高考數(shù)學文一輪復習學案第十一章統(tǒng)計與概率

第十一章統(tǒng)計與概率第一節(jié)抽樣方法、用樣本估計總體本節(jié)主要包括2個知識點：1.抽樣方法與統(tǒng)計圖表；2.樣本的數(shù)字特征.突破點(一)抽樣方法與統(tǒng)計圖表基礎聯(lián)通抓主干知識的“源”與“流”1．簡單隨機抽樣(1)定義：一般地，從個體數(shù)為N的總體中逐個不放回地取出n個個體作為樣本(n＜N)，如果每個個體都有相同的機會被取到，那么這樣的抽樣方法稱為簡單隨機抽樣．(2)最常用的方法：抽簽法和隨機數(shù)表法．2．系統(tǒng)抽樣將總體平均分成幾個部分，然后按照一定的規(guī)則，從每個部分中抽取一個個體作為樣本，這樣的抽樣方法稱為系統(tǒng)抽樣．3．分層抽樣一般地，當總體由差異明顯的幾個部分組成時，為了使樣本更客觀地反映總體情況，我們常常將總體中的個體按不同的特點分成層次比較分明的幾個部分，然后按各個部分在總體中所占的比實施抽樣，這種抽樣方法叫分層抽樣，所分成的各個部分稱為“層”．4．三種抽樣方法的比較類別共同點各自特點相互聯(lián)系適用范圍簡單隨機抽樣均為不放回抽樣，且抽樣過程中每個個體被抽取的機會相等從總體中逐個抽取是后兩種方法的基礎總體中的個數(shù)較少系統(tǒng)抽樣將總體均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則在各部分中抽取在起始部分抽樣時采用簡單隨機抽樣元素個數(shù)很多且均衡的總體抽樣分層抽樣將總體分成幾層，分層按比例進行抽取各層抽樣時采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成5.作頻率分布直方圖的步驟(1)求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)；(2)決定組距與組數(shù)；(3)將數(shù)據(jù)分組；(4)列頻率分布表；(5)畫頻率分布直方圖．6．頻率分布折線圖和總體密度曲線(1)頻率分布折線圖：連結頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖．(2)總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數(shù)增加，組距減小，相應的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計中稱這條光滑曲線為總體密度曲線．7．莖葉圖的優(yōu)點莖葉圖的優(yōu)點是可以保留原始數(shù)據(jù)，而且可以隨時記錄，這對數(shù)據(jù)的記錄和表示都能帶來方便.考點貫通抓高考命題的“形”與“神”抽樣方法類型(一)簡單隨機抽樣1．抽簽法的步驟第一步，將總體中的N個個體編號；第二步，將這N個號碼寫在形狀、大小相同的號簽上；第三步，將號簽放在同一箱中，并攪拌均勻；第四步，從箱中每次抽取1個號簽，連續(xù)抽取k次；第五步，將總體中與抽取的號簽的編號一致的k個個體取出．2．隨機數(shù)表法的步驟第一步，將個體編號；第二步，在隨機數(shù)表中任選一個數(shù)開始；第三步，從選定的數(shù)開始，按照一定抽樣規(guī)則在隨機數(shù)表中選取數(shù)字，取足滿足要求的數(shù)字就得到樣本的號碼．[例1](1)以下抽樣方法中是簡單隨機抽樣的序號是________．①在某年明信片銷售活動中，規(guī)定每100萬張為一個開獎組，通過隨機抽取的方式確定號碼的后四位為2709的為三等獎；②某車間包裝一種產(chǎn)品，在自動包裝的傳送帶上，每隔30分鐘抽一包產(chǎn)品，稱其重量是否合格；③某學校分別從行政人員、教師、后勤人員中抽取2人、14人、4人了解對學校機構改革的意見；④用抽簽方法從10件產(chǎn)品中選取3件進行質(zhì)量檢驗．(2)總體由編號為01，02，…，19,20的20個個體組成．利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體，選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為________．7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481[解析](1)①②不是簡單隨機抽樣，因為抽取的個體間的間隔是固定的；③不是簡單隨機抽樣，因為總體的個體有明顯的層次；④是簡單隨機抽樣．(2)由題意知前5個個體的編號為08,02,14,07,01.[答案](1)④(2)01類型(二)系統(tǒng)抽樣系統(tǒng)抽樣的步驟[例2](1)某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取42人做問卷調(diào)查，將840人按1，2，…，840隨機編號，則抽取的42人中，編號落入?yún)^(qū)間[481,720]的人數(shù)為________．(2)湖南衛(wèi)視為了解觀眾對《我是歌手》的意見，準備從502名現(xiàn)場觀眾中抽取10%進行座談，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法完成這一抽樣，則在進行分組時，需剔除________個個體，抽樣間隔為________．[解析](1)由系統(tǒng)抽樣定義可知，所分組距為eq\f(840,42)＝20，每組抽取一人，因為包含整數(shù)個組，所以抽取個體在區(qū)間[481,720]的數(shù)目為(720－480)÷20＝12.(2)把502名觀眾平均分成50組，由于502除以50的商是10，余數(shù)是2，所以每組有10名觀眾，還剩2名觀眾，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽樣時，應先用簡單隨機抽樣的方法從502名觀眾中抽取2名觀眾，這2名觀眾不參加座談；再將剩下的500名觀眾編號為1,2,3，…，500，并均勻分成50段，每段含eq\f(500,50)＝10個個體．所以需剔除2個個體，抽樣間隔為10.[答案](1)12(2)210[易錯提醒]用系統(tǒng)抽樣法抽取樣本，當eq\f(N,n)不為整數(shù)時，取k＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(N,n)))，即先從總體中用簡單隨機抽樣的方法剔除(N－nk)個個體，且剔除多余的個體不影響抽樣的公平性．類型(三)分層抽樣進行分層抽樣的相關計算時，常利用以下關系式巧解：(1)eq\f(樣本容量n,總體的個數(shù)N)＝eq\f(該層抽取的個體數(shù),該層的個體數(shù))；(2)總體中某兩層的個體數(shù)之比＝樣本中這兩層抽取的個體數(shù)之比．[例3](1)(2017·江蘇高考)某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為200,400,300,100件．為檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進行檢驗，則應從丙種型號的產(chǎn)品中抽取________件．(2)(2018·東北三校聯(lián)考)某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比為3∶5∶7，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出容量為n的樣本，其中甲種產(chǎn)品有18件，則樣本容量n＝________.(3)某學校三個興趣小組的學生人數(shù)分布如下表(每名同學只參加一個小組)(單位：人).籃球組書畫組樂器組高一4530a高二151020學校要對這三個小組的活動效果進行抽樣調(diào)查，按小組分層抽樣的方法，從參加這三個興趣小組的學生中抽取30人，結果籃球組被抽出12人，則a的值為________．[解析](1)應從丙種型號的產(chǎn)品中抽取60×eq\f(300,200＋400＋300＋100)＝18(件)．(2)依題意得eq\f(3,3＋5＋7)×n＝18，解得n＝90，即樣本容量為90.(3)由題意知eq\f(12,45＋15)＝eq\f(30,45＋15＋30＋10＋a＋20)，解得a＝30.[答案](1)18(2)90(3)30[方法技巧]分層抽樣的解題策略(1)分層抽樣中分多少層，如何分層要視具體情況而定，總的原則是：層內(nèi)樣本的差異要小，兩層之間的樣本差異要大，且互不重疊．(2)為了保證每個個體等可能入樣，所有層中每個個體被抽到的可能性相同．(3)在每層抽樣時，應采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法進行抽樣．(4)抽樣比＝eq\f(樣本容量,總體容量)＝eq\f(各層樣本數(shù)量,各層個體數(shù)量).頻率分布直方圖和莖葉圖類型(一)頻率分布直方圖[例4](1)(2018·揚州市考前調(diào)研)隨著社會的發(fā)展，食品安全問題漸漸成為社會關注的熱點，為了提高學生的食品安全意識，某學校組織全校學生參加食品安全知識競賽，成績的頻率分布直方圖如下圖所示，數(shù)據(jù)的分組依次為[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100)，若該校的學生總人數(shù)為3000，則成績不超過60分的學生人數(shù)大約為________．(2)某地政府調(diào)查了工薪階層1000人的月工資收入，并根據(jù)調(diào)查結果畫出如圖所示的頻率分布直方圖，為了了解工薪階層對月工資收入的滿意程度，要用分層抽樣的方法從調(diào)查的1000人中抽出100人做詢訪，則(30,35](百元)月工資收入段應抽出________人．