高中數(shù)學第一章常用邏輯用語1.4.3含有一個量詞的命題的否定備課省公開課一等獎新名師獲獎

1.4.3含有一個量詞命題否定1/41【自主預習】1.全稱命題p:?x∈M,p(x),否定:_________________.2.特稱命題p:?x0∈M,p(x0),否定:________________.?p:?x0∈M,?p(x0)?p:?x∈M,?p(x)2/41【即時小測】1.有以下4個命題:(1)沒有男生愛踢足球;(2)全部男生都不愛踢足球;(3)最少有一個男生不愛踢足球;(4)全部女生都愛踢足球.其中是命題“全部男生都愛踢足球”否定是()A.(1)B.(2)

C.(3)

D.(4)3/41【解析】選C.只要有一個男生不愛踢足球,就不能說全部男生都愛踢足球;所以命題“全部男生都愛踢足球”否定是“最少有一個男生不愛踢足球”.4/412.已知命題p:對?x∈R,有sinx≤1,則()A.?p:?x0∈R,使sinx0≥1B.?p:?x∈R,使sinx≥1C.?p:?x0∈R,使sinx0>1D.?p:?x∈R,使sinx>1【解析】選C.?p:?x0∈R,使sinx0>1.5/413.命題“?x∈[-2,3],-1<x<3”否定是________.【解析】把?改為?,-1<x<3改為x≤-1或x≥3得原命題否定.答案:?x0∈[-2,3],x0≤-1或x0≥36/414.命題“零向量與任意向量共線”否定為_______.【解析】命題“零向量與任意向量共線”即“任意向量與零向量共線”,是全稱命題,其否定為特稱命題“有向量與零向量不共線”.答案:有向量與零向量不共線7/41【知識探究】探究點含一個量詞命題否定1.對命題進行否定含義是什么?原命題與命題否定真假性有什么關系?提醒:命題否定就是對這個命題結論進行否定.命題否定形式與原命題真假性相反.8/412.怎樣了解全稱命題否定是特稱命題?提醒:全稱命題說明所給范圍內元素都含有某性質,其否定應是在所給范圍內,最少有一個元素不含有該性質,從而是特稱命題.9/41【歸納總結】全稱命題與特稱命題否定(1)全稱命題否定:全稱命題否定是一個特稱命題,給出全稱命題否定時既要否定全稱量詞,又要否定性質,所以找出全稱量詞,明確命題所提供性質是對全稱命題否定關鍵.10/41(2)特稱命題否定:特稱命題否定是一個全稱命題,給出特稱命題否定時既要否定存在量詞,又要否定性質,所以找出存在量詞,明確命題所提供性質是對特稱命題否定關鍵.尤其提醒:對全稱命題和特稱命題進行否定時,要改變量詞與元素含有性質兩處.11/41【拓展延伸】對全稱命題與特稱命題關系認識(1)結構關系認識:①全稱命題中全稱量詞表明給定范圍內全部對象都具備某一性質,無一例外.②特稱命題中存在量詞卻表明給定范圍內對象有例外.12/41③二者恰好組成了相反意義表述,所以全稱命題否定是特稱命題,特稱命題否定是全稱命題.13/41(2)真假性認識:全稱命題否定與全稱命題真假性相反;特稱命題否定與特稱命題真假性相反.14/41類型一含一個量詞命題否定【典例】1.(·全國卷Ⅰ)設命題p:?n0∈N,則?p為()A.?n∈N,n2>2nB.?n0∈N,C.?n∈N,n2≤2nD.?n0∈N,15/412.(·浙江高考)命題“?n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”否定形式是()A.?n∈N*,f(n)?N*且f(n)>nB.?n∈N*,f(n)?N*或f(n)>nC.?n0∈N*,f(n0)?N*且f(n0)>n0D.?n0∈N*,f(n0)?N*或f(n0)>n016/41【解題探究】1.典例1中命題p是什么命題?其否定是什么命題?提醒:特稱命題,其否定是全稱命題.2.典例2中怎樣對“p且q”進行否定?提醒:否定為?p或?q.17/41【解析】1.選C.否定時,要把“?”變?yōu)椤?”,“>”變?yōu)椤啊堋?故?p:?n∈N,n2≤2n.2.選D.