高考數學復習第九章立體幾何初步53立體幾何綜合文市賽課公開課一等獎省名師獲獎課件

第九章立體幾何初步1/44第53課立體幾何綜合2/44課前熱身3/441.(必修2P56練習2改編)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1上一點，若BD1∥平面AEC，則點E為DD1________．【解析】連接BD交AC于點O，連接OE，因為BD1∥平面AEC，平面AEC∩平面BDD1＝EO，所以BD1∥OE，又O為BD中點，所以E是DD1中點．激活思維中點(第1題)

4/442.(必修2P49練習4改編)如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，若AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，則四棱錐ABB1D1D體積為________cm3.(第2題)

65/443.(必修2P40練習3改編)如圖，若六棱錐PABCDEF底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則以下命題中正確是________．(填序號)①PA⊥AD；②平面ABC⊥平面PBC；③直線BC∥平面PAE；④直線PD與平面ABC所成角為30°.【解析】①中，因為PA⊥平面ABC，AD?平面ABC，所以PA⊥AD，故①正確；②中兩平面不垂直，故②錯誤；③中，AD與平面PAE相交，BC∥AD，故③錯誤；④中，PD與平面ABC所成角為45°，故④錯誤．①(第3題)

6/444.(必修2P40練習5改編)已知a，b是兩條不一樣直線，α，β是兩個不重合平面，給出以下四個命題：①若a⊥b，a⊥α，b?α，則b∥α；②若a∥α，a⊥β，則α⊥β；③若a⊥β，α⊥β，則a∥α或a?α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，則α⊥β.其中正確命題個數為________．47/44【解析】對于①，因為a⊥b，a⊥α，所以b∥α或b?α，又b?α，所以b∥α，故①正確；對于②，因為a∥α，所以存在直線a1?α，且a1∥a，又a⊥β，所以a1⊥β，所以α⊥β，故②正確；對于③，因為a⊥β，α⊥β，所以a∥α或a?α，故③正確；對于④，因為a⊥b，a⊥α，所以b∥α或b?α.又因為b⊥β，所以α⊥β，故④正確，綜上，正確命題個數為4.8/44空間中平行和垂直關系能夠按照下表進行類比：知識梳理9/44課堂導學10/44

(·徐州、連云港、宿遷三檢)如圖(1)，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC，M，N，P分別為BC，CC1，BB1中點．(1)求證：平面AMP⊥平面BB1C1C；【解答】因為ABCA1B1C1是直三棱柱，所以BB1⊥底面ABC.又AM?底面ABC，所以BB1⊥AM.因為M為BC中點，且AB＝AC，所以AM⊥BC.平行和垂直綜合問題例1(例1(1))

11/44又BB1∩BC＝B，BB1?平面BB1C1C，BC?平面BB1C1C，所以AM⊥平面BB1C1C.因為AM?平面APM，所以平面APM⊥平面BB1C1C.12/44(2)求證：A1N∥平面AMP.【解答】如圖(2)，取C1B1中點D，連接A1D，DN，DM，B1C.在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，M分別為C1B1，CB中點，所以DM∥CC1且DM＝CC1，所以DM∥AA1且DM＝AA1，所以四邊形A1AMD為平行四邊形，所以A1D∥AM.又A1D?平面APM，AM?平面APM，所以A1D∥平面APM.(例1(2))

13/44因為D，N分別為C1B1，CC1中點，所以DN∥B1C.又P，M分別為BB1，CB中點，所以MP∥B1C，所以DN∥MP.因為DN?平面APM，MP?平面APM，所以DN∥平面APM.又A1D∩DN＝D，A1D，DN?平面A1DN，所以平面A1DN∥平面APM.因為A1N?平面A1DN，所以A1N∥平面APM.14/44【精關鍵點評】(1)空間位置關系判定主要包含平行和垂直兩個方面，主要是線線、線面、面面相互轉化以及空間問題轉化為平面問題降維思想利用．(2)條件與結論之間怎樣利用定理進行轉化是關鍵，空間中線線平行和垂直常見證法要熟悉．15/44

(·南通一調)如圖(1)，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，E是A1C1中點．(1)求證：BE⊥AC；【解答】如圖(2)，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，連接BD交AC于點F，連接B1D1交A1C1于點E.變式(變式(1))

(變式(2))