[解析](1)由圖知，成績不超過60分的學生的頻率為(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以成績不超過60分的學生人數(shù)大約為0.3×3000＝900.(2)月工資收入落在(30,35](百元)內(nèi)的頻率為1－(0.02＋0.04＋0.05＋0.05＋0.01)×5＝1－0.85＝0.15，所以(30,35](百元)月工資收入段應抽出100×0.15＝15(人)．[答案](1)900(2)15[方法技巧]1．繪制頻率分布直方圖時需注意的兩點(1)制作好頻率分布表后，可以利用各組的頻率之和是否為1來檢驗該表是否正確；(2)頻率分布直方圖的縱坐標是eq\f(頻率,組距)，而不是頻率．2．與頻率分布直方圖計算有關的兩個關系式(1)eq\f(頻率,組距)×組距＝頻率；(2)eq\f(頻數(shù),樣本容量)＝頻率，此關系式的變形為eq\f(頻數(shù),頻率)＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數(shù)．類型(二)莖葉圖1．莖葉圖的繪制需注意：(1)“葉”的位置只有一個數(shù)字，而“莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一；(2)重復出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復記錄，不能遺漏，特別是“葉”的位置上的數(shù)據(jù)．2．莖葉圖通常用來記錄兩位數(shù)的數(shù)據(jù)，可以用來分析單組數(shù)據(jù)，也可以用來比較兩組數(shù)據(jù)．通過莖葉圖可以確定數(shù)據(jù)的中位數(shù)，數(shù)據(jù)大致集中在哪個莖，數(shù)據(jù)是否關于該莖對稱，數(shù)據(jù)分布是否均勻等．[例5]某良種培育基地正在培育一小麥新品種A，將其與原有的一個優(yōu)良品種B進行對照試驗，兩種小麥各種植了25畝，所得畝產(chǎn)數(shù)據(jù)(單位：千克)如下．品種A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454品種B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430(1)作出數(shù)據(jù)的莖葉圖；(2)通過觀察莖葉圖，對品種A與B的畝產(chǎn)量及其穩(wěn)定性進行比較，寫出統(tǒng)計結論．[解](1)畫出莖葉圖如圖所示：(2)通過觀察莖葉圖可以看出：①品種A的畝產(chǎn)平均數(shù)(或均值)比品種B高；②品種A的畝產(chǎn)標準差(或方差)比品種B大，故品種A的畝產(chǎn)穩(wěn)定性較差．[方法技巧]莖葉圖問題的求解策略(1)由于莖葉圖完全反映了所有的原始數(shù)據(jù)，解決由莖葉圖給出的統(tǒng)計圖表問題時，要充分對這個圖表提供的樣本數(shù)據(jù)進行相關的計算或者是對某些問題作出判斷．(2)莖葉圖不能直接反映總體的分布情況，這就需要通過莖葉圖數(shù)據(jù)求出樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，進一步估計總體情況．能力練通抓應用體驗的“得”與“失”1.eq\a\vs4\al([考點一·類型一])某工廠的質(zhì)檢人員對生產(chǎn)的100件產(chǎn)品，采用隨機數(shù)法抽取10件檢查，對100件產(chǎn)品采用下面的編號方法：①1,2,3，…，100；②001,002，…，100；③00,01,02，…，99；④01,02,03，…，100.其中正確的序號是________．解析：根據(jù)隨機數(shù)法編號可知，①④編號位數(shù)不統(tǒng)一．答案：②③2.eq\a\vs4\al([考點一·類型三])(2018·南京市高三年級學情調(diào)研)某高校甲、乙、丙、丁四個專業(yè)分別有150,150,400,300名學生．為了解學生的就業(yè)傾向，用分層抽樣的方法從該校這四個專業(yè)中抽取40名學生進行調(diào)查，則應從丙專業(yè)抽取的學生人數(shù)為________．解析：400×eq\f(40,150＋150＋400＋300)＝16.答案：163.eq\a\vs4\al([考點一·類型三])甲、乙兩套設備生產(chǎn)的同類型產(chǎn)品共4800件，采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為80的樣本進行質(zhì)量檢測．若樣本中有50件產(chǎn)品由甲設備生產(chǎn)，則乙設備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為________．解析：分層抽樣中各層的抽樣比相同．樣本中甲設備生產(chǎn)的有50件，則乙設備生產(chǎn)的有30件．在4800件產(chǎn)品中，甲、乙設備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)比為5∶3，所以乙設備生產(chǎn)的產(chǎn)品的總數(shù)為eq\f(3,5＋3)×4800＝1800(件)．答案：18004.eq\a\vs4\al([考點一·類型二])為了了解本班學生對網(wǎng)絡游戲的態(tài)度，高三(6)班計劃在全班60人中展開調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結果，班主任計劃采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取若干名學生進行座談，為此先對60名學生進行編號為：01,02,03，…，60，已知抽取的學生中最小的兩個編號為03,09，則抽取的學生中最大的編號為________．解析：由最小的兩個編號為03,09可知，抽取時的分段間隔是6.即抽取10名同學，其編號構成首項為3，公差為6的等差數(shù)列，故最大編號為3＋9×6＝57.答案：575.eq\a\vs4\al([考點二·類型二])在一次馬拉松比賽中，35名運動員的成績(單位：分鐘)的莖葉圖如圖所示．若將運動員按成績由好到差編為1～35號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績在區(qū)間[139,151]上的運動員人數(shù)是________．解析：35÷7＝5，因此可將編號為1～35的35個數(shù)據(jù)分成7組，每組有5個數(shù)據(jù)，在區(qū)間[139,151]上共有20個數(shù)據(jù)，分在20÷5＝4個小組中，每組取1人，共取4人．答案：46.eq\a\vs4\al([考點二·類型一])某班50位學生期中考試數(shù)學成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，則圖中x的值等于________．解析：依題意，0.054×10＋10×x＋0.01×10＋0.006×10×3＝1，解得x＝0.018.答案：0.018突破點(二)樣本的數(shù)字特征基礎聯(lián)通抓主干知識的“源”與“流”1．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)數(shù)字特征定義與求法優(yōu)點與缺點眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中重復出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點，不受極端值的影響．但顯然它對其他數(shù)據(jù)信息的忽視使得無法客觀地反映總體特征中位數(shù)把一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，處在中間位置的一個數(shù)據(jù)(或兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))中位數(shù)等分樣本數(shù)據(jù)所占頻率，它不受少數(shù)幾個極端值的影響，這在某些情況下是優(yōu)點，但它對極端值的不敏感有時也會成為缺點平均數(shù)如果有n個數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，那么這n個數(shù)的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)平均數(shù)與每一個樣本數(shù)據(jù)有關，可以反映出更多的關于樣本數(shù)據(jù)全體的信息，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值的影響較大，使平均數(shù)在估計總體時可靠性降低2.標準差、方差(1)標準差：樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示，s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\o(x,\s\up6(－))2＋x2－\o(x,\s\up6(－))2＋…＋xn－\o(x,\s\up6(－))2]).(2)方差：標準差的平方s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2]，其中xi(i＝1,2,3，…，n)是樣本數(shù)據(jù)，n是樣本容量，eq\o(x,\s\up6(－))是樣本平均數(shù)．