仍然成立，EF=BC，如圖2，∵四邊形OBFC是平行四邊形，∴BH=HC=12∵△ABC是等腰三角形，∴AB=2BC，AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2=AB2﹣BH2=（2BH）2﹣BH2=BH2，∴AH=BH=12∵OA=AE，OH=HF，∴AH是△OEF的中位線，∴AH=12∴EF⊥BC，12BC=1∴EF⊥BC，EF=BC；（3）如圖3，∵四邊形OBFC是平行四邊形，∴BH=HC=12∵△ABC是等腰三角形，∴AB=kBC，AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2=AB2﹣BH2=（kBC）2﹣（12BC）2=（k2-14）BC∴AH=BH=12∵OA=AE，OH=HF，∴AH是△OEF的中位線，∴AH=12∴EF⊥BC，124k∴EF=4k考點：四邊形綜合題．9．已知，以為邊在外作等腰，其中.（1）如圖①，若，，求的度數(shù).（2）如圖②，，，，.①若，，的長為______.②若改變的大小，但，的面積是否變化？若不變，求出其值；若變化，說明變化的規(guī)律.【答案】（1）120°；（2）①2；②2【解析】試題分析：（1）根據(jù)SAS，可首先證明△AEC≌△ABD，再利用全等三角形的性質，可得對應角相等，根據(jù)三角形的外角的定理，可求出∠BFC的度數(shù)；（2）①如圖2，在△ABC外作等邊△BAE，連接CE，利用旋轉法證明△EAC≌△BAD，可證∠EBC=90°，EC=BD=6，因為BC=4，在Rt△BCE中，由勾股定理求BE即可；②過點B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，連接EA，EC．并取BE的中點K，連接AK，仿照（2）利用旋轉法證明△EAC≌△BAD，求得EC=DB，利用勾股定理即可得出結論．試題解析：解：（1）∵AE=AB，AD=AC，∵∠EAB=∠DAC=60°，∴∠EAC=∠EAB+∠BAC，∠DAB=∠DAC+∠BAC，∴∠EAC=∠DAB，在△AEC和△ABD中∴△AEC≌△ABD（SAS），∴∠AEC=∠ABD，∵∠BFC=∠BEF+∠EBF=∠AEB+∠ABE，∴∠BFC=∠AEB+∠ABE=120°，故答案為120°；（2）①如圖2，以AB為邊在△ABC外作正三角形ABE，連接CE．由（1）可知△EAC≌△BAD．∴EC=BD．∴EC=BD=6，∵∠BAE=60°，∠ABC=30°，∴∠EBC=90°．在RT△EBC中，EC=6，BC=4，∴EB===2∴AB=BE=2．②若改變α，β的大小，但α+β=90°，△ABC的面積不變化，以下證明：如圖2，作AH⊥BC交BC于H，過點B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，連接EA，EC．并取BE的中點K，連接AK．∵AH⊥BC于H，∴∠AHC=90°．∵BE∥AH，∴∠EBC=90°．∵∠EBC=90°，BE=2AH，∴EC2=EB2+BC2=4AH2+BC2．∵K為BE的中點，BE=2AH，∴BK=AH．∵BK∥AH，∴四邊形AKBH為平行四邊形．又∵∠EBC=90°，∴四邊形AKBH為矩形．∠ABE=∠ACD，∴∠AKB=90°．∴AK是BE的垂直平分線．∴AB=AE．∵AB=AE，AC=AD，∠ABE=∠ACD，∴∠EAB=∠DAC，∴∠EAB+∠EAD=∠DAC+∠EAD，即∠EAC=∠BAD，在△EAC與△BAD中∴△EAC≌△BAD．∴EC=BD=6．在RT△BCE中，BE==2，∴AH=BE=，∴S△ABC=BC?AH=2考點：全等三角形的判定與性質；等腰三角形的性質10．（本題14分）小明在學習平行線相關知識時總結了如下結論：端點分別在兩條平行線上的所有線段中，垂直于平行線的線段最短．小明應用這個結論進行了下列探索活動和問題解決．問題1：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，P為AC邊上的一動點，以PB，PA為邊構造□APBQ，求對角線PQ的最小值及PQ最小時APAC（1）在解決這個問題時，小明構造出了如圖2的輔助線，則PQ的最小值為，當PQ最小時APAC=_____（2）小明對問題1做了簡單的變式思考．如圖3，P為AB邊上的一動點，延長PA到點E，使AE=nPA（n為大于0的常數(shù)）．以PE，PC為邊作□PCQE，試求對角線PQ長的最小值，并求PQ最小時的值；問題2：在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3．（1）如圖4，若P為AB上任意一點，以PD，PC為邊作□PCQD．試求對角線PQ長的最小值和PQ最小時的值．（2）若P為AB上任意一點，延長PD到P，使，再以AB，PC為邊作□PCQE．請直接寫出對角線PQ長的最小值和PQ最小時的值．【答案】問題1：（1）3，12；（2）PQ=，=．問題2：（1）PQ=4，．（2）PQ的最小值為．．【解析】試題分析：問題1：（1）首先根據(jù)條件可證四邊形PC