依據(jù)全稱命題否定是特稱命題,含有“或”“且”否定,要交換聯(lián)結詞.18/41【延伸探究】本例2中命題改為:“?n0∈N*,f(n0)∈N*或f(n0)≤n0”,則其否定形式為()【解析】選A.命題否定形式為?n∈N*,f(n)?N*且f(n)>n.19/41【方法技巧】1.對全稱命題否定兩個步驟(1)改變量詞:把全稱量詞換為恰當存在量詞.(2)否定性質:原命題中“是”“成立”等改為“不是”“不成立”等.20/412.全稱命題否定后真假判斷方法全稱命題否定是特稱命題,其真假性與全稱命題相反;要說明一個全稱命題是假命題,只需舉一個反例即可.21/41【拓展延伸】常見詞語否定原詞否定詞原詞否定詞等于不等于至多一個最少兩個大于小于最少一個一個也沒有小于大于任意某個是不是全部一些都是不都是22/41【變式訓練】寫出以下命題否定.(1)全部自然數(shù)平方是正數(shù).(2)任何實數(shù)x都是方程5x-12=0根.(3)有些質數(shù)是奇數(shù).23/41【解析】(1)否定:有些自然數(shù)平方不是正數(shù).(2)否定:存在實數(shù)x0不是方程5x0-12=0根.(3)否定:全部質數(shù)都不是奇數(shù).24/41類型二含量詞命題應用【典例】已知命題“對于任意x∈R,x2+ax+1≥0”是假命題,求實數(shù)a取值范圍.25/41【解題探究】原命題與其否定真假性有什么關系?處理二次不等式恒成立問題關鍵是什么?提醒:原命題與其否定真假性相反.關鍵是開口方向和判別式Δ符號.26/41【解析】因為全稱命題“對于任意x∈R,x2+ax+1≥0”否定形式為:“存在x0∈R,x02+ax0+1<0”.由“命題真,其否定假;命題假,其否定真”可知,這個否定形式是真命題.因為函數(shù)f(x)=x2+ax+1是開口向上拋物線,借助二次函數(shù)圖象易知:Δ=a2-4>0,解得a<-2或a>2.所以實數(shù)a取值范圍是(-∞,-2)∪(2,+∞).27/41【延伸探究】1.本例中把條件“任意x∈R”改為“x>0”,則實數(shù)a取值范圍是________.28/41【解析】由題意新命題否定“存在x0>0,x02+ax0+1<0”為真.因為f(x)=x2+ax+1是開口向上拋物線且過(0,1)點,借助二次函數(shù)圖象易知解得a<-2.所以實數(shù)a取值范圍是(-∞,-2).答案:(-∞,-2)29/412.本例中把條件“假命題”改為“真命題”,求實數(shù)a取值范圍.【解析】對于任意x∈R,x2+ax+1≥0是真命題,即對任意實數(shù)x,不等式x2+ax+1≥0恒成立,則Δ=a2-4≤0.解得-2≤a≤2.所以a取值范圍是-2≤a≤2.30/41【方法技巧】含有一個量詞命題與參數(shù)范圍求解策略(1)對于全稱命題“?x∈M,a>f(x)(或a<f(x))”為真問題,實質就是不等式恒成立問題,通常轉化為求函數(shù)f(x)最大值(或最小值),即a>f(x)max(或a<f(x)min).31/41(2)對于特稱命題“?x0∈M,a>f(x0)(或a<f(x0))”為真問題,實質就是不等式能成立問題,通常轉化為求函數(shù)f(x)最小值(或最大值),即a>f(x)min(或a<f(x)max).32/41(3)若全稱命題為假命題,通常轉化為其否定命題——特稱命題為真命題處理,同理,若特稱命題為假命題,通常轉化為其否定命題——全稱命題為真命題處理.33/41【賠償訓練】由命題“存在x0∈R,使-m≤0”是假命題,得m取值范圍是(-∞,a),則實數(shù)a取值是()A.(-∞,1)B.(-∞,2)C.1D.234/41【解析】選C.命題“存在x0∈R,使-m≤0”是假命題,則命題?x∈R,e|x-1|-m>0是真命題,即不等式e|x-1|-m>0恒成立,所以m<e|x-1|.因為e|x-1|最小值為1,所以m<1,所以a=1.35/41自我糾錯省略量詞命題否定【典例】命題“當x∈R時,x2+1>1”否定是________.36/41【失誤案例】37/41分析解題過程,找犯錯誤之處,并