(3)方差與標準差相比，都是衡量樣本數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計量，但方差因為對標準差進行了平方運算，夸大了樣本的偏差程度．3．平均數(shù)、方差公式的推廣若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，方差為s2，則數(shù)據(jù)mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)為meq\o(x,\s\up6(－))＋a，方差為m2s2.考點貫通抓高考命題的“形”與“神”樣本的數(shù)字特征1.用樣本估計總體時，樣本的平均數(shù)、標準差只是總體的平均數(shù)、標準差的近似．實際應用中，需先計算數(shù)據(jù)的平均數(shù)，分析平均水平，再計算方差(標準差)，分析穩(wěn)定情況．2．若給出圖形，一方面可以由圖形得到相應的樣本數(shù)據(jù)，計算平均數(shù)、方差(標準差)；另一方面，可以從圖形直觀分析樣本數(shù)據(jù)的分布情況，大致判斷平均數(shù)的范圍，并利用數(shù)據(jù)的波動性比較方差(標準差)的大?。挤?一)與頻率分布直方圖交匯命題[例1]某市居民用水擬實行階梯水價，每人月用水量中不超過w立方米的部分按4元/立方米收費，超出w立方米的部分按10元/立方米收費．從該市隨機調(diào)查了10000位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖．(1)如果w為整數(shù)，那么根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民在該月的用水價格為4元/立方米，w至少定為多少？(2)假設同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點值代替．當w＝3時，估計該市居民該月的人均水費．[解](1)由用水量的頻率分布直方圖，知該市居民該月用水量在區(qū)間[0.5,1]，(1,1.5]，(1.5,2]，(2,2.5]，(2.5,3]內(nèi)的頻率依次為0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.所以該月用水量不超過3立方米的居民占85%，用水量不超過2立方米的居民占45%.依題意，w至少定為3.(2)由用水量的頻率分布直方圖及題意，得居民該月用水費用的數(shù)據(jù)分組與頻率分布表如下：組號12345678分組[2,4](4,6](6,8](8,10](10,12](12,17](17,22](22,27]頻率0.10.150.20.250.150.050.050.05根據(jù)題意，該市居民該月的人均水費估計為4×0.1＋6×0.15＋8×0.2＋10×0.25＋12×0.15＋17×0.05＋22×0.05＋27×0.05＝10.5(元)．[方法技巧]頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的關系(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標為眾數(shù)；(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和．考法(二)與莖葉圖交匯命題[例2](1)如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學生在一次英語聽力測試中的成績(單位：分)，已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為17，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為17.4，則x，y的值分別是________．(2)(2017·南京三模)如圖是甲、乙兩名籃球運動員在五場比賽中所得分數(shù)的莖葉圖，則在這五場比賽中得分較為穩(wěn)定(方差較小)的那名運動員的得分的方差為________．[解析](1)甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為17,故y＝7，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\f(3×10＋20＋9＋6＋6＋x＋9,5)＝17.4，解得x＝7.(2)由莖葉圖知，得分較為穩(wěn)定的那名運動員應該是乙，他在五場比賽中得分分別為8,9,10,13,15，所以他的平均得分為eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(8＋9＋10＋13＋15)＝11，其方差為s2＝eq\f(1,5)×[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝6.8.[答案](1)7,7(2)6.8[易錯提醒]在使用莖葉圖時，一定要觀察所有的樣本數(shù)據(jù)，弄清楚這個圖中數(shù)字的特點，不要漏掉了數(shù)據(jù)，也不要混淆莖葉圖中莖與葉的含義．樣本數(shù)據(jù)與優(yōu)化決策[例3]甲、乙、丙、丁四人參加某運動會射擊項目選拔賽，四人的平均成績和方差如下表所示：甲乙丙丁平均環(huán)數(shù)eq\x\to(x)8.38.88.88.7方差s23.53.62.25.4從這四個人中選擇一人參加該運動會射擊項目比賽，最佳人選是________．[解析]由題目表格中數(shù)據(jù)可知，丙平均環(huán)數(shù)最高，且方差最小，說明成績好，且技術穩(wěn)定，所以最佳人選是丙．[答案]丙[方法技巧]利用樣本的數(shù)字特征解決優(yōu)化決策問題的依據(jù)(1)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平；標準差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大?。畼藴什?、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標準差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定．(2)用樣本估計總體就是利用樣本的數(shù)字特征來描述總體的數(shù)字特征．能力練通抓應用體驗的“得”與“失”1.eq\a\vs4\al([考點一·考法二])如圖是某學校舉行的運動會上七位評委為某體操項目打出的分數(shù)的莖葉統(tǒng)計圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為________．解析：依題意，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)是80＋eq\f(1,5)×(4×3＋6＋7)＝85，所剩數(shù)據(jù)的方差是eq\f(1,5)×[3×(84－85)2＋(86－85)2＋(87－85)2]＝1.6.答案：85,1.62.eq\a\vs4\al([考點二])甲、乙兩名射擊運動員參加某大型運動會的預選賽，他們分別射擊了5次，成績?nèi)缦卤?單位：環(huán))：甲108999乙1010799如果甲、乙兩人中只有1人入選，則入選的最佳人選應是________．解析：eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙＝9，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)×[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝eq\f(2,5)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝eq\f(6,5)＞seq\o\al(2,甲)，故甲更穩(wěn)定．答案：甲3.eq\a\vs4\al([考點一·考法一])我國是世界上嚴重缺水的國家，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，計劃調(diào)整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標準x(噸)，一位居民的月用水量不超過x的部分按平價收費，超出x的部分按議價收費．為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求直方圖中a的值；(2)設該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由；(3)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標準x(噸)，估計x的值，并說明理由．解：(1)由頻率分布直方圖可知，月均用水量在[0,0.5)中的頻率為0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2，2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]中的頻率分別為0.08，0.20，0.26,0.06,0.04,0.02.由0.04＋0.08＋0.5×a＋0.20＋0.26＋0.5×a＋0.06＋0.04＋0.02＝1，解得a＝0.30.