九年級數(shù)學上冊第一章特殊平行四邊形第3節(jié)正方形的性質(zhì)與判定省公開課一等獎新名師獲獎?wù)n件

北師大版九年級上冊

第三節(jié)：正方形性質(zhì)與判定第一章：特殊平行四邊形1/52第一課時正方形性質(zhì)2/52復習回顧:(1)平行四邊形對邊__________,對角_____,對角線________.(2)菱形四邊_______,對邊_____,對角______,對角線___________________,且每一組對角線平分一組對角.(3)矩形對邊__________,對角_____,對角線_______________.平行且相等相互平分且相等相等相互平分且相互垂直平行且相等相互平分平行相等相等相等3/52問題:

從這個圖形中你能得到什么？你是怎樣想到？┓90°

當

=90°時,這個四邊形還是菱形,但它是特殊菱形是一個內(nèi)角為直角菱形也是正方形.探究新知4/52探究新知定義1.有一個角是直角菱形叫做正方形。┓90°正方形還能夠怎樣定義呢？5/52探究新知定義2.鄰邊相等矩形叫做正方形。邊相等有一組鄰6/52正方形在生活中隨地可見，你能舉出一些生活中正方形例子嗎？與同伴交流。探究新知怎樣在平行四邊形基礎(chǔ)上定義正方形呢？平行四邊形正方形一組鄰邊相等一內(nèi)角是直角定義3.有一組鄰邊相等，而且有一個角是直角平行四邊形叫做正方形。7/52正方形含有工整,勻稱,美觀等許多優(yōu)點,常被人們用在圖案和工藝品設(shè)計上.8/52平行四邊形、矩形、菱形、正方形關(guān)系平行四邊形矩形菱形正方形正方形是矩形嗎？正方形是菱形嗎？正方形既是矩形，也是菱形，它含有矩形和菱形全部性質(zhì)。想一想9/52OABCD(A)(B)(D)探究新知正方形性質(zhì)=菱形性質(zhì)+矩形性質(zhì)邊：對邊平行四邊相等角：四個角都是直角對角線：相等相互垂直平分每條對角線平分一組對角圖形對稱性：既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.10/52已知：正方形ABCD，求證:AB=BC=CD=AD,∠A=∠B=∠C=∠D.證實:∵四邊形ABCD是正方形∴四邊形ABCD是菱形∴AB=BC=CD=AD,∵四邊形ABCD是正方形∴四邊形ABCD是矩形∴∠A=∠B=∠C=∠D.證實定理：正方形四個角都是直角，四條邊相等。分析:因為正方形含有矩形和菱形全部性質(zhì),所以結(jié)論易證.11/52證實定理：正方形對角線相等且相互垂直.證實：∵ABCD是正方形,∴AB=CD,∠ABC=∠DCB,∵BC=BC.∴ΔABC≌ΔDCB,∴AC=BD.∵OB=OD,AB=AD,OA=OA,∴ΔAOB≌ΔAOD,∴∠AOB=∠AOD,又∠AOB+∠AOD=90°,∴∠AOB=90°,∴AC⊥BD,即對角線相互垂直且相等.已知ABCD是正方形，AC、BD分別是正方形兩條對角線，且交于點O，求證：AC=BD，AC⊥BD.12/52例題講解

例1．正方形ABCD對角線AC、BD相交于點O，且AB＝2cm，則AC=_______.

解析：∵四邊形ABCD是正方形

∴BC=AB=2,∠ABC=90°，在Rt△ABC中，13/52例2.已知正方形ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,AC=10,P是AB上一點,PE⊥AC于E，PF⊥BD于F,則PE+PF=______________.PABCDEFO分析：由正方形性質(zhì)可推理出PE=AE，PF=OE，PE＋PF＝OA.解：∵ABCD是正方形