16/44因為四邊形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.因為四棱柱ABCDA1B1C1D1為直四棱柱，所以BB1⊥平面ABCD.又AC?平面ABCD，所以BB1⊥AC.又BD∩BB1＝B，BD?平面B1BDD1，BB1?平面B1BDD1，所以AC⊥平面B1BDD1.因為BE?平面B1BDD1，所以BE⊥AC.17/44(2)求證：BE∥平面ACD1.【解答】連接D1F，因為四棱柱ABCDA1B1C1D1為直棱柱，所以四邊形B1BDD1為矩形．又E，F(xiàn)分別是B1D1，BD中點，所以BF＝D1E，且BF∥D1E，所以四邊形BED1F是平行四邊形，所以BE∥D1F.又D1F?平面ACD1，BE?平面ACD1，所以BE∥平面ACD1.18/44 如圖，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，點M是棱BB1上一點．(1)求證：MD⊥AC；【思維引導】(1)經過證實AC⊥平面BB1D1D，來證實AC⊥DM；(2)經過結構與平面CC1D1D垂直直線，進行平移尋找所求點正確位置．【解答】連接B1D1，因為BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以BB1⊥AC.探索性問題例2(例2)

19/44又因為BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，BD，BB1?平面B1BDD1，所以AC⊥平面B1BDD1.因為MD?平面B1BDD1，所以MD⊥AC.20/44(2)試確定點M位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.【解答】當M為棱BB1中點時，可使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.取DC中點N，D1C1中點N1，連接NN1交DC1于O，連接OM.因為N是DC中點，BD＝BC，所以BN⊥DC.又因為平面ABCD∩平面DCC1D1＝DC，平面ABCD⊥平面DCC1D1，BN?平面ABCD，所以BN⊥平面DCC1D1.又因為O是NN1中點，21/44所以BM∥ON，且BM＝ON，即四邊形BMON是平行四邊形，所以BN∥OM，所以OM⊥平面CC1D1D.又因為OM?平面DMC1，所以平面DMC1⊥平面CC1D1D.【精關鍵點評】探求符合要求點或線問題時，能夠先假設存在，即增加條件后再證實；或經過先結構平行或垂直特殊位置上點或線，經過對其進行平移，來尋找正確結果，然后再反過來證實．22/44 如圖(1)，三棱柱ABCA1B1C1底面是邊長為2正三角形，側棱A1A⊥底面ABC，點E，F(xiàn)分別是棱CC1，BB1上點，點M是線段AC上動點，EC＝2FB＝2.問：當點M在什么位置時，BM∥平面AEF?變式(變式(1))

【解答】如圖(2)，取AE中點O，連接OF，過點O作OM⊥AC于點M.

(變式(2))

23/44因為側棱A1A⊥底面ABC，AA1?平面A1ACC1，所以側面A1ACC1⊥底面ABC.又平面ABC∩平面ACC1A1＝AC，OM⊥AC，所以OM⊥底面ABC.又因為EC＝2FB＝2，所以四邊形OMBF為矩形，故BM∥OF.又BM?平面AEF，OF?平面AEF，所以BM∥平面AEF，此時點M為AC中點．24/44 在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2BC＝4，CD＝3，E為AB中點，過點E作EF⊥CD，垂足為F(圖(1))，將此梯形沿EF折成一個直二面角AEFC(圖(2))．翻折問題例3圖(1)

圖(2)

25/44(1)求證：BF∥平面ACD；【思維引導】先分析翻折前后圖形中線段長度改變以及線線位置關系改變，再利用定理證實位置關系并計算體積．【解答】如圖，連接EC交BF于點O，取AC中點P，

連接PO，PD，所以DF∥PO，且DF＝PO，所以四邊形DPOF為平行四邊形，所以FO∥PD，即BF∥PD.又PD?平面ACD，BF?平面ACD，所以BF∥平面ACD.(例3)

26/44(2)求多面體ADFCBE體積．【解答】因為二面角AEFC為直二面角，且AE⊥EF，所以AE⊥平面BCFE.又BC?平面BCFE，所以AE⊥BC.因為BC⊥BE，BE∩AE＝E，BE，AE?平面AEB，所以BC⊥平面AEB，所以BC是三棱錐CABE高．同理可證CF是四棱錐CAEFD高，所以多面體ADFCBE體積27/44【精關鍵點評】對于翻折問題通常在折痕同側其位置關系和線長度、角大小不變，異側就會發(fā)生改變．因為圖形被翻折后從平面圖形變成了空間圖形，所以很多原始位置關系和平面幾何條件都不能使用．28/44 請你設計一個包裝盒，ABCD是邊長為60cm正方形硬紙片，切去如圖(1)所表示陰影部分四個全等等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個點重合于圖中點P，恰好形成一個如圖(2)所表示正四棱柱形狀包裝盒，E，F(xiàn)在AB上且E，F(xiàn)是被切去等腰直角三角形斜邊兩個端點，設AE＝FB＝xcm.立體幾何模型實際應用問題例4圖(1)