(2)由(1)知100位居民每人的月均用水量不低于3噸的頻率為0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上樣本的頻率分布，可以估計全市30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300000×0.12＝36000.(3)因為前6組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88＞0.85，而前5組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73＜0.85，所以2.5≤x＜3.由0.30×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9.所以，估計月用水量標準為2.9噸時，85%的居民每月的用水量不超過標準．4.eq\a\vs4\al([考點一·考法二])某車間20名工人年齡數(shù)據(jù)如下表：(1)求這20名工人年齡的眾數(shù)與極差；(2)以十位數(shù)為莖，個位數(shù)為葉，作出這20名工人年齡的莖葉圖；(3)求這20名工人年齡的方差．解：(1)由題可知，這20名工人年齡的眾數(shù)是30，極差是40－19＝21.(2)這20名工人年齡的莖葉圖如圖所示：(3)這20名工人年齡的平均數(shù)為eq\x\to(x)＝eq\f(1,20)(19＋3×28＋3×29＋5×30＋4×31＋3×32＋40)＝30，∴這20名工人年齡的方差為s2＝eq\f(1,20)eq\o(∑,\s\up6(20))eq\o(,\s\do4(i＝1))(xi－eq\x\to(x))2＝eq\f(112＋6×22＋7×12＋5×02＋102,20)＝eq\f(252,20)＝12.6.[課時達標檢測]重點保分課時——一練小題夯雙基，二練題點過高考[練基礎小題——強化運算能力]1．某學校為了了解某年高考數(shù)學的考試成績，在高考后對該校1200名考生進行抽樣調(diào)查，其中有400名文科考生，600名理科考生，200名藝術和體育類考生，從中抽取120名考生作為樣本，記這項調(diào)查為①；從10名家長中隨機抽取3名參加座談會，記這項調(diào)查為②，則完成①，②這兩項調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是___________________________．解析：在①中，文科考生、理科考生、藝術和體育類考生會存在差異，采用分層抽樣法較好；在②中，抽取的樣本個數(shù)較少，宜采用簡單隨機抽樣法．答案：分層抽樣法，簡單隨機抽樣法2．(2018·江蘇省淮安市高三期中)某校高三年級500名學生中，血型為O型的有200人，A型的有125人，B型的有125人，AB型的有50人．為研究血型與色弱之間的關系，現(xiàn)用分層抽樣的方法從這500名學生中抽取一個容量為60的樣本，則應抽取________名血型為AB的學生．解析：在整個抽樣過程中，每個個體被抽到的概率為eq\f(60,500)＝eq\f(3,25)，所以血型為AB的學生應抽取的人數(shù)為50×eq\f(3,25)＝6.答案：63．(2018·常州模擬)某地區(qū)有高中學校10所，初中學校30所，小學學校60所．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學校中抽取20所學校對學生進行體質(zhì)健康檢查，則應抽取初中學校________所．解析：抽樣比為eq\f(20,10＋30＋60)＝20%，所以應抽取初中學校30×20%＝6所．答案：64．(2018·徐州市高三年級期中)已知一組數(shù)據(jù)：87，x,90,89,93的平均數(shù)為90，則該組數(shù)據(jù)的方差為________．解析：由題意eq\f(1,5)(87＋x＋90＋89＋93)＝90，得到x＝91，所以方差s2＝eq\f(1,5)[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4.答案：4[練?？碱}點——檢驗高考能力]一、填空題1．(2017·蘇州暑假測試)已知等差數(shù)列{an}的公差為d，若a1，a2，a3，a4，a5的方差為8，則d＝________.解析：因為{an}為等差數(shù)列，所以a1，a2，a3，a4，a5的均值為a3，所以方差為eq\f(1,5)[(－2d)2＋(－d)2＋0＋d2＋(2d)2]＝2d2＝8，解得d＝±2.答案：±22．(2018·南通模擬)如圖是甲、乙兩位同學在5次數(shù)學測試中得分的莖葉圖，則成績較穩(wěn)定(方差較小)的那一位同學的方差為________．解析：eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,5)(88＋89＋90＋91＋92)＝90；eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,5)(87＋89＋90＋91＋93)＝90.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)[(88－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(92－90)2]＝eq\f(1,5)(4＋1＋4＋1)＝2；seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)[(87－90)2]＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2]＝eq\f(1,5)(9＋1＋1＋9)＝4.答案：23．如圖是依據(jù)某城市年齡在20歲到45歲的居民上網(wǎng)情況調(diào)查而繪制的頻率分布直方圖，現(xiàn)已知年齡在[30,35)，[35,40)，[40,45]的網(wǎng)民人數(shù)成遞減的等差數(shù)列，則年齡在[35,40)的網(wǎng)民出現(xiàn)的頻率為________．解析：由題意得，年齡在[20,25)的網(wǎng)民出現(xiàn)的頻率為0.01×5＝0.05，[25,30)的網(wǎng)民出現(xiàn)的頻率為0.07×5＝0.35，又[30,35)，[35,40)，[40,45]的網(wǎng)民人數(shù)成遞減的等差數(shù)列，則其頻率也成等差數(shù)列，又[30,45]的頻率為1－0.05－0.35＝0.6，則年齡在[35,40)的網(wǎng)民出現(xiàn)的頻率為0.6÷3＝0.2.答案：0.24．(2018·南通中學高三月考)一汽車廠生產(chǎn)A，B，C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標準型兩種型號，某月的產(chǎn)量如下表(單位：輛)：轎車A轎車B轎車C舒適型100150z標準型300450600按類用分層抽樣的方法在這個月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛．則z的值為________．解析：這個月生產(chǎn)的轎車共有100＋300＋150＋450＋z＋600＝1600＋z(輛)，A類轎車400輛，所以eq\f(400,1600＋z)＝eq\f(10,50)，得z＝400.答案：4005．(2018·鹽城模擬)已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5的方差是2，則數(shù)據(jù)2x1,2x2,2x3,2x4,2x5的標準差為________．解析：eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)，eq\x\to(x)′＝eq\f(2,5)(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)，s2＝eq\f(1,5)[xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(2,3)＋xeq\o\al(2,4)＋xeq\o\al(2,5)－5(eq\x\to(x))2]＝2，s＝eq\r(2)，s′2＝eq\f(1,5)[(2x1)2＋(2x2)2＋(2x3)2＋(2x4)2＋(2x5)2－5(2eq\x\to(x))2]＝4s2，所以s′＝2s＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)6．(2018·連云港模擬)如圖是一次攝影大賽上7位評委給某參賽作品打出的分數(shù)的莖葉圖．記分員在去掉一個最高分和一個最低分后，算得平均分為91分．復核員在復核時，發(fā)現(xiàn)有一個數(shù)字(莖葉圖中的x)無法看清，若記分員計算無誤，則數(shù)字x應該是________．解析：分類計算，(1)當x＝1時，eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)(89＋91＋91＋92＋92)＝91;(2)當x＝2時eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(89＋91＋92＋92＋92)＝91.2，不合題意，所以x＝1.答案：17．在樣本頻率分布直方圖中，共有11個小長方形，若中間一個小長方形的面積等于其他10個小長方形面積和的eq\f(1,4)，且樣本容量為160，則中間一組的頻數(shù)為________．解析：由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可設中間一組的頻率為x，則x＋4x＝1，所以x＝0.2，故中間一組的頻數(shù)為160×0.2＝32.答案：328．