∴AO=AC=5,∠BAC=45°,AC⊥BD又∵PE⊥AC,PF⊥BD∴四邊形PEOF為矩形∴PF=OE在△APE中,∠PAE=45°∴AE=PE∴PE+PF=AE+OE=AO=5.514/52例3：如圖，在正方形ABCD中，E為CD上一點，F(xiàn)為BC邊延長線上一點，且CE=CF.BE與DF之間有怎樣關(guān)系？請說明理由.分析：(1)由正方形性質(zhì)得到∠BCD=∠DCF=90°，BC=CD，結(jié)合CE=CF，可證△BCE≌△DCF，從而有BE=CF;(2)延長BE交DE于點M,由全等可知∠CBE=∠CDF，借助等量代換得到∠BMF=90°，從而有BE⊥CF.15/52（1）∵四邊形ABCD是正方形.∴BC=DC,∠BCE=90°∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.∴∠BCE=∠DCF.又∵CE=CF.∴△BCE≌△DCF.∴BE=DF.解：BE=DF,且BE⊥DF.理由以下：16/52(2)如圖，延長BE交DE于點M，∵△BCE≌△DCF.∴∠CBE=∠CDF.∵∠DCF=90°.∴∠CDF+∠F=90°.∴∠CBE+∠F=90°.∴∠BMF=90°.∴BE⊥DF.17/52鞏固練習1.判斷題：（1）四個角都相等四邊形是正方形.（）(2)四條邊都相等四邊形是正方形.（）（3）對角線相等菱形是正方形.()(4)對角線相互垂直矩形是正方形.（）（5）對角線垂直相等四邊形是正方形.()(6)四邊相等，有一個角是直角四邊形是正方形.()××√√×√18/523.正方形ABCD中，M為AD中點，ME⊥BD于E，MF⊥AC于F,若ME+MF=8cm，則AC=________.30°16cm2.以正方形ABCD一邊DC向外作等邊△DCE,則∠AEB=_____.EABCDMABCDEFO解∵四邊形ABCD是正方形,△CDE是等邊三角形∴∠BCE=90+60=150°,CB=CE∴∠CEB=15°同理∠AED=15°∴∠AEB=60-15-15=30°提醒：AC=2OA=2(ME+MF)=16cm.19/521.如圖所表示，正方形ABCD中，P為BD上一點，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F。試說明：AP=EFABCDPEF解：連接PC∵PE⊥BC，PF⊥DC而四邊形ABCD是正方形∴∠FCE=90°∴四邊形PECF是矩形∴PC=EF又∵四邊形BAPC是以BD為軸軸對稱圖形∴AP=PC∴AP=EF鞏固提升20/522.正方形ABCD中，E是BC延長線上一點，且CE=AC,AE交DC于點F,試求∠E,∠AFC度數(shù)解：∵正方形ABCD四個角均為直角，且對角線平分一組對角∵CE=AC∴∠E=∠CAE∵∠ACB是⊿ACE一個外角∴∠ACB=∠E+∠CAE=2∠E∵∠AFC是⊿CEF一個外角∴∠AFC=∠E+∠FCE=22.5°+90°=112.5°∴∠E=22.5°,∠AFC=112.5°jFEABDC21/52平行四邊形菱形矩形正方形一組鄰邊相等有一個角是直角有一個角是直角一組鄰邊相等正方形既是菱形，又是矩形，所以正方形有以下性質(zhì)：4.正方形是軸對稱圖形，兩條對角線所在直線，以及過每一組中點直線都是它對稱軸.1.正方形四條邊都相等，四個角都是直角2.正方形對角線相等，且相互垂直平分；每條對角線平分一組對角．3.正方形是中心對稱圖形，對角線交點是它對稱中心.課堂總結(jié)22/52課后作業(yè)1.習題1.7：知識技能第2，3兩題2.預(yù)習第二課時.23/52第二課時正方形判定24/52（1）有一組鄰邊相等且有一個角是直角平行四邊形是正方形；（2）有一個角是直角菱形是正方形；（3）有一組鄰邊相等矩形是正方形.2.正方形性質(zhì)1.正方形定義激趣導入復習引入邊角對角線正方形對邊平行且相等，四條邊相等正方形四個角都是直角正方形

兩條對角線相互垂直平分且相等,每條對角線平分一組對角25/52將一張長方形紙對折兩次，然后剪下一個角，打開，怎樣剪才能剪出一個正方形？創(chuàng)設(shè)情境

滿足什么條件矩形是正方形，什么條件菱形是正方形,什么條件平行四邊形是正方形?26/52你能從這個改變過程中總結(jié)出正方形判定方法嗎？有一組鄰邊相等滿足什么條件矩形是正方形？操作1.你能否利用手中矩形白紙裁出一個正方形呢？請你與同學交流一下，你能說說矩形與正方形關(guān)系嗎？總結(jié)：矩形+（）=正方形1.有一組鄰邊相等矩形是正方形.2.對角線相互垂直矩形是正方形.探究1

或?qū)蔷€相互垂直27/52有一組鄰邊相等矩形是正方形.∵在矩形ABCD中，AB=AD∴矩形四邊形ABCD是正方形正方形判定：矩形法幾何語言：對角線相互垂直矩形是正方形.幾何語言：∵在矩形ABCD中，AC⊥BD∴矩形四邊形ABCD是正方形28/523.有一個角是直角菱形是正方形.4.對角線相等菱形是正方形.有一個角是直角操作2.你能否利用手中能夠活動菱形模型變成一個正方形嗎？怎樣變？總結(jié)：菱形+（）=正方形你能從這個改變過程中總結(jié)出正方形判定方法嗎？探究2滿足什么條件菱形是正方形？或?qū)蔷€相等29/52有一個角是直角菱形是正方形.∵在菱形ABCD中，∠BAC=90°∴菱形四邊形ABCD是正方形正方形判定：菱形法幾何語言：對角線相等菱形是正方形.幾何語言：∵在菱形ABCD中，AC=BD∴菱形四邊形ABCD是正方形30/52邊相等有一組鄰是直角有一個角滿足什么條件平行四邊形是正方形？邊相等有一組鄰是直角有一個角探究3相等對角線