圖(2)

(例4)

29/44(1)若廣告商要求包裝盒側面積S(單位：cm2)最大，試問：x應取何值？【思維引導】本題求解前提是找到盒子底面邊長與高，繼而求得底面面積，再求其體積．而解題關鍵是正確地求得“盒子”體積函數式．因為題中包括了三次函數最值，所以要考慮結合導數求最值．【解答】依據題意有S＝602－4x2－(60－2x)2＝240x－8x2＝－8(x－15)2＋1800(0<x<30)，所以x＝15時包裝盒側面積S最大．答：當x＝15時，包裝盒側面積最大．30/44(2)若廣告商要求包裝盒容積V(單位：cm3)最大，試問：x應取何值？并求出此時包裝盒高與底面邊長比值．當0<x<20時，V′>0，V單調遞增；當20<x<30時，V′<0，V單調遞減．31/44【精關鍵點評】(1)本題主要考查空間想象能力、數學閱讀能力、利用數學知識處理實際問題能力、建立數學函數模型求解問題能力等，屬于中等題；(2)合理、正確地構建函數式是處理這類問題關鍵，在給出函數式時要考慮到其定義域；(3)包括求高次函數最值時要考慮結合導數求最值．

32/44 如圖，四邊形ABCD為直角梯形，∠C＝∠CDA＝90°，AD＝2BC＝2CD，P為平面ABCD外一點，且PB⊥BD.(1)求證：PA⊥BD；【解答】因為四邊形ABCD為直角梯形，又PB⊥BD，AB∩PB＝B，AB，PB?平面PAB，所以BD⊥平面PAB.因為PA?平面PAB，所以PA⊥BD.備用例題(備用例題)

33/44(2)若PC與CD不垂直，求證：PA≠PD.【解答】假設PA＝PD，取AD中點N，連接PN，BN，則PN⊥AD，BN⊥AD.因為PN∩BN＝N，PN，BN?平面PBN，所以AD⊥平面PNB，所以PB⊥AD.又PB⊥BD，BD∩AD＝D，BD，AD?平面ABCD，所以PB⊥平面ABCD.因為CD?平面ABCD，所以PB⊥CD.又因為BC⊥CD，BC∩PB＝B，BC，PB?平面PBC，所以CD⊥平面PBC.又PC?平面PBC，所以CD⊥PC，這與已知條件PC與CD不垂直矛盾，所以PA≠PD.34/44課堂評價35/441.給定以下四個命題：①若一個平面內兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；②若一個平面經過另一個平面垂線，那么這兩個平面相互垂直；③垂直于同一條直線兩條直線相互平行；④若兩個平面垂直，那么一個平面內與它們交線不垂直直線與另一個平面也不垂直．其中正確命題是________.(填序號)②④36/44【解析】①中沒有說明是兩條相交直線，故①錯誤；由平面垂直判定定理可得②正確；③中兩條直線能夠相交也能夠異面，故③錯誤；由平面垂直性質定理可得④正確．37/442.一塊邊長為10cm正方形鐵片按如圖(1)所表示將陰影部分裁下，然后用余下四個全等等腰三角形作側面，以它們公共頂點P為頂點，加工成一個如圖(2)所表示正四棱錐容器，則當x＝6cm時，該容器容積為________cm3.圖(1)圖(2)(第2題)

4838/44【解析】由題知AB＝6cm，所以底面ABCD面積為36cm2,結合圖形可求得正四棱錐高為4cm，所以該容器容積為48cm3.39/44(第3題)

90°40/44【解析】因為AB＝AD＝1，BD＝，所以AB⊥AD,所以A′B⊥A′D.又因為平面A′BD⊥平面BCD，平面A′BD∩平面BCD＝BD，CD⊥BD，CD?平面BCD，所以CD⊥平面A′BD.因為A′B?平面A′BD，所以CD⊥A′B.又CD∩A′D＝D，CD，A′D?平面A′CD，所以A′B⊥平面A′CD.因為A′C?平面A′CD，所以A′B⊥A′C，所以∠BA′C＝9