某公司300名員工2017年年終獎金情況的頻率分布直方圖如圖所示，由圖可知，員工中年終獎金在1.4～1.6萬元的共有________人．解析：由頻率分布直方圖知年終獎金低于1.4萬元或者高于1.6萬元的頻率為(0.2＋0.8＋0.8＋1.0＋1.0)×0.2＝0.76，因此，年終獎金在1.4～1.6萬元間的頻率為1－0.76＝0.24，所以300名員工中年終獎金在1.4～1.6萬元間的員工人數(shù)為300×0.24＝72.答案：729．高一(1)班有學生52人，現(xiàn)將所有學生隨機編號，用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為4的樣本．已知6號，32號，45號學生在樣本中，則樣本中還有一個學生的編號是________．解析：由題意得各組間距為eq\f(52,4)＝13，因為在第一組中抽取的是6，所以以下各組依次應該抽取：6＋13＝19,6＋2×13＝32,6＋3×13＝45，即另一個編號為19.答案：1910．(2018·泰州質(zhì)檢)甲、乙兩位選手參加射擊選拔賽，其中連續(xù)5輪比賽的成績(單位：環(huán))如下表：選手第1輪第2輪第3輪第4輪第5輪甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8則甲、乙兩位選手中成績最穩(wěn)定的選手的方差是________．解析：eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,5)×(9.8＋9.9＋10.1＋10＋10.2)＝10，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,5)×(9.4＋10.3＋10.8＋9.7＋9.8)＝10，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)×[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]＝eq\f(1,5)×(0.04＋0.01＋0.01＋0.04)＝0.02，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2]＝eq\f(1,5)×(0.36＋0.09＋0.64＋0.09＋0.04)＝0.244.因為seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙)，所以甲的成績最穩(wěn)定，其方差為0.02.答案：0.02二、解答題11．(2017·北京高考)某大學藝術專業(yè)400名學生參加某次測評，根據(jù)男女學生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)從總體的400名學生中隨機抽取一人，估計其分數(shù)小于70的概率；(2)已知樣本中分數(shù)小于40的學生有5人，試估計總體中分數(shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)；(3)已知樣本中有一半男生的分數(shù)不小于70，且樣本中分數(shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例．解：(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知，樣本中分數(shù)不小于70的頻率為(0.02＋0.04)×10＝0.6，所以樣本中分數(shù)小于70的頻率為1－0.6＝0.4.所以從總體的400名學生中隨機抽取一人，其分數(shù)小于70的概率估計值為0.4.(2)根據(jù)題意，樣本中分數(shù)不小于50的頻率為(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，故樣本中分數(shù)小于50的頻率為0.1，故分數(shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)為100×0.1－5＝5.所以總體中分數(shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)估計為400×eq\f(5,100)＝20.(3)由題意可知，樣本中分數(shù)不小于70的學生人數(shù)為(0.02＋0.04)×10×100＝60，所以樣本中分數(shù)不小于70的男生人數(shù)為60×eq\f(1,2)＝30.所以樣本中的男生人數(shù)為30×2＝60，女生人數(shù)為100－60＝40，男生和女生人數(shù)的比例為60∶40＝3∶2.所以根據(jù)分層抽樣原理，總體中男生和女生人數(shù)的比例估計為3∶2.12．隨著移動互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，與餐飲美食相關的應用軟件層出不窮．現(xiàn)從使用A和B兩款訂餐軟件的商家中分別隨機抽取50個商家，對它們的“平均送達時間”進行統(tǒng)計，得到頻率分布直方圖如下：(1)試估計使用A款訂餐軟件的50個商家的“平均送達時間”的眾數(shù)及平均數(shù)；(2)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，將頻率視為概率，回答下列問題：①能否認為使用B款訂餐軟件“平均送達時間”不超過40分鐘的商家達到75%?②如果你要從A和B兩款訂餐軟件中選擇一款訂餐，你會選擇哪款？說明理由．解：(1)依題意可得，使用A款訂餐軟件的50個商家的“平均送達時間”的眾數(shù)為55.使用A款訂餐軟件的50個商家的“平均送達時間”的平均數(shù)為15×0.06＋25×0.34＋35×0.12＋45×0.04＋55×0.4＋65×0.04＝40.(2)①使用B款訂餐軟件“平均送達時間”不超過40分鐘的商家的比例估計值為0.04＋0.20＋0.56＝0.80＝80%＞75%.故可以認為使用B款訂餐軟件“平均送達時間”不超過40分鐘的商家達到75%.②使用B款訂餐軟件的50個商家的“平均送達時間”的平均數(shù)為15×0.04＋25×0.2＋35×0.56＋45×0.14＋55×0.04＋65×0.02＝35＜40，所以選B款訂餐軟件．第二節(jié)概率本節(jié)主要包括3個知識點：1.隨機事件的頻率與概率；2.古典概型與幾何概型；3.互斥事件與對立事件.突破點(一)隨機事件的頻率與概率基礎聯(lián)通抓主干知識的“源”與“流”1．事件的分類2．頻率和概率(1)若在相同的條件下，隨機事件A在n次試驗中發(fā)生了m次，則稱eq\f(m,n)為事件A發(fā)生的頻率；當試驗的次數(shù)n很大時，事件A發(fā)生的頻率eq\f(m,n)可以作為隨機事件A的概率的近似值．(2)對于給定的隨機事件A，在相同的條件下，隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率會在某個常數(shù)附近擺動并趨于穩(wěn)定，我們把這個常數(shù)稱為事件A的概率，記作P(A).考點貫通抓高考命題的“形”與“神”隨機事件的頻率與概率事件A發(fā)生的頻率eq\f(m,n)是利用頻數(shù)m除以試驗總次數(shù)n所得到的值，且隨著試驗次數(shù)的增多，它在A的概率附近擺動幅度越來越小，即概率是頻率的穩(wěn)定值，因此在試驗次數(shù)足夠的情況下，給出不同事件發(fā)生的次數(shù)，可以利用頻率來估計相應事件發(fā)生的概率．[典例](2018·湖北七市聯(lián)考)某電子商務公司隨機抽取1000名網(wǎng)絡購物者進行調(diào)查．這1000名購物者2016年網(wǎng)上購物金額(單位：萬元)均在區(qū)間[0.3,0.9]內(nèi)，樣本分組為：[0.3,0.4)，[0.4,0.5)，[0.5,0.6)，[0.6,0.7)，[0.7,0.8)，[0.8,0.9]，購物金額的頻率分布直方圖如下：電子商務公司決定給購物者發(fā)放優(yōu)惠券，其金額(單位：元)與購物金額關系如下：購物金額分組[0.3,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.8)[0.8,0.9]發(fā)放金額50100150200(1)求這1000名購物者獲得優(yōu)惠券金額的平均數(shù)；(2)以這1000名購物者購物金額落在相應區(qū)間的頻率作為概率，求一個購物者獲得優(yōu)惠券金額不少于150元的概率．[解](1)購物者的購物金額x與獲得優(yōu)惠券金額y的頻率分布如下表：x0.3≤x＜0.50.5≤x＜0.60.6≤x＜0.80.8≤x≤0.9y50100150200頻率0.40.30.280.02這1000名購物者獲得優(yōu)惠券金額的平均數(shù)為：eq\f(50×400＋100×300＋150×280＋200×20,1000)＝96.(2)由獲得優(yōu)惠券金額y與購物金額x的對應關系，由(1)有P(y＝150)＝P(0.6≤x＜0.8)＝0.28，P(y＝200)＝P(0.8≤x≤0.9)＝0.02，從而，獲得優(yōu)惠券金額不少于150元的概率為P(y≥150)＝P(y＝150)＋P(y＝200)＝0.28＋0.02＝0.3.能力練通抓應用體驗的“得”與“失”1．某超市隨機選取1000位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統(tǒng)計表，其中“√”表示購買，“×”表示未購買.