垂直

對角線垂直對角線相等

對角線31/52（）+（）+平行四邊形=正方形。你能從這個改變過程中總結(jié)出正方形判定方法嗎？5.有一個角是直角一組鄰邊相等平行四邊形叫做正方形.6.對角線相等且相互垂直平行四邊形是正方形.32/52

有一個角是直角一組鄰邊相等平行四邊形叫做正方形.∵在平行四邊形ABCD中，∠A=90°，AB=AD∴平行四邊形ABCD是正方形正方形判定：定義法幾何語言：對角線相等且相互垂直平行四邊形是正方形.∵在平行四邊形ABCD中，AC=BD，AC⊥BD∴平行四邊形ABCD是正方形幾何語言：33/52探究4（1）四條邊相等，四個角都是直角（2）對角線相互垂直、平分且相等滿足什么條件四邊形是正方形？既是菱形又是矩形四邊形是正方形.34/52

正方形慣用判定方法：1.有一組鄰邊相等矩形是正方形.2.對角線相互垂直矩形是正方形.3.有一個角是直角菱形是正方形.4.對角線相等菱形是正方形.5.有一個角是直角一組鄰邊相等平行四邊形叫做正方形.6.對角線相等且相互垂直平行四邊形是正方形.7.既是菱形又是矩形四邊形是正方形.35/52

例1.在四邊形ABCD中，O是對角線交點，能判定這個四邊形是正方形是（）

A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD

B．AD∥BC∠A＝∠C

C．AO＝CO

BO＝DO

AB＝BCD．AC＝BD

解析：由正方形判定，對角線相互平分且相等，相互垂直四邊形是正方形，故選A.A例題講解36/5237/52例3.已知：如圖，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF//CE，CF//BE，求證：四邊形BECF是正方形.分析：先由BF∥CE，CF∥BE得出四邊形BECF是平行四邊形，又因為∠BEC=90°得出四邊形BECF是矩形，BE=CE鄰邊相等矩形是正方形．證實：∵BF∥CE，CF∥BE∴四邊形BECF是平行四邊形，又∵在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB∴∠EBA=∠ECB=45°∴∠BEC=90°，BE=CE∴四邊形BECF是正方形．38/52鞏固練習1.已知四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，假如添加一個條件，即可推出該四邊形是正方形，那么這個條件能夠是（）A.∠D=90°B.AB=CDC.AD=BCD.BC=CD2.小明在學習了正方形之后，給同桌小文出了道題，從以下四個條件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中選兩個作為補充條件，使?ABCD為正方形（如圖），現(xiàn)有以下四種選法，你認為其中錯誤是（）A.①②B.②③C.①③D.②④由∠A=∠B=∠C=90°可判定為矩形，所以再添加條件：一組鄰邊相等，即可判定為正方形，故選D．DB39/523.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，當△ABC滿足條件______時，四邊形DECF是正方形．（要求：①不再添加任何輔助線，②只需填一個符合要求條件）解：設(shè)AC=BC，即△ABC為等腰直角三角形，∵∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，∴∠C=∠CED=∠EDF=∠DFC=90°，DF=AC=CE，，DE=BC=CF，∴DF=CE=DE=CF，∴四邊形DECF是正方形，故答案為：AC=BC．AC=BC40/524.如圖，在矩形ABCD中，∠ABC角平分線交對角線AC于點M，ME⊥AB，MF⊥BC，垂足分別是E，F(xiàn)．判定四邊形EBFM形狀，并證實你結(jié)論．

首先證得四邊形EBFM為矩形，再深入利用角平分線性質(zhì)得出ME=MF，證得結(jié)論成馬上可．此題考查正方形判定，矩形性質(zhì)以及角平分線性質(zhì)，結(jié)合圖形，利用已知條件靈活處理問題．41/52解：四邊形EBFM是正方形．理由以下：∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，∵MF⊥BC，ME⊥AB，∴∠BFM=∠MEB=90°，∵∠ABC=∠BFM=∠MEB=90°，∴四邊形EBFM為矩形，∵BM平分∠ABC，∴ME=MF，∴四邊形EBFM為正方形42/52拓展提升已知D、E、F、G分別是四邊形AB、BC、CD、DA中點，求證：四邊形DEFG四平行四邊形。證實：如圖，連接BD∵D、G分別是AB、AD中點∴DG是△ABD中位線∴DG//BD,∵E、F分別是BC、CD中點∴EF是△BCD中位線∴EF//BD,∴DG=EF,DG//EF∴四邊形DEFG是平行四邊形.43/52若四邊形ABCD變?yōu)樘厥馑倪呅危悬c四邊形EFGH會有怎