商品顧客人數(shù)甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××(1)估計顧客同時購買乙和丙的概率；(2)估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率；(3)如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大？解：(1)從統(tǒng)計表可以看出，在這1000位顧客中有200位顧客同時購買了乙和丙，所以顧客同時購買乙和丙的概率可以估計為eq\f(200,1000)＝0.2.(2)從統(tǒng)計表可以看出，在這1000位顧客中有100位顧客同時購買了甲、丙、丁，另有200位顧客同時購買了甲、乙、丙，其他顧客最多購買了2種商品，所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率可以估計為eq\f(100＋200,1000)＝0.3.(3)與(1)同理，可得：顧客同時購買甲和乙的概率可以估計為eq\f(200,1000)＝0.2，顧客同時購買甲和丙的概率可以估計為eq\f(100＋200＋300,1000)＝0.6，顧客同時購買甲和丁的概率可以估計為eq\f(100,1000)＝0.1.所以，如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買丙的可能性最大．2．如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現(xiàn)隨機抽取100位從A地到火車站的人進行調(diào)查，調(diào)查結果如下：所用時間(分鐘)10～2020～3030～4040～5050～60選擇L1的人數(shù)612181212選擇L2的人數(shù)0416164(1)試估計40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率；(2)分別求通過路徑L1和L2所用時間落在上表中各時間段內(nèi)的頻率；(3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許的時間內(nèi)趕到火車站，試通過計算說明，他們應如何選擇各自的路徑．解：(1)共調(diào)查了100人，其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，用頻率估計概率，可得所求概率為0.44.(2)選擇L1的有60人，選擇L2的有40人，故由調(diào)查結果得所求各頻率為所用時間(分鐘)10～2020～3030～4040～5050～60L1的頻率0.10.20.30.20.2L2的頻率00.10.40.40.1(3)記事件A1，A2分別表示甲選擇L1和L2時，在40分鐘內(nèi)趕到火車站；記事件B1，B2分別表示乙選擇L1和L2時，在50分鐘內(nèi)趕到火車站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)＞P(A2)，故甲應選擇L1；P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P(B2)＞P(B1)，故乙應選擇L2.突破點(二)古典概型與幾何概型基礎聯(lián)通抓主干知識的“源”與“流”1．基本事件在1次試驗中可能出現(xiàn)的每一個基本結果稱為基本事件．基本事件的特點：(1)任何兩個基本事件都是不可能同時發(fā)生的；(2)每個基本事件的發(fā)生都是等可能的．2．古典概型具有以下兩個條件的隨機試驗的概率模型稱為古典概型：(1)所有的基本事件只有有限個；(2)每個基本事件的發(fā)生都是等可能的．3．古典概型的概率公式如果1次試驗的等可能基本事件共有n個，那么每一個等可能基本事件發(fā)生的概率都是eq\f(1,n)，如果某個事件A包含了其中m個等可能基本事件，則事件A發(fā)生的概率為：P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的個數(shù),基本事件的總數(shù))＝eq\f(m,n).4．幾何概型的定義設D是一個可度量的區(qū)域(例如線段、平面圖形、立體圖形等)，每個基本事件可以視為從區(qū)域D內(nèi)隨機地取一點，區(qū)域D內(nèi)的每一點被取到的機會都一樣；隨機事件A的發(fā)生可以視為恰好取到區(qū)域D內(nèi)的某個指定區(qū)域d中的點，這時，事件A發(fā)生的概率與d的測度(長度、面積、體積等)成正比，與d的形狀和位置無關．我們把滿足這樣條件的概率模型稱為幾何概型．5．幾何概型的兩個基本特點(1)無限性：在一次試驗中可能出現(xiàn)的結果有無限多個；(2)等可能性：每個試驗結果的發(fā)生具有等可能性．6．幾何概型的概率公式P(A)＝eq\f(d的測度,D的測度).考點貫通抓高考命題的“形”與“神”古典概型古典概型的概率計算往往與實際問題結合緊密，解決問題的一般步驟如下：第一步，閱讀題目，判斷試驗是否為古典概型，若滿足有限性和等可能性，則進行下一步．第二步，在理解題意的基礎上，若基本事件的個數(shù)較少，可用列舉法、列表法或樹狀圖法將基本事件一一列出，求出基本事件的總數(shù)n，并在這些基本事件中找出題目要求的事件所包含的基本事件的個數(shù)m.第三步，利用古典概型的概率公式求出事件的概率．[例1](1)(2017·蘇北三市三模)現(xiàn)有三張識字卡片，分別寫有“中”、“國”、“夢”這三個字．將這三張卡片隨機排序，則能組成“中國夢”的概率是________.(2)(2018·蘇州高三暑假測試)有五條線段，其長度分別為2,3,4,5,7.現(xiàn)任取三條，則這三條線段可以構成三角形的概率是________．[解析](1)把這三張卡片排序有“中”“國”“夢”，“中”“夢”“國”，“國”“中”“夢”，“國”“夢”“中”，“夢”“中”“國”，“夢”“國”“中”，共計6種，能組成“中國夢”的只有1種，概率為eq\f(1,6).(2)從長度分別為2,3,4,5,7的五條線段中任取三條，有(2,3,4)，(2,3,5)，(2,3,7)，(2,4,5)，(2,4,7)，(2,5,7)，(3,4,5)，(3,4,7)，(3,5,7)，(4,5,7)共10個基本事件，記“這三條線段可以構成三角形”為事件A，則事件A包含了(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，(3,5,7)，(4,5,7)共5個基本事件，所以這三條線段可以構成三角形的概率是eq\f(1,2).[答案](1)eq\f(1,6)(2)eq\f(1,2)[方法技巧]1．古典概型計算三步曲第一，本試驗是不是等可能的；第二，本試驗的基本事件有多少個；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少個．2．確定基本事件的方法(1)當基本事件總數(shù)較少時，可列舉計算；(2)列表法、樹狀圖法．幾何概型[例2](1)在長為12cm的線段AB上任取一點C，現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形的面積大于20cm2的概率為________．(2)如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點C在∠ACB內(nèi)部任作一條射線CM，與AB交于點M，則AM＜AC的概率為________．(3)如圖，矩形ABCD中，點A在x軸上，點B的坐標為(1,0)，且點C與點D在函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0，,－\f(1,2)x＋1，x＜0))的圖象上．若在矩形ABCD內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于________．(4)在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機取一點P，則點P到點[解析](1)設|AC|＝x，則|BC|＝12－x，所以x(12－x)＞20，解得2＜x＜10，故所求概率P＝eq\f(10－2,12)＝eq\f(2,3).(2)過點C作CN交AB于點N，使AN＝AC，如圖所示．顯然當射線CM處在∠ACN內(nèi)時，AM＜AC.又∠A＝45°，所以∠ACN＝67.5°，故所求概率為P＝eq\f(67.5°,90°)＝eq\f(3,4).(3)因為f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0，,－\f(1,2)x＋1，x＜0，))B點坐標為(1,0)，所以C點坐標為(1,2)，D點坐標為(－2,2)，A點坐標為(－2,0)，故矩形ABCD的面積為2×3＝6，陰影部分的面積為eq\f(1,2)×3×1＝eq\f(3,2)，故P＝eq\f(\f(3,2),6)＝eq\f(1,4).(4)正方體的體積為：2×2×2＝8，以O為球心，1為半徑且在正方體內(nèi)部的半球的體積為：eq\f(1,2)×eq\f(4,3)πr3＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2,3)π，則點P到點O的距離大于1的概率為：1－eq\f(\f(2,3)π,8)＝1－eq\f(π,12).[答案](1)eq\f(2,3)(2)eq\f(3,4)(3)eq\f(1,4)(4)1－eq\f(π,12)[方法技巧]1．與長度有關的幾何概型如果試驗的結果構成的區(qū)域的幾何度量可用長度表示，可直接用概率的計算公式求解．2．與角度有關的幾何概型當涉及射線的轉動，扇形中有關落點區(qū)域問題時，應以角的大小作為區(qū)域度量來計算概率，且不可用線段的長度代替，這是兩種不同的度量手段．如本例中的第(2)題極易求錯．3．與面積有關的幾何概型求解與面積有關的幾何概型時，關鍵是弄清某事件對應的面積，必要時可根據(jù)題意構造兩個變量，把變量看成點的坐標，找到試驗全部結果構成的平面圖形，以便求解．4．與體積有關的幾何概型對于與體積有關的幾何概型問題，關鍵是計算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對于某些較復雜的也可利用其對立事件去求.能力練通抓應用體驗的“得”與“失”1.eq\a\vs4\al([考點一])一個三位數(shù)的百位、十位、個位上的數(shù)字依次為a，b，c，當且僅當a＞b，b＜c時稱為“凹數(shù)”(如213,312)等．若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，則這個三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率是________．解析：由1,2,3組成的三位數(shù)有123,132,213,231,312,321，共6個；由1,2,4組成的三位數(shù)有124,142,214,241,412,421，共6個；由1,3,4組成的三位數(shù)有134,143,314,341,413,431，共6個；由2,3,4組成的三位數(shù)有234,243,324,342,423,432，共6個．所以共有6＋6＋6＋6＝24個三位數(shù)．當b＝1時，有214,213,314,412,312,413，共6個“凹數(shù)”；當b＝2時，有324,423，共2個“凹數(shù)”．故這個三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率P＝eq\f(6＋2,24)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)2.eq\a\vs4\al([考點一])將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點數(shù)a，b，則直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點的概率為________．解析：依題意，將一顆骰子先后投擲兩次得到的點數(shù)所形成的數(shù)組(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36個，其中滿足直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點，即滿足eq\f(2a,\r(a2＋b2))≤eq\r(2)，即a2≤b2的數(shù)組(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，…，(6,6)，共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21個，因此所求的概率等于eq\f(21,36)＝eq\f(7,12).答案：eq\f(7,12)3.eq\a\vs4\al([考點二])(2017·江蘇高考)記函數(shù)f(x)＝eq\r(6＋x－x2)的定義域為D.在區(qū)間[－4,5]上隨機取一個數(shù)x，則x∈D的概率是________．解析：由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，則D＝[－2,3]，則所求概率P＝eq\f(3－－2,5－－4)＝eq\f(5,9).答案：eq\f(5,9)4.eq\a\vs4\al([考點二])如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，有一動點在此長方體內(nèi)隨機運動，則此動點在三棱錐A-A1BD內(nèi)的概率為________．解析：設事件M為“動點在三棱錐A-A1BD內(nèi)”，則P(M)＝eq\f(V三棱錐A-A1BD,V長方體ABCD-A1B1C1D1)＝eq\f(V三棱錐A1-ABD,V長方體ABCD-A1B1C1D1)＝eq\f(\f(1,3)AA1·S△ABD,V長方體ABCD-A1B1C1D1)＝eq\f(\f(1,3)AA1·\f(1,2)S矩形ABCD,AA1·S矩形ABCD)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)5.eq\a\vs4\al([考點二])在區(qū)間[0,1]上任取兩個數(shù)a，b，則函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b2無零點的概率為________．解析：要使該函數(shù)無零點，只需a2－4b2＜0，即(a＋2b)(a－2b)＜0.∵a，b∈[0,1]，a＋2b＞0，∴a－2b＜0.作出eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤a≤1，,0≤b≤1，,a－2b＜0))的可行域(如陰影部分所示)，易得該函數(shù)無零點的概率P＝eq\f(1－\f(1,2)×1×\f(1,2),1×1)＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)突破點(三)互斥事件與對立事件基礎聯(lián)通抓主干知識的“源”與“流”1．概率的基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率：P(A)＝1.不可能事件的概率：P(A)＝0.2．互斥事件和對立事件事件定義概率公式互斥事件不能同時發(fā)生的兩個事件A與B稱作互斥事件如果事件A、B互斥且至少有一個發(fā)生，記作A＋B，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；如果事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)對立事件如果兩個互斥事件必有一個發(fā)生，稱這兩個事件為對立事件；事件A的對立事件記為eq\x\to(A)P(eq\x\to(A))＝1－P(A)考點貫通抓高考命題的“形”與“神”事件關系的判斷[例1](1)從1,2,3，…，7這7個數(shù)中任取兩個數(shù)，其中：①恰有一個是偶數(shù)和恰有一個是奇數(shù)；②至少有一個是奇數(shù)和兩個都是奇數(shù)；③至少有一個是奇數(shù)和兩個都是偶數(shù)；④至少有一個是奇數(shù)和至少有一個是偶數(shù)．上述事件中，是對立事件的是________(填序號)．(2)設條件甲：“事件A與事件B是對立事件”，結論乙：“概率滿足P(A)＋P(B)＝1”，則甲是乙的________條件．[解析](1)③中“至少有一個是奇數(shù)”即“兩個奇數(shù)或一奇一偶”，而從1～7中任取兩個數(shù)根據(jù)取到數(shù)的奇偶性可認為共有三個事件：“兩個都是奇數(shù)”、“一奇一偶”、“兩個都是偶數(shù)”，故“至少有一個是奇數(shù)”與“兩個都是偶數(shù)”是對立事件，易知其余都不是對立事件．(2)若事件A與事件B是對立事件，則A＋B為必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1，充分性成立．設擲一枚硬幣3次，事件A：“至少出現(xiàn)一次正面”，事件B：“3次出現(xiàn)正面”，則P(A)＝eq\f(7,8)，P(B)＝eq\f(1,8)，滿足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是對立事件，必要性不成立．故甲是乙的充分不必要條件．[答案](1)③(2)充分不必要[方法技巧]事件間的關系的判斷方法(1)判斷事件間的關系時，可把所有的試驗結果寫出來，看所求事件包含哪幾個試驗結果，從而斷定所給事件間的關系．(2)對立事件一定是互斥事件，也就是說不互斥的兩個事件一定不是對立事件，在確定了兩個事件互斥的情況下，就要看這兩個事件的和事件是不是必然事件，這是判斷兩個事件是否為對立事件的基本方法．判斷互斥事件、對立事件時，注意事件的發(fā)生與否都是對于同一次試驗而言的，不能在多次試驗中判斷．(3)從集合的角度上看：事件A，B對應的基本事件構成了集合A，B，則A，B互斥時，A∩B＝?；A，B對立時，A∩B＝?且A∪B＝Ω(Ω為全集)．兩事件互斥是兩事件對立的必要不充分條件．互斥事件、對立事件的概率[例2]某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1000張獎券為一個開獎單位，設特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個．設1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1張獎券的中獎概率；(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率．[解](1)P(A)＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f(10,1000)＝eq\f(1,100)，P(C)＝eq\f(50,1000)＝eq\f(1,20).故事件A，B，C的概率分別為eq\f(1,1000)，eq\f(1,100)，eq\f(1,20).(2)1張獎券中獎包含中特等獎、一等獎、二等獎．設“1張獎券中獎”這個事件為M，則M＝A＋B＋C.因為A，B，C兩兩互斥，所以P(M)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1＋10＋50,1000)＝eq\f(61,1000).故1張獎券的中獎概率為eq\f(61,1000).(3)設“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事件N，則事件N與“1張獎券中特等獎或中一等獎”為對立事件，所以P(N)＝1－P(A＋B)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1000)＋\f(1,100)))＝eq\f(989,1000).故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為eq\f(989,1000).[方法技巧]求復雜互斥事件概率的兩種方法(1)直接求解法：將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和；(2)間接法：先求該事件的對立事件的概率，再由P(A)＝1－P(eq\x\to(A))求解．當題目涉及“至多”“至少”型問題時，多考慮間接法．能力練通抓應用體驗的“得”與“失”1.eq\a\vs4\al([考點一])下列命題：①將一枚硬幣拋兩次，設事件M：“兩次出現(xiàn)正面”，事件N：“只有一次出現(xiàn)反面”，則事件M與N互為對立事件；②若事件A與B互為對立事件，則事件A與B為互斥事件；③若事件A與B為互斥事件，則事件A與B互為對立事件；④若事件A與B互為對立事件，則事件A＋B為必然事件．其中真命題的序號是________．解析：對①，一枚硬幣拋兩次，共出現(xiàn){正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四種結果，則事件M與N是互斥事件，但不是對立事件，故①是假命題；對②，對立事件首先是互斥事件，故②是真命題；對③，互斥事件不一定是對立事件，如①中兩個事件，故③是假命題；對④，事件A，B為對立事件，則一次試驗中A，B一定有一個要發(fā)生，故④是真命題．答案：②④2.eq\a\vs4\al([考點二])從一箱產(chǎn)品中隨機地抽取一件，設事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為________．解析：“抽到的產(chǎn)品不是一等品”與事件A是對立事件，則所求概率P＝1－P(A)＝0.35.答案：0.353.eq\a\vs4\al([考點二])口袋中有100個大小相同的紅球、白球、黑球，其中紅球45個，從口袋中摸出一個球，摸出白球的概率為0.23，則摸出黑球的概率為________．解析：由題可知，摸出紅球的概率為0.45，摸出白球的概率為0.23，故摸出黑球的概率P＝1－0.45－0.23＝0.32.答案：0.324.eq\a\vs4\al([考點二])圍棋盒子中有多粒黑子和白子，已知從中取出2粒都是黑子的概率為eq\f(1,7)，都是白子的概率是eq\f(12,35).則從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．解析：設“從中取出2粒都是黑子”為事件A，“從中取出2粒都是白子”為事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”為事件C，則C＝A＋B，且事件A與B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,7)＋eq\f(12,35)＝eq\f(17,35).即任意取出2粒恰好是同一色的概率為eq\f(17,35).答案：eq\f(17,35)5.eq\a\vs4\al([考點二])某超市為了了解顧客的購物量及結算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關數(shù)據(jù)，如下表所示.一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)(人)x3025y10結算時間(分鐘/人)11.522.53已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結算時間的平均值；(2)求一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率．(將頻率視為概率)解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.該超市所有顧客一次購物的結算時間組成一個總體，所收集的100位顧客一次購物的結算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機樣本，顧客一次購物的結算時間的平均值可用樣本平均數(shù)估計，其估計值為eq\f(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10,100)＝1.9(分鐘)．(2)記A為事件“一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘”，A1，A2分別表示事件“該顧客一次購物的結算時間為2.5分鐘”，“該顧客一次購物的結算時間為3分鐘”，將頻率視為概率得P(A1)＝eq\f(20,100)＝eq\f(1,5)，P(A2)＝eq\f(10,100)＝eq\f(1,10).則P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－eq\f(1,5)－eq\f(1,10)＝eq\f(7,10).故一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率為eq\f(7,10).[課時達標檢測]重點保分課時——一練小題夯雙基，二練題點過高考[練基礎小題——強化運算能力]1．(2018·南京市高三年級學情調(diào)研)記函數(shù)f(x)＝eq\r(4－3x－x2)的定義域為D.若在區(qū)間[－5,5]上隨機取一個數(shù)x，則x∈D的概率為________．解析：D＝{x|4－3x－x2≥0}＝[－4,1]，所以P＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)2．為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中，余下的2種花種在另一個花壇中，則 紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是________．解析：從4種顏色的花中任選2種顏色的花種在一個花壇中，余下2種顏色的花種在另一個花壇的情況有：紅黃—白紫、紅白—黃紫、紅紫—白黃、黃白—紅紫、黃紫—紅白、白紫—紅黃，共6種，其中紅色和紫色的花不在同一花壇的情況有：紅黃—白紫、紅白—黃紫、黃紫—紅白、白紫—紅黃，共4種，故所求概率為P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)3．(2018·蘇州市考前模擬)在區(qū)間[－1,1]上隨機取一個數(shù)x，coseq\f(πx,2)的值介于0到eq\f(1,2)之間的概率為________．解析：在區(qū)間[－1,1]上隨機取一個數(shù)x，即x∈[－1,1]時，要使coseq\f(πx,2)的值介于0到eq\f(1,2)之間，需使－eq\f(π,2)≤eq\f(πx,2)≤－eq\f(π,3)或eq\f(π,3)≤eq\f(πx,2)≤eq\f(π,2)，∴－1≤x≤－eq\f(2,3)或eq\f(2,3)≤x≤1，區(qū)間長度為eq\f(2,3)，由幾何概型知coseq\f(πx,2)的值介于0到eq\f(1,2)之間的概率為eq\f(\f(2,3),2)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)4．小敏打開計算機時，忘記了開機密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是________．解析：∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件總數(shù)有15種．∵正確的開機密碼只有1種，∴P＝eq\f(1,15).答案：eq\f(1,15)[練常考題點——檢驗高考能力]一、填空題1．容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后的頻數(shù)如下表：分組[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)頻數(shù)234542則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,40)的概率為________．解析：數(shù)據(jù)落在[10,40)的概率為eq\f(2＋3＋4,20)＝eq\f(9,20)＝0.45.答案：0.452．(2018·鎮(zhèn)江模擬)若隨機事件A，B互斥，A，B發(fā)生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，則實數(shù)a解析：由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜PA＜1，,0＜PB＜1，,PA＋PB≤1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜2－a＜1，,0＜4a－5＜1，,3a－3≤1，))解得eq\f(5,4)＜a≤eq\f(4,3).答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(4,3)))3．(2018·鹽城模擬)甲、乙兩盒中各有除顏色外